湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一）

湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一）

选择题（共12小题）

J1X2+23xy31

1.在一、一、----、---、----、----中分式的个数有（)

x22n3+ym+1

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.二次根式、短、V30>+丫2中,最简二次根式有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.第27届龙庆峡冰灯节接待游客大约230000人次，将230000用科学记数法表示应为（)

A.2.3X104B.23X104C.2.3X105D.0.23X106

4.下列各式中，无意义的是（）

A.APS1B.V102c.D.V10-2

5.下列各组单项式中，同类项的是（

A.3/8与一呼B.与-2y2x

C.-2m3n与3rr^nD./yz与3孙2

6.实数A,B,C,。在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（)

a.b

J————

-3-2-10123”

A.A和。B.A和。C.5和。D.8和。

7.下列计算正确的是()

A.V9=±3B.V9=-2C.70^=-3D.V9=3

XV

8.计算一7-的结果为（）

x-ly-1

-x+yx-y

A.B.

(x-l)(y-1)(%-l)(y-l)

-x-yx+y

C.D.

9.已知。贝！J3Q—2b的值为（)

A.4B.2C.-2D.-4

io.满足-遮<％<77的整数x有（)个.

A.6个B.5个C.4个D.3个

11.下列计算正确的是（）

A.〃2.〃4=〃8B.(a2)4=〃6C.(-/)4=一〃8D.-〃2)3=_〃6

12.如图，AC,BO是菱形48。的两条对角线，反比例函数y=5（%>°）的图象经过4C

且关于直线2。对称，若AC=2近，tan/。4c=3,则左的值是（）

A.6B.7C.8D.6V2

二.填空题（共6小题）

2x

13.当分式「的值为0时，尤的值为

14.分解因式：4/-16x=.

15.形如，7+2伤的根式叫做复合二次根式,对,7+2乃可进行如下化简:V7+2V6=

J（V6）2+2V6+1=J（V6+l）2=V6+1,利用上述方法化简：V10—2V21+

74-2V3+1=.

16.若关于彳的二次三项式尤2+丘+81是完全平方式，则上的值是.

17.已知-a+/+（b—Ip=0,则2a-b=.

18.2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”

形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状.操作：将一个边长为1

的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，

并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形.接着

对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三

角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形.不断重复这样的过程，就得到了

“科赫雪花曲线”.第n次分形后所得图形的边数是.（用含n的代数式表

示）

图①图②图③图④

三.解答题（共8小题）

19.计算：（H-2022）°+（一1一^X—V12.

20.先化简，再求值：（尤+2）（x-2）-x（x-1）,其中x=-l.

21.先化简，再求值：（1—~^2~）X'其中/—x—V^=0.

22.如图，某直升机在距离地面192米的。处，测得一小山顶A的俯角为a,同时测得坡

底8的俯角为0,已知tana=2,tan0=4,其斜坡A8的坡度为，=1：1,求山顶A的高

度AE（C、B、E在同一水平面上）.

23.某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两

次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元,买20

箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元.

（1）请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？

（2）该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价

格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为w元.设购进的甲品牌粽子

箱数为a箱，求w关于。的函数关系式；

（3）在条件（2）的销售情况下，要求每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽

子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍，当。为何值时，该超市获得最大利润？最大利

润是多少？

24.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的半圆。交于点。，DELAC,垂足为

E.

（1）求证：点。是8C的中点；

（2）判断。E与。。的位置关系，并证明你的结论；

1

（3）如果O。的直径为9,COSB=4，求QE的长.

25.如图1,RtZkABC中，90",AC=BC,。为CA上一动点，E为BC延长线上

的动点，始终保持CE=CD连接2。和AE,将AE绕A点逆时针旋转90°到连

接。足

（1）请判断线段8。和AF的位置关系并证明;

（2）当S-BD=蓊。2时，求NAEC的度数;

（3）如图2,连接ERG为中点，AB=242,当。从点C运动到点A的过程中,

EF的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长.

图1图2

26.如图1,二次函数>=以2-3办+6（人6为参数，其中a<0）的图象与无轴交于A、B

两点，与y轴交于点C,顶点为D

(1)若b=-10a,求tanZCBA的值(结果用含a的式子表示)；

(2)若△ABC是等腰三角形，直线与y轴交于点P,且AP：DP=2：3.求抛物线

的解析式；

(3)如图2,已知6=-4a,E、E分别是CA和CB上的动点，且EF=副8,若以EF

为直径的圆经过点C,并交x轴于M、N两点，求的最大值.

湖南省衡阳市2023年中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

2

X+23xy3二一中分式的个数有（

2、冗、3+y、771+1

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】分式的定义.

【分析】根据方式的定义即可求解.

131

【解答】解：按照分式的定义：-、——、——是分式；

x3+ym+1

故选：B.

2.二次根式VH、V30,F+产中,最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】最简二次根式.

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

【解答】解：最简二次根式有同，尸可，共2个，

故选：B.

3.第27届龙庆峡冰灯节接待游客大约230000人次，将230000用科学记数法表示应为（）

A.2.3X104B.23X104C.2.3X105D.0.23X106

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：230000=2.3X105,

故选：C.

4.下列各式中，无意义的是（）

A.B.VlO2C.J（-3）2D.V10-2

【考点】二次根式有意义的条件；负整数指数幕.

【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行判断即可.

【解答】解：A.V^=V=9，由于负数没有平方根，因此无意义，所以选项A符

合题意；

B.V102=V100=10,有意义，因此选项B不符合题意；

C，7（-3）2=V9=3,有意义，因此选项C不符合题意；

n.Vio^=U=存，有意义，因此选项。不符合题意；

故选：A.

5.下列各组单项式中，同类项的是（）

A.3a2b与—蕾B./y与-2«彳

3

C.-2/Mn与3”13rlD.x^yz与3x）r

【考点】同类项；单项式.

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行每一项

的判断.

【解答】解：A：。的指数不同，，不合题意；

B：两个单项式的x、y的指数都不同，...不合题意；

c：两个单项式的相、"的指数都相同，.•.合题意；

D：第一个单项式有z,第二个单项式没有，，不合题意；

故选：C.

6.实数A,B,C,。在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（）

_|_\—।——i——

-3-2-I（）123”

A.A和。B.A和CC.8和。D.2和C

【考点】实数与数轴；相反数；实数的性质.

【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案.

【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，

得a与d互为相反数，

故选：A.

7.下列计算正确的是（）

A.V9=±3B.V9=-2C.V（-3）3=-3D.V9=3

【考点】立方根；算术平方根.

【分析】根据立方根、平方根以及算术平方根的意义求解即可.

【解答】解：A丽=3,因此选项A不符合题意;

B.V-8=—2,因此选项B不符合题意;

C，7（-3）2=V9=3,因此选项C不符合题意;

D.V9=3,因此选项。符合题意;

故选：D.

XV

8.计算一-上的结果为（)

x-1y-1

-x+yx-y

(x-1)(y-1)(x-l)(y-l)

-x-yx+y

【考点】分式的加减法.

【分析】直接通分运算，进而利用分式的性质计算得出答案.

y(i)

【解答】解：原式=（x当.1）(x-l)(y-l)

xy-x—xy+y

(x-l)(y-l)

—x+y

故选：A.

9.己知/+/庐=2。-2,则3a—的值为()

A.4B.2C.-2D.-4

【考点】因式分解的应用.

【分析】先将原方程化成非负数和为。的形式，再根据非负数的性质求得a、b,进而代

入代数式求得结果.

【解答】解：：/+驰2=2。-b-2,

~2a+1+~rb~+b+1—0,

q

i

•**（a-1）之+（2b+1）2=o,

1

-1=0,-/?+l=0,

2

・・〃=1,b~~-2,

1

/.3a—/=3+l=4.

故选：A.

io.满足-V^vx<V7的整数X有()个.

A.6个B.5个C.4个D.3个

【考点】估算无理数的大小.

【分析】「可推出：-aWxW〃，从而可得出答案.

【解答】解：由题意得，-CWxWG,

，满足条件的整数有-2,-1,0,1,2,共5个.

故选：B.

11.下列计算正确的是()

A.«2,a4=asB.(a2)4=afiC.(-a2)4=-«8D.(-a2)3=-/

【考点】幕的乘方与积的乘方；同底数幕的乘法.

【分析】分别根据同底数塞的乘法法则，幕的乘方运算法则，积的乘方运算法则对各个

选项逐一判断即可.

【解答】解：A././:小，故本选项不合题意；

B.(a2)4=血故本选项不合题意;

C.(-/)4=/，故本选项不合题意；

D.(-a2)3=-a6,故本选项符合题意.

故选：D.

12.如图，AC,8。是菱形4BCD的两条对角线，反比例函数y=[Q>0)的图象经过A,C

且关于直线3。对称，若AC=2A/Ltan/。4c=3,则左的值是()

A.6B.7C.8D.6V2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形.

【分析】延长AC交x轴于点F,延长CA交y轴于点G,连接OC,过C作C//LOF于

H,由AC,2。是菱形ABCD的两条对角线，可得8O_LAC,AE=EC=0,延长08,

由反比例函数y=号族＞。）的图象关于直线BD对称，可得直线BD经过原点0,且BD

垂直平分线段GF,所以OG=OF,ZOGF^ZOFG^45°；利用tan/。4c=3,求得

0E,用勾股定理求出0A,再分别求得线段CH,。孙点C坐标可得，上的值可求.

【解答】解：延长AC交x轴于点R延长CA交y轴于点G,连接OC,过C作

OF于H,

VAC,BD是菱形ABCD的两条对角线，

J.BDLAC,AE=EC=&.

・・・反比例函数y=[(%>0)的图象关于直线5。对称,

・・・直线8D经过原点O,且瓦)垂直平分线段GF.

：.OA=OC,OG=OF,/OGF=NOFG=45°.

VtanZOAC=3,

OE

—=3.

AE

：.OE=3AE=3近.

:.EF=EG=0E=36

:.CF=EF-EC=2版.

'：CH±HF,NCFH=45°,

：.CH=芋CF=2.

\'OC^OA=y/OE2+AE2=2V5.

OH=VOC2-CW2=4.

：.C(4,2).

•••c在反比例函数丫=gO>0)的图象上，

"=2X4=8.

故选：C.

二.填空题(共6小题)

2x

13.当分式—的值为0时，尤的值为0.

2-x--------

【考点】分式的值为零的条件.

【分析】根据分式值为0的条件列方程和不等式求解.

【解答】解：由题意可得2x=0且2-xHO,

解得：x=O，

故答案为：0.

14.分解因式：4/-16元=4工(尤+2)(尤-2).

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】首先提公因式4x,再利用平方差进行分解即可.

【解答】解：原式=4x(x2-4)—4x(x+2)(x-2).

故答案为:4x(x+2)(x-2).

15.形如,7+2旄的根式叫做复合二次根式,对+2逐可进行如下化简:77+2V6=

J(V6)2+2遥+1=J(V6+I)2=V6+1,利用上述方法化简：V10—2V21+

74-2V3+1=_V7_.

【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的定义.

【分析】直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案.

【解答】解：原式=J(g_g)2+J(b_1)2+1

=A/7-A/3+(A/3-1)+1

=V7-V3+V3-1+1

=V7.

故答案为：V7.

16.若关于x的二次三项式/+日+81是完全平方式，则一的值是±18.

【考点】完全平方式.

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出左的值.

【解答】解：：/+息+81是关于尤的完全平方式，

k=±18,

解得：左=±18,

故答案为：±18.

17.已知-a+b+（b-l）2=0,贝!j2a-b--3.

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方.

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：根据题意得，a+b=0,b-1=0,

解得a=-1,b=l,

所以，2a-b--2-1=-3.

故答案为：-3.

18.2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”

形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状.操作：将一个边长为1

的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，

并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形.接着

对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三

角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形.不断重复这样的过程，就得到了

“科赫雪花曲线”.第"次分形后所得图形的边数是3X4〃.（用含”的代数式表示）

图①图②图③图④

【考点】规律型：图形的变化类；列代数式.

【分析】根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12,第二次分形后，得到的

“雪花曲线”的边数是48,，可得第几次分形后所得图形的边数是3X4",

【解答】解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12,

第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48,

所以第〃次分形后所得图形的边数是3义4”,

故答案为：3X4n.

三.解答题(共8小题)

19.计算：(豆-2022)°+(-1)-1-ExV3-V12.

【考点】二次根式的混合运算；零指数毫；负整数指数嘉.

【分析】化简零指数累，负整数指数塞，二次根式，然后先算乘法，再算加减.

【解答】解：原式=1+(-2)—J.X3

=1-2-1-2V3

=-2-2^3.

20.先化简，再求值：(x+2)(x-2)-x(x-1),其中兀=-1.

【考点】整式的混合运算一化简求值.

【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式的法则化简，然后代入数据计算求值.

【解答】解：(x+2)(x-2)-x(x-1)

=j?-4-f+x

=x-4,

当x=-1时，原式=-1-4=-5.

21.先化简，再求值：(1—与3:三，其中无一位=0.

【考点】分式的化简求值.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将/的值代入计算即

可.

【解答】解：原式=二一2产1.三

X乙x-1

二(%-1)2产

X2X-1

人人Y，

V%2—%—V7=0,

J?-x=V7,

原式=V7.

22.如图，某直升机在距离地面192米的。处，测得一小山顶A的俯角为a,同时测得坡

底5的俯角为0,已知tana=2,tan0=4,其斜坡A5的坡度为i=l：1,求山顶A的高

度AE(C、B、E在同一水平面上).

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】作AFLCD于足设AE=x米.由斜坡A8的坡度为i=l：1,得出BE=A£=x

米.WRtABDC,求得BC=^^=48米，贝UAF=EC=(无+48)米.RtAADF,得

出。P=A>tana=2(x+48)米，又DF=DC-CF=DC-AE=(192-x)米，列出方程

2(x+48)=192-x,求出x即可.

【解答】解：如图，作AFJ_C。于F.设AE=尤米.

:斜坡AB的坡度为i=l：1,

'.BE=AE=x米.

在RtZXBOC中，VZC=90°,CD=192米，ZDBC=Z^,

•.,=端=竽=48(米)，

：.EC=EB+BC=(x+48)米，

：.AF=EC=(x+48)米.

在中，VZAFD=90°,ZDAF=Za,

DF—AF,tana—2(x+48)米，

'：DF=DC-CF=DC-AE=(192-x)米，

：.2(x+48)=192-x,解得x=32.

故山顶A的高度AE为32米.

23.某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两

次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20

箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900兀.

(1)请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？

(2)该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价

格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为w元.设购进的甲品牌粽子

箱数为。箱，求卬关于。的函数关系式；

(3)在条件(2)的销售情况下，要求每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽

子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍，当。为何值时，该超市获得最大利润？最大利

润是多少？

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】(1)设每箱甲牌粽子进价为x元，每箱乙牌粽子进价为y元，根据买40箱甲品

牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900

元列出方程组并求解；

(2)根据(1)的结论以及“利润=售价-成本”解答即可；

(3)设购甲牌粽子。箱，则购买乙牌粽子为(200-A)箱，根据每种品牌粽子进货箱数

不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍列出不等式并求得a的

取值范围，再根据一次函数的性质解答即可.

【解答】解：(1)设每箱甲牌粽子进价为x元，每箱乙牌粽子进价为y元，

f40x+15y=2000

(20%+30y=1900'

解得:(y：40-

答：每箱甲牌粽子进价为35元，每箱乙牌粽子进价为40元；

(2)根据题意得，

W(40-35)。+(50-40)(200-a)=-5。+2000,

关于a的函数关系式w=-5a+2000；

(3)设购甲牌粽子。箱，则购买乙牌粽子为(200-a)箱，

贝U200-a^5a且«>30,

1

解得3OWaW33[.

由(2)#w=-5a+2000,

V-5<0,w随a的增大而减小，

...当a=30时，w最大，w最大=-5X30+2000=1850(元).

答：当a=30时，该超市获得的最大利润，最大利润为1850元.

24.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的半圆。交BC于点。，DE1.AC,垂足为

E.

(1)求证：点。是BC的中点；

(2)判断。E与。。的位置关系，并证明你的结论；

(3)如果O。的直径为9,cosB=求QE的长.

BOA

【考点】切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理.

【分析】(1)连接A。，根据等腰三角形的性质易证；

(2)相切.连接证明即可.根据三角形中位线定理证明；

(3)由已知可求2D,即CD的长；又NB=NC,在△(7£比中求。E的长.

【解答】(1)证明：连接AD

：45为直径，：.AD1BC.

又

二。是8C的中点；

(2)DE是OO的切线.

证明：连接OD

:BD=DC,OB=OA,

・•・OD//AC.

VAC±Z)E,

・・.OD±DE.

・・・DE是。。的切线.

(3)解：9：AB=9,cosB=I，

：.BD=3.

：.CD=3.

9：AB=AC,

：・NB=/C,

••cosC~至.

・••在△CDE中，

CE=1,DE=>JCD2-CE2=V32-l2=2&.

BOA

25.如图1,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为CA上一动点，E为3c延长线上

的动点，始终保持CE=CD连接8。和AE,将AE绕A点逆时针旋转90°至！jAF,连

接。R

（1）请判断线段和AF的位置关系并证明；

（2）当SMBD=〃B£）2时，求/AEC的度数；

（3）如图2,连接EF,G为EF中点，AB=242,当。从点C运动到点A的过程中,

斯的中点G也随之运动，请求出点G所经过的路径长.

F

A

A

图1图2

【考点】几何变换综合题.

【分析】（1）延长3。交AE于点X,由“SAS”可证△BCD丝△ACE,由旋转的性质和

全等三角形的性质可得BD=AE=AF,ZCAE=ZCBD,Z£AF=90°,由余角的性质可

得/AHB=90°=NFAE,可得A/〃BD可得结论;

（2）由三角形的面积公式可得&反=3瓦）=%£,可得由/垂直平分AE,由等腰三角形

的性质可求解；

（3）先求出点G在/ACE的角平分线上运动，即可求解.

【解答】解：（1）结论：BD//AF.

理由：如图1,延长交AE于点"

图1

：E绕A点逆时针旋转90°到AF,

：.AE=AF,ZEAF=90°,

在△BCD和AACE中，

BC=AC

Z-BCD=Z-ACE,

CD=CE

：.ABCD^AACE(5AS),

：.BD=AE=AF,/CAE=NCBD,

VZE+ZCAE=90°,

：.ZE+ZCBD=90°,

ZAHB=90°=NFAE,

：.AF//BD；

2

(2)(2)VSAABZ)=1BZ),

q

:・BD・AH=暴/A

：.AH=^BD=

・・・5〃垂直平分AE,

；・BA=BE,

9

：AC=BCfZACB=90°,

AZABE=45°,

又・；BA=BE,

：.ZAEC=67.5°；

(3)如图2,连接AG、CG,过点G作GM_LCE交CE延长线于M,GN1AC于N,

图2

VGMXCE,GNLAC,NACM=90°,

・•・四边形CMGN是矩形，

9：AF=AE,ZEAF=90°,G是EF中点，

：.AG=GE,AG.LEF,

VZCAG+ZACM+ZCEG+ZAGE=360°,

：.ZCAG+ZCEG=180°,

VZCEG+ZGEM=180°,

:・/CAG=NGEM,

又：NANG=/GME=90°,

，丛ANG"AEMG(AAS),

：.NG=GM,

四边形CMGN是正方形，

，CG平分NACE,

...点G在/ACE的角平分线上运动，

1

・••当。从。运动到A点，G点所经过的路径是正方形ACMG的对角线的一半，即为二X

V2AC=|AB=V2.

26.如图1,二次函数>=以2-3办+6(a、6为参数，其中a<0)的图象与x轴交于A、B

(2)若△ABC是等腰三角形，直线A。与y轴交于点P,且AP：DP=2：3.求抛物线

的解析式；

(3)如图2,已知6=-4a,E、E分别是CA和CB上的动点，且EF=|43,若以

为直径的圆经过点C,并交x轴于M、N两点，求的最大值.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)将6=-10a代入-3a尤+b,求得点A和