2022北京东城区高二下学期期末数学试题和答案

2022北京东城高二（下）期末数学一、选择题：共小题，每小题3分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A=，2，，B={x|x，则A)A．B．的展开式中常数项为(B．C．，C．D．(2,3)12．(x2+)6)xA30D103．已知函数f(x)=ln(3x)，则f（3）=()131A3B．1C．D．94．若函数f(x)=log2(x+a)的图象过点(，则a=(A3B．1C．−1)D．−35．某校为全体高中学生开设了门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文6593社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于的是()C815A．P(XB．P(X=C．P(XD．P(X=b；④a|ab|b|．其中正确的结论的序号6．设ab0，给出下列四个结论：①a+bab；②2ab；③a22为()A．①②B．①④C．②③④D．①②③7．已知函数f(x)=x3−sinx，若对于任意x，xR，满足x+x=0，且xx，则一定有()121212A．f(x)+f(x)=0B．f(x)−f(x)=01212C．f(x)f(x)D．f(x)f(x)12128．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数．若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为()A6B．8C．D1549．“x0”是“x+−4”的()xA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．字节”(Byte,B)常用于表示存储容量或文件的大小．随着网络存储信息量的增大，我们还用千(K,kilo)、兆(M,mega)、吉G,giga)、太T,tera)、拍(P,peta)等单位表示存储容量．各单位数量级之间的换算关系如下：KB=1024B；MB=1024KB；GB=1024MB；TB=1024GB；PB=1024TB=xB．已知x是一个m位整数，则m=()（参考数据：lg2A8B．9C．D16二、填空题：共6小题，每小题4分，共分.11．（4分）函数的定义域为．124分）已知事件A，B相互独立，P（A）=0.7，P（）=0.4，则P(B|)=．134分）设函数f(x)=x，g(x)=x，h(x)=x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为1，m，m，则m，m，m之间的大小关系为（用“”“”“=”x=1处的瞬时变化率最23123大的是．144分）将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个13数之比为6:4，其中的红球印有商标，的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概34率为．154分）已知函数f(x)的定义域为D，给出下列三个条件：①xD，有f(x)+f(−x)=0；②xD，有f(x)；③x，xD且xx，有f(x)f(x)．121212试写出一个同时满足条件①②③的函数f(x)，则f(x)=．164分）合理使用密码是提升网络空间安全的重要手段．密码安全性强弱与其长度、使用字符种类数及排列规律等相关，其中字符可以是数字、字母及一些特殊符号等．某密码的安全性评分主要分为以下四个方面：长度小于等于4个字符得5分5至7个字符得分大于等于8个字符得分字母特殊符号数字不含字母得0分含字母，全用小写或全用大写含字母，既含小写又含大写得分含1个符号得分含大于1个符号不含符号得0分得分得分不含数字得0分含1至2个数字得分含大于等于3个数字得分设密码安全性评分为x，若x为安全性较强；60为安全性中等；x60为安全性较弱．现有一个长度大于8个字符的密码，其安全性评分为分，给出如下判断：①该密码既含有小写字母又含有大写字母；②该密码至少含有3个数字；③该密码含多于1个特殊符号；④该密码一定同时含有字母，特殊符号和数字．其中所有正确判断的序号是三、解答题：共5小题，共分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.179分）已知函数f(x)=e−3x+1．．x（1）求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（2f(x)的最小值．2,x0x189分）已知函数f(x)=．−x−2x+x02（1f(f(的值；（2）求不等式f(x)1的解集；（3x0时，是否存在使得f(x)−f(−x)=0成立的x值？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理00000由．199分）毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四344523肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功，（1）求小萌同学制作一件作品成功的概率；（2）若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为X．求X的分布列及期望．lnx209分）已知函数f(x)=（1f(x)的极大值；．x（2f(x)图象上的点都在直线y=−1的下方，求k的取值范围．21分）设A是非空实数集，且0A．若对于任意的x，yA，都有A，则称集合A具有性质1；若对x于任意的x，yA，都有A，则称集合A具有性质2．y（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质1的集合A；（2）若非空实数集A具有性质P，求证：集合A具有性质P；21（3）设全集U={x|x0，x}，是否存在具有性质1的非空实数集A，使得集合出这样的一个集合A；若不存在，说明理由．具有性质2？若存在，写参考答案一、选择题：共小题，每小题3分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1【解答】解：由于集合A=，，，B={x|x，故AB=，故选：B．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2x的指数为，由此即可求解．1【解答】解：展开式的通项公式为r1C6=r(x2)6−r()r=C6rx12−3r，r=0，，，6，x令12−3r=0，解得r4，=1所以(x2+)6的展开式中常数项为64=15，x故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．3x的值求导数值，即可得答案．【解答】解：由题意，f(x)=ln(3x)，11则f(x)=3=，3xx1=故f3故选：C．【点评】本题考查复合函数的导数计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4【解答】解：由已知得f(2)=log2(2+a)=0，所以−2+a=1，解得a=3，故选：A．【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．5【解答】解：某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程，则有C种选8法，因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门，则有C6然后从其他9门课程中选3C9选法，5种选法，36593所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为故选：D．，C815【点评】本题考查超几何分布的概率公式，属于基础题．6【解答】解：不妨取a=−3，b=−2，满足ab0，但2a=b，故②错误；由ab0，可得|a|b|，ab0，a+b0，ab0，a+bab，故①正确；22，故③错误；由ab0，可知−a−b0，而|a|b0，故−a|a−b|b0，即a|ab|b|，故④正确，故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．7A，利用特值可判断BCD．【解答】解：f(−x)=−x又x+x=0，xx，x3−sinx，3+sinx=−f(x)，函数为奇函数，1212f(x)=−f(x)，即f(x)+f(x)=0，故A正确；2112当1=−,2=时，66136f(x)=(−)3−sin(−)=−()，166212f(x)=()3−sin=()3−，2666此时f(x)−f(x)0，f(x)f(x)，1212当1=,2=−时，f(x)f(x)，1266故BCD不合题意．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查特殊值法的应用，是基础题．8【解答】解：拨动两枚算珠可分为以下三类：（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数．（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数．（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示224个不同整数．所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2+2+4=8个不同整数．故选：B．=【点评】本题以算盘为载体，考查简单的归纳推理、算盘的算法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．449x0时，一定有x+−4成立，再利用反证的思想说明当x+−4时，一定有x0成立，xx即可判断出答案．4(−x)4(−x)【解答】解：当x0时，−x0，故(−x)+，4当且仅当x=−2时取等号，故x+−4，x444当x+−4时，一定有x0成立，否则x0，则x+成立，与x+−4矛盾，xxx4故“x0”是“x+故选：C．−4”的充要条件，x【点评】本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题．10=250B，利用对数转化为进制，即可得出结论．【解答】解：因为PB=10TB=220GB=230MB=240KB=250B，且lg25050lg215，=所以25015，又因为x是一个m位整数，所以m=16．故选：D．【点评】本题考查了进位制的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．二、填空题：共6小题，每小题4分，共分.11．【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案．【解答】解：由即函数可知：，故x≥1，的定义域为，），故答案为：+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．12A，B同时发生的概率，再根据条件概率的计算公式进行计算即可．【解答】解：由题意可得，事件A，B相互独立，则P(AB)=PA）P（）=0.70.4=0.28，P(AB)0.28故P(B|)===0.4，P()0.7故答案为：0.4．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．13）根据平均变化率的定义求解即可．（2）求导判断在x=1处的导函数的值的大小即可．f−f(0)g−g(0)h−h(0)【解答】解：1==1，2==1，3==1，故m=m=m．1231−01−01−01=，h(x)=3x2，1，g(x)2x12===，h(x)3，故f（）1，g故三个函数中在x=1处的瞬时变化率最大的是h(x)，故答案为：m=m=m；h(x)．123【点评】本题主要考查了平均变化率的计算，导数的计算公式，属于基础题．14概率公式计算印有商标的概率．【解答】解：设抽取一个小球为红球为事件A，红球印有商标为事件B，11抽取一个小球为黄球为事件A，黄球印有商标为事件B，2232134小球印有商标为事件A，则P(1)=，P(2)=，P(B|A)=，P(B|A)=，112255331253412则P()=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=+=．1112225312故答案为：．【点评】本题考查全概率公式理解与应用，属于中档题．15【解答】解：根据①可知，函数f(x)在定义域内是奇函数．根据②可知f(x)恒成立．根据③可知f(x)在整个区间上不是单调递减．1故可找到一个满足条件的函数：f(x)=x1故答案为：x【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．16分写出密码的可能组成方式，逐项判断可得结果．【解答】解：根据题意，因为该密码为一个长度大于8个字符，且该密码的得分为有2种情况：（1）该密码含字母，全用小写或全用大写，且含大于1个符号，含大于等于3个数字，（2）该密码含字母，既含小写又含大写，且含1个符号，含大于等于3个数字，则①错，②对，③错，④对．故答案为：②④．【点评】本题考查合情推理的应用，注意密码密码安全性评分的规则，属于基础题．三、解答题：共5小题，共分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17）利用导数的几何意义求解即可；=（2）对函数求导后，令f(x)0，求出函数的极值点，再求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值．）由f(x)=ex−3x1，得+f(x)=e−3x，f(0)=e0−3=2，又f(0)=e+1=2，0切线方程为y−2=2x，即2x+y−2=0；（2）函数的定义域为R，由（1）可知f(x)=ex−3，令f(x)0，得ex=−3=0，x=ln3，当xln3时，f(x)0，当xln3时，f(x)0，f(x)在(−,ln上单调递减，在(ln+)上单调递增，当x=ln3时，f(x)取得最小值，为fln=eln3−ln3+1=3−ln3+1=4−3．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．18）根据分段函数的解析式，先求f(−得值，进而求得f(f(的值；（2）根据x的取值范围，分段解不等式，可得答案；（3）根据函数解析式，可直接写出满足条件的值．2,x0x）因为函数f(x)=，所以f(=1+2+1=2，−x−2x+x02所以f(f(=f（2）=22=4；（2x时，令2x1，解不等式得x0；当x0时，令x−2−2x+11，解不等式得−2x0；所以不等式f(x)1的解集为{x|x0或2x；（3x=−1时，满足x0时，使得f(x)−f(−x)=0成立，0000即当x0时，存在使得f(x)−f(−x)=0成立的x值．0000【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．2192）先确定X~B)，写出X的可能值，再5求出对应的概率即可作答．）根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：34452325P==．2（2）根据题意知，X的可能值为：0，，，3，显然X~B)，5232723542336则P(X=0)=30()0()3=，P(X==31()1()2=，P(X=2)=32()2()1=，551255512555125238P(X==33()3()0=，55125所以X的分布列为：X0123P2754368125125125125256所以X的数学期望：E(X)=3=．5【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．20）求出函数的导数，判断其正负，判断函数的单调性，确定极值点，从而求得极值；lnxxlnx（2）结合（1）作出函数f(x)=的大致图象，利用导数的几何意义求出直线y=−1和f(x)=图象相切时x的斜率值，再根据f(x)图象上的点都在直线y=−1的下方，即可确定k的取值范围．1−lnx=）由题意得，f(x),(x，x2当0xe时，f(x)0，f(x)递增，当xe时，f(x)0，f(x)递减，1故xe是函数的极大值点，函数的极大值为f(e)==；elnx（2f(x)=可知，当x趋近于0时，f(x)0，xlnx当x1时，f(x)0，结合（1f(x)=的大致图象如图：xlnx直线y=−1过定点(0,，先求直线y=−1和f(x)=图象相切时的斜率值；x0+10y0+101−000f(x)=，=，而0=设切点为(x，y)，则k=，000020+x01−0故=，则lnx+x=1，000202由于函数y=lnx+x−1，(x0)是单调增函数，且x=1时，y=0，1故由lnx+x=1可得x=1，则y==0，此时kf=（）=1，00001l