2021年天津市中考数学模拟考试试题-四边形

2020和2021年天津市中考数学模拟考试试题一一专题9四边形

选择题（共19小题）

1.（2021•滨海新区二模）如图，四边形ABC。是正方形，。是坐标原点，对角线AC,BD

分别位于x轴和y轴上，点D的坐标是（0,3）,则正方形A3。的周长是（）

2.（2021•红桥区三模）如图，将正方形。跖G放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点

E（2,3）,则点尸的坐标为（）

A.（-1,5）B.（-2,3）C.（5,-1）D.（-3,2）

3.（2021•路北区三模）如图，四边形ABC。为菱形，A,B两点的坐标分别是（3,0）,（0,

百），点C,。在坐标轴上，则菱形48CD的周长等于（）

4.（2021•东丽区二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点。顺

时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,那么点81的坐标是（）

5.（2021•西青区二模）如图，四边形ABC。是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正

方形边长为8,则点A的坐标为（）

6.（2021•滨海新区一模）如图，平行四边形042c的顶点。，A,C的坐标分别是（0,0）,

7.（2021•南开区一模）如图，已知菱形0ABe的顶点0（0,0）,C（2,0）且/AOC=60°,

则菱形0ABe两对角线的交点。的坐标为（）

8.（2021•河西区模拟）在平行四边形ABC。中，已知A3,8C及其夹角N5（NB是锐角），

则平行四边形ABC。的面积S可以表示为（）

11

A.一AB・BCB.-AB*BC*tanZB

22

C.AB・BC・cos/BD.AB・8C・sinNB

9.（2021•河北区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形A8C。的顶点A在y轴上，已知

8（-3,0）、C（2,0）,则点D的坐标为（）

10.（2021•河东区二模）如图，若菱形ABC。的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,

点。在y轴上，则点C的坐标是（）

A.(-5,4)B.(0,4)C.(-5,3)D.(-5,5)

11.(2020•天津一模)如图，矩形ABC。中，连接AC,延长至点E,使连接

DE.若/BAC=40°,则/E的度数是（)

A.65°B.60°C.50°D.40°

12.（2020•北辰区二模）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8D相交于点O,AC=16,

BD=4.平移△A。。，使点。与点8重合，点A的对应点£落在CB的延长线上，点。

的对应点厂落在DB的延长线上，则。E的长是（）

才

E

A.6B.8C.10D.12

13.（2020•津南区一模）如图，四边形A8C0为平行四边形，A,C两点的坐标分别是（3,

0）,（1,2）,则平行四边形A8CO的周长等于（）

//,

qA*

A.V5B.V3C.4V5D.6+2V5

14.（2020•北辰区二模）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,。为垂足，E是

AB边上的一个动点，以CE,8E为邻边画平行四边形CE8F,则下列线段的长等于对角

线EF最小值的是（）

B

AC

1

A.ACB.BCC.CDD.-AB

2

15.(2020•和平区三模)在平面直角坐标系中，矩形ABCD的位置如图所示，其中2(-1,

-1),点A在第二象限，AB〃y轴，AB=3,8c=4,则顶点。的坐标为()

A.(3,2)B.(2,2)C.(3,3)D.(2,3)

16.(2020•天津二模)已知团A8CZ)的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(3,-2),C(6,

0),点。在x轴上方，则点。的坐标为()

A.(2,3)B.(3,3)C.(2,5)D.(3,2)

17.(2021•天津模拟)如图，在菱形ABCQ中，点A在x轴上，点8的坐标轴为(4,1),

点。的坐标为(0,1),则菱形的周长等于()

18.(2020•和平区一模)如图，在RtZXABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,尸为AC边

上的一动点，以P8,朋为边构造平行四边形APB。，则对角线尸。的最小值为()

A.4B.6C.8D.10

19.(2020•河北区一模)如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC=8,DB=6,于

点H,则DH的长为(

二.填空题（共8小题）

20.（2021•和平区一模）如图，正方形ABC。中，点E是边BC上一点，AE的垂直平分线

分别交AB,BD,CD于点F,G,H.若GE=5,则的长为.

21.（2021•南开区二模）如图，菱形A2CD和菱形ER3H的面积分别为9c汴和64C/"2,CD

落在EP上，NA=/E,若△BCP的面积为4c”，，则的面积是cm2.

22.（2021•津南区模拟）如图，正方形A8C。的边长为6,M为的中点，为等边

三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD,BC交于点P,Q,则PE的长

为______________.

23.（2021•红桥区一模）如图，在平行四边形中，4。=2,A8=巡，N2是锐角,

AELBC于点E,尸是A8的中点，连接DF,EF.若年/£7明=90°,贝|AE的长

24.（2021•天津模拟）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,斜边&8=鱼，过点C作CF

//AB,以AB为边作菱形4班万,若/尸=30°,则RtZXABC的面积为

25.（2020•天津二模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC,8。相交于。点，

X为边8C上的点，过点X作交线段。2于点E,连接。打交CE于点R交

OC于点G.若OE=OG,则HC的长为.

26.（2020•滨海新区二模）如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E,尸分别是AB,AD

的中点，CE与BF交于点、P,则。P的长度为

27.（2021•天津模拟）如图，已知点E在正方形A2CZ）的边AB上，以3E为边向正方形

A8CD外部作正方形B£FG,连接。EM、N分别是。C、。P的中点，连接MN,若A8

=9,BE=6,则MN的长为

28.（2021•滨海新区二模）已知一个等边三角形纸片OAB,将该纸片放置在平面直角坐标

系中，O为坐标原点，使边OA与y轴的正半轴重合，点8落在第一象限，过点8作8c

垂直于x轴，垂足为点C

（I）如图①，若点A坐标为（0,4）,求8C的长；

（II）如图②，将四边形。48c折叠，使点A落在线段OC上的点为点。，为折痕，

点”在。4上，点K在上，且使。K〃y轴.

①试判断四边形A/TOK的形状，并证明你的结论；

r\H

②求防的值；

（III）如图③，将四边形0ABe折叠，使点A落在线段OC上的点。与C点重合，HK

为折痕，点H在OA上，点K在AB上，求空的值（直接写出结果即可）.

29.（2021•南开区二模）如图，将平行四边形O4BC放置在平面直角坐标系尤0y内，已知A

（3,0）,B（0,4）.

（I）点C的坐标是（,）；

（II）若将平行四边形OABC绕点。逆时针旋转90°得OFDE,DF交OC于点P,交y

轴于点R求△（?尸尸的面积；

（III）在（II）的情形下，若再将平行四边形OEDE沿y轴正方向平移，设平移的距离

为d,当平移后的平行四边形。下ZXE'与平行四边形042c重叠部分为五边形时，设其

面积为S,试求出S关于1的函数关系式，并直接写出X的取值范围.

30.(2021•河北区二模)己知一个矩形纸片04C2,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点

A、8分别在x轴、y轴上，点C(4,2),点。是边04上的动点，沿8。折叠该纸片,

得点C的对应点C,点A的对应点A'.

(I)如图①，当点A'落在y轴上时，求点A'的坐标；

(II)如图②，当BC'平分时，求点A'的坐标；

可).图①图②

31.(2021•天津模拟)在平面直角坐标系中，矩形。48c的顶点A,C分别在无轴、y轴上，

点B的坐标为(2,2V3),将矩形OABC绕点A顺时针旋转a,得到矩形O1ABC1,点O,

B,C的对应点分别为01,Bi,Ci.

(I)如图①，当a=45°时，01cl与AB相交于点E,求点E的坐标；

(II)如图②，当点01落在对角线0B上时，连接BC1,四边形OAC1B是何特殊的四

边形？并说明理由；

(III)连接BC1,当3cl取得最小值和最大值时，分别求出点81的坐标(直接写出结果

即可).

32.(2021•和平区一模)己知矩形0A3C在平面直角坐标系中，点A(1,0),点C(0,2),

点O(0,0),把矩形0A8C绕点。顺时针旋转135°,得到矩形。ZJEF,点A,B,C

的对应点分别为。，E,F.OE交y轴于点

(I)如图①，求的大小及。M的长；

(II)将矩形ODE尸沿y轴向上平移，得到矩形。OE尸，点。，D,E,尸的对应点分

别为O',D',E,F'.设OO'=t(0<^2).

①如图②，直线。E与x轴交于点N,若CN//BO,求t的值；

②若矩形O'D'E'F'与矩形OA8C重叠部分面积为S,当重叠部分为五边形时，试

用含有f的式子表示S,并写出f的取值范围(直接写出答案即可).

33.(2021•河西区模拟)已知，如图①将矩形纸片A8C。沿过点。的直线折叠，使点A落

在CD上的点A处，得到折痕。E,然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片

ABCD沿过点E的直线折叠,点C恰好落在上的C处，点8落在B处，得到折痕EF,

B9交AB于点M,CF交DE于氤N,再把纸片展平.

(I)如图①，填空：若AO=3,则ED的长为；

(II)如图②，连接EC,AMCE是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不

是，请说明理由；

(III)如图②，若AC=2cm,DC'=4cm,求DN：EN的值.(直接写出结果即可)

图2

34.(2021•和平区模拟)在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OE/G,£(2V2,

0),8(0,2).图②

(I)如图①，求8E的长;

(II)将正方形OBCZ)绕点。逆时针旋转，得正方形。夕CD'.

①如图②，当点2,恰好落在线段。'G上时，求BE的长;

②将正方形。月C77绕点。继续逆时针旋转，线段D'G与线段B'E的交点为H,求八GHE

与△37/。面积之和的最大值，并求出此时点X的坐标(直接写出结果).

2020和2021年天津市中考数学模拟考试试题一一专题9四边形

参考答案与试题解析

选择题(共19小题)

1.【解答】解：•••四边形A8C。是正方形，

：.OD=OC,/COD=90°,

:点。的坐标是(0,3),

：.OC=OD=3,

:.CD=3双,

正方形A8C£＞的周长是12V2,

故选：D.

2.【解答】解：过点£作x轴的垂线即，垂足为过点G作x轴的垂线GM,垂足为跖

连接GE、尸O交于点，

;点E(2,3),

：.OH=2,EH=3,

:四边形OEFG是正方形，

AOG=EO,ZGOM=ZOEH,ZOGM=ZEOH,

在△OGM与△EO8中，

'/OGM=NEOH

■OG=EO，

、Z_GOM=乙OEH

：.^OGM^/\EOH(ASA),

:.GM=OH=2,OM=EH=3,

：.G(-3,2).

:点尸与点。关于点。'对称,

点尸的坐标为(-1,5).

故选：A.

3.【解答】解：8两点的坐标分别是(3,0),(0,V3),

：.OB=遮,。4=3,

：.AB=7OB2+。42=V3T9=2V3,

:四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=DA=2V3,

菱形ABC。的周长=4X2百=8V3,

故选：A.

4.【解答】解：•.•将边长为1的正方形0A2C绕点。顺时针旋转45°后得到正方形OALBICI,

/.OCi=OC=BC=B\C\=1,ZCi=ZC=90°,ZCOCi=45°,

.•.ZCiBiO=90°-ZCOCi=45°,

：.B\C\^OC\,NCOBi=90°,

在y轴的正半轴上，

：.OBi=JBIC/+0cJ=V2,

ABi的坐标是(0,V2),

故选：c.

5.【解答】解：•..四边形是正方形，边长为8,

AZAOB=90°,OA=OB,AB=8,

设OA=OB=x,

Rt"OB中，OA2+OB1=AB2,

.■.X2+X2=82,解得x=4位，

，。4=4立，即A(4V2,0),

故选：C.

6.【解答］解：如图，在EICMBC中，O(0,0),A(4,0),

：.OA=BC=4,

9：BC//AO,

・••点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

：.B(5,2)；

故选：B.

7.【解答］解：如图，过点A作于E,

,・,点0(0,0),C(2,0),

・•・OC=2,

・・•四边形ABCO是菱形，

：.OA=OC=2,AD=CD,

VZAOC=60°,AE_LOC,

：.ZOAE=30°,

；.OE=%O=1,AE=y/3OE=V3,

...点A(1,V3),

'：AD=CD,

3V3

点D(-,—),

22

故选：B.

8.【解答］解：能求出团ABC。的面积，S=BC^ABsmZB；理由如下:

如图所示：作AE_LBC于贝UNAE*B=90°,

sinZB=祭，

：.AE=AB*smZB,

：.⑦ABCD的面积S=BC9AE=BC-ABsinZB.

故选：D.

9.【解答】解：,・•菱形ABC。的顶点A在y轴上，8(-3,0),C(2,0),

：.AB=AD=BC,05=3,OC=2,

：.AB=AD=BC=OBWC=5,

：.AD=AB=CD=5,

：.OA=7AB2-OB?=7s2-32=4,

・••点D的坐标为(5,4).

故选：B.

10.【解答】解：•・•菱形A3CQ的顶点A,8的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在y

轴上，

：.AB=5,

•\AD=59

・••由勾股定理知：OD='AD2一。42=7s2-32=4,

・••点。的坐标是：(-5,4).

故选：A.

11.【解答］解：如图，连接50,

•・•矩形ABC。中，ZBAC=40°,OA=OB,

：.ZABD=40°,ZDBE=90°-40°=50°,

'：AC=BD.AC=BE,

；・BD=BE,

.♦.△BOE中，ZE=J(180°-ZDBE)=*(180°-50°)=65°,

12.【解答】解：..•四边形ABCL）是菱形,

11

：.BD±AC,A0=C0=.AC=8,0B=0D=^BD=2,

由平移可知：

△AOD丝AEFB,

：.EF=AO=S,BF=DO=2,ZEFB=ZAOD=90°,

DF=DB+BF=A+2=6,

在Rt△。跖中，根据勾股定理，得

DE=y/DF2+EF2=V62+82=10.

故选：C.

13•【解答】解：C两点的坐标分别是(3,0),(1,2),

OC=712+22=V5,OA=3,

V四边形ABCO为平行四边形，

：.AB=OC=V5,BC=OA=3,

平行四边形ABC。的周长=2X(3+V5)=6+2萌.

故选：D.

14.【解答】解：•.•四边形CEB尸是平行四边形，

：.BE//CF,

C.AB//CF,

当EF_LAB时，EF最短,

'：CD±AB,

：.EF//CD,

四边形C。跖是矩形，

：.EF=CD；

故选：C.

15•【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

.•.AB=CD=3,CB=AD=4,AD//BC,AB//CD,且AB〃y轴,

.•.AO〃8C〃x轴，A8〃CO〃y轴，

■:B(-1,-1),AB=3,BC=4,

点C横坐标为3,点A纵坐标为2,

.•.点。坐标为(3,2),

故选：A.

16•【解答】解:

,.FABCZ）的三个顶点坐标分别为A（0,0）,B（3,2),C(6,0),

:点。在x轴上方,

.•.点。的坐标为（3,2）,

故选：D.

17•【解答】解：连接AC、BD交于点、E,如图:

•.•四边形A8CZ）是菱形,

：.AB^BC^CD=AD,AE=CE,BE=DE,AC±BD,

:点A在x轴上，点B的坐标为（4,1）,点。的坐标为(0,1),

：.BD^4,AE=1,

1

：.DE=扣。=2,

：.AD=<AE2+DE2='I2+22=有,

，菱形ABC。的周长=44£>=4近；

故选：C.

18•【解答】解：由端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短,

...当QPLAC时，P。最短,

•/QP±AC,ZACB=90°,

AZAPQ=ZC=90°,

：.PQ//BC,

・・•四边形APBQ是平行四边形，

：.AP//BQ,

：.PC//BQ,

,:PC〃BQ,PQ//BC,ZC=90°,

・•・四边形PCBQ是矩形，

:・PQ=BC=6,

故选：B.

19.【解答】解：・・•四边形ABC。是菱形，

1

：.AC±BD,OA=OC=^AC=4f0B=0D=3,

：.AB=5,

1

；・S菱形A3CO=眇C，BD=AB，DH,

AOBD

：.DH==4.8.

2-AB

故选：A.

二.填空题（共8小题）

20.【解答】解：过点〃作垂足为设厂“交AE于N,连接AG,CG,如图

;切是AE的垂直平分线,

AZANF=90°,AN=NE,AG=GE,

：.ZBAE^-ZAFN=90°,

•・,四边形ABC。是正方形，

ZABC=ZADC=ZBAD=90°,AB=AD=BC,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

ZAFN=ZAEB,

9

：HM±ABf

：.ZAMH=ZHMF=90°,

・•・四边形AQHM是矩形，

：.AD=HM=AB,

在△A3E和△EM/中，

^ABE=/HMF

'乙AEB=乙HFM，

.AB=HM

：.AABE^AHMF(AA5),

；・FH=AE,

・・・G在AE的垂直平分线HF上，

：.GA=GE=5,

9：BD是正方形ABCD的对角线，

AZABG=ZCBG=45°,

在△ABG和△C3G中，

AB=CB

Z-ABG=Z-CBGf

BG=BG

:•△ABGQACBG(SAS),

：.AG=CG,/GAB=/GCB,

：・GE=GC,

；・NGEC=NGCE,

:./GEC=/GAB,

VZGEC+ZGEB=180°,

：.ZGAB+ZGEB=180°,

ZAGE=360°-ZABE-(/BAG+NGEB)=360°-90°-180°=90°

,:GA=GE=5,

在RtAAGE中，AE=VXG2+GE2=5®

：.FH=AE=5y/2,

故答案为：5V2.

21.【解答］解：如图，连接口，

,四边形ABC。是菱形，四边形EFGH是菱形，NA=/E,

111

NADC=ZEFG,ZBDC=^ZADC^/EFH=^ZEFG,/XBDC的面积=々x5菱形4BCD

=4.5(cm2),

J.BD//FH,

△BOX的面积=八以)尸的面积，

/\BDH的面积=&BDC+SZ\BCF=8.5(cm2),

故答案为&5.

22.【解答】解：连接AE,

为A8的中点，AMBE为等边三角形,

...△ABE为直角三角形，

,/正方形ABCD的边长为6,

.•.BE=%2=；X6=3,

：.AE=7AB2-BE2=V62-32=3痔

；AMBE为等边三角形,

：.ZBME=60°,

又；MA=ME,

1

ZMAE=ZMEA=^ZBME=30°,

AZEAP=ZBAD-ZMAE=90°-30°=60°,

ZAEP=ZMEP-ZMEA=90°-30°=60°,

•••△AE尸为等边三角形，

：.PE=AE=3yf3,

故答案为：3A/3.

23.【解答］解：如图，延长E尸交的延长线于。连接0E,设

・・•四边形ABCD是平行四边形,

：.DQ//BC,

：.ZQ=ZBEF,

9

：AF=FB,ZAFQ=ZBFEf

：.AQFA^/\EFB(A4S),

：.AQ=BE=x,QF=EF,

VZEF£>=90°,

：.DFLQE,

DQ=DE=x+2,

'：AELBC,BC//AD,

：.AE±AD,

：.ZAEB=ZEAD=90°,

•・・AF=。52_A£)2=AB2_B5,

(x+2)2-4=6-

整理得：/+2%-3=0,

解得x=l或-3（舍弃）,

：.AE=y/AB2-BE2=V6^T=V5,

故答案为：V5.

；.AB=BE=V2,

又•:ZAB£=30°

.•.在Rtz\BHE中，EH=芋,

根据题意，AB//CF,

根据平行线间的距离处处相等，

:.HE=CG=*,

1/—yFz1

RtAABC的面积为一x72义—=—.

222

故答案为：

25.【解答］解：设C"=x,

•・•四边形ABC。是正方形，AB=1,

：.BH=1-x,ZDBC=ZBDC=ZACB=45°,

•：EH_LBC,

：.ZBEH=ZEBH=45°,

：・EH=BH=1-x,

•：NOGD=/CGF,

VZDOG=ZGFC=90°,

：.ZODG=ZOCEf

：.ZBDC-ZODG=ZACB-ZOCE,

：・NHDC=/ECH,

•；EH_LBC,

：.ZEHC=ZHCD=90°,

:.MCHEsXDCH,

.EHHC

,•HC~CD'

:.Hd=EH/CD,

・•.7=(1-x)*L

解得尤=与1或誓二(舍弃)，

乙2

•・•nH「—_2，

_1

故答案为：

26.【解答］解：如图，延长3凡CD交于点H,

•・•四边形A5CD是正方形，

：.AB=BC=AD=CD=4.ZA=ZABC=90°,

•・,点E,尸分别是AB,的中点，

：.AF=FD=2fAE=BE=2,

：.AF=BE,

：.AABF^ABCE(SAS),

NABF=NBCE,

VZABF+ZCBF=90°,

：.ZCBF+ZBCE=90°,

：.ZCPH=90°,

9：AF=DF,ZA=ZHDF=90°,NAFB=NDFH,

：・4ABF经ADHF(ASA),

：.AB=DHf

:・CD=DH,

又•：/CPH=90°,

：・PD=DH=CD=4,

故答案为：4.

•・•正方形ABC。和正方形5EFG中，AB=9,BE=6,

:.GF=GB=6,BC=9,

GC=GB+BC=6+9=15,

・・・CF=yjGF2+GC2=V62+152=3回.

•・・M、N分别是OC、。尸的中点，

：.MN耳=早

故答案为：字.

三.解答题（共7小题）

28.【解答】解：（I）如图①，是等边三角形，点A坐标为（0,4）,

AZAOB=60°,02=04=4,

：.ZBOC^30°,

：8C_Lx轴，

11

.,.在RtZkOBC中，BC=^OB=x4=2；

（II）①四边形AHDK为菱形，理由如下:

如图②，由翻折可得△AHKgZkZV/K,

:.AH=HD,AK=KD,ZAHK=ZKHD,

U：DK//OA,

：.ZAHK=ZHKD,

：・NKHD=NHKD,

:・HD=KD,

：.AH=HD=DK=KA,

・・・四边形A"OK为菱形；

②如图，•••△A03是等边三角形,

AZA=ZHDK=60°,

U：DK//OA,

：.ZOHD=60°,

：.ZODH=30°,

OHV3

—=tan30°

ODT

(III)设AO=OB=A8=2a,

VZCOB=30°,

:.BC=a,OC=V3a,

:将四边形0A8C折叠，

：.AH=CH,

'：HC1=OH2+OC2,

：.(2a-OH)2=。序+3/

：・OH=l，

.OHV3

"OC—12'

29.【解答】解：(I)VA(3,0),B(0,4),

：.OA=3,08=4,

•.•四边形048c是平行四边形，

：.BC=OA=3,BC//OA,AB//OC,

...点C的坐标为：(-3,4)；

故答案为：-3,4；

(II)由旋转的性质，可得：OD=OB=4,。尸=OA=3,ZODF^ZOBA,N0FD=/

OAB,

'：ZBOD=90°,

ii________________

:・SADOF=为D・OF=三x4X3=6,DF=y/OF2+OD2=V32+42=5,

9：AB//0C,

：.ZOBA=ZBOCf

：.ZODF=ZBOCf

•：/OFP=/DFO,

•••△O尸尸s△。尸o,

/△。尸尸=(竺)2=(2)2=2,

S^DOFDF525

.9954

SAOPF=~2^S^DOF=2^x6=2^；

(III)如图，重叠部分为五边形时，F'必须位于点5上方，

VOF=3,03=4,

・">1,

当点C在。'F'上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线DF'的解析式为y=*t+b,

将C(-3,4)代入，得4=9x(-3)+b,

q

解得：b=竽，

直线F'的解析式为尸步竽，

左x=0)得y=彳，

25

OF'彳'

•••FF=OF'-OF=T-3=T，

■27

：.P'F'=^F'0=j(d+3),

同理可得：P'0=14(d+3),

11246c

=9

•・S丛F，P,o5尸'F'P'0—5Xq(d+3)xp(d+3)=(d+3)

BF，2

.*-----=cosN。'F'0=BF'=d-1,

HFr5

\HFf=|(d-1),

HB,,4

.*-----=sinZDFO=p,

HF，5

4454

而zd\

---X-l-±1J--

553\Z3

1147o

••SAHBP=扣尸9HB=ix(d-1)x/d-1)=”d-1)2,

OO'=d,

•・0,G=OO'•sinZBOC=|j,OG=OO'•cosZBOC=

,•S/^OGO'=2O'G*OG—2x^dx'^d=

,•S=S^\F'P'o~S/\HBF'-S/\OGO'—2^(d+3)2—可(d-1)2—2S^=—W/+75d+75

30.【解答】解：（I）如图①，连接A3,

图①

:点C(4,2),

；.0B=AC=2,0A=BC=4,

：.AB=<0B2+0A2=V4+16=275,

由折叠可得：AD=A'D,AB=AB=2遮，

.-.A'O=2V5-2,

.•.点A'(0,2-2V5)；

(II)如图②，过点A作4E_LO4于£,

图②

•；BC'平分NOBD,

：./OBC=/DBC',

由折叠可得：NCBD=NDBC,/BDA=/BDA,

：.ZCBD=ZDBC=ZOBC=30°,

：.ZOBD=60°,

.•.ZOr)B=30°,

：.OD=WOB=2®NBZM=NBZ)A=150°,

：.AD=A'D=4-2V3,ZODA'=120°,

AZADE=60°,

・・・ND4石=30°,

：.DE=|A'D=2-V3,EA=遮DE=2W-3,

：.OE=2陋+2-V3=2+V3,

.•.点A(2+A3-2V3)；

(III)由折叠可得：AC=A'C=2,

当点C到AC的距离最大时，△AC'C面积有最大值，

当点D与点。重合时，点C到AC的最大距离为BC+BC=8,

1

.♦.△AC'C面积的最大值=/2X8=8.

31.【解答】解：(I)3矩形0A8C,

：.ZOAB=90°.

VZOAOi=45°,

：.ZOiAE=45°,

VZAOi£=90°,0iA=0A=2,

：.AE==2V2,

：.E(2,2V2)；

(II)四边形OAC1B是平行四边形，

在RtAAOB中，tanZAOB=翡=竽=遮，

：.ZBOA^60°,

同理，ZOiACi=60°.

\'OA=OiA,

AOAOi是等边三角形，

：.ZOAOi=60°,

...AC1与x轴的夹角=180-ZO1AO-ZC1A01=180-60-60=60°,

：.BO//AC1,

又20=AG,

/.四边形0AC18为平行四边形；

(III)点Ci的运动路径是以A为圆心，AG为半径的圆，

当点Ci在AB延长线上时，BC1为最小值，

过点Bi为作BiG±x轴A于点G,

在Rtz^BiAG中，48147=180-90-30=60°,

：.AG==遮，B]G=遮AG=3,

当BCi取得最小值时点Bi的坐标为(2+V3,3)；

当点Ci在A延A长线上时，8cl为最大值，

过点Bi为作BiH±x轴A于点”，

在Rtz^BiA”中，ZBiAH=i80-90-30=60°,

11

：.AH==宗X2V3=V3,B±H=靠AH=3,

当BCi取得最大值时点Bi的坐标为(2-V3,-3),

综上所述当BC1取得最小值和最大值时点21的坐标分别为(2+%,3),(2-百，-3).

32.【解答】解：(I)•・,把矩形。45。绕点。顺时针旋转135°，得至！J矩形

：.ZCOF=135°,ZDOF=ZD=90°,OD=OA,

：.ZFOM=1SO°-ZCOF=45°,

VA(1,0),

：.OA=OD=1,

9：ZDOM=90°-45°=45°，

：.OM=42OD=42.

(II)①;四边形。45C是矩形，

：.CB=OA=1,CB//OA,

■:CN〃OB,

・・・四边形CNOB是平行四边形，

:・NO