2025版高考数学一轮总复习考点突破第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语考点2充分条件与必要条件的判断

充分条件与必要条件的判断方法1：定义法判断1.已知x，y为正实数，则“x＋y>4”是“lnx＋lny>2ln2”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定义判断即可．当x＋y>4时，取x＝1，y＝4，则lnx＋lny＝ln1＋ln4＝2ln2，所以“x＋y>4”不是“lnx＋lny>2ln2”的充分条件；当lnx＋lny>2ln2时，得ln(xy)>ln4，即xy>4，则x＋y≥2eq\r(xy)>4，所以“x＋y>4”是“lnx＋lny>2ln2”的必要条件，所以“x＋y>4”是“lnx＋lny>2ln2”的必要不充分条件．故选B.2．(2023·新课标Ⅰ，7,5分)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则(C)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]若{an}为等差数列，设公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)，∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d，当n≥2时，eq\f(Sn－1,n－1)＝a1＋eq\f(n－2,2)d，∴eq\f(Sn,n)－eq\f(Sn－1,n－1)＝a1＋eq\f(n－1,2)d－a1－eq\f(n－2,2)d＝eq\f(1,2)d，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以S1为首项，eq\f(d,2)为公差的等差数列．若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，设公差为d′，则eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)d′＝a1＋(n－1)d′，∴Sn＝na1＋n(n－1)d′，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)a1＋(n－1)(n－2)d′，两式作差得，an＝a1＋2(n－1)d′，又n＝1时也满足上式，∴an＝a1＋2(n－1)d′，n∈N*，当n≥2时，an－1＝a1＋2(n－2)d′，∴an－an－1＝a1＋2(n－1)d′－a1－2(n－2)d′＝2d′，∴{an}是以a1为首项，2d′为公差的等差数列，综上，甲是乙的充要条件，故选C.方法2：集合法判断已知p：<1，q：log2x<0，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q对应的x的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件．方法3等价转化法判断1.给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p，但綈pq，其等价命题为p⇒綈q，但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．[解析]解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)：x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosyx＝y，故“x＝y”是“cosx＝cosy”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法1．根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是什么；(2)尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2．利用集合判断记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系ABBAA＝BA⃘B且B⃘A结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断綈q是綈p的什么条件．【变式训练】1．设a，b∈R，则“a3>b3”是“a2>b2”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案．当a＝－1，b＝－2时，a3>b3不能推出a2>b2，当a＝－1，b＝0时，a2>b2不能推出a3>b3，所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2024·全国高三专题练习)下列选项中的两个条件是互为充要条件的是(B)A．P：a＝1；Q：函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数B．在△ABC中，P：△ABC是等边三角形；Q：sinA＝sinB＝sinCC．P：数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1；Q：数列{an}是公差为2的等差数列D．P：实数x≥1；Q：x＋eq\f(1,x)≥2[解析]选项A，当a＝1时，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，f(－x)＝f(x)⇒x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3⇒1－a2＝0，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要条件；选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sinA＝sinB＝sinC，当sinA＝sinB＝sinC时，因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以有A＝B＝C，△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件；选项C，数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5，a1＝S1＝0，a2＝3，a3＝7，可得数列不是等差数列，当数列{an}是公差为2的等差数列时，因为不知道首项，所以数列{an}的前n项和Sn不确定，所以P是Q的既不充分也不必要条件；选项D，因为x≥1，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x)