【初中数学】第4章+相似三角形中常作的辅助线++课件+北师大版九年级数学上册

第四章图形的相似专题7相似三角形中常作的辅助线数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述在几何图形的研究中，常常需要添加辅助线来帮助解决问

题.在相似三角形的有关问题中，常用的辅助线有：（1）过一

点作平行线来构造“A”型或“X”型；（2）过一点作垂线来

构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否能

够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、

等线段，从而为证明三角形相似或进行相关的计算与证明创造

条件.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

作平行线构造“A”型或“X”型

三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.

如图，点

G

是△

ABC

的重心，求证：

AD

＝3

GD

.

【思路导航】过点

D

作

DH

∥

AB

，交

CE

于点

H

，即可证明△

AEG

∽△

DHG

，进而求得

AG

＝2

GD

，即可得出结论.证明：如图，过点

D

作

DH

∥

AB

，交

CE

于点

H

.

∵

AD

是△

ABC

的中线，∴点

D

是

BC

的中点.∴

DH

是△

BCE

的中位线.∴

BE

＝2

DH

.

∵

CE

是△

ABC

的中线，∴

AE

＝

BE

.

∴

AE

＝2

DH

.

∵

DH

∥

AB

，∴△

AEG

∽△

DHG

.

∴

AG

＝2

GD

.

∴

AD

＝3

GD

.

【点拨】解答本题的关键是通过作平行线构造相似三角形.一般

是过已知比例线段（或求证比例线段）的端点或分点构造

“A”型或“X”型相似.

证明：如答图，过点

D

作

DG

∥

BC

，交

AB

于点

G

，则△

ADG

∽△

ACB

，△

EBF

∽△

DGF

.

∵

BE

＝

AD

，

答图类型二

作垂线构造“垂直”型

如图，从▱

ABCD

的顶点

C

分别向

AB

和

AD

的延长线引垂线

CE

和

CF

，垂足分别为

E

，

F

.

求证：

AB

·

AE

＋

AD

·

AF

＝

AC2.【思路导航】过点

B

作

BM

⊥

AC

于点

M

，过点

D

作

DN

⊥

AC

于

点

N

，通过构造相似三角形，利用其性质，即可证明.

∴

AD

·

AF

＝

AC

·

AN

.

②

∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AD

＝

BC

，

AD

∥

BC

.

∴∠

DAN

＝∠

BCM

.

∴△

ADN

≌△

CBM

（AAS）.∴

AN

＝

CM

.

【点拨】熟练掌握辅助线的作法并能根据题意构造出相似三角

形，利用全等三角形的性质进行线段的转化是解此题的关键.题

中若有直角，则可考虑作垂线.

解：如答图，过点

B

作

BH

⊥

CE

于点

H

.

∵∠

BEC

＝60°，∴∠

EBH

＝30°.

∵

BE

＝2

CD

，∴

EH

＝

CD

.

∵∠

BHF

＝∠

BDC

＝90°，∠

BFH

＝∠

CFD

，∴△

BHF

∽△

CDF

.

答图类型三

作延长线构造相似三角形

如图，在梯形

ABCD

中，已知

AD

∥

BC

，∠

BCD

的平分线

CH

⊥

AB

于点

H

，

BH

＝3

AH

，且四边形

AHCD

的面积为21，求

△

HBC

的面积.【思路导航】因为问题涉及四边形

AHCD

，所以可延长

BA

，

CD

相交于点

P

，构造相似三角形（△PA

D

∽△

PBC

），把问题

转化为相似三角形的面积比进行解决.解：如图，延长

BA

，

CD

交于点

P

.

∵

CH

⊥

AB

，

CH

平分∠

BCD

，∴

CB

＝

CP

，且

BH

＝

PH

.

∵

BH

＝3

AH

，∴PA∶

AB

＝1∶2.∴PA∶

PB

＝1∶3.∵

AD

∥

BC

，∴△PA

D

∽△

PBC

.

∴

S△PA

D

∶

S△

PBC

＝1∶9.

∴

S△PA

D

∶

S△

PCH

＝2∶9.∴

S△PA

D

∶

S四边形

AHCD

＝2∶7.∵

S四边形

AHCD

＝21，∴

S△PA

D

＝6.∴

S△

PBC

＝54.

【点拨】对于一些梯形问题，若题目中的条件难以统一起来使

用，可考虑延长对边，构造三角形，运用相似三角形的知识来

解决.

如图，在Rt△

ABC

中，已知

CD

为斜边

AB

上的高，点

E

为

CD

的

中点，

AE

的延长线交

BC

于点

F

，

FG

⊥

AB

于点

G

.

求证：

FG2

＝

CF

·

BF

.

证明：如答图，延长

GF

，与

AC

的延长线交于点

H

.

∵

CD

⊥

AB

，

FG

⊥

AB

，∴

CD

∥

FG

.

∴△

ACE

∽△

AHF

，△

ADE

∽△

AGF

.

又∵点

E

为

CD

的中点，∴

ED

＝

EC

.

∴

FG

＝

FH

.

由题意知，∠

FCH

＝∠

FGB

＝90°，∠

CFH

＝∠

GFB

，

答图∴

FG

·

FH

＝

CF

·

BF

.

∵

FG

＝

FH

，∴

FG2＝

CF

·

BF

.

答图答图类型四

坐标系中构造平行线（或垂线）化斜为直

【思路导航】由

S△

CAD

∶

S△

CBD

＝2∶3可得

AD

∶

BD

＝2∶3，再

分别过点

A

，

D

作

y

轴的平行线，将线段关系转化为坐标关系，

问题可解.【解析】如图，分别过点

A

，

D

作

y

轴的平行线，过点

B

作这两

条平行线的垂线，垂足分别为

E

，

F

.

∵

S△

CAD

∶

S△

CBD

＝2∶3，∴

AD

∶

BD

＝2∶3.∴

BD

∶

AB

＝3∶5.∵

AE

∥

DF

，∴△

DFB

∽△

AEB

.

∴

BE

＝8－2＝6，

AE

＝4－1＝3.

【点拨】在解决与平面直角坐标系有关的问题（或函数问题）

中，常常将面积关系或其他已知关系转化为线段关系，然后将

线段关系转化为坐标关系，达到化斜为直的目的.

【解析】如答图，分别过点

A

，

P

作

y

轴的平行线，过点

B

作这

两条平行线的垂线，垂足分别为

E

，

F

.

∵点

P

，

Q

关于原点对称，∴

O

为

PQ

的中点.∴

S△

AOQ

＝

S△

AOP

，

S△

BOQ

＝

S△

BOP

.

∵

S△

AOQ

∶

S△

BOQ

＝5∶4，∴

S△

AOP

∶

S△

BOP

＝5∶4.∴