专题3.1 一元一次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题3.1一元一次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。【知识点2】一元一次方程的标准形式ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。【知识点3】构成一元一次方程的条件(1)它是等式;(2)分母中不含有未知数;(3)未知数最高次项为1;(4)含未知数的项的系数不为0.【知识点4】等式的性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。【知识点5】一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一般解法：(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;(2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号)(3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;(5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.【知识点6】同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。【知识点7】方程的同解原理：(1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。(2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。【知识点8】列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础【知识点9】解一元一次方程应用题的方法：(1)认真审题

(审题)(2)分析已知和未知量(3)找一个合适的等量关系(4)设一个恰当的未知数(5)列出合理的方程(列式)(6)解出方程(解题)(7)检验(8)写出答案(作答)一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。【考点一】一元一次方程的相关概念 【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程．（1）求a，b的值；（2）若是方程的解，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知、，从而求出、的值；（2）将的值代入所给方程中求出的值，再将、、的值代入待求式求解．（1）解：由题意得：0，解得．（2）将代入，得解得，所以．【点拨】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）若是关于的一元一次方程，则的值为（）A．5 B． C．或5 D．2【答案】A【分析】根据一元一次方程定义可得，且，再解即可．解：由题意得：，且，解得：，，故选：A．【点拨】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【变式2】（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）已知是关于的方程的解，则式子的值为．【答案】【分析】将代入得出，代入代数式，即可求解．解：将代入得即∴，故答案为：．【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．【考点二】等式基本性质 【例2】（2022秋·全国·七年级专题练习）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？【分析】根据等式的性质解答即可．解：不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义；能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）．【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式．【举一反三】【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（

）A．如果，那么 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】应用等式的性质即可．解：A.如果，那么

，选项错误；B.若，则，选项正确；C.若，则，选项错误；D.若，则当，或，选项错误；故选：B．【点拨】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题．【变式2】（2021春·广东广州·七年级广州市花都区实验中学校考期中）已知方程，用含x的代数式表示y，则．【答案】2x-5/-5+2x【分析】根据等式的性质，正确变形即可．解：∵，∴y=2x-5，故答案为：2x-5．【点拨】本题考查了等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【考点三】一元一次方程的解法【例3】（2023·上海·六年级假期作业）求x的值．（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）方程两边同时减去，两边再同时乘6即可解答；（2）先根据比例的基本性质将比例化为方程，再两边再同时除以25即可解答；（3）先根据比例的基本性质将比例化为方程，再两边再同时除以9即可．（1）解：，，，，．（2）解：，，，，（3）解：，，，，．【点拨】本题主要考查了解一元一次方程、比例的基本性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）已知方程的解满足，则a的值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】由可得，再代入中求解即可．解：∵，∴，把代入得：，解得，故选：A．【点拨】本题考查了解一元一次方程的解的应用，能得出关于a的方程是解此题的关键．【变式2】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）如果与的值相同；那么．【答案】【分析】根据题意得到方程，解方程可得的值．解：由题意得：，，故答案为：．【点拨】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出方程及解方程．【例4】（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知是方程的解，n满足关系式，求的值．【答案】或【分析】把代入原方程求出m，再代入满足的关系式再求出n，进而求解．解：把知代入方程，得，解得：，把代入方程，可得，即或，解得：或，当，时，；当，时，；综上，或．【点拨】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据错误的结果，确定出的值，进而求出正确的解即可．解：根据小明的错误解法，去分母得：，去括号得：，把代入得：，解得；将代入原方程得正确方程为：，去分母得：，去括号得：，移项合并得，解得，所以原方程正确的解为．故选：A．【点拨】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，注意错误解题的位置，根据错误解，先求出字母的值；再根据正确的方程进行解方程．【变式2】（2023秋·江苏常州·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为．【答案】【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．解：设，则关于y的方程化为：，∴，∴故答案为：．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．【考点四】特殊的一元一次方程的解法【例5】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程有无数多个解，求常数a、b的值．【答案】，【分析】首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得的值，进而得出b的值．解：化简得：，即：，根据题意得：解得：，∴∴．【点拨】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（

）A．8 B． C．12 D．【答案】A【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可．解：∵，∴，∴，∴，∵方程的解是正整数，∴，解得∴积为，故选A．【点拨】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）数轴上表示1和的两点之间的距离是；若，则x=【答案】3或3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可求解；（2）分情况讨论，去绝对值，再解方程即可求解．解：（1），故答案为：3；（2）当时，；当时，，此时方程无解，舍去；当时，，故答案为：或3．【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离以及解绝对值方程的知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．【考点五】同解原理【例6】（2021秋·广东江门·七年级校考阶段练习）已知关于的方程和的解相同．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据等式的性质求出每个方程的解，根据同解方程得出，再求出的值即可；（2）把代入，再根据积的乘方和有理数的运算法则进行计算即可．（1）解：由，得，由，得．因为这两个方程的解相同，所以，解得；（2）解：把代入，得原式．【点拨】本题考查了同解方程和实数的混合运算，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（

）A． B．9 C．3 D．【答案】C【分析】先求出方程的解，然后代入方程，可解出a的值；解：解得：将代入方程可得：，解得：故选：C【点拨】本题考查了同解方程的知识，属于基础题，解答本题的关键是理解方程解得含义．【变式2】（2021春·上海松江·六年级校考阶段练习）若关于的方程与的解相同，则．【答案】【分析】把当成已知数，求得，根据解相等，得到关于的方程，求解即可．解：由可得：，，，．由可得：，，，．又因为解相同，所以，，，．故答案为：【点拨】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是正确的用表示出两个方程的解．【考点六】一元一次方程的应用【例7】（2022秋·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上，点O对应原点，点A在原点的左侧，对应的数是a；点B在原点的右侧，对应的数是b，并且|a+4|+＝0．（1）a＝______；b＝______．（2）P，Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，同时点Q从点B出发，点P的速度大于点Q的速度．若两点同向运动，经过3秒相遇；若两点相向而行，经过1秒相遇，①P，Q两点的速度分别是多少？②若点PQ相向而行，且点P运动到点B后原速返回，经过几秒钟，点P，Q第二次相遇？（3）在（2）的条件下，当点P，Q沿数轴同向运动时，经过几秒钟，相距9个单位长度？【答案】（1）﹣4，2；（2）①P，Q两点的速度分别每秒4个单位、每秒2个单位．②经过3秒，点P，Q第二次相遇．；（3）经过4.5秒钟，相距9个单位长度．【分析】（1）由|a+4|+＝0，根据非负数的性质即可得到答案；（2）①由（1）知AB＝2－（﹣4）＝6，设P点的速度为每秒x个单位，由两点相向而行，经过1秒相遇，则Q点每秒的速度为（6－x）个单位，根据两点同向运动，经过3秒相遇可列方程，求解即可；②设经过t秒，点P，Q第二次相遇，列方程求解即可；（3）设经过m秒钟，相距9个单位长度，根据题意列方程求解即可．（1）解：∵|a+4|+＝0．|a+4|≥0，≥0，∴|a+4|＝0，＝0，解得a＝﹣4，b＝2，故答案为：﹣4，2（2）解：①由（1）知AB＝2－（﹣4）＝6，设P点的速度为每秒x个单位，由两点相向而行，经过1秒相遇，则Q点每秒的速度为（6－x）个单位，则，解得x＝4，6－x＝2，∴P，Q两点的速度分别每秒4个单位、每秒2个单位．答：P，Q两点的速度分别每秒4个单位、每秒2个单位．②设经过t秒，点P，Q第二次相遇，由题意可得，4t－2t＝6，解得t＝3，答：经过3秒，点P，Q第二次相遇．（3）解：设经过m秒钟，相距9个单位长度，由题意可得，4m－2m＝9，解得m＝4.5，答：经过4.5秒钟，相距9个单位长度．【点拨】此题考查了数轴上两点间的距离、非负数的性质、一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022春·湖南衡阳·七年级校考期中）某车间有15名工人，每人每天可以生产300个螺钉或800个螺母，1个螺钉配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设有名工人生产螺钉，则有个工人生产螺母，根据题意列出方程即可．解：设有名工人生产螺钉，则有个工人生产螺母，根据题意，可得．故选：A．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．【变式2】（2023秋·山东日照·七年级校考期末）用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底。现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？解：设用x张做瓶身，可列方程为。【答案】【分析】设用x张铝片做瓶身，则用张铝片做瓶底，通过理解题意可知本题的等量关系，即瓶底个数=瓶身个数的两倍。根据这个等量关系，可列出方程，再求解。解：设用x张铝片做瓶身，则用张铝片做瓶底，根据题意得：，故答案为：。【点拨】解题关键是要读懂题目的意思，正确理解：一个瓶身配两个瓶底是解题的关键。【例8】（2023秋·河北秦皇岛·九年级校考阶段练习）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？（3）公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由．【答案】（1）1600元；（2）55元；（3）不能，见分析【分析】（1）利用总利润等于每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量列方程求解即可；（3）设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，根据一元二次方程无解判断即可．（1）解：由题意得，（元）．答：每天的销售利润为1600元；（2）解：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，由题意得，，整理得，解得，（不符合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元；（3）解：不能．理由如下：设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，由题意得，，整理得，，，方程无解，