2024年高考数学总复习 函数的奇偶性 周期性 教师版

2024年高考数学总复习函数的奇偶性、周期性教师

版

【知识梳理】

1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数启)的定义域为D

偶函数如果VxG。，者B有一xe。，且"V)关于y轴对称

=心),那么函数八劝就叫做偶函数

一般地，设函数40的定义域为

奇函数如果Vxe。，都有一xG。，且外—尤)关于原点对称

=-fM，那么函数40就叫做奇函数

2.周期性

(1)周期函数:一般地,设函数次尤)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个xGD

都有x+TG。，且於土Z丘©,那么函数y=/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函

数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数式x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做“x)的最小正周期.

【常用结论】

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有

相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对於)定义域内任一自变量的值x：

⑴若ZU+a)=-fix),则T=2am>0).

(2)若五元+a)=卡,

则T=2a(a>0).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若函数«r)为奇函数，则五0)=0.(X)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(X)

(3)对于函数y=/(x),若存在x,使八一无)=—/(X),则函数y=/(x)一定是奇函数.(X)

(4)若T是函数人龙)的一个周期，则以KGN*)也是函数的一个周期.(V)

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【教材改编题】

1.若偶函数人尤)在区间［—2,—1］上单调递减，则函数兀0在区间口⑵上()

A.单调递增，且有最小值五1)

B.单调递增，且有最大值人1)

C.单调递减，且有最小值式2)

D.单调递减，且有最大值共2)

答案A

解析偶函数式x)在区间［—2,—1］上单调递减，

则由偶函数的图象关于y轴对称，则有/(x)在［1,2］上单调递增，

即有最小值为黄1),最大值为式2).

对照选项，A正确.

2.己知函数y=/(x)是奇函数，且当x>0时，有兀t)=x+2*,则八-2)=.

答案—6

解析因为函数y=/U)是奇函数，且当尤>0时，有/U)=x+2*,

所以八一2)=_八2)=—(2+4)=-6.

3.已知函数/U)是定义在R上的周期为4的奇函数，若式1)=1,则八2023)=.

答案T

解析因为函数“r)是定义在R上的周期为4的奇函数，

所以五2023)=7(506X4-1)=黄-1)=一八1)=-1.

・探究核心题型

题型一函数奇偶性的判断

例1(多选)下列命题中正确的是()

A.奇函数的图象一定过坐标原点

B.函数y=xsinx是偶函数

C.函数y=|x+l|一|x—1|是奇函数

D.函数是奇函数

答案BC

解析对于A,只有奇函数在x=0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确;

对于B,因为函数y=xsinx的定义域为R且Z(—x)=(—x)sin(一尤)=黄了)，

所以该函数为偶函数，所以B正确；

对于C,函数y=|x+l|一仅一1|的定义域为R关于原点对称，

且满足五一龙)=1一尤+1］一I—无一1|=一(仅+1|一|元一1|)=一/(劝，即大一劝=一兀0，

所以函数为奇函数，所以c正确；

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对于D,函数彳满足无一1W0,即无W1,所以函数的定义域不关于原点对称,

所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确.

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.

(2)判断五尤)与八一x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等

价等量关系式(»+式一/=0(奇函数)或於)一式-x)=0(偶函数))是否成立.

跟踪训练1已知函数/(x)=sinx,8(了)=M+屋工，则下列结论正确的是()

A.其尤)g(x)是偶函数

B.|/U)|g(x)是奇函数

C.八x)|g(x)|是奇函数

D.|/(x)g(x)|是奇函数

答案C

解析选项A,於)g(x)=(e*+er)sinx,

八一x)g(一劝=(e=+e*)sin(—x)=—(e*+e-T)sinx=一其尤)g(x),是奇函数，判断错误；

选项B,|/U)|g(x)Tsinx|(ex+er),

%—x)|g(-x)=|sin(一尤)|(er+e，)=kin旗^+屋工)=%力板。)，是偶函数，判断错误；

选项C,於)心(尤)|=|e*+e-1sinx,

A—x)\g(-x)\=|e^+ex|sin(—x)

=—⑹+屋〕sinx=-X尤)|g(尤)|,是奇函数，判断正确；

选项D,壁)g(x)|=|(e*+efsinx|,依一x)g(—x)|=|(er+e*)sin(—x)|

Td+efsin尤|=|/(x)g(x)|,是偶函数，判断错误.

题型二函数奇偶性的应用

命题点1利用奇偶性求值(解析式)

f—|—],X>0,

例2(1)(2023・福州模拟)已知函数段)='为偶函数，则2。十力等于()

[ax^+b,x<0

313

A.3B.2C.—2D.—

答案B

解析由已知得，当x>0时，一1<0,f(—x)=—axi-\-b,

•・,段)为偶函数,・・・#—x)=/(x),

33

即x+l=—ax+bf

.•・〃=-1,b=\,

3

2a+b=2i+l=].

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⑵(2023・吕梁模拟)己知函数小)为定义在R上的奇函数，且当xNO时，黄尤)=2*+犬一1,则

当x<0时，兀C)等于()

A.2x~x~\B.2一工+尤+1

C.-2^-x-lD.-2=+尤+1

答案D

解析当尤<0时，一无>0,因为其尤)是奇函数,

所以y(x)=—/(—x)=—2v+x+1.

命题点2利用奇偶性解不等式

例3函数五处是定义域为R的奇函数，"r)在(0,+8)上单调递增，且H2)=0.则不等式

於)一次一x)

>0的解集为(

x)

A.(-2,2)

B.(—8,0)U(0,2)

C.(2,+8)

D.(—8,—2)U(2,+8)

答案D

解析由于人x)是定义域为R的奇函数，

所以负0)=0,

又兀0在(0,+8)上单调递增，且犬2)=0,

所以兀。的大致图象如图所示.

工

由代x)=f)可得，正产煲『=果>。,

由于x在分母位置，所以xWO,

当x<0时，只需fix)<Q,由图象可知尤<—2；

当x>0时，只需负犬)>0,由图象可知无>2；

综上，不等式的解集为(—8,—2)U(2,+°°).

思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转

化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

跟踪训练2(1)已知函数/U)=sinx+x3+：+3,若式a)=l,则八一a)等于()

A.1B.3C.4D.5

答案D

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解析根据题意y（a）=sin。+/+（+3=1,

即sin.+〃+!=—2,

所以7（—a）—sin（一。）+（一0）3+（_4）+3

=一（sina+〃+£]+3=2+3=5.

（2）已知函数犬x）=log2（|x|+l）,若4og曲硕2）,则实数尤的取值范围是（）

A.（1,4）B（0,加（4,+8）

C.Q,1）U（1,4）D.。,4）

答案D

解析依题意，函数加0是偶函数，且在[0,+8）上单调递增，

.•.於）在（—8,0）上单调递减，

则/（log2X）勺（2）等价于|log2%|<2,

—2<log2%<2,

解得:<x<4.

（3）（2021・新高考全国I）已知函数於尸炉（。2*—2「）是偶函数，贝ija=.

答案1

解析方法一（定义法）因为=x3（o2£—2「）的定义域为R,且是偶函数，所以八—x）=Ax）

对任意的xGR恒成立，所以（一无）3（。2-£—2，=/（02工一2"）对任意的xGR恒成立，所以必侬

一1）（2工+2一%）=0对任意的xGR恒成立，所以a=\.

方法二（取特殊值检验法）因为五的二丁①？*—2=）的定义域为R,且是偶函数，

所以式—1）=/⑴，所以一g—2）=2aT

解得a=l,经检验，/00=/（2工一2"）为偶函数，所以。=1.

方法三（转化法）由题意知次0=了3（°2工一2七）的定义域为R,且是偶函数.

设g（尤）=V,h（x）=a-2x—2~x,因为gQOux3为奇函数，所以〃（无）=。2"—2=为奇函数，

所以7z（0）=tz-2°—2-0=0,

解得4=1,经检验，段）=>（2）—2一%）为偶函数,

所以4=1.

题型三函数的周期性

例4（1）若定义在R上的偶函数加）满足｛2—x）=—/（x）,且当时,八劝=尤一1,则了§

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的值等于()

答案D

解析,函数4r)是偶函数，.\A—x)=«r),

又•.状2-x)=-fix),：.fi2-x)=-X-x),

.7/U+2)=—Kx),

.•优尤+4)=-/(x+2)=—[—於)]=於)，

函数式尤)的周期为4,

(2)设於)是定义在R上周期为4的偶函数，且当xG[0,2]时，犬x)=log2(x+l),则函数负尤)在

[2,4]上的解析式为.

答案»=log2(5-x),xe[2,4]

解析根据题意，设xd[2,4],则无一4G[—2,0],则有4—xG[0,2],

当xd[0,2]时，/(x)=log2(x+l),

则X4-x)=log2[(4-x)+l]=log2(5-x),

又八x)为周期为4的偶函数，

所以五尤)=/(x—4)=/(4—x)=log2(5—x),xe[2,4],

则有危)=log2(5—x),%e[2,4].

思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.

(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知

区间上，进而解决问题.

跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数兀c),其周期为4,当xe[0,2]时，兀c)=2，-2,

贝女)

A.fil023)=0

B.段)的值域为[T,2]

C.7U)在[4,6]上单调递减

D.於)在[—6,6]上有8个零点

答案AB

解析fi.2023)=/(506X4-l)=X-l)=Al)=0,所以A正确；

当xd[0,2]时，武尤)=2工一2单调递增，

所以当xG[0,2]时，函数的值域为[—1,2],

由于函数是偶函数，所以函数的值域为[—1,2],所以B正确；

当xe[0,2]时，应k=2工一2单调递增，

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又函数的周期是4,

所以“r）在［4,6］上单调递增，所以C错误；

令兀0=2工-2=0,所以x=l,

所以式D=A—1）=。，

由于函数的周期为4,

所以八5）=八一5）=0,负3）=八-3）=0,

所以人x）在［—6,6］上有6个零点，所以D错误.

课时精练

应基础保分练

1.（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

A.y=2x,-\~^xB.y=x+sin（一尤）

C.y=log2|x|D.y=2x~2~x

答案ABD

解析对于A,定义域为R,且八一x）=-2X*23—4x=一式尤），故为奇函数，

又＜=6f+4＞0,所以＞=2炉+4天在（0,1）上单调递增，故A满足题意；

对于B,定义域为R,五-x）=-x+sin尤=-X尤），故为奇函数，

又y'=1—cosxBO,且y'不恒为0,

所以y=x+sin（—x）在（0,1）上单调递增，故B满足题意；

对于C,定义域为{x|xN0},八-x）=log2|x|=/（x）,故为偶函数,故C不满足题意；

对于D,定义域为R,丑一无）=2=一2工=一兀）为奇函数，

又y'=2^2+2^2＞0,所以y=2,—2=在（0,1）上单调递增，故D满足题意.

2.（2023・聊城模拟）已知函数人x）的定义域为R,则“八无）是偶函数”是“区初是偶函数”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若八x）是

偶函数，则贝尤）1是偶函数,若兀0是奇函数，师）1也是偶函数,所以“式x）是偶函数”是"底尤）1

是偶函数”的充分不必要条件.

3.（2022•河南名校联盟模拟）若函数人犬）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0。＜1时，为x）

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=4工，则(号+4)等于()

A.0B.2C.4D.-2

答案D

解析..TO)是定义在R上的奇函数，

.--X0)=0,又於)在R上的周期为2,

；.八2)=/(0)=0,(一0=一/(J)=-42=-2,

；•/(一()+八2)=—2.

Q2

4.(2022・亳州模拟)已矢口函数yOOuf+logzIR,a=f(2~)fb=fi\g7i),c=/(logo.26),贝!J〃，b,

c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

答案c

2

解析2~°-<2°=l,lg7T>0,logo,26<0,

因为八一X)=(—x)2+log2|-x|=Xx),

所以犬x)为偶函数，

所以只需判断2-。-2,Igm—logo.26的大小即可,

—logo.26=logo,21>1,2-1<2-0-2<2°=1,0<lg7t<lgV10=^,

所以一k»go,26>l>2-°，2>lg7t>0,

当x>0时，y=f,y=log*都单调递增，

所以yCQnf+logzIxl在(0,+8)上单调递增，

所以c=Xlogo.26)=y(—logo,26)>a=X2-0-2)>b=y(lgit).

1-Y

5.(2021•全国乙卷)设函数次%)=不，则下列函数中为奇函数的是()

A.尤一1)-1B.五尤一1)+1

C./x+l)-lD.危+1)+1

答案B

解析危尸”=2：：+D=WT，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=/U)的

图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x~

1)+1.

6.(多选游)是定义在R上的偶函数，对VxGR,均有式x+2)=-/(x),当xG[0,l]时，大尤)

=log2(2—X),则下列结论正确的是()

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A.函数式x)的一个周期为4

B.7(2022)=1

C.当xG［2,3］时，Xx)=­log2(4—尤)

D.函数/(x)在［0,2021］内有1010个零点

答案AC

解析,VU)是定义在R上的偶函数，对VxGR,均有/U+2)=—兀0，

.\>+4)=-y(x+2)=»,

函数的周期为4,故A正确；

式2022)=7(4X505+2)=犬2)=一八0)=—1,故B错误；

当xd［2,3］时，x-2e［0,l］,

则/(x)=-/(x-2)=-log2［2-(x-2)］

=­log2(4—x),故C正确;

易知式1)=其3)=八5)=…=犬2019)=/(2021)=0,

于是函数。x)在［0,2021］内有1011个零点，故D错误.

7.写出一个定义域为R,周期为兀的偶函数八x)=.

答案cos2x(答案不唯一)

解析尸cos2x满足定义域为R,最小正周期7=竽=无，且为偶函数，符合要求.

8.若函数五的=3—er，则不等式4nx)+/(lnx—1)>0的解集是.

答案(证，+°°)

解析因为危)=e“一er,定义域为R,且八一%)=—(e］—er)=—/(%),故其为奇函数,

又>=&\y=—均为增函数，故兀x)为R上的增函数，

则原不等式等价于川nx)次1—Inx),也即lnx>l—Inx,整理得Inx>^,

解得工迷，故不等式的解集为(必，+°°).

2

—x+2x,x>09

9.已知函数«x)=<0，x=0,是奇函数.

x<0

⑴求实数机的值；

(2)若函数式次)在区间［―1,〃一2］上单调递增，求实数〃的取值范围.

角翠(1)设x<0,贝!J—x>0,

所以一九)=­(一龙>+2(-x)=­x2,-2x.

又大幻为奇函数，

所以八一欠)=一大处，

于是x〈0时，y(x)=x2+2x=x2+mx,

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所以m=2.

〃一2〉一1

(2)要使八工)在[―1,。-2]上单调递增，结合/(x)的图象(如图所示)知

a—2W1,

^1

所以1<〃W3,

故实数。的取值范围是(1,3].

10.设/U)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有八X+2)=一八无).当尤e©2]时，兀0

=2x-x~.

(1)求证：八尤)是周期函数；

(2)当xe[2,4]时，求y(x)的解析式；

(3)计算式0)+式1)+八2)+…+12023).

⑴证明••V(x+2)=r(x),

.•./(x+4)=-/(x+2)=/U).

.\Ax)是周期为4的周期函数.

(2)解当尤2,0]时，-%e[0,2],

由已知得—x)=2(一%)一(一X)2——2x—X2.

又是奇函数，—X)=—fix)=—2x—X2.

,瓶尸一+2乂

又当xd[2,4]时，尤一4G[—2,0],

.••XX-4)=(X-4)2+2(X-4).

又八x)是周期为4的周期函数，

：.f(x)=/x-4)=(x-4>+2(x—4)—6x+8.

从而求得xG[2,4]时，犬苫)=/一6%+8.

(3)解的)=0,加)=1,犬2)=0,A3)=-l.

又八x)是周期为4的周期函数，

.•式0)+八1)+五2)+黄3)=黄4)+/(5)+/(6)+式7)=…=黄2020)+八2021)+{2022)+八2023)=

0.

.•式0)+八1)+/(2)+…+八2023)=0.

立综合提升练

11.(2023・廊坊模拟)已知定义域为R的函数/U)满足：Vx,y^R,f(,x+y)+fix-y)=fix)fiy),

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且式1)=1,则下列结论错误的是()

A.犬0)=2B./(X)为偶函数

C.兀0为奇函数D.五2)=-1

答案C

解析因为\/x,yGR,犬无+四+犬了-y)=/(x次y),

取x=l,y=0可得式1)+八1)=/(1)式0),

又式1)=1,所以犬0)=2,A对；

取x=0,y=x可得人x)+人一幻=八0求%),

因为加0)=2,所以八一x)=/(x),

所以人x)为偶函数，C错，B对；

取x=l,y=l可得人2)+八0)=八1)<1),

又式1)=1,八0)=2,

所以式2)=—1,D对.

12.已知定义在R上的函数y=/(x)满足：①对于任意的xGR,都有人尤+1)=；；②函数y