2024年高考数学押题预测模拟卷4（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷04

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.__________

21-1

A=\x\y=yl-x+x+2\5=fy|y=2）4R

1.已知集合।J,°/j,则A（B=（）

A.{x|0WxW2}B.{x|0<x<2}C.{x|x>-l}D.{x|x>-l}

【答案】B

【解析】由—/+》+220,得d—%—2<0,-l<x<2,即4={%]-1«无V2},

由y=2*T〉0,得3={x|x>0},

故Ac3={x|0<xW2}.

故选：B

2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为

“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，

一定符合该标志的是（）

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

【答案】D

【解析】由于甲地总体均值为3,中位数为4,即中间两个数（第$6天）人数的平均数为4,因此后

面的人数可以大于7,故甲地不符合.乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总数为10,又由

于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7,故乙地不符合，丙地中中位数为

2,众数为3,3出现的最多，并且可以出现8,故丙地不符合，故丁地符合.

故选：D

3.己知eb均为单位向量.若则。在〃上的投影向量为（）

A—aB.-aC.—bD.-b

2222

【答案】D

r【o°I

【解析】由|a—b|=l,可得a-la-b+b=1，所以=

贝Ui在b上的投影向量为华必=-b.

b22

故选：D

4.已知加，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若mHn,且〃ua,则7〃//aB.若_L”，且〃ua,则mJ_a

C.若mJ/a,且则a〃/D,若H2_La,且加，/，则a//，

【答案】D

【解析】

如图所示正方体,

对于A,若i〃〃，。对应直线A6,C£＞与平面A6CQ,显然符合条件,但mua,故A错误;

对于B,若对应直线A昆CB与平面ABC。，显然符合条件,但mucz,故B错误；

对于C,：若zn,a,力对应直线与平面”GCD,平面HGFE,显然符合条件，但。ca=HG,故

C错误；

对于D,若；加_Le,且相，耳，又仅是两个不同的平面，则&//£,故D正确.

故选:D

5.冬奥会会徽以汉字‘'冬"（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统

文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法

中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°,45。，60°,90°,120°,150°

等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△/劭（如图

4,AC=AD=2,若点给好在边班上，请帮忙计算sin/力加勺值（）

„371511

AB-5U.-------D.—

-41616

【答案】C

【解析】由题意，在△ABD中，由余弦定理可得,

2ADBD2x2x416

3715

因为ZADBG(0,7T),所以sinZADB=Jl-cos，ZADB=

16

在，ACD中，由AC=A£>=2得sin/ACZ)=sinNAZ)B=2更

16

故选:c

6.已知a为锐角，且tana+tan1巴—a]=3,则包1Z巴tl=（）

14）3cos2a

11

J32

【答案】A

【解析】tan^+--tana=—,「.tane=2或一,，a为锐角,tana=2

1+tancr33

sin2a+1_（sina+cosa）2_sincz+cosa_tana+1_3_

cos2acos2cr-sin2acosa-sina1-tancr-1

故选：A

22

7.已知过原点徽直线/与双曲线=-当=1（。>0/>0）交于46两点（点/在第一象限）,可,

ab

尸2分别为双曲线加左.右焦点，延长4尸2交£于点C，若忸耳|=|AC|，/48鸟=三，则双曲线那J

渐近线方程为（）

Ay=±42xB.x=±0yC.y=±y/3xD.x=土小y

【答案】A

【解析】如下图所示：

连接4£,。耳，

由直线/过原点。并利用双曲线的对称性可知，A8关于原点对称，耳,工也关于原点对称;

可得四边形A耳3工为平行四边形，所以忸闾=|A4|=|AC|,

由双曲线定义可得|四|—|明|=2」，即|ACj—卜|Cg|=2a,

又|C6|-|C闾=2a,可得|C制=4a,

由NRBF]=|可得=；,又1|=|AC|可得△明。为正三角形，

所以|M|=|C4|=gC|=4a,可得闺阊=2疯z=2c,即。=吗；

又。2=/+/=3",所以。2=2〃2,即力=

可得渐近线方程为y=±-x=土缶；

a

故选：A

111

8.已知1086。="log4b=]，c=(l+e尸，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】由log6a=:,得到a=6：，Xlog4/?=1,所以人消，

所以42=(6"产=216，〃2=(43)12=256，又256>216,

所以"2>"2,又。>0*>0,得到〃>。，

111,11八\1

令y=(l+x)，x>l)，则lny=《ln(l+x),所以],=_'ln(l+x)+诉不，

\_

得到/-[一-\ln(l十%)十1](1+%)*—(；：尤)[尤-(l+x)ln(l+MP

Xx(l+X)X(1+x)

令/z(无)=x-(l+x)ln(l+x),则h'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)<0在区间(1,+co)上恒成立，

所以/z(x)=x-(1+x)ln(l+x)在区间(1,+oo)上单调递减，

r

又/z(l)=]_(l+l)ln(l+l)=]_21n2=]_ln4<0,当xe(l,+8)时，0+^)n.

x2(l+x)

I

得到y=W±a」x—(l+x)ln(l+创<0在区间(L转)上恒成立，

X(1+x)

1

所以y=(1+%户在区间(L长。)上单调递减，

1I

又ev3,所以c=(l+e户>(1+3)§=6，得至

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4=1—3i,Z2=(2—丁，z3=^1121,则()

1+i

A.4+Z2=4+7iB.4/2,23的实部依次成等比数列

c.yJio\z}\=2\z2\D.Z],Z2，Z3的虚部依次成等差数列

【答案】ABC

,、28+10i(8+10i)(l-i)

【解析】因为Z2=(2—i)2=3—4i,23=<一=匕=9+1,所以Z]+Z,=4-力，所

\71+1%—V

以z1+Z2=4+7i,故A正确；

因为4，z2,Z3的实部分别为1,3,9,所以4，z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确；

因为4，z2,Z3的虚部分别为-3,T,1,所以4，Z2，Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误；

VlOlzJ=V1OXA/1+9=2|Z2|=2x5=10,故C正确.

故选：ABC.

10.已知函数/（x）=tan[5x+：）+l，则（）

A./（x）的一个周期为2B.7（力的定义域是g+

C.〃尤）的图象关于点心,1）对称D."可在区间[1,2]上单调递减

【答案】AC

（7兀1兀1T=~=2

【解析】对于A,由〃x）=tan[—x+—1+1可知其最小正周期71,故A正确;

2

।」./•/\,(兀兀)1—，兀7171j1^11f-r

对于B,由/(x)=tan|—x+—|+1可知一x+—w—+E=>XH—+2左,％eZ,

[22422

故B错误；

._,/./\|71兀—71717171

对于C,由/(x)=tan|—x+—1+1可知x=-n—尤+―=—，

''124J2242

此时的图象关于点9j对称，故C正确；

对于D,由/（x）=tan[]x+；）+l可知xe[1,2]n+：e

兀3兀3兀5兀兀3兀

Xy=tanx^上递增，显然—u,故D错误.

122」1_44」|_22」

故选：AC

11.已知函数/（X）及其导函数/'（无）的定义域均为R,S.f（x-l）-f（l-x）=2x-2,7'（x）的

图象关于点（1,0）对称，贝I（）

A./（0）=1

B.y=/（x）-x为偶函数

c.〃龙）的图象关于点（L0）对称

D.广（2024）=—2023

【答案】ABD

【解析】由/（尤一1）一/（1一%）=2%一2,可得/（九）一/（一%）=2%，则/'（尤）+/'（—％）=2,令

x=0,得/'（。）=1,A正确.

令g（x）=〃x）-x,则g（—x）=/（T）+x=/（x）—尤=g（x）,故y=/（x）-x为偶函数，B正确.

假设/（无）的图象关于点（1,0）对称，则/'（x—l）+/（l—x）=0,

则广（九一1）一「（1—X）=。，gpr（x）-r（-x）=o,贝i」r（x）=i,

这与/'（无）的图象关于点（1,0）对称矛盾，假设不成立，C不正确.

因为尸(力的图象关于点(1,0)对称，所以/'(l+x)+/'(l—x)=0,

令//(尤)=+,则/(x)=/'(l+x)+/'(l_x)=0,

则/i(x)=/(l+x)_/0_x)=C(C为常数)，则〃x_l)_〃x+l)=2x_2_C,

从而广(x—1)—/(x+1)=2,即/(尤+2)=/⑺—2,

由/'(0)=1,得/'(2024)=/'(0)—2x2012=—2023,D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线C：V=8x焦点为歹，过产的直线/与曲线。交于A3两点，点A的横坐标为6,则

M=—■

322

【答案】-##10-

33

【解析】由题意可得抛物线C:V=8x的焦点为尸(2,0),

由抛物线的对称性，不妨设点A在第一象限，则点B在第四象限，

因为点A的横坐标为6,

所以V=8X6=48,解得y=±4百，不妨设4(6,46)，

所以七尸=4&-。=6,所以直线/的方程为＞尤—2),

6—2

设3(々，％)，联立＜［一"("一2)，可得3%2_20X+12=0,

y=8x

,202

所以A＞0,x2+6=,解得/=§，

所以=Jl+36-J=事.

32

故答案为：—

3

13.已知随机变量X〜N(2,4),且尸(XWa)=P(XNl),则的展开式中常数项为

【答案】1215

【解析】X〜N(2,4)，P(X<a)=P(X2l),

〃+1C

=2,:.a=3.

展开式第r+1项:

__16_3

=(2产(_3)42<屋(_3)42’

r=4,Cg(-3)4=15x81=1215.

故答案为：1215.

14.在四面体ABCD中，AB=a，AD=BC=1,CD=R,且NB4D=NA5C=],则该四面

体的外接球表面积为.

【答案】7兀

【解析】

B

如图，作加，平面ABC,连接易得，A民因AS,AD,

ADnDH=D,AD,DHu平面DAH,

所以AB1平面ZMH,AHu平面D4H，故ABLAH,

由题可得NBAC=30，AC=2,则z7£4C=120.

不妨设AH=x,DH=h,则有/+外=1①，

△HAC中，由余弦定理，HC2=x2+4-2x2xcos120=x2+2x+4,在△HDC中，

A2+x2+2x+4=6®，

将两式相减化简即得：x=~,h=-.

22

取线段AC中点E,过点E作OE，平面ABC,其中点。为外接球的球心，设外接球半径为R,

,117

由余弦定理求得=—+1—2x—COS120=—,

424

在直角梯形HEOD中，O£2=R2—1，由R2=(JR2—1_曰)2+:计算可得:R2=；,则该四面

体的外接球表面积为7m

故答案为：77r

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个,

标号为3号的球有2个.现从这8个球中任选2个球.

(1)求选出的这2个球标号相同的概率；

(2)设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布列与数学期望.

127

【答案】(1)—(2)分布列见解析，—.

428

【解析】(1)依题意，选出的这2个球标号相同的概率为03+=二=±.

(2)X的所有可能取值为0，1，2,

C；C；63

P(X=0)=p.(x=D=c；c；胄Cq,P(X=2)=

C2-28-14

4C82oo

X的分布列如下：

X012

£153

P

42814

15327

拗数学期望E(X)=—+—=

28728

16.设函数/(x)=lnx+£%eR.

x

(1)若曲线y=/(x)在点(e,7(e))处的切线与直线％—2=0垂直，求左的值；(其中e为自然对数的

底数)

(2)在(1)的条件下求/J)的单调区间和极小值.

【答案】(1)k=e(2)/(x)的单调减区间是(0,e),单调增区间是(e,+8),极小值为2

k1k

【解析】(1)由/(x)=lnx+—可得/'(》)=——r(x>0),

XXX

因为y=在点(e,/(e))处的切线与无一2=0垂直，

1k

所以此切线斜率为0,即广(e)=——^=0,解得左=e；

ee

jex—p

(2)由(1)可得r(x)=——(x>0),

xxx

由/'(无)<0得0<x<e,由/'(无)>0得%>e,

所以"X)的单调减区间是(0,e),单调增区间是(e,+co),

e

所以当％=e时，〃幻取得极小值/(e)=lne+—=2

e

17.在三棱台DEF-ABC中，CE_L平面ABC,AB1BC,且区4=3C,AC=2DF,M为

CFMC

AC的中点，尸是CT上一点，且J=2(zl>l).

DFCP

(1)求证：CDJ_平面PBM；

(2)已知CP=1,且直线5c与平面尸现f的所成角的正弦值为逅时，求平面ER以与平面？

6

所成夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）2场

15

【解析】（1）'：BA=BC,且M是AC的中点，则

•.,CE_L平面ABC,3"匚平面43。，；.。/"18”.

又CF4。=。,。”4。＜=平面4。£0,；.5加工平面4。£0，

因为。Cu平面ACED,

DCLBM.①

b党NCFD-CP/,

DF

,CFD^MCP,则ZPMC=ZFCD.

TI„71

NACD+NFCD=-,：.NPMC+ZACD=-,

22

...在平面ACFD中DC，.②

BMPM=M,BM,PMu平面PBM,

由①②知，平面PBM.

（2）由题意得/〃C尸，CFL平面ABC,

DM，平面ABC.

由（1）可知故M为坐标原点.

如图，以MB,MC,MD所在直线分别为x,z轴，建立空间直角坐标系.

：.CM=DF=A,DM=CF=A2.

.-.M（0,0,0）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,22）-

;AC=2DF,

由棱台的性质得BC=2EF,BC=（-2,2,0）,

ME=

由⑴可知平面PBAf的一个法向量为CD，且CD=（0,-尢硝.

■直线与平面PBM的所成角的正弦值为迈，

6

\BC-CD\

/.|cosBC,CD|=j-(2>0)

BC|-|CD|6

2

即H|解得4=0.

WLxJ/P+i6

...平面PBM的一个法向量为CD，且。=倒,一衣2).

平面EFM的法向量为、n=(%,y,z).

•；ME,2,MF=(0,0,21

口万7

n•ME=x+y+2z=0y=-A/2Z

22，即<

-A/2Z，

n-MF-6y+2z=0x=

当z=-1时，x-5/2，y=V2.

平面MEF的一个法向量为〃=(&,&,—1).

|市|」〃。4一2+2一2回

COS凡CD\—--i----r——尸---尸—-----.

11|n||CL>|76x7515

二平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值2甄.

15

18.在平面直角坐标系中，动点施J点网1,0)的距离与到直线x=4的距离之比为［

(1)求动点斓L迹㈱方程；

(2)过点邢J两条直线分别交吁/,方两点和C砸点,线段45,如的中点分别为RQ.设直线CD

11,

的斜率分别为左，k2,且7+1=1，试判断直线国是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，

化1左2

请说明理由.

22

【答案】⑴：+：=1(2)直线胤过定点(0,-4).

【解析】(1)设点施勺坐标为(x,y),由题意可知，J(xT)+/=］_,

\4-x\2

22

化简整理得，解J方程为土+匕=1.

43

(2)由题意知，设直线做方程为y=4(无—1),与腑］方程:+(_=1联立可得,

(4片+3产一哈+4片-12=0,

8k2

1

设B(孙％)，由韦达定理得，^+%2=,

4Kl।、

则%+%=&(%+%)—2勺=彳左?+3，

所以，点崩坐标为

（4女2一3人1

同理可得，曲）坐标为22,22.

（4%+34片+3）

4kk一3

所以，直线H的斜率为即o=4（：；4）,

4M、3kl

所以，直线国的方程为y=呀2二3x-

4（：+匕）46+3,46+3

4Az-3匕鼠

即y=Ejx-K,

111

又丁+干=1，则匕+左2=4上2,

K]^^2

4kk-3

所以直线闾的方程即为y=—rA—%T，