2024年高考数学模拟试题 (四)

1.复数zi，Z2在复平面内对应的点分别为(1,2),(0,-1),贝UziZ2=()

A.1+iB.2-iC.-2iD.-2-i

2.若集合A={x|xKl},且=则集合5可以是（）

A.B.C.{0,1,2}D.1-1,0,11

3.双曲线E经过点（4,企），其渐近线方程为y=±gx,则E的方程为（）

A--—丁=1B.x2--=lC,-匕=1D.《—士

442882

4.若a>0,b>Of贝『2+2"的一个充要条件是（）

A.—H—<1B.sfa<y/2—b

ab

C.a2+b2<2D.ab<l

5.已知圆C:d+y2=4,直线/过"(0,加)，若/被圆C所截得的弦长最小值为2,则加=()

A.±^2B.±y/3C.±2D.土石

6.已知函数/(x)=2cosx,xe[0,兀)的图象与函数g(x)=3tanx的图象交于A,B两点，贝U-Q4B(O

为坐标原点)的面积为()

A.-B.匝兀垂）71

C.—D.

442F

7.已知正实数a,b,c满足a+log?。=入+23=2°+1082。=4,则以下结论正确是()

Ab>aB.a>2cC.c>bD.b>2c

8.已知圆锥顶点为尸，母线长为2,底面半径为小点A,SCD在底面圆周上,当四棱锥尸—ABCD

体积最大时，r=

l832石

A.&B.耳C.D.

327

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分

9.下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是()

A.=(1,1),02=(1,2)B.eY=(-1,1)>02=(-2,2)

C.ex=(1,-2),=(3,6)D.ex=(1,2),e2=(-3,-4)

10.如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线MV//平面ABC的是

11.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐

光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每

分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位:

米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为单位：秒），已知

A.J=2-3cosf—/+其中COS6=2,且8e0,—

【30)3I2)

B.d=3sin[&f+6>]+2,其中sin8=—g,且，e[一],0

C.大约经过38秒，盛水筒尸再次进入水中

D.大约经过22秒，盛水筒尸到达最高点

12.已知曲线G:/+,3一6盯=0(x〉0,y>0),则(

A.曲线G关于直线丁=》轴对称

B.曲线G与直线x+y—6=0有唯一公共点

C.曲线G与直线x—y+l=。没有公共点

D.曲线G上任意一点到原点的距离的最大值为3亚

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(x+y)(x—的展开式中的系数是.(用数字作答)

14.已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5,则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的

概率为.

15.如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分

成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.若第一个三角形的面积为1,第九个图中白

色部分的面积记为4,则为=.

22

16.椭圆E:J+与=l(a〉6〉0)的左右焦点分别为耳、F2,E上存在两点A、2满足耳4=2b8,

ab

\AF2\=^a,则E的离心率为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

c—b

17.在①sin?—=--；②acos_B=csinC-bcosA；®b2+crcos2A=2/JCCOSA>这三个条件中任

22c

选一个，补充在下面问题中，并解答下面问题.问题：在&A5C中，内角A,民C的对边分别是。，b,

(1)判断的形状；

(2)点、D为ABC所在平面内一点，且点。与点A位于直线的异侧，AB=2,ABrBD,

BD=6CD=6AC，求四边形ABOC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.如图，四边形ACDE为矩形，平面ACDEJ_平面ABC,产是AC中点，”是所中点，点N在线

段上，旦DN=3NB.

(1)求证：MN//平面ABE；

jr

(2)若NBAC=—,AB=AE=1,求MN与平面BOE所成角。的正弦值.

3

19.已知函数/(x)=(ax-l)e*,czeR.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若a=l,求证：当%>-1时，/(x)>erln(x+1)-x-1.

20.己知数列｛4｝的前〃项和为S”，q=2,Aan+l=+2,neN*.

(1)是否存在实数X,使得数列｛4｝为等比数列？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由；

(2)记数列的前〃项和为北，当4=1时，求证：Tn<2.

21.在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信

号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输

的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值石,天的随机变量，分别记作X和

y.条件概率=X=xJ工)=1,2,,〃，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了

信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为："(X)=—才，(X=xjlog?p(X=xj.当九=2

i=l

22

时，信道疑义度定义为"(■x)=—£Zp(x=Xj,y=xjiog2p(y="x=%,.)

日j二l

=-[P(X=%,丫=Xj)log2p(Y=x｛\X=芯)+尸(X=x2)log2p(Y=x2\X=玉)

+尸=jq)log=%I=%2)+尸=%2，丫=%2)log2%21=%2)]

(X=X2,Y2p(YX(X