2024年合肥市高三第一次教学质量检测（一模）数学试卷（含答案）

姓名—座位号________________________

（在此卷上答题无效）

2024年合肥市高三第一次教学质量检测

数学

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数Z满足z（l+i）=2i,则N在复平面内对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.记，为等差数列｛%｝的前〃项和，若%=3,Sj=3,则%=（）

A.144B.120C.100D.80

3.已知随机变量X服从正态分布N（2,，），且p（2<X42.5）=0.36,则P[X>1.5）等于（）

A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86

4.双曲线的焦距为4,则C的渐近线方程为（）

b

A.y=±4l5xB.y=±y/3xC.y=±^^-xD.y=±^-x

5.在A43c中，内角/,5,C的对边分别为a,瓦c,若2bcosC=a（2-c）,且8=玄，则。=

（）

A.1B.&C.y/3D.2

6.已知四面体/BCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=26,平面

加，平面8CD,则该球的表面积是（）

A.100/B,40乃C.2（hrD.16%

7.已知直线/：*4-1=0与。。"+/-2》+4”4=0交于4B两点，设弦忿的中点为

M,。为坐标原点，则10Ml的取值范围为（）

A.[3-石,3+石]B,+

C.[2-62+向D.[72-1,72+1]

数学试题第1页（共4页）

8.已知函数/（.v）的定义域为（0，+8）,且(x+y)/(x+y)=W(x)/(y),/⑴=c,记

叱/(；)，*=/(2),c=/(3),则(

)

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<h<a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款得能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分

100分）.设事件〃表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示

“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（）

机构名称甲乙

分值90989092959395929194

A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5

D.事件互为对立事件

11.已知椭圆。：工+[=1的左、右顶点分别为45,左焦点为尸，M为C上异于48的一

点，过点〃且垂直于“轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则（）

A.存在点M,使4M5=I2（TB.TA-TB=2TM-TN

___4

C.丽./W的坡小值为D.△"MN周长的最大值为8

数学试题第2页（共4页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4=1k*4},B={x|a-l〈xSa+l},若405=0,则”的取值范围是.

13.已知函数/(x)=2sin(3x+G(-;r<”0)的一条对称轴为x=%当xc[0,f]时，/(x)

的最小值为-及，则，的最大值为.___________________

14.已知点/(再,乂),8(工2，%)，定义dAB=%)2+(*2-必)2为48的“镜像距离”.若

点43在曲线y=ln(x-a)+2上，且服的锻小值为2,则实数”的值为•

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步哪。

15.(13分)

已知函数/(x)=竺乎，当x=l时，/(x)有极大值L

ee

(1)求实数a,方的值；

(2)当x>0时，证明：/(x)<R'.

''1+x

16.(15分)

如图，三棱柱4BC-44G中，四边形ZCG4,BCG4均为正方形，。，石分别是棱

四，4片的中点，N为GE上一点.

(1)证明：5N〃平面4。。；

⑵若4B=4C,甲=3不，求直线ZW与平面&DC所成角的正弦值.

17.(15分)

2023年9月26日，第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园

博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，

开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园.

(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观

省内展园的数量为X,求X的分布列及数学期望£(王)；

(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游

客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：

数学试题第3页(共4页)

游园方式

观光车自行车步行

游园结果

参观完所有展园808040

未参观完所有展园20120160

用频率估计概率,若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙

能参观完所有展园的概率.

18.(17分)

已知抛物线C:x2=2py{p>0)的焦点为9(0,1),过点F的直线/与C交于43两

点，过43作C的切线乙,*交于点〃，且《d与％轴分别交于点AE.

(1)求证：RE|=|MF|；

(2)设点P是C上异于45的一点，P到直线《，射’的距离分别为4，d2，d，求警

的坡小值.

19.(17分)

“g-数''在量子代数研究中发挥了重要作用.设夕是非零实数，对任意％G〃・，定义“g-数”

(*=1+夕+…+#.

利用“9-数”可定义“9-阶乘”

(矶=(l)g⑵/,•()，且(0)!g=L

和“q-组合数”，即对任意上GN/WN•#4九，

0]:(矶

⑻!g(%/)!」

(1)计算:

(2)证明:对于任意+

(3)证明：对于任意力,WGN/GN・,％+14〃,

9+加+1)(n、

<k+11U+J,

数学试题第4页(共4页)

2024年合肥市高三第一次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

9.BD10.ABD11.BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(-°o,-3)U(3,+oo)13.y14.1+-72

四'解答题：本题共5小题，共77分。

15.(13分)

解：函数/(x)的定义域为(f,e),且/二丁,

e

(1)因为X=1时，/(X)有极大值L

e

所以八/e,解得"1,6=0,

/0)=0

经检验，当。=1,6=0时，/(x)在x=|时有极大值!，

e

所以。=1,6=0：.............6分

Y

(2)由(1)知，/(x)=—,

e

vYY

当x>0时，要证/(x)<^---,EPiiE—<;---，即证：ex>x+1.

1+xe1+x

设g(x)=e*-x-l,则g<x)=e*-l,

因为x>0,所以g<x)=e*-l>0,

所以g(x)在(0,钙)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,即e，-x-l>0，即e*>x+l，

故当x>0时，/(x)<-^-..............13分

1+x

16.(15分)

解：⑴连接BE,BC],DE.

因为彳8〃/£,S.AB=AiBl,

又，£分别是核相，4片的中点，

所以8。〃力£,且

所以四边形8。4后为平行四边形，所以4。〃仍，

又％Ou平面/QC,EB<Z平面&OC,所以旗〃平面4OC,

因为DE//BB、〃CC\,且DE=BB}=CCt,

所以四边形OCC£为平行四边形，所以C出〃CD,

又CDu平面A,DC,CtE<z平面A,DC,

所以GE〃平面40c,

因为CiECEB=E,CiE,EBu平面BEC,,

所以平面BEG〃平面4DC,

数学试题答案第1页(共4页)

因为BNu平面BEC［，所以BN//平面A,DC................................7分

（2）四边形ZCC/.BCC/i均为正方形，所以CGJ./C,CG_L5c.

所以cq_L平面力sc.

因为OE〃CC|,

所以。£_1_平面Z8C.

从而DELDB,DELDC.

又4B=AC,

所以A48C为等边三角形.

因为。是棱研的中点，

所以CDLDB.

即。8,£>C,OE两两垂直.

以。为原点，O8,OC,OE所在直线为x,_y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一平.

设AB=2&,则。（0,0,0）,E（0,0,26），C（0,3,0），G（0,3,2石），4（一班,0,26）,

所以皮=（0,3,0）,西=卜6,0,26）.

设1=（x）,z）为平面4。。的法向量，

n-DC=03y=0_

则｛_____，即｛z-〜K八，可取〃=（2,0,1）.

n•DA,=0—\j3x+2>/3z=0

、।

因为乖=3m,所以N（0,2,2月），丽=（0,2,2jj）.

设直线DN与平面4DC所成角为6,

则si则8s“，丽>卜留=誓=巫，

।।刚。,6x410

即直线ON与平面/QC所成角正弦值为*.................15分

注：其它解法酌情给分.

17.（15分）

解：（I）由题意知：X所有可能取值为0,1,2,且

7

P（X=0）=

22

C'c35

p（X=l）=-^=3

C,2,66

P（、=2）=罟$

所以X的分布列为：

X012

7355

P

226633

7ISSS

所以X的数学期望沏£（X）=0XH+1X-+2X-=-...........................8分

（2）记事件/为“游客乙乘坐观光车游园”，事件8为“游客乙骑自行车游园”，事件C为“游客乙步行游

园”，事件M为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，

则P（4）=0.2,P（8）=0.4,P（C）=0.4.

P（M|/）=0.8,P（M|8）=0.4,P（M|C）=0.2.

由全概率公式，得

数学试题答案第2页（共4页）

P(M)=P[A}P[M|A)+P[B}P[M|B)+P(C)P(M|C)=0.4.............15分

所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4

18.(17分)

解：(1)因为抛物线C的焦点为尸(0,1),

所以p=2,即C的方程为：x2=4y.

设点片(芭,必),B(x2,y2),由题意可设/:y=Ax+l,

x=4y,、

由《，，得x?-4Ax-4=0，

y=Ax+1

所以芭+占=44，xtx2=-4.

所以一必=，(x-xj，即y=?x—f.

IX

令7=0，得》=彳.2-

W

同

理J4V=-X

二Z2

E

五

J=X-

24

事

2

区0

y=X--

24

所以|MF|="公+4=2，公+1.

^\DE\=\MF\.................8分

2

（2）设点尸（x。,%）,结合（1）知，/（：y-yx=y（x-Xj）,即A:2xtx-4y-x,=0

因为x『=4%，x02=4%,

,」2“i—4*I_-X。_芭L（X1-x（））

J4xj+16J4x：+16+4

同理’&=■

所以dd二（：—“0）2（/To）2二[中2一/（玉+工2）+/2]=（-4-45+叶）

r1.242+4+4+4（xj+/2）+1632\Jk2+\

又a|丘。-%+1|"一方+|||4线-X02+4],

"=^7T='环=4k”

姐=（~4_4依）+/2）216仰+（=正+1>1

2222

、d32，公+1（4Ax0-x0+4?-

数学试题答案第3页(共4页)

当且仅当％=0时，等号成立.即直线/斜率为0时，吗取取小值上..............