2024届苏州高三年级上册学业质量阳光指标调研卷数学试题含答案

苏州市2023〜2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高三数学模拟试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合.斗吐臼｝,八｛巾=2"｝,则（）

A.AuB=BB.A<JB=AC.AC\B=BD.AU&B”;?

2.已知复数z满足zi=l+3i（其中i是虚数单位），贝”的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.3知方=（-1,3）石=（尤,2）,若则工=（）

A.4B.--C.|D.-4

33

4.已知A，8是一个随机试验中的两个事件，且P（A）=g,P（B）=；,P（A|B）=；,则P（B|A）=（）

A.-B.|C.-D.-

6336

5.已知公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和为S“,m,r/eN*,记P：鼠，邑,S,为等差数列；q：对任意

自然数人,仆“，。…，%,为等差数列，则。是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.在平面直角坐标系xQv中，设d。都是锐角,若a,0,a+/3的始边都与x轴的非负半轴重合，终边分

别与圆交于点（%,%）,伍,%），（七，%），且满足尤3，则当，最大时，tan2夕的值为（）

A.V2B.强C.正D.色

728

7.已知抛物线C：V=4x的焦点为F,直线x=，〃y+l与C交于A,B两点，与其准线交于点。，若

AF=FD，贝”8尸1=（）

A.-B.1C.-D.4

33

xf

8.已知函数,e-----,过点（W）作/⑴的切线/,若〃二=ml"Wl）,则直线/的条数为（）

2+

A.0B.1C.2D.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

试卷第1页，共4页

9.已知一组样本数据%,9,…，无”为不全相等的"个正数，其中“24,若由％=34-2住=1,2,…⑼生成

一组新的数据则这组新数据与原数据中可能相等的量有（）

A.极差B.平均数C.中位数D.标准差

10.已知圆O:f+y2=4,过点尸（1,拒）作两条互相垂直的弦贝U（）

A.弦A8长的最小值为1B.四边形ACBO的面积的最大值为5

C.弦AC长的最大值为君+百D.|AB|+|CD|的最大值为2而

11.关于函数/（X）=2COS2（0X+9）+1（0>O,O<"<7T）有下列4个结论：

①函数"X）的最小正周期为兀；②函数“X）的图象经过点

③函数“X）的图象关于点2）对称；④函数“X）的图象关于直线x=-聿对称

若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

12.下列物体，能够被半径为2m的球体完全容纳的有（）

A.所有棱长均为3m的四面体B.底面棱长为1m,高为3.6m的正六棱锥

C.底面直径为1.6m,高为3.8cm的圆柱D.上、下底面的边长分别为Im,2m,高为3m的正四棱

台

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（Y+1）（工-1），的展开式的常数项为.

X

14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点

4（%,%）,8（尤2，%）的“曼哈顿距离”为〃（4,8）=|再-司+|%-%|，已知动点N在圆。+/=9上,定点

M（3,4）,则M,N两点的“曼哈顿距离”的最大值为.

15.定义在R上的可导函数满足：①/⑵=0；②值域为[-1』；③对任意xeR,有

〃x）+〃x+2）=0及广（同=广（4-x）,请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式：

f（x）=-

16.已知双曲线C的离心率为e,左、右焦点分别为耳，入，点M在C的左支上运动且不与顶点重合，

记/为口叫区的内心，％=%等，若ee[2,4],则彳的取值范围为____.

tan2//2尸1

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

试卷第2页,共4页

17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且>=。-2法0$4.

⑴求证：A=2B；⑵若DABC的面积为15万，且2a=3b,求b.

18.已知数列｛外,｝满足弓=g,%=,，且数列｛3"为｝是等差数列.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

⑵求数列｛凡｝的前几项和S..

19.如图所示，四边形ABCO为圆柱ST的轴截面，点尸为圆弧BC上一点(点尸异于8,C).

(1)证明：平面E4B_L平面B4C；

(2)若AB=BP=2PC=6,~AM=2ACC0<A<1)f且二面角P——C的

余弦值为巫，求九的值.

5

20.某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的“九23)位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每

位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，

这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第

2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第n-l位员工再从第n-l个暗

盒里面取出1个球并放入第〃个暗盒里.第〃位员工从第〃个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的

球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第i(l4区〃)位员工获得奖金为X,

元.

⑴求X?=1000的概率；

(2)求X,的数学期望E(XJ,并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.

21.已知函数/(x)=(x-l)e*+以？，“eR.

⑴讨论Ax)的单调性；

⑵当时，若"X)的极小值点为升,证明：/(X)存在唯一的零点七，且占-%2ln2.

22.设函数〃x)=Mx-l)e'+x,其中e为自然对数的底数，keR

⑴若“X)为R上的单调增函数，求实数上的取值范围；

⑵讨论的零点的个数.

试卷第3页，共4页

23.设双曲线C:1-，=l(a>0,b>0)的离心率为6,且顶点到渐近线的距离为孚.已知直线/过点

(0,-1),直线/与双曲线C的左，右两支的交点分别为M,N,直线/与双曲线C的渐近线的交点为P,Q,

其中点。在y轴的右侧.设口OMPIOPQ口。QN的面积分别是工,$2,$3.

(1)求双曲线C的方程；

⑵求m不的取值范围.

24.在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(0,1)和(0,-1),设口的面积为S,内切圆半

q

径为乙当2=3时，记顶点M的轨迹为曲线C.

r

(1)求C的方程；

(2)已知点E,F,P,。在C上，且直线E尸与PQ相交于点A,记EF,PQ的斜率分别为左，k2.

⑴设防的中点为G,尸。的中点为H,证明：存在唯一常数2,使得当发他=2时，OG1OH；

k4

(ii)若十二§,当11Ml-IPQII最大时，求四边形£竹。的面积.

试卷第4页,共4页

苏州市2023〜2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷

高三数学模拟试卷参考答案

1【答案】A

【分析】根据对数函数的性质求出集合A,由指数函数的性质求出集合8,即可得到即可得解.

【详解】由logzXVl,则log?xWlog22,所以0<xW2,

所以A={x|log2X<l}={x[0<x<2},又3=卜卜=2£,%42}={引0<”4},

所以则=AnB=A.故选：A.

2.A

【分析】根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果.

【详解】因为zi=l+3i,所以z=叶包=3-i,得到复数z的虚部为T,

1

故选：A.

3.D

【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律，利用模的坐标表示以及数量积的坐标表示，即可求得答案.

【详解】由题意得以=o,；*2-商z=o,

即10-(-x+6)=0,

x=-4f

故选：D.

4.D

【分析】由条件概率计算公式直接计算即可.

6

故选：D.

5.C

【分析】根据条件得出命题夕应均等价于%再根据充分条件和必要条件的判断方法，即可得出

结果.

答案第1页，共24页

【详解】因为命题。:黑成等差数列，所以2S,=鼠+S,,又数列｛〃“｝为等比数列，且公比不为1,

所以2x"1(1一力=%(]—/"')+"1(1-力

整理得到2q，=d"+q',

l-q\-q\-q

又命题q:am+k,ar+k,a,+k成等差数列，所以2ar+k=am+k+at+k,即2%尸=%产+而叱整理得到

2。qJ~q+.qt,

所以p是4的充要条件,

故选：C.

6.B

【分析】根据三角函数的定义，由%=%W，有sinQ=sinecos（e+〃），利用两角差的正弦公式化简得

tan（a+^）=2tana,由两角差的正切公式结合基本不等式求tan用的最大值，再由倍角公式求tan2夕的值.

【详解】由必=yxx3,有sin£=sinacos(a+夕)，即sin[(a+/?)-a]=sinacos(a+〃),

则有sin(a+p)cosa=2sinacos(a+p),得tan(a+0=2tana,

‘a加阿（……b―V』邛，当且仅当协考时等号成立,

尸是锐角，所以当用最大时，tan〃=孝,

V2

2tan夕V4V2

贝！Jtan2尸=

1-tan2^

故选：B.

7.C

[分析】联立直线与抛物线的方程可得%+%=4/+2,由/=而可求得A（3,2],将A[3,21代入抛物

线的方程可得苏=g,结合题意即可求出比2=g，再由抛物线的定义即可得出答案.

【详解】C:f=4x的焦点为“1,0）,准线方程为：尤=-1,

由题，显然〃-0,令直线了="，+1中x=-l,则y=-2,所以。1一1,-21,

mvmJ

/、/、fx=my+1

设B（x,y）,联立2，消x,

22[y=4%

答案第2页，共24页

得y2-4加＞一4=0,方程＞2—4冲一4=0的判另1」式八=16m2+16＞0,

y+%=4m,^y2=-4,

所以石+/=加(/+%)+2=4m2+2,

由衣=而可得：%=2,石=3,所以A(3,2],

m\mJ

因为A(3,Z]在CB=4X上，所以3=12,解得：病=：,

VmJm3

以西+%2=3+%—4根2+2―以％2=§，

4

由抛物线的定义可得：\BF\=X2+1=~,

2

【分析】先得到〃x)=e=］在(0,1)处的切线方程为y=x+i,点(八〃)一定不在“X)上，y=x+i一定为

(C

过(九力的一条切线，再设切点坐标为卜°,e"-寸J,得到切线方程，将(乙加+1)代入，化简得到

炉

(%-1户一1+1,厮彳0,构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除y=x+l外，过点(皿”)作

III一

e闻_XQ_1

/(九)的切线还有一条，得到答案.

【详解】f\x)=ex-x,令q(x)=e-x,则外力=4-1,

当x＞0时,0(%)＞0,夕(%)单调递增,当兀＜0时，当力＜0,q(x)单调递减,

q(x)2q(O)=l,故〃x)=e-1在R上单调递增，

2

又/(0)=1，/⑼=1，故〃x)=e-q■在(0,1)处的切线方程为y=x+l,

点(丸〃)在y=x+l上,

答案第3页，共24页

故〃耳=/-1上只有点（。,1）满足"=机+1,

又因为所以机*0,故点O，”）一定不在“X）上，

且y=x+l一定为过（肛〃）的一条切线，

设切点为，C。干，厮他则切线/的斜率为ef,

故切线方程为y-卜。-段|=卜'。7o）（x-xo）,

因为（肛7"+1）在切线上，故根+1-卜&-或=（e"°-七）（加-%），

2

整理得（e阳一%—1）机=（七一1）e阳一段+1,

由q（x）2q（O）=l可知，e须一%—1>0恒成立,

故"一&-1烂’一'+1,无（产0,

e'。—XQ-1

令ZX(x-l)e'-1+l

,x。0,

…e'*l

(xe*-x)(e"-％-1)-(x-l)ex-

则w'(x)=

—(e^-x-1)2

令g(x)=e"-(x-l,则g'(x)=e-x-l>。在(田,0)U(0,+8)上恒成立,

故8(k=/-97-1在(-巩0),(。,+4上单调递增,

又g(O)=O,当%>0时，g(x)〉0,当xvO时，g(x)<0,

又x>0时，e”-l〉0,xvO时，-1<0»

X/

故M（x）>0恒成立，”,屋）.（xT）e，一万+1在（一、0）,（0,+⑹上单调递增,

叫可——e-x-\一

答案第4页，共24页

故"?=（"。一1A-首+1,%WO只有1个根，

1

e**-x0-1

即除y=x+l外，过点（见力作”x）的切线还有一条，共2条.

故选：C

【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点求斜率h即求该点处的导数%=/'（x。）；

⑵己知斜率k求切点A（%J（xj）,即解方程f'（x）=k；

（3）已知切线过某点（不是切点）求切点，设出切点利用

心/㈤-〃无。）=解.

占一天

9.BC

【分析】利用极差的定义可判断A；利用特殊值可判断BC；利用标准差的定义可判断D.

【详解】对于A,因为样本数据%,9，…,土为不全相等的"个正数，所以极差大于0，

所以由％=34-2（左=1,2,…生成一组新的/的极差是不极差的3倍，故A错误；

对于B,设了为再,马，…，%的平均数，9为%,%，…，%的平均数，可得y=3元-2,

当牙=1时，可得了=1,故B正确；

对于C,当力为正奇数时，设样本数据占,超，…，%的中位数为4，

则数据％，冷％的中位数3=34-2,当4=1时，%=34-2=1,故C正确；

对于D,名为工,马,…,Z的标准差，因为样本数据占,可,为不全相等的几个正数，

所以A*。，设S2为X，为，…，%的标准差，可得歹=3元-2,

s=/（%—。）2+（%—歹＞+…+—=）9（&一7）2+9（々一7『+一.+9（」一丁）2=3；,故口错误.

故选：BC.

10.BCD

答案第5页，共24页

【分析】当A3,尸。时弦48长的最小，计算结果判断A选项；。到的距离为4，。到。的距离么,则

d；+d；=3,四边形ACBD的面积S=JJ-2也一片.2/,利用基本不等式求最大值判断B

选项；|AC「=|PA「+|PC「=4/（4-42）+844"?5/^二十+442（4-4）利用配方法和基本不等式求最

大值判断C选项；|AB\+\CD\=2+274^,利用基本不等式求最大值判断D选项.

【详解】\PO\=y/3,当AB,尸。时，弦AB长的最小，最小值为|4向=2耳与=2,A选项错误；

。至UAB的距离为4,。至I]8的距离4,贝ljd；+成=3,

S=^\AB\-\CD\=^-2d；-=2/6一4（力+叫+力因=2"+（1；或

<2^4+=5,当且仅当4=4=暂时等号成立，

四边形AC8O的面积的最大值为5,B选项正确；

AB+CD=2个4-4+,

（|AB|+|CD|）2=32一4（“：+4）+8/6_4（d；+d；）+d；d；=20+85+“：因<20+8x|=40,

当且仅当4=4=暂时等号成立，则|AB|+|cq的最大值为2瓦，D选项正确；

-

|AC|=|PA|+\PC\=d2+—^~+4+三J

=d；+d?A3+4—d；+d；+d、CD+4—d；=8+&|+41cq,

222

（J2AB+4CD）=dl|AB|+ldxd2\AB\•|C£）|+d.|CD|

=4遥（4-d；）+84d21"d；也_/+4d：（4-d；）

=4（3-d；）（4—d；）+8d[d]Jl6-4（d；+d；）+d；d；+4d：（1+d；）

答案第6页，共24页

=8（6-3片+d：）+84d2+

-81力-3+：+4（"：+/）j+"O'

当且仅当4=4=监时等号成立，

则AC?48+2厉=（6+后，AC4石+百，C选项正确.

故选：BCD.

11.AB

【分析】利用二倍角降累公式结合余弦函数的图象与性质一一分析即可.

【详解】/(x)=2cos2(^yx+^)+l=2x—|^l+cos(2^yx+2^)]+l=cos(20x+20)+2

2兀

①正确,贝[|——=71,a)=l,f(x)=cos(2x+2。)+2；

2co

则因为兀，则夕（兀），则或"，则夕或学；

②正确,cos2e=1,0<9<2eO,220=:

23366

SirJTJTTTT

③正确，则2啰---+2。=—+E,/.一。+20=—+wZ；

12262

，兀、兀

0)正确,贝——I+2^?——~co~\~2^7—k^n,GZ

57r

若①②③正确,则啰=1,。=④不成立，满足条件，A要选;

6

TT

若①②④正确，则。=1,夕=/，③不成立，满足条件，B要选;

6

则鲁'私〃"不可能成立，不选.

若①③④正确,rTC

niI(5兀兀)2/1+1-3(2〃+1)2〃+1兀7

若②③④正确,贝---10)=-------71,几£Z,G)=------------,----------71H=匕兀

A63J27731

P，2n+l5兀7

或------兀+——二匕兀，D不可能,

73

故选：AB.

12.ABD

【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断A；可假设正六棱锥的

外接球半径为2m,底面棱长为1m,求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较可判断B；求

出底面直径为1.6m,高为3.8cm的圆柱外接球的半径可判断C；求出上、下底面的边长分别为lm,2m,外

接球的半径为2cm正四棱台的高可判断D.

【详解】对于A,设所有棱长均为3m的四面体ABC。的外接球的球心为。，顶点在底面的射影为E,

答案第7页，共24页

外接球的半径为mi,贝l」CE=gxtx3=6m,AE=AC1-CE2=A/9-3=V6m>

因为CG>2=CE2+O炉，所以产=3+("-)，解得一苧<2,故A正确；

对于B,底面棱长为1m的正六棱锥的底面外接圆的半径为1m,

并设此时的外接球的半径为2m设球心到底面的距离为,

则由球的性质可知22=1?+/,解得人=6或（舍去），

此时正六棱锥的高的最大值为2+力=2+君23.732>3.6,故B正确;

对于C,圆柱的底面半径为0.8m,高的一半为1.9m,设其外接球的半径为Rm,

所以R=40.82+L92="^>2,故C错误;

对于D,正四棱台中，上底面的对角线长为血m，上底面外接圆的半径长为停m,

下底面的对角线长为20m，下底面外接圆的半径长为亚m，

易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方,

答案第8页，共24页

设球心到上底面的距离为dm(d<3),球的半径为/m,

当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为(3-d)m,

d2+——=t2

则<I2,解得d=1.75<3,符合题意;

(3-<7)2+(V2)2=?

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：本题解题的思路是利用空间几何体的结构特征、外接球结合每个选项的条件，逐一对

各个选项分析判断.

13.-11

【分析】把4-1)5按照二项式定理展开，可得(Y+1)(工-1)5的展开式的常数项.

%X

【详解】由于(/+1)(!-1)5=(/+1)(二一之+与一当+*一1),

XXXXXX

故展开式的常数项为=

故答案为：-11.

答案第9页，共24页

14.7+3血

【分析】设点N（3cos6,3sin。），根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】由题意，设点N（3cos6,3sinO）,则两点的曼哈顿距离为

^=|3-3cos0|+|4-3sin6»|=3-3cos6i+4-3sin6>=7-3V2sin^+^<7+3V2,

3兀

当且仅当。=-3+2配，上eZ时等号成立，

4

所以M,N两点的曼哈顿距离最大值为7+3行.

故答案为：7+30.

TT

15.sin—x（答案不唯一）

【分析】根据/（%）的值域为［T1］,设〃%）=sin（s+。），再由“［+〃»2）=0得到八％）的周期为4,从

而〃x）=sin，x+\,再由/（2）=5皿（兀+0）=。求解.

【详解】解：因为〃x）的值域为［-1』，所以可设“x）=sin（s+9）,

又〃x)+〃x+2)=0,则〃x+2)=-〃x),

所以〃x+4)=-〃x+2)=〃x),则〃x)的周期为4,

所以0=1,贝1］/'(耳=$也［］犬+9),

又/(2)=sin(兀+夕)=0,则兀+夕=k7i,kGZ,取*=0,

JT

所以/(x)=sin,x

则f'(x)=^cos^x,

又((4-x)=$os,4-x)

即满足r(x)=f(4-x),

/(无)=sin^x.

故答案为：sin］尤

16.?3

【分析】过/作直线画，MF2,月外的垂线，垂足分别为A,8,。，根据角平分线性质及双曲线定义求

答案第10页，共24页

2

得|耳D|二c-〃，\FD\=a+c,即可求解4=1+一,利用函数单调性即可求解.

2e-\

【详解】设双曲线C的方程为C：W-1=Ka>0,b>0),过/作直线两，MF,

2耳耳的垂线,

ab

垂足分别为A,B,D,如图：

因为/为口加打外的内心，

由角平分线的性质可知1=1M31,\FiA\=\F1D\,\F2D\=\F2B\,

所以|叫|一|町|=|"2|+|玛8|-|肱4|-|44|=趋。1一14。1=2。，

因为|可瑞|=2c,所以|££>|=c-a,|F2D|=a+c,

\ID\

士生工比21=坨

77

tanN/鸟耳”0\FXD\c-ae-1e—l'

\F2D\

显然2关于e单调递减，由ee[2,4]易知实数彳的取值范围为1,3

答案第11页，共24页

故答案为：|,3

17.（1）证明见解析

⑵b=8

【分析】（1）方法一：利用余弦定理化角为边，再结合余弦定理及二倍角的余弦公式即可得解；

方法二：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；

（2）方法一：由（1）结合余弦定理及平方关系求出sinC,再根据三角形的面积公式即可得解.

方法二：利用正弦定理结合（1）中结论求出sinB,再根据A=2B求出sinA,根据三角形的面积公式即可

得解.

【详解】（1）证明:（方法一）由余弦定理，得cosA="^-

2bc

.b2+c2—a2_c-b

又,：b=c-2Z?cosA

**2bc一~^~'

••/=b+be，

a2+c2-b2c1+be_c+b_a

cosB=

2ac2ac2a2b

COS2B=2COS2B-1=2.[^]T=^~bc-b1_c-b

2b2~~W

cosA=cos2B,

又・.・4匹（0,兀），AA=2B；

/、、，、.Fr、-e，sinC-sinB

（万法二）由正弦定理，得cosA二.丁.丁

2sinB

sinC=2cosAsinB+sinB,

,:A,B,。为△ABC的内角，AA+B+C=n,

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

:.sinAcosB-cosAsinB=sinB,

即sin（A-B）=sinB,

XVA,Be（0,ir）,：.A=2B；

（2）（方法一）由（1）可知/=从+从，

*.*2a=3b,f—=b2+be,BPc=—Z?,

⑴4

答案第12页，共24页

22

+/—5b

9

cosC=£l±^z

2ab23b.b16

2

sinC=71-cos2C=^

VCe(0,7t),sinOO

16

,,S0e=-^sinC=--—=1577,

AB22216

Z?=8.

abab

（方法二）由正弦定理，得,即

sinAsinB2sinBcosBsinB

cosB=—,又.2a-3b,/.cosB——,

2b4

sinB=Jl-cos.B=,

4

]3Fl

cosA=cos2B=2cos2B-l=—,/.sinA=—,

88

5^/y

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

,,SQABC-afesinC=-—=1577,

22216

.*./?=8.

2n-l

18.⑴%=

3〃

⑵S〃二l—答

【分析】（1）由数列｛3%“｝是等差数列，结合等差数列性质计算即可得;

（2）利用错位相减法求和即可得.

【详解】（1）••・｛3"%｝是等差数列，记其公差为d,

27x--1

则有33%-3%

Cl-—2L=2;

22

3"4〃=1+2(〃-1)=2n—l,

2n-l

3”

1352n-32n-l

⑵s,=n+-+H---------

3〃

答案第13页，共24页

.1132〃一52〃-32n-l

则no/=门+…+―+丁+尸'

则27+3+…+工

3"332333"

22〃+2

用

33

19.【答案】（1）证明见解析

C2

（2）2=—

3

【解析】

【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质得出：PC1PB,AB1PC；再根据线

面垂直的判定定理证得：尸（71_平面以8；最后根据面面垂直的判定定理即可证明.

（2）先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，依据向量共线求出点z0）；再求出平面尸与平

面BMC的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.

【小问1详解】

证明：P为圆弧BC上一点，BC为圆S直径，PCLP3,

;在圆柱ST中，431平面8。尸，「。匚平面8。尸，AABLPC,

:PBcAB=B,PBu平面氏8,平面P4B,

PC_L平面E4B,：PCu平面阴C,

平面PA3,平面PAC.

【小问2详解】

以点8为坐标原点，BC、所在直线分别为》轴、z轴，在平面BCP以过点8且垂直于的直线为尤

轴、建立空间直角坐标系，如图所示：

答案第14页，共24页

31

则忸q=J忸呼+|c呼=A/62+32=375，sinZPBC=^

3V5

所以8(0,0,0),4(0,0,6),C(0,375,0),P(6sinZPBC,6cosZPBC,0)

设M(%o，%，Zo)，由葡=4元得：(x(),%,Zo—6)=4(0,36,—6b

%o=°

即《%=3A/52,W=(0,3752,6-62).

ZQ=6—6X

设平面PBM的一个法向量〃i=(x1,y1,z1),

612.广、

；・丁+忑/，令…，得.2T名

35/52y1+(6-62)z1=01("

：苫轴，平面BMC,

平面BMC的一个法向量后=(1,0,0),

2V10

二-----2

5225，解得：A=—.

5+-------73

4(1-2)

【分析】(1)首先要理解X?=1000包含两类情况，分别运用独立事件的概率乘法公式计算即得;

(2)弄清第，+1位员工取出红球的概率4M与第i位员工取出红球的概率弓的关系式，从而构建一个等比数

列1金-|1,求出其通项，列出分布列，计算数学期望即得.

【详解】(1)兀=1000的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况：

①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；

②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.

、.331111

故X2=1000的概率为：P(X=1000)=-x-+-x-=—.

2444216

31ii

(2)设第i位员工取出红球的概率为片.则有以］=-^+-(1-^)=-^+-,

答案第15页，共24页

即：4M一1且片=』，片一2=-1/0

34V3J14312

故I月-g1组成首项为4,公比为:的等比数列.

・・斤

第i位员工取出白球的概率为1-邛

易知X的所有可能取值为1000,500,则X的分布列如下:

X,1000500

P

£(%,.)=1000[|+1-(^)1]+500；—=500g+gg)+500=壁5+(；

显然E(XJ关于i单调递减，.•.第1位员工获得奖金额的数学期望最大.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查独立事件的概率乘法公式和随机变量的分布列和数学期望.其中在求解

E(X,)时，关键在于要推理分析出第z.+l位员工取出红球的概率匕|与第i位员工取出红球的概率，的关系

式，再借助于数列递推式推导出£的通项公式，为后续列出分布列，求数学期望奠定基础.

21.(1)答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)求得/'(x)=xe"+2ox=x(e*+2a),分类讨论和-；<a<0,分析函数

/'(X)的正负，即可得出答案；

(2)由题意先表示出无1-尤o=21nXi-ln(2%-2),再令8(»=2111”111(2工-2),利用导数分析函数g(x)的单

调性，可得g(x)有最小值g(2)=ln2,即可证明再-无021n2.

［详解］(1)f\x)=xex+2ax=x(ex+2a),

若。20,由6*+24>0,则X£(0,+oo)时，fr(x)>0,/(%)单调递增；

X£(—oo,0)时，f(x)<0,/(九)单调递减；

答案第16页，共24页

a<0时，令/'(无)=0,得犬=0或天=ln(-2a),

若贝口€(-00,0)或苫€(111(-2。),+8)时，f\x)>0,/(x)单调递增；xe(0,ln(-2a))时，f(x)<0,

单调递减；

若。=-；，则/'(x)20在R上恒成立，Ax)在R上单调递增；

若-工<a<0,则xe(-oo,ln(-2a))或尤e(0,+co)时，f'(x)>0,7⑺单调递增；xe(ln(-2a),0)时，

2

/,«<0,单调递减.

综上，当时，在(0,+8)上单调递增，在(-应0)上单调递减；

当时，/⑺在(-巩0),(ln(-2a),+⑹上单调递增，在(0,In(-2a))上单调递减；

当a=-5时，/(X)在R上单调递增；

当时，Ax)在(-8,ln(-2a)),(0,+8)上单调递增，在(ln(-2a),0)上单调递减.

2

(2)由(1)知，时，/(X)在(-8,0),(ln(-2a),+co)上单调递增；

在(0,ln(-2a))上单调递减，则以x)的极小值点为％=In(-2a),

由极大值/(。)=-1<0,/⑴="<0且当》趋近正无穷时，〃x)趋近正无穷，

/(X)存在唯一的零点%1>1,满足/(xj=。-1)炉+◎:=0,

化简得，2(再-l)e*=-2叫2,

ln(2xj-2)+Xj=In(—2a)+2In%，即ln(-2«)=ln(2%—2)+%—21n石,

xx-xQ=xx-ln(-2«)=21nXj-ln(2%-2),

设g(x)=21nx-ln(2x-2),x>l,

,(、_21x-2

g⑴丁

当xe(2,+8)时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

xe(l,2)时，g\x)<0,g(x)单调递减，

从而当x=2时，g(x)有最小值g(2)=ln2,

综上所述，Ax)存在唯一的零点X1,且%-%21n2.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图

象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形

答案第17页，共24页

结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由"X)=0分离变量得出。=g(x),将问题等价转化为直线>与函数y=g(x)的图

象的交点问题.

22.(l)[O,e]

(2)答案见解析

【分析】(1)依题需使r(x)z。在