浙江省金丽衢十二校2024届高三年级下册第二次联考数学试题 含解析

金丽衢十二校2023学年高三第二次联考

数学试题

命题人：永康一中高雄略何承生审核：浦江中学

本卷分选择题和非选择题两部分.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.请考生将所有试题

的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合4={°4，2},5={x|x=3左—1,左eN},则AB=()

A,{0,1,2}B,{1,2}C.{1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集定义求解即可.

【详解】因为A={0,l,2},5={x|x=3左一1,左eN},

所以A5={2}.

故选：D.

2.若复数z满足：z+2彳=3-2i,贝U|z|为()

A.2B.72C.75D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用共轨复数的概念及复数相等的充要条件求出z,进而求出|z|.

【详解】设2=。+历,(。力€1i),贝ijz=a—6i,

所以z+25=3a—历=3—2i,即。=1/=2,

所以忖=[a2=A/5.

故选：C.

3.若函数/(x)=ln(e*+1)+依为偶函数，则实数。的值为()

11

A.----B.0C.—D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.

【详解】/(x)=ln(eX+l)+ax的定义域为R,

/e"+])

/(—x)=ln(eT+l)—tzx=ln—―-ax=]n(ex+l^-x-ax,

由于/(x)=ln(e"+l)+ox为偶函数，故

/(-x)=ln(ex+l)-(l+^)x=ln(ex+l)+or==(l+2〃)x=0,

故1+2〃=0,故I=—

2

故选：A

22

4.双曲线——J=1的离心率e的可能取值为()

A.当B.72C.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由题得到或a<0,再利用离心率e=£=Jl+±，即可求出结果.

a\a2

【详解】由，3-1)>0,得到或。<0,

当。>1时，e{=Jl+：=m

22

当.<0,双曲线-一—=1,e=-=2+^—<721

1一〃一〃aQ—1

所以l<e<0，

故选：A.

5.在中，“A,B,C成等差数列且5也45达氏5垣。成等比数列”是“_48。是正三角形”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即

得.

【详解】在ABC中，由A,B,C成等差数列，得25=A+C,而&+3+。=兀，则8=,,

由sinA,sin3,sinC成等比数歹ij,得sir?5=sinAsinC，由正弦定理得步=ac，

由余弦定理得方2=4+02—2QCCOS3，即ac=/+c2—近，解得a=c,因此一ABC是正三角形；

若.ABC是正三角形，则A=3=C=巴，sinA=sin3=sinC，

32

因此A,B,C成等差数列且sinA,sin氏sinC成等比数列，

所以“A,B,C成等差数列且sinA,sin5,sinC成等比数列”是是正三角形”的充要条件.

故选：C

6.已知抛物线G:炉=2y的焦点为R以尸为圆心的圆。2交Ci于A，B两点，交C1的准线于C,。两

点，若四边形ABCD是矩形，则圆。2的方程为()

A.炉+-1)2=12B.x2+(y-l)2=16

C.入1一寸=3D41一寸=4

【答案】D

【解析】

【分析】依题意知，圆。2的圆心坐标为且点歹为该矩形对角线的交点，利用点少到直线CD的

3

距离与点尸到A3的距离相等，可求得直线A5的方程为：y=-,从而可求得A点坐标，从而可求得圆

。2的半径，于是可得答案.

【详解】解：由题可得：抛物线G：必=2丁的焦点为/,

所以圆。2的圆心坐标为尸［o，gj，

因为四边形ABC。是矩形，且为3。直径，AC为直径，/0,g为圆。2的圆心,

所以点F为该矩形对角线的交点，

所以点F到直线CD的距离与点F到AB的距离相等,

故点尸到直线CD的距离2=1,

3

所以直线A3的方程为：y=5,

故选：D

【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F为该矩形ABCD的两条对

角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.

J_x+]无<0

7.已知函数/（x）=<2"一若/（石）=/（々）（石<々），则12-占的取值范围为（）

Inx,%>0

A.[e,+oo）B.[4-21n2,+oo）c.[4-21n2,e]D.[e-l,+oo）

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知3石+1=111々，转化为％—X=々-21n%+2.结合图像构造函数

〃(%)=%—21nx+2,xe(O,e],求出函数的值域即为本题答案.

【详解】由题意可知+I=lnx2，即石=2111%2-2,所以X2-西=%+2.

由图像可得/e(°，e],设〃(x)=x-21n%+2,xe(0,e].

2Y—2/Tx—2

则/(X)=1——=——,xe(O,e.令//(X)==——=0,则x=2

XXX

当丸'(x)>0时xe(2,e],当〃(x)<0时xe(0,2)

所以〃(x)=x—21nx+2在(0,2)单调递减，在(2,e]单调递增.

所以丸(%)在x=2时取得最小值入(2)=4—21n2,

可得々一%G[4-21n2,+oo).

8在三棱锥D-A5c中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥D-A6C的外接球直径，且

AC与所成角的余弦值为叶，则该外接球的表面积为()

7

1928r

A.—7tB.—71C.771D.16兀

33

【答案】A

【解析】

【分析】记球心为。，取A3中点为E、BC中点为F,连接OF、EF,易得

pyt]9

OE=OF=Vr2-1-EF=1，由cosNOEF==一，即可求出产=不，由此即可求出答案.

712

【详解】如图所示：记球心为。，取A3中点为E、中点为产，连接OE、OF、EF,

记外接球半径为小

在RtAB£>中，BD=2“—1，OE〃BD，OE=/2—1，

在一ABC中,EF//AB，EF=-AB=1

29

在Rt-OBE中，OF=d*-1，

所以AC与8。所成角为/。跖，即cosNOEE=»，

7

在」OEF中,OE=OF=J产一1，EF=1,

1FF

所以c°sNOEF=%=*^=?

19

解得：r29=—

12

IQIQ

所以该外接球的表面积为：4兀r2=4兀x—=一n

123

故选：A

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于函数f(x)=2sinx.cosx+26cos2%,下列说法正确的是()

A.最小正周期为2兀B.关于点岔］中心对称

C.最大值为6+2D.在区间一行~，历上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.

【详解】/(X)=2sinx-cosx+2百cos2x=sin2X+A/3(COS2X+1),

=2sin+-1-j+A/3,

函数的最小正周期T=g27r=Ji,故A错误；

2

=2sin^-y+y^+^=0+V3=A/3,所以函数/（x）图象关于点［一三,若］中心对称，故B

正确；

/（x）=2sin［2x+1］+百，所以函数的最大值为2+石，故C正确；

57r兀7C7C7C7C7C

由XC--,2x+-e-5,不，函数y=sinx在区间一不^单调递增，

JL乙I乙J乙乙乙乙

57rIT

所以函数/（九）在区间—五，五上单调递增，故D错误.

故选：BC

10.设定义在R上的函数“力的导函数为了'（X）,若X/xeR,均有4。）=（》+1）〃尤），则（）

A./（0）=0B,f（一2）=。（尸⑺为〃力的二阶导数）

C./（2）＜2/（1）D.%=—1是函数/（龙）的极大值点

【答案】AB

【解析】

【分析】由矿（尤）=（x+l）〃x）,令％=0,即可判断A；由已知得J/〉）］=7（"）,即得函数

［九」X

"^=e£+c,确定c=0,从而可得/（%）=%（二+。），求导数，即可判断B；令g（x）=〃^,（x〉0）,

判断其单调性，即可判断C；根据极值点与导数的关系可判断D.

【详解】由VxeR,矿（x）=（x+l）〃x）,令％=0,则0=（0+1）〃0）,，〃0）=0,A正确;

当xwO时，由矿（x）=（x+l）〃x）得矿（X）-〃“二对'。;），故于（":,

XX

即F（x）1=“X）,则/H=e，+c（C为常数），则/（%）=%（二+。），

"0)=0满足该式，故/(x)=x(e*+c),贝i|r(x)=e*+c+xe)

将/(%)=x(e"+C)代入矿(%)=(%+1)/(x)中，得X(ex+c+xe")=(x+1)x(ex+c)

xex+xc+x2ex=x2ex-^-x2c+cx+xex,而xeR,故c=0,

则/(x)=xe*，f\x)=ex+xex,/"(%)=e*+e*+xe*=e*(2+%),

故广(-2)=e"(2—2)=。，B正确；

令g(x)=/区,(％〉0),g〈x)=e%>0,故g(x)在(。,+8)上单调递增,

故半1〉芈，即/(2)>2/(1),C错误；

由于/'(%)=e'+xe：,令/'(x)>0,;.e*(l+x)>0,即得x>—1,

令广(力<0,二e'(l+x)<0,即得x<—L

故/(%)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

故x=—1是函数/(%)的极小值点，D错误，

故选：AB

H.已知正方体ABC。-A4GR，的棱长为1，点P是正方形4片。12上的一个动点，初始位置位于点

A处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为工，向对角顶点移动的概率为:，

42

如当点尸在点A1处时，向点⑸，移动的概率均为上，向点G移动的概率为:，则()

A.移动两次后，“俨。|=也"的概率为|

B.对任意〃eN*，移动〃次后，“石4//平面5。。1”的概率都小于3

C.对任意“eN*，移动〃次后，“PC,平面8。。］”的概率都小于：

D.对任意〃eN*，移动w次后，四面体P—3DG体积V的数学期望E(V)<：(注：当点P在平面

上时，四面体P—BDCj体积为。)

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出点尸在移动九次后，点A，3i，G，2的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和

三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.

【详解】设移动〃次后，点尸在点A，4，G，。的概率分别为/，优，。〃，幺，

其中%=。4="W，4=>”+々+6+4=1，

f111

an+-d„,+~Cn-\1,1(1Y

4424—+———

111"4212j

b=­a.H—d,

〃4+/T2i11<1Y

<解得：wc———

1711"42――

Cn=4%+a

~n-l1

bd

1n=n-4

a

dn=~n-\+上+万如

对于A,移动两次后，“忸。|=6”表示点p移动两次后到达点A，

所以概率为g=故A正确;

对于B,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以4(1,0,0),£>(0,0,0),5(1,1,0),c(o,1,0),4(1,0,1),(0,0,1),Bx(1,1,1),q(0,1,1),

因为。3=(1,1,0),DC]=(0,1,1),^1=(0,-1,-1),Z)1A=(l,0,-l)，AC=(-1,1,-1),

/、(n-DB=x+y=0

设平面BDC1的法向量为〃=(x,y,z),贝ij.

n-DC1=y+z=0

取y=l,可得元=-l,z=—l,所以〃二(一1,1,一1),

而B]A•几=0,RA•几=0,4AAA.平面

所以当点尸位于4或R时，/%//平面5OG，

当尸移动一次后到达点用或。।时，所以概率-x2=->-,故B错误;

423

对于c,4。=(一1，1，—1)="，所以当点「位于4时，PC，平面BDC］,

所以移动〃次后点p位于A，则%=；+；(—；］＜；'故c正确；

对于四面体］体积的数学期望E(V^—a-_+b-V_Bg+c'V_+d

D,P-5DCVnBDCinBinCiBDC］n'VDI_BDCI

s.Bg=¥(&)=［'因为。4=(1,0,1)，

DA-72o

所以点A到平面BDQ的距离为&=।।=-A=生，

\n\V33

同理点B］，G，D,到平面BDC］的距离分别为@,0,XI,

33

_1V3273_1v_v_1V3V3_1v_n

所以匕r=XX=，VBBDCXX=

A]—DBZDJC]~—3'-'=%—B»G=--—=0,

1111

所以E(V)—+—LLLo+LL—+—

423464666

所以E（V）=^+!111

当”为偶数,<—<—,

66265

111

当“为奇数,所以E(V)I故D正确.

662165

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点尸在移动〃次后，点4,男,G，。的概率，再结合由向量法

求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长最小值为.

【答案】8y

【解析】

【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为/，，根据己知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值.

【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为/，，根据已知得2。=4,

由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为L侧=4a+2/22后标才=8后,

1厂

当且仅当4M=2/时，即r=—7=,/=2五时等号成立.

故答案为：8Vl

13.某中学的45两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2

节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有

种不同的排课方式.（用数字作答）

【答案】8

【解析】

【分析】由〃表示数学课，b表示语文课，。表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所

有可能情况可得答案.

【详解】由，表示数学课，b表示语文课，。表示英语课，

按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得

若A班排课为aabbc，则B班排课为bbcaa，

若A班排课为bbaac，则B班排课为aacbb，

若A班排课为aacbb，则B班排课为bbaac，或B班排课为cbbaa，

若A班排课为bbcaa，则B班排课为aabbc，或B班排课为caabb，

若A班排课为cbbaa,贝!JB班排课为aacbb,

若A班排课为caabb，则B班排课为bbcaa，

则共有8种不同的排课方式.

故答案为：8.

uuuiuuLLJL-UUIT

14.设正巩边形的边长为1,顶点依次为A，a，若存在点尸满足尸4•尸4=0,且贝I"

攵=1

的最大值为.（参考数据：tan36%0.73）

【答案】5

【解析】

【分析】由题意确定尸点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及时不符合题意，说

明〃=5时满足题意，即可得答案.

UUIUUUU

【详解】由题意知点尸满足尸A•尸4=o,则？点在以A4为直径的圆上，

当〃=6时，设5C2M为的中点，如图，

\^PAk\=2\PB+PC+PD\=2\PB+2PM\,

k=l

_n

当PB,PM共线且方向时，即用P,M三点共线时，取最小值，

k=l

此时IP呜,出册出岑=手则收|=苧一

则2|依+2尸M1mhi=36—3>1,故〃=6时，不满足题意;

当〃=5时，设CN为的中点，如图，

5_____5

\^PAk\=\2PC+2PN+PA4\,当PC,时共线且反向时，取最小值，

K=1K=1

此时c,P,N,A4共线

。）。久11

ZAAC=72,tan72°=―~«3.13,|G41=-xtan72°«1.56,|PA1=|C41--«1.06,

41-tan3642442

0-73

NA4AA3=36,.-.|A4^|=lxsin36»1x®0.59JP2V1.06-0.59=0.47,

,1+0.732

则I2PC+2/W+%I.引1—2x0.47—1.061=1,

则当PC,3共线且同向时，必有12PC+2PN+1n1ax>1，

UUULUUU,

故〃=5时，存在点尸满足总・尸4=。，且=1；

k=\

故〃的最小值为5,

故答案为：5

【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点

在于要分类讨论正“边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝的前"项和为S),，S.2S„=2a„+n2-l.

(1)求4；

1

(2)求数列《，的前”项和北.

〔44+1J

1*

【答案】(1)%,=〃+—,〃eN

2

22

(2)T=--------

"n32n+3

【解析】

【分析】(1)根据5“的关系求通项公式即可;

(2)裂项相消法求和即可得解.

【小问1详解】

由2s“=2%+"-1①

所以当2时，2S,-=2a,i+(〃—I--1②

②—①得：2an=2an-2an_^2n-l,整理得：an_x=n-^n>2,

1*

所以a,=«+-,«eN.

【小问2详解】

1

由(1)知。“=72~\-----，

2

]1122

所以a“4+i1-32〃+12〃+3,

〃+一〃+一

22

所以<=‘+’+

122222-------2-------2--=--2---------

+-------3-5+5-7+

aa2〃+12zz+332M+3

nn+l

16.如图，在四棱锥尸—ABC。中，四边形A8CD是边长为2的正方形，平面AAOJ_平面A8CD,

PA=PD=5点E是线段AD的中点，CM=2MP.

(1)证明：五石〃平面BDM；

(2)求平面与平面的夹角.

【答案】(1)证明见解析

⑵

3

【解析】

【分析】(1)连接EC交BD于N,连接肱V,根据条件证明MN//PE即得；

(2)先证明尸石，平面ABCD,依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面与平面8QM的

法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.

小问1详解】

如图，连接EC交30于N,连接MV,由E是A。的中点可得。后=14。=L3。=1,

22

易得DEN与△3QV相似，所以EN=LNC,

2

又PM=LMC,所以MN〃PE,

2

又MNu平面BDM,PE<z平面BDM,所以尸E〃平面BDM；

【小问2详解】

X

因平面八4£>，平面ABCD，且平面A4Dc平面ABCD=AD,由PA=PD=百，点E是线段的

中点可得PEJ_A£),

又上u平面E4D,故得尸石，平面ABCD如图，取BC的中点为户,分别以为x，%z轴的

正方向，建立空间直角坐标系.

则E（0,0,0）,A（l,0,0）,£＞（-1,0,0）,5（1,2,0）,C（-l,2,0）,P（0,0,2）,

PC=（-1,2,-2）,PM=则

设平面AA/B的法向量为4=（%,%,zj,由AB=（0,2,0）,AM=（-

Y\•AB=2yl=0

则424故可取为=(1,0,1)；

n1-AM=--x1+-y1+-z1=0

设平面的法向量为%=(%2，%，22)，由BD=(-2,-2,0),3"

n2.BD=—2X2—2y2=0

则《444故可取巧=(l,-l,o).

4•BM-—-%2-3y2+3z2=0

故平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为kos〈4,%〉|1_1

-

4%V2-V22

兀

所以平面AMB与平面BDM的夹角为一.

3

17.某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现

抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表:

测试指标[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]

元件数(件)121836304

(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

2

若随机变量X具有数学期望E(x)=〃，方差。(x)="，则对任意正数£,均有尸成

立.

(i)若乂证明：P(0<X<25)<^；

(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若

该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供

的合格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)

23

【答案】(1)

43

(2)(i)证明见解析；(ii)不可信.

【解析】

【分析】(1)由条件概率的公式进行求解即可；

(2)(i)由X~51100,3］求出£(乂)=50,。(乂)=25,再结合切比雪夫不等式即可证明；(ii)设随机

抽取100件产品中合格品的件数为X,X:5(100,0.9),由切比雪夫不等式判断出

P(x=70)<P(|X-90|>20)<^=0.0225,进而可得出结论.

【小问1详解】

记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到两个合格品,

尸(4为=寻=果,。(4)=C；o°-1—301

JooCfoo330

P3小M嗡蜜

【小问2详解】

⑴由题：若乂~51100,£|,则E(X)=50,D(X)=25

门、100

又p(x=3U00d=P(X=100-4),

所以P(0VXV25)=gP(0VXK25或75VXV100)=1P(|X-50|>25)

由切比雪夫不等式可知，P(|X-50|>25)<—=—

所以P(0<X«25)«*；

(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,

假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则X:5(100,0.9),

所以E(X)=90,D(X)=9,

由切比雪夫不等式知，P(X=70)<尸(|X-90|>20)<—=0.0225,

即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225,此概率极小，由小概率原理可知，一般来说

在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.

22

18.已知椭圆L:=+二=1(。〉。〉0)的左顶点4(—3,0)和下顶点B,焦距为4夜，直线/交椭圆心于

a~b~

C,D(不同于椭圆的顶点)两点，直线交y轴于直线8c交无轴于N,且直线交/于P.

(1)求椭圆L的标准方程；

(2)若直线4。，BC的斜率相等，证明：点尸在一条定直线上运动.

2

【答案】(1)L:—+y2=1

9-

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程;

⑵设直线AD,8c的斜率为k,联立直线40:丁=左（％+3）和椭圆方程，得到。（%,%），联立直线

,、\MP\\DP\.、

=—1和椭圆方程C（%，x）,由于A。//BC,所以扁=扁，可得点。（%，%），利用消元

法可得点P的轨迹方程，即可得证.

【小问1详解】

由己知得：a=3,c=2j2,所以办=1,所以椭圆L：L+y2=i

9

【小问2详解】

设直线AD,BC的斜率为左,C（石,％）,£>（%，%），？（%，%）-

则直线AD:y=M%+3）,直线3C:y=Ax—1,得M（0,3k）,N\,0

<'（：+3），得（］+9左2卜2+54左2%+8i左2一9=0,易知A〉O.

联立

227

x+9y=91

由一3”『「/曰3—27左2j/、6k

传"2=1^’于无力一伍+正百.

21+942

18/_942—1

同理：X11+9左2'%―1+9左2

,3-27-2

由于皿/BC,所以即符即,得x°=Wl①，