江苏省苏南八校2023-2024学年高一年级上册12月联考数学含解析

2026届高一年级联考

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4。分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.函数f=Inx-|的零点所在的区间是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

2.函数y=Jlogos(4x-3)的定义域为()

A.[l,+8)B.[J4,1]C.&21]D.(O.J4]

3.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当％<0时，/(x)=ax3+1,若f(2)=5,则a=()

A.-i1Bi1C.-43D.g3

2244

4.已知logi89=a,18b=5,贝!Jlog4581=()

A.―-^7B.号C.二D.W

a+baba+ba+b

xx2

5.已知函数f(久)=(^)-log2x,g(K)=(|)-x,八(久)=弓尸—/在区间(0,+8)内的零点分别是a,b,

c,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

6.函数y=xcosx+sinx在区间[一九,初的图象大致为()

7.已知函数f(%)=loga(x-2)-6(a>0且aW1)的图象经过定点4且点4在角。的终边上，贝!J(3sin6-

2cos6)2—4=()

A.-jB.yC.5D.y

8.已知函数3y+3a且。41)在R上单调递减，且关于x的方程

十J.J十_L,XNU

1/(%)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，贝Ua的取值范围是()

A.(0,|]B.[|,1]C.[i,|]U{1}D.扇|)U给

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，是偶函数且在(0,+8)上单调递增的是.()

11

A.f(x)=x2-\x\B./(x)=-C./(x)=In|x|---D./(x)=e'x'

XX

10.已知sina—cosa=，，且a为锐角，则下列选项中正确的是()

AA.s.macosa=—12B.sina+cosa=-7cC.Lcre(C0,江-、1nD.4tana=-4

255\4/3

11.已知函数/(%)=sin(cosx),则()

A./(%)为偶函数B.27r是/(%)的一个周期

C"(x)在(一别)上单调递增D(久)=/(0㈤内仅有1个解

12.下列命题正确的是()

A.命题:“vxe(l,+8),都有％2>1”的否定为“mxe(—8,1],使得/W1”；

B.设定义在R上函数/(久)=f；坪]C3则/⑴=1；

C.已知关于％的不等式a%2+b%+c>0的解集为{%[%<一1或久>2},贝！Jabc>0；

log34

D.已知a=log36,b=log510,c=2,则a,b,c的大小关系为c>a>b.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知〃>0力>。.若。+2/?-2"=0,求Q+3Z?的最小值是.

14.已知sinb+2cos0=0,则3sin(7i—0)cos(|TT-6)+COS(TT+6)cos(|TT-9)=.

15.已知函数y=f(x-2)的图像关于1=2对称，且对y=/(%),xER,当％“x2E(-8,0),且%】w切时，

“匕<o成立，若/(2ax)</(2x2+1)对任意久eR恒成立，贝b的取值范围为.

16.已知函数〃久)=|2-x-1|,g(x)=《呼次'，；”<2，且方程=加有两个不同的解，则实数机的

取值范围为,方程川/0)]=机解的个数为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知a>0,a41,设集合力={x|loga(x+1)>loga(5一久)},B={x\2m—1<%<m+1}.

(1)若a>l,请用区间表示4

(2)若1,9€4且力CiB=B,求机的取值范围.

18.(12分)

设函数/(x)=V~^cos(2x+J)+2,xeR.

(1)求函数/O)的单调递增区间、对称轴和对称中心；

(2)若xe[0,刍，求的最大值及最小值并指出相应的x值.

19.(12分)

2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密

克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影

响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对

某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y

表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

双丁)123456

y(万个)1050250

若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过x(x6N*)个单位时间T的关系有两个函数模型

y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.

(参考数据：<5«2.236,<6«2,449,20.301,均6ao.778.)

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

20.(12分)

已知函数/(久)=言，g(x)-log2(x-1).

(1)若2>0,函数/i(x)=/。:)一/190)在区间(3,5)上存在零点，求4的取值范围；

(2)若a>1,且对任意%1G[a,a+3],都有&&[a,a+3],使得/(%i)<。(血)成立，求a的取值范围.

21.(12分)

2

已知函数/(%)=loga(V%+1—zn%)在R上为奇函数，a>1,m>0.

(1)求实数爪的值并指出函数/(%)的单调性(单调性不需要证明)；

(2)设存在%eR,®/(cos2%+2t-1)+/(2sinx-t)=0成立，请问是否存在a的值？使g(t)=a4f-

2t+i最小值为一|,若存在，求出a的值.

22.(12分)

x

已知函数/(%)=log9(9+1)+bx(beR)为偶函数.

(1)求b的值；

(2)求/(%)的最小值；

2x

(3)若一2-"))<f(2+2-2%)对v%GR恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案

一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一

项)

2

1.函数/(%)=lnx-一的零点所在的区间是()

x

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数零点存在性定理，属于基础题.

根据函数零点存在性定理判断即可.

【解答】

2

解：函数”x)=lnx——在(0,y)上单调递增，

x

2

又/(2)=ln2-l<0,/(3)=ln3-j>0,“2)-“3)<。，故零点所在区间为(2,3).

故选B.

2.函数y=Jlog05(4x—3)的定义域为()

A.[1,+℃)B.[工,1]C.(11]D.(0,—]

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查对数函数定义域，属于基础题.

根据对数的真数大于零，以及偶次根式下的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式

组即求得函数的定义域.

【解答】

4x-3>03

解：由题可知:解得—L

log05(4x-3)..0

3.已知函数/(尤)是定义在上的奇函数，当x<0时，/(x)=ax3+l,若"2)=5,则

a=()

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查利用函数的奇偶性求参数，属于基础题.

由已知条件得出a-(-2)3+1=-5,解方程即可.

【解答】

解：是定义在R上的奇函数，"2)=5,

贝!]/(-2)=-/(2)=-5,

又当无<0时，f(x)=ax'+1,

则a.(-2)3+1=-5,

3

解得a=—•

4

故选D

4.已知log—=a,18〃=5，贝！Hog4581=()

a2-a2a2-a

A.-----B.----C.----D.----

a+baba+ba+b

【答案】c

【解析】【分析】

本题考查对数的换底公式，对数的运算法则，属于基础题.

先由18"=5得到人=1。&85,再利用换底公式化简即可.

【解答】

解：因为18〃=5，

所以b=k>gi85,又10gl89=a,

所以log,s81==——=2.

log1845log185+log189b+a

故选C.

5.已知函数/'（工）=。）*-/ogzX，g（x）=（夕一f,无（尤）=（；厂一户在区间（0,+8）内的零点

分别是a,b,c,则a,b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】A

【解析】【分析1

本题考查函数的1零点问题，属于基础题.

分别作出函数y=（；）*,y=/og2x，y=/,y=|的图象，结合图象即可判

在同一坐标系内

断.

【解答】

；系内分别作出函数y=（g）*,y=fc>g2X，y=x\y=^的图象如图所示，

解：在同一坐标

----.，»£

-3—2—10cVia2345

:/

11rli

则a,b,。分另I1是y=(-)x和y=log)=(5)"和y=%，y=(-)x和)=/图象在

区间（0,+8）内：史点的横坐标，

由图象可知，a>b>c.

故选A.

6.函数y=xcoSX+sinx在区间［-肛下］的图象大致为()

A.ll

►B.■r卜'.

\%

jD.］/,

c-TT/Ap"\

,JJ\：X--TTVMn

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查函数图象的识别，掌握函数的奇偶性与函数值的特点是关键，属于中档题.

先判断函数的奇偶性，再利用/(万)的符号确定选项.

【解答】

解：y=/(x)=无cos龙+sin无，

贝!]/(—x)=—xcosx—sinx=—/(x),

・••/(%)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C,D,

当％=万时，y=/(万)=7rcos7r+sin7r=-71<0,故排除B.

故选：A.

7.已知函数=loga(x-2)-6(。>0且。w1)的图象经过定点A,且点力在角。的终边

上，贝！|(3sin9-2cos6)一一4=()

.144…23

A.—B.—C.5D.—

555

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了正余弦齐次式的计算，考查了对数函数图象过定点问题，属于较难题.

根据对数函数过定点，求出正切值，再由弦化切，即可求解.

【解答】

解：〃》)=/。&(%-2)-6过定点/1(3,-6),点/在角。的终边上，贝｝]tane=—2,

(3sin0-2cos6*)2-4=9sin20-12sin0cos0+4cos20-4

5sin20-12sin6cos0

=e-12sin0cos0=

sin23+cos23

_Starrd-Ulan0_20+24_44

一tan20+l—22+l-T

故选：B.

&已知函数_小)7%x~(+x(4+al-)3+)xl,+3xa,O,x<0("°，且D在A上单调递减'且关于

X的方程I/(X)1=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()

|]B.gj]呜|]吗D.怎吗

A.(0,

【答乡Mlc

【解1斤】【分析】

本题3旨查了方程的解的个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题和解决问

题的有官力，以及数形结合的思想.

根据4个段函数的单调性判断出a的大致范围，再利用函数的图象，推出a的范围.

【解，乳

解：E总数/(x)在H上单调递减，

—..0

2

则：＜0＜。＜1,

2

Q+(4a—3),0+3d..loga(0+1)+1

飙％

解得:

在同一一直角坐标系中，画出函数y=|/(x)|和函数y=2—x的图象，如下图：

1

卜

o

由图专更可知，在［。,+8)上，"0)1=2—%有且仅有一个解，

故在(y,0)上，|/(x)|=2—x有且仅有一个解，

2

当3a>2即a>§时，联乂光？+(4a—3)x+3a=2—x,

即x2+(4a—2)x+3a—2=0,%v0,

则△:二(4a—2)2—4(3a—2)=0,

3

解得，.或1(舍去)，

311

当4=—时，方程可化为(X+—)2=0,%=——符合题意；

422

12

当啜！M2即一领h—时，由图象可知，符合条件，

33

综上：a的取值范围为［；，33｛七｝,

故选：C

二、多选题(本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列函数中，是偶函数且在(0,+8)上单调递增的是.()

A.f(x)=x2-\x\B./(x)=3

x

c./U)=InIxI--yD.f(x)=即

X

【答案】CD

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性及单调性，涉及分段函数，二次函数，塞函数，指数函数和对数函

数的性质，属基础题.

先求函数定义域，再判断奇偶性，最后得出%>0时函数的解析式判断单调性可依次解答

判定.

【解答】

解：对于4函数定义域为R

由f(.-x)=(-X)2-1-x|=x2-IX1=/(X),可得f(x)为偶函数;

又当x>0时，/。)=9-工在(0,；)单调递减，在单调递增，故力错误;

对于A/(幻=二定义域为(—8,0)。(0,+00),

%

由/(-X)==*=f(x)可得/(X)为偶函数；

又由嘉函数性质可得/(X)=二在(0,+8)单调递减，故B错误;

X

对于C,/(%)=InIxI—［定义域为(-co,0)D(0,+co),

X

由/(一x)=InI-XI-=InIX|-5=/(X)可得/(尤)为偶函数；

又当x>0时，/(x)=lnx--^,因为y=lnx在(0,y)单调递增，>=5在(0,一)单调

递减，所以/'(尤)=lnx-4在(0,+8)单调递增，故C正确；

X

对于〃/(%)=即定义域为A,

由/(-x)==*=/(X)可得/(X)为偶函数；

又当x>0时，f(x)=ex,由指数函数性质可得/(%)="在(。,"。)单调递增，故。正

确.

故选CD

10.已知sinc—cosc=4，且。为锐角，则下列选项中正确的是

5

人・12°.7

A.sinacosa=—B.smc+COS2=一

255

4

D.tana=—

3

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属

于基础题.

根据(sine土cos。了=1±2sincfcosor,并结合a为锐角求解即可.

【解答】

角轧因为sinc—cos。=g,

2412

所以2sinccosc=—,即sinccosc=一，故/正确，

2525

49

所以(sina+cosc)2=l+2sinccosa=——,

25

7

因为a为锐角，所以sina+cosa=y,故8正确，

43

所以sine=二，cosa=—,

4

所以tana=->l,故。正确，

3

所以2£(二,一)，故C错误.

42

故选：ABD.

11.已知函数/(无)=sin(cos;c),贝i]()

A./(X)为偶函数B.2万是/(%)的一个周期

C./(%)在上单调递增D.f(x)=^在(0㈤内仅有1个解

O

【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查判断函数的奇偶性、周期性及单调性，三角函数的图象与性质，属于中档题.

由函数奇偶性的定义判断4由选项力可直接判断G根据周期函数的定义判断用利用

复合函数的单调性判断D

【解答】

解：函数f(x)=sin(cosx),定义域是R,

且/(-%)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=/(x),

所以/(x)是偶函数，故Z正确；

由于(x+2乃)=sin[cos(x+2万)]=sin(cosx)=f{x),

则2%是/(%)的一个周期，故6正确；

因为/(乃是偶函数，则/(尤)的图象关于y轴对称,

则/(%)在上不单调，故C错误；

当xe(0,万)时，"=cosx是减函数，且“€(-1,1),

因此y=sin"是增函数，

所以/(x)是减函数,且〃尤)e(-sinl,sinl),

jrIT

又0＜石＜sinl,因此/(x)=不在(0,1)内仅有1解，故。正确.

OO

故选

12.下列命题正确的是()

A.命题：“V无€(1,也)，都有d＞1”的否定为“h使得比，1

B.设定义在/?上函数/«=吃，:I"”则/⑴=1；

C.已知关于X的不等式+++c>0的解集为{XIX<-1或无>2},则仍C>0；

log34

D.a=log36,Z?=log510,c=2，则a,b,c的大小关系为c>a>6.

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查了命题的真假，考查全称量词命题的否定，考查求函数值，考查一元二次不等式

的解，考查运用对数函数的性质比较大小，属于中档题.

对各个选项运用相关知识逐一验证可以得出答案.

【解答】

解：对于4"Vxe（l,+co）,都有f>1”的否定应该为“土€（1,也），使得

好,,1"，故力错误；

对于A/（1）=/（2）=/（3）=/（4）=log3（4-1）=1,5正确;

对于C,关于x的不等式依2+法+。>（）的解集为{x|x<-1或无>2},所以4>0,且

hc

公？+笈+°=0两个根为一1，2,所以—=1,—=-2,即人=一。v0,c=—2aV。，所

aa

以abc>0,C正确；

对于〃,因为c=2"g34>2-33=2,而l<Q=k）g36vlog39=2,

l<Z?=log510<log525=2,

102

因为4=10836=1+10832,b=log5=1+log5,所以〃>b,故〃正确.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知〃>0/>0.若々+2Z?-2"=0,求〃+的最小值是.

【答案】--

2

【解析】【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

【解答】

A,21

解：由a+2Z?—2ab=0得—I—=2,

ab

191

所以a+3Z?=—x(a+3b)x(—+—)

2ab

1"a6b、1八aa66b、5+2的5

=一(5+—+—)...-(5+2J----)-----------------二-------F

2ba2\bba22

当且仅无若一病=1+当时等号成立

3夕)

14.已知sin£+2cos8=0,则3sin(乃-6»)coi(sI—7T-^\+COS(乃+e)coi•sf

【答案】-2

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数关系以及诱导公式，属中档题.

由sin9+2cos8=0得tan。=当=-2,再利用诱导公式化简得到

COS，

-3sin之，一sin6*cos0,利-3sin261-sin61cos6*=如"?_,分子分母

sin2+cos20

同除以cos20得到只含tan6的式子，再根据tan6的值求出答案.

【解答】

解：因为sin£+2cos8=0,则sing=-2cos8,则tand=其11)=—2,

COS”

由诱导公式化简三角函数式可得

3n)^71-3

3sin(万一。)cos—71—0+COS(1+e)cos=3sin6(-sin6)+(-cos6)sin6

2)

-3sin26-sin6cos6-3tan20-tan8_-3x(—2)2-(—2)

=-3sin20-sin0cos0-

sin20+cos26tai?0+1(-2)2+1-

故答案为-2.

15.已知函数y=/(x—2)的图像关于尤=2对称，且对y=/(x),xeR,当百、

%,e(-co,0),且当/9时，<0成立，若f(2ax)<f(2x2+1)对任意

x2-xl

xeH恒成立，则a的取值范围为.

【答案】(-72,72)

【解析】【分析】

本题考查不等式恒成立问题，函数对称性、奇偶性以及单调性的判断，基本不等式求最

值，考查逻辑推理能力与转化化归能力，属于较难题.

先利用图象变换以及对称性，确定函数为偶函数，然后由单调性的定义得到了(X)在

(7),0)上单调递减，则在(0,内)上单调递增，利用单调性去掉“『‘，将问题转化

为|a|<与W=|x|+《对任意XdH恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答

21xI2\x\

案.

【解答】

解：因为函数y=/(x—2)的图像关于％=2对称，

所以y=/(x-2)向左平移2个单位长度，得到y=/(X)的图象关于y轴对称，

故函数y=f(x)为偶函数，

/(x2)-/(%.)

又当石、%2e(-oo,0),且西/当时，1<0成立,

%—X

所以/(功在(-8,0)上单调递减，

则“X)在(0,y)上单调递增，

不等式/(2办)<+1)对任意xeH恒成立，

即/(|2ax\)</(2x2+1)对任意xeR恒成立，

所以12axi<2/+1对任意xeR恒成立，

当x=0时，0<1,满足题意，

当X70时，

即|a|<=|x|+—^―对任意xe(-oo,0)u(0,+<®)恒成立，

因为1了|+彳」..2)|尤|•不二=也,

2\x\V2|x|

当且仅当I尤1=4即国=变时取等号，

2|x|112

所以|a|<解得—0<a<0,

所以a的取值范围为历).

故答案为：(―^2,A/2).

IIlo^x\,0<x<2

16.已知函数/(九)=|2一-1|,g(x)二公629。，且方程八»="有两个不同的

IJ—X,X..Z

解，则实数m的取值范围为,方程g[y(x)]=m解的个数为.

【答案】(0,1)；4

【解析】【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题.

作出函数/(元)和y=7篦的图象，数形结合即可得到实数功的取值范围；在方程

fIQQxI0<x<2

g[/O)]=加中，设/=/(x)e(0,+8),作出函数g(x)=\I2"的图象，数形

结合得到函数y=g(。与直线y=me(o,i)的交点横坐标口与、4的取值范围，再根据

图象得出方程/(幻=4、f(x)=t2、/。)=/3的根的个数，即可得解.

1_2rY0

【解答】解：函数/(X)=|2T—1|=《'"，

2—1,x<0

当X..0时，—七,0,则0<2二,1,止匕时/(x)=1—2-，e[0,1),

由题可知，方程/(无)=加有两个不同的解，即直线丁=7"与函数y=/(x)的图象有两个

不同的交点，如下图所示：

由题可知，当0<m<1时，直线丁=机与函数y=/(x)的图象有两个不同的交点，故

0<m<l；

方程g[/(x)]=帆中，由g(x)定义域为。-)，设7=/(x)e(0,y),即g(r)=m,

即求y=g⑺与直线y=me(0,1)的交点问题，

f|lo^x\0<x<2

作出函数g(x)=；029r的图象如下图所示:

[3-x,x..2

因为0<加<1,函数，=8(力与丁=机有3个交点，

所以g(r)="有3个根;、G、4，其中/1c(0,1)、芍e(l,2)、t3e(2,3)，

结合/(x)的图象可知，方程/(x)=q有2个不同的根，/(%)=/2有1个根，/(x)=t3有

1个根，综上所述，方程g[/(无)]=加有4个不同的解.

故答案为：(。」)；4.

四、解答题(本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12分)

己知。>0,awl,设集合A={x|log0(x+l)>loga(5—x)},B={x\2m-l<x<m+\].

⑴若。>1,请用区间表示4(提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性)

(2)若L9eA,且AcB=B,求m的取值范围.

【答案】解：⑴当。>1时，不等式：loga(x+l)>loga(5-x),

x+1>0

.•-<5-x>0,解得2vxv5.

x+l>5-x

「.A=(2,5)

(2)若1.9eA,则log”2.9>log。3.1,解得0<a<l.

不等式log”(x+1)>logfl(5-尤)，

x+1>0

;」5-x>0,解得-l<x<2,

x+1<5-x

此时，A=(-1,2).

AcB=B,:.B(^A,

①若5=0,即2解得利..2,成立;

2m—1<m+1

②若BW0,贝！J<2m,

m+1,,2

-----6----6----------□----6----

-12w-lm+12

解得喷讥1,

m的取值范围是[01]u[2,+oo).

【解析】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查对数函数、子集、不等

式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.

⑴当。＞1时，由不等式：loga(x+l)＞loga(5-x),列出不等式组，能求出集合A.

(2)由1.9eA,得0＜。＜1.利用不等式log〃a+l)＞log.(5-x),列出不等式组求出集合

A=(-1,2),由AcBnB,得51人，根据3=和3#0,利用分类讨论思想能求出

m的取值范围.

18.(本小题12分)

设函数/(x)=0cos(2x+工)+2,xeR.

4

(1)求函数/(无)的单调递增区间、对称轴和对称中心；

JT

(2)若xw[0,上],求/(x)的最大值及最小值并指出相应的x值.

2

jr

【答案】解：⑴根据余弦函数的单调性，令-万+2左踢如c+—2k兀，keZ,

4

54TC

解得----HAT啜!k-----Fk/c,keZ,

88

「•函数f(x)=cos(2x++2的单调增区间为[——+kji,—~—+kji\,keZ

«.TC,口k/C71

令2%H—=kjv,解得x--------,

428

•，-f(x)的对称轴为x=-----—»kGZ；

^2x+—=—+k7v,x=—+—,

4282

二函数/(x)的对称中心为(—I-----,2),左wZ；

82

...„71、rtC冗TC51、

(2)x£r[0,—]时,2x+—Gr,

2444

/.一费匕os(2x+J)，

/.—yf2+2领cos(2xH—)+23,

4

当2x+g=万，即丈=竽时，/(X)取得最小值为/(X)疝n=—0+2；

48

7T7T

当2x+：=g，即x=0时，“X)取得最大值为/(x)1mX=3.

【解析】⑴根据余弦型函数的图象与性质，求出函数A©的单调增区间和对称轴、对称

中心；

⑵求出xe[0,勺]时cos(2x+生)的取值范围，即可得出了(尤)的最大、最小值以及对应的

24

x的值.

本题考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

19.(本小题12分)

2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉

姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的

遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰

巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，

每隔单位时间7进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数

若该变异毒株的数量V(单位：万个)与经过x(xeN*)个单位时间7的关系有两个函数模

型y=px2+q与y=以，(左>0,a>1)可供选择.

(参考数据：逐士2.236，逐《2.449，坨2B0301,1g6no.778.)

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

【答案】解：⑴若选y=

4〃+g=10

将x=2,y=10和x=4,y=50代入可得，解得

16p+q=50

,,10210

故)=—x------,

33

将x=6代入y=#%2—与，yw25。，不符合题意；

若选y-kax{k>0,«>1),

kcr=10k=2

将尤=2,y=10和％=4,y=50代入可得，<4,解得<

ka4=50a—\/5

故)=2・(6)，，

将尤=6代入y=可得，y=250,符合题意;

综上所述，选择函数y=kr'(左更合适，解析式为y=2•(褥广

(2)设至少需要x个单位时间,

则2(J?)*..10000,即(J?)*..5000,两边同时取对数可得，xlg6..Jg5+3,

33

,x..2+—=2+---——工10.58

则n"<1”…

51g5-(l-lg2)

XGN",

••.X的最小值为11,

故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

【解析】本题主要考查函数的实际应用，考查对数函数的公式，属于中档题.

⑴将x=2,丁=10和％=4,，=50分别代入两种模型求解解析式，再根据X=6的

值，即可判断.

(2))设至少需要x个单位时间，则2(6广.10000,再结合对数函数的公式，即可求解.

20.(本小题12分)

2

已知函数/(x)=----，g(x)=log2(x-1).

x-1

(1)若；1>0,函数〃("=〃M-公(同在区间(3,5)上存在零点，求;I的取值范围；

(2)若。>1,且对任意芭e|a,a+3],都有马e[a,a+3],使得〃无J,g(%)成立，求a的

取值范围.

【答案】解：⑴当2>0时，函数/7(元)=---Afog.(x-l)在区间(3,5)上单调递减，

x-1

%(3)>0[1-A>°

则由零点存在定理可得“<、八，即1-C，

|〃(5)<0--22<0

12

解得;<彳<1,所以彳的取值范围是.

⑵若对任意占e[a,a+3],都有x2e[a,a+3],使得/(xj,,g(x2)成立，

则当xe[a,a+3]时,〃尤)。1ax,,g⑺ma、.

因为a>l,所以当x«a,a+3]时，/(%)=——单调递减，

g(x)=log2(x-l)单调递增，

2

所以/(x)max=/⑷=—7，g(尤)x=g(a+3)=/og2(a+2)，

a—11m

一2

所以二,,+2).

a—1

2

当1VQ<2时，7>2,/°82(。+2)<2,不符合条件，

a-1

2

当a.2时，0<—-,,2,四2(。+2)..2,符合条件，

a—1

所以a的取值范围是[2,+8).

【解析】本题考查函数零点、方程的根的判断和利用对数函数的图象与性质求参，属于较

难题.

⑴函数Kx)=^--Mog^x-V)在区间(3,5)上单调递减，要使函数h(x)在区

x-1

/、—f/z(3)>o

间3,5上存在零点，则由零点存在定理可得，,<、八，解不等式即可得出答案；

I/z(5)<0

(2)若对任意e[a,a+3],都有x2e[a,a+3]，使得/(xj,,g(x2)成立，则

当x^[a,a+3]时,/(小十g(x)m…讨论1<”2或a..2,求出了(可一间彳心.

解不等式即可得出答案.

21.(本小题12分)

已知函数〃x)=loga(G1-时在R上为奇函数，a>l,m>0.

(1)求实数”的值并指出函数/(X)的单调性(单调性不需要证明)；

(2)设存在xeR,使/(cos2x+2f-l)+/(2sinx-t)=0成立，请问是否存在a的值？使

2

g⑺=〃4,-2f最小值为—若存在求出a的值.

【答案】解：⑴•••/(%)在R上为奇函数，尤)+〃—%)=0,

即log。(表2+1-+log”(+1+=0,

「.lOga(尤2+1一机212)=0,贝u犬2+]_祖x22=(]_病)犬2_|_1J?

/.m2=1,又加>0,解得m=1,经检验机=1满足题意，

则/(X)=log”+1-x),

易知函数y=V7TT-x在(-00,0]上单调递减，且y>。，

函数y=log”x(a>1)在(0,-K0)上单调递增，

=log.在(-00,0]上单调递减，又f(x)在R上为奇函数，

则/(%)在[0,+8)上单调递减，

・•・/(X)在R上单调递减；

(2):/(X)在R上为奇函数，

则存在xeR,使/'(cos2x+2r-l)+/(2sinx-r)=0成立等价于

f(cos2x+2/1-1)=/(-2sinx+?),

/(x)在R上单调递减，则存在xeR使得cos,x+2t-1=-2sinx+t成立，

2