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文档简介

2022届吉林省农安县第四中学中考四模数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列运算结果正确的是()A.(x3﹣x2+x)÷x=x2﹣xB.(﹣a2)•a3=a6C.(﹣2x2)3=﹣8x6D.4a2﹣(2a)2=2a22.如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为()米A. B. C.+1 D.33.已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形是()A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形4.图(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n25.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点,其顶点为P,若S△APB=1,则b与c满足的关系是()A.b2-4c+1=0 B.b2-4c-1=0 C.b2-4c+4=0 D.b2-4c-4=06.四根长度分别为3,4,6,x(x为正整数)的木棒,从中任取三根.首尾顺次相接都能组成一个三角形,则().A.组成的三角形中周长最小为9 B.组成的三角形中周长最小为10C.组成的三角形中周长最大为19 D.组成的三角形中周长最大为167.已知:如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是()A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤8.今年3月5日,十三届全国人大一次会议在人民大会堂开幕,会议听取了国务院总理李克强关于政府工作的报告,其中表示,五年来,人民生活持续改善,脱贫攻坚取得决定性进展,贫困人口减少6800多万,易地扶贫搬迁830万人,贫困发生率由10.2%下降到3.1%,将830万用科学记数法表示为()A.83×105 B.0.83×106 C.8.3×106 D.8.3×1079.下列实数中,无理数是()A.3.14 B.1.01001 C. D.10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①a+b+c<0;②a﹣b+c>1;③abc>0;④4a﹣2b+c<0;⑤c﹣a>1,其中所有正确结论的序号是()A.①② B.①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,一组平行横格线,其相邻横格线间的距离都相等,已知点A、B、C、D、O都在横格线上,且线段AD,BC交于点O,则AB:CD等于______.12.已知圆锥的高为3,底面圆的直径为8,则圆锥的侧面积为_____.13.如图(a),有一张矩形纸片ABCD,其中AD=6cm,以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC上,如图(b).则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为_______.14.如图,在平面直角坐标系中,点A和点C分别在y轴和x轴正半轴上,以OA、OC为边作矩形OABC,双曲线(>0)交AB于点E,AE︰EB=1︰3.则矩形OABC的面积是__________.15.小红沿坡比为1:的斜坡上走了100米,则她实际上升了_____米.16.分解因式:_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0)与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线1,交抛物线与点Q.求抛物线的解析式;当点P在线段OB上运动时,直线1交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;在点P运动的过程中,坐标平面内是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.18.(8分)如图,以O为圆心,4为半径的圆与x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)P为x轴正半轴上一点,且PA=OA,连接PC,试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)有一动点M从A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当S△MAO=S△CAO时,求动点M所经过的弧长,并写出此时M点的坐标.19.(8分)为营造“安全出行”的良好交通氛围,实时监控道路交迸,某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示,立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE∥AB,摄像头EF⊥DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4米,∠CDE=162°.求∠MCD的度数;求摄像头下端点F到地面AB的距离.(精确到百分位)20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径作⊙O交AB于点D,取AC的中点E,边结DE,OE、OD,求证:DE是⊙O的切线.21.(8分)为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:求n的值;若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.22.(10分)如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.23.(12分)在矩形ABCD中,两条对角线相交于O,∠AOB=60°,AB=2,求AD的长.24.已知:如图,E,F是▱ABCD的对角线AC上的两点,BE∥DF.求证:AF=CE.

参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】

根据多项式除以单项式法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项法则计算可得.【详解】A、(x3-x2+x)÷x=x2-x+1,此选项计算错误;B、(-a2)•a3=-a5,此选项计算错误;C、(-2x2)3=-8x6,此选项计算正确;D、4a2-(2a)2=4a2-4a2=0,此选项计算错误.故选:C.【点睛】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项法则.2、C【解析】由题意可知,AC=1,AB=2,∠CAB=90°据勾股定理则BC=m;∴AC+BC=(1+)m.答:树高为(1+)米.故选C.3、D【解析】

根据多边形的内角和=(n﹣2)•180°,列方程可求解.【详解】设所求多边形边数为n,∴(n﹣2)•180°=1080°,解得n=8.故选D.【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.4、C【解析】

解:由题意可得,正方形的边长为(m+n),故正方形的面积为(m+n)1.又∵原矩形的面积为4mn,∴中间空的部分的面积=(m+n)1-4mn=(m-n)1.故选C.5、D【解析】

抛物线的顶点坐标为P(−,),设A、B两点的坐标为A(,0)、B(,0)则AB=,根据根与系数的关系把AB的长度用b、c表示,而S△APB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.【详解】解:∵,∴AB==,∵若S△APB=1∴S△APB=×AB×=1,∴−××,∴,设=s,则,故s=2,∴=2,∴.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识,综合性比较强.6、D【解析】

首先写出所有的组合情况,再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析.【详解】解:其中的任意三根的组合有3、4、1;3、4、x;3、1、x;4、1、x共四种情况,由题意:从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,可得3<x<7,即x=4或5或1.①当三边为3、4、1时,其周长为3+4+1=13;②当x=4时,周长最小为3+4+4=11,周长最大为4+1+4=14;③当x=5时,周长最小为3+4+5=12,周长最大为4+1+5=15;④若x=1时,周长最小为3+4+1=13,周长最大为4+1+1=11;综上所述,三角形周长最小为11,最大为11,故选:D.【点睛】本题考查的是三角形三边关系,利用了分类讨论的思想.掌握三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答本题的关键.7、D【解析】

①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB;

②由①可得∠BEP=90°,故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F,由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°,所以△EFB是等腰Rt△,故B到直线AE距离为BF=,故②是错误的;

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确;

④由△APD≌△AEB,可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定;

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到S△BPD=PD×BE=,所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,由此即可判定.【详解】由边角边定理易知△APD≌△AEB,故①正确;

由△APD≌△AEB得,∠AEP=∠APE=45°,从而∠APD=∠AEB=135°,

所以∠BEP=90°,

过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离,

在△AEP中,由勾股定理得PE=,

在△BEP中,PB=,PE=,由勾股定理得:BE=,

∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°,AE=AP,

∴∠AEP=45°,

∴∠BEF=180°-45°-90°=45°,

∴∠EBF=45°,

∴EF=BF,

在△EFB中,由勾股定理得:EF=BF=,

故②是错误的;

因为△APD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而对顶角相等,所以③是正确的;

由△APD≌△AEB,

∴PD=BE=,

可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=+,因此④是错误的;

连接BD,则S△BPD=PD×BE=,

所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+,

所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+.

综上可知,正确的有①③⑤.故选D.【点睛】考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理,综合性比较强,解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.8、C【解析】

科学记数法,是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|<10|)的记数法.【详解】830万=8300000=8.3×106.故选C【点睛】本题考核知识点:科学记数法.解题关键点:理解科学记数法的意义.9、C【解析】

先把能化简的数化简,然后根据无理数的定义逐一判断即可得.【详解】A、3.14是有理数;B、1.01001是有理数;C、是无理数;D、是分数,为有理数;故选C.【点睛】本题主要考查无理数的定义,属于简单题.10、C【解析】

根据二次函数的性质逐项分析可得解.【详解】解:由函数图象可得各系数的关系:a<0,b<0,c>0,则①当x=1时,y=a+b+c<0,正确;②当x=-1时,y=a-b+c>1,正确;③abc>0,正确;④对称轴x=-1,则x=-2和x=0时取值相同,则4a-2b+c=1>0,错误;⑤对称轴x=-=-1,b=2a,又x=-1时,y=a-b+c>1,代入b=2a,则c-a>1,正确.故所有正确结论的序号是①②③⑤.故选C二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、2:1.【解析】

过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,可得OF⊥CD,由AB//CD,可得△AOB∽△DOC,根据相似三角形对应高的比等于相似比可得,由此即可求得答案.【详解】如图,过点O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,∵AB//CD,∴∠OFD=∠OEA=90°,即OF⊥CD,∵AB//CD,∴△AOB∽△DOC,又∵OE⊥AB,OF⊥CD,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,∴=,故答案为:2:1.【点睛】本题考查了相似三角形的的判定与性质,熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键.12、20π【解析】

利用勾股定理可求得圆锥的母线长,然后根据圆锥的侧面积公式进行计算即可.【详解】底面直径为8,底面半径=4,底面周长=8π,由勾股定理得,母线长==5,故圆锥的侧面积=×8π×5=20π,故答案为:20π.【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法.解题的关键是熟记圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法.13、【解析】

解:如图,作OH⊥DK于H,连接OK,∵以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,∴AD=2CD.∴根据折叠对称的性质,A'D=2CD.∵∠C=90°,∴∠DA'C=30°.∴∠ODH=30°.∴∠DOH=60°.∴∠DOK=120°.∴扇形ODK的面积为.∵∠ODH=∠OKH=30°,OD=3cm,∴.∴.∴△ODK的面积为.∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是:.故答案为:.14、1【解析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为(t,),则利用AE:EB=1:3,B点坐标可表示为(4t,),然后根据矩形面积公式计算.【详解】设E点坐标为(t,),

∵AE:EB=1:3,

∴B点坐标为(4t,),

∴矩形OABC的面积=4t•=1.

故答案是:1.【点睛】考查了反比例函数y=(k≠0)系数k的几何意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.15、50【解析】

根据题意设铅直距离为x,则水平距离为,根据勾股定理求出x的值,即可得到结果.【详解】解:设铅直距离为x,则水平距离为,根据题意得:,解得:(负值舍去),则她实际上升了50米,故答案为:50【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.16、【解析】分析:要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式.因此,先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可:.三、解答题(共8题,共72分)17、(1);(2)当m=2时,四边形CQMD为平行四边形;(3)Q1(8,18)、Q2(﹣1,0)、Q3(3,﹣2)【解析】

(1)直接将A(-1,0),B(4,0)代入抛物线y=x2+bx+c方程即可;

(2)由(1)中的解析式得出点C的坐标C(0,-2),从而得出点D(0,2),求出直线BD:y=−x+2,设点M(m,−m+2),Q(m,m2−m−2),可得MQ=−m2+m+4,根据平行四边形的性质可得QM=CD=4,即−m2+m+4=4可解得m=2;

(3)由Q是以BD为直角边的直角三角形,所以分两种情况讨论,①当∠BDQ=90°时,则BD2+DQ2=BQ2,列出方程可以求出Q1(8,18),Q2(-1,0),②当∠DBQ=90°时,则BD2+BQ2=DQ2,列出方程可以求出Q3(3,-2).【详解】(1)由题意知,∵点A(﹣1,0),B(4,0)在抛物线y=x2+bx+c上,∴解得:∴所求抛物线的解析式为(2)由(1)知抛物线的解析式为,令x=0,得y=﹣2∴点C的坐标为C(0,﹣2)∵点D与点C关于x轴对称∴点D的坐标为D(0,2)设直线BD的解析式为:y=kx+2且B(4,0)∴0=4k+2,解得:∴直线BD的解析式为:∵点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线1,交BD于点M,交抛物线与点Q∴可设点M,Q∴MQ=∵四边形CQMD是平行四边形∴QM=CD=4,即=4解得:m1=2,m2=0(舍去)∴当m=2时,四边形CQMD为平行四边形(3)由题意,可设点Q且B(4,0)、D(0,2)∴BQ2=DQ2=BD2=20①当∠BDQ=90°时,则BD2+DQ2=BQ2,∴解得:m1=8,m2=﹣1,此时Q1(8,18),Q2(﹣1,0)②当∠DBQ=90°时,则BD2+BQ2=DQ2,∴解得:m3=3,m4=4,(舍去)此时Q3(3,﹣2)∴满足条件的点Q的坐标有三个,分别为:Q1(8,18)、Q2(﹣1,0)、Q3(3,﹣2).【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了平行四边形及直角三角形的定义,要注意第3问分两种情形求解.18、(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【解析】

(1)由于∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.

(2)由(1)的结论知:OA=AC,因此OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的位置关系.

(3)此题应考虑多种情况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,因此有四个符合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.【详解】(1)∵OA=OC,∠OAC=60°,∴△OAC是等边三角形,故∠AOC=60°.(2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;∴AC=OP,因此△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,而OC是⊙O的半径,故PC与⊙O的位置关系是相切.(3)如图;有三种情况:①取C点关于x轴的对称点,则此点符合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣2);劣弧MA的长为:;②取C点关于原点的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M2(﹣2,﹣2);劣弧MA的长为:;③取C点关于y轴的对称点,此点也符合M点的要求,此时M点的坐标为:M3(﹣2,2);优弧MA的长为:;④当C、M重合时,C点符合M点的要求,此时M4(2,2);优弧MA的长为:;综上可知:当S△MAO=S△CAO时,动点M所经过的弧长为对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣2)、M2(﹣2,﹣2)、M3(﹣2,2)、M4(2,2).【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法,注意分类讨论思想的运用,不要漏解.19、(1)(2)6.03米【解析】

分析:延长ED,AM交于点P,由∠CDE=162°及三角形外角的性质可得出结果;(2)利用解直角三角形求出PC,再利用PC+AC-EF即可得解.详解:(1)如图,延长ED,AM交于点P,∵DE∥AB,∴,即∠MPD=90°∵∠CDE=162°∴(2)如图,在Rt△PCD中,CD=3米,∴PC=米∵AC=5.5米,EF=0.4米,∴米答:摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,解决此类问题要了解角之间的关系,找到已知和未知相关联的的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高线或垂线构造直角三角形.20、详见解析.【解析】试题分析:由三角形的中位线得出OE∥AB,进一步利用平行线的性质和等腰三角形性质,找出△OCE和△ODE相等的线段和角,证得全等得出答案即可.试题解析:证明:∵点E为AC的中点,OC=OB,∴OE∥AB,∴∠EOC=∠B,∠EOD=∠ODB.又∵∠ODB=∠B,∴∠EOC=∠EOD.在△OCE和△ODE中,∵OC=OD,∠EOC=∠EOD,OE=OE,∴△OCE≌△ODE(SAS),∴∠EDO=∠ECO=90°,∴DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线.点睛:此题考查切线的判定.证明的关键是得到△OCE≌△ODE.21、(1)50;(2)240;(3).【解析】

用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值;先计算出样本中喜爱看电视的人数,然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比,即可估计该校喜爱看电视的学生人数;画树状图展示12种等可能的结果数,再找出恰好抽到2名男生的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】解:(1);(2)样本中喜爱看电视的人数为(人,,所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人;(3)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中恰好抽到2名男生的结果数为6,所以恰好抽到2名男生的概率.【点睛】本题考查了列表法与树状图法;利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率,也考查了统计图.22、(1)二次函数的表达式为:y=x2﹣4x+3;(2)点P的坐标为:(0,3+3)或(0,3﹣3)或(0,-3)或(0,0);(3)当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方

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