广东省2023-2024学年高考数学一模试卷含解析

广东省揭阳一中、潮州金中重点中学2023-2024学年高考数学一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=（2sin学,cos学）力=（Qcos学,2cos学），函数/（x）=a%在区间[0,『]上恰有3个极值点，则正

实数。的取值范围为（）

85、75、57、7〜

A.[r―,—）B.[r一,—）C.r[―,一）D.（—,2]

5242344

.（九-1）先

sin—-------]<%V3

2.已知函数〃x）=2'一一，若函数/（%）的极大值点从小到大依次记为4;出？4,并记相应的极

2/（x-2）,3<x<100

大值为仇也,?•・％则之（%+2）的值为（）

i=l

A.250+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

3.设i是虚数单位，则（2+3。（3_2，）=（）

A.12+5zB.6-6zC.5zD.13

y<x

4.已知不等式组y2-冗表示的平面区域、的面积为9,若点门,」­、，则」>।的最大值为（）

x<a

A.3B.6C.9D.12

5.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

6.已知数列｛4｝是以1为首项，2为公差的等差数列，也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，设g=旬，

〈=。]+。2++%（“€^）,则当7；<2020时，九的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.已知函数/（%）=依2一%+inx有两个不同的极值点再，马,若不等式/（%）+/5）>2（玉+々）+1有解，贝心的

取值范围是（）

A.（—00,—2In2）B.（—co,-2In2]

C.（f-Il+21n2）D.（-oo,-ll+21n2]

8.已知定义在R上的函数〃尤），若函数y=/（x+2）为偶函数，且/（九）对任意王，％12,+8）（九尸马）,都

有"/）—"xj<0,若〃a）v〃3a+l）,则实数。的取值范围是（）

A・'-51,小31B.[-2,-1]13

C.-00,-------D.—,+GO

24

9.设/（%）=«,点0（0,0）,A（0,l）,4仅，“叫，neN*，设乙其耳=么对一切〃金N*都有不等式

sin^sin^sin^sin?%

++++〈r-252成立，则正整数/的最小值为（）

I22232n2

A.3B.4C.5D.6

kx-l,x>Q,

10.己知函数〃x）=<若函数/（九）的图象上关于原点对称的点有2对,则实数k的取值范围是（）

-ln（-x）,x<0,

A.—8,0）B.（0,1）C.（。,+“）D.

11.M是抛物线丁=4%上一点，N是圆（x—iy+（y—2）2=1关于直线x—y—1=。的对称圆上的一点，贝！最

小值是（）

A.2TB.73-1C.2-x/2-lD.|

12.双曲线的离心率为则其渐近线方程为

p-p=/（z>aoo）v

A，二=+/二B-Z=C,_.7D._

0=±y0口=±和

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知三棱锥P—ABC,PA=PB=PC,.ABC是边长为4的正三角形，D,E分别是24、的中点，F

JT7

为棱上一动点（点C除外），ZCDE=-,若异面直线AC与。尸所成的角为。，且cos6=一，则CF=_____.

210

14.曲线/（x）=4x—/在点（0,/（0））处的切线方程为.

15.«+5｝1+”6展开式中炉的系数为.

16.已知曲%则（x+y+1）〃展开式中工2y的系数为一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）设椭圆C：=+二=1（。〉6〉0）的左右焦点分别为耳,耳，离心率是e,动点P（%,为）在椭圆。上运

ab

动，当轴时，%=1,%=6.

Av

（1）求椭圆c的方程；

（2）延长PE，P8分别交椭圆于点A,3（A,3不重合）.设人尸一丸耳尸，质求2+〃的最小值.

18.（12分）如图1,在等腰及AABC中，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，尸为CD的中点，G在线

段8C上，且BG=3CG。将AADE沿。E折起，使点4到A的位置（如图2所示），且

（2）求平面ABG与平面ABE所成锐二面角的余弦值

2

19.（12分）已知数列｛4｝满足：xn+1=X„-6,〃eN*,且对任意的〃eN*都有七＜叵匚,

(I)证明：对任意〃eN*,都有—3<x〈匕叵；

“2

(II)证明：对任意〃eN*,都有k+i+2|N2氏+2|；

(IU)证明：%=—2.

20.(12分)已知数列｛4｝的前几项和为S",且点5同)(〃€“)在函数3；=2向-2的图像上；

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足：4=0,bn+l+bn=an,求｛bn｝的通项公式；

(3)在第(2)问的条件下，若对于任意的〃cN*，不等式包<力如］恒成立，求实数2的取值范围；

21.(12分)己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,4c.设当空+当!£=a叱_+40

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若应sinB=3sinC，且S&■。=20，求。的值.

%=l+/cosa

22.(10分)在直角坐标系尤0y中，直线/的参数方程为।。为参数，0Va<〃).在以。为极点，x轴

y=l+tsma

正半轴为极轴的极坐标中，曲线C：夕=4cos0.

n

(1)当。二一时，求。与/的交点的极坐标；

4

(2)直线/与曲线。交于A,B两点,线段45中点为M(L1),求|A3|的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

TT

先利用向量数量积和三角恒等变换求出/(x)=2sin(®x+A+l,函数在区间［0,——］上恰有3个极值点即为三个最

值点，0X+工=工+左〃，左eZ解出，%=—+—,Z:eZ,再建立不等式求出左的范围，进而求得口的范围.

623Gg

【详解】

解：f(x)=Gsinsr+2cos《―=A/3sina)x+coscox+l

=2sin(6t>x+—)+1

令OX+-=工+左〃，左eZ,解得对称轴工=二+幺，左eZ,/(0)=2,

623a)co

又函数/(九)在区间［0,生］恰有3个极值点，只需^-+—<^<^+—

35a>co33®&>

75

解得:三。<一.

42

故选：B.

【点睛】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(0r+e)+t或y=Acos(a)x+(p)+t的形式;(2)根据

自变量的范围确定。x+9的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

2、C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当尤=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点a„的通项公式可=2n,且相应极大值

b„=2"-',分组求和即得

【详解】

当时，r(x)=、cosj;[,

显然当％=2时有，/(了)=。，

...经单调性分析知

x=2为7Xx)的第一个极值点

又•••3<xW100时，/(x)=2/(x—2)

；・x=4,x=69%=8,…，均为其极值点

・・,函数不能在端点处取得极值

工(1n=2n,1<n<49,neZ

・••对应极值a=1<n<49,neZ

,%D，+98)X49+1X(1-249)=+2449

321-2

故选：C

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

3、A

【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.

【详解】

由复数的乘法法则得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5i.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.

4、C

【解析】

分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出a=3,然后分析平面区域多边形的各个顶

点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.

详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：

则A(a,a),B(a,-a),所以平面区域的面积S=-a-2a=9,

2

解得a=3,此时A(3,3),6(3,—3),

由图可得当z=2x+y过点A(3,3)时，z=2x+y取得最大值9,故选C.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目

标函数的形式，判断Z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最

优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相

应的方法求解.

5、B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

27r

故导线长度约为——x30=20乃»63(厘米).

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

6、B

【解析】

,,+1

根据题意计算4=2〃-1,bn=2小，Tn=2-n-2,解不等式得到答案.

【详解】

•••{?}是以1为首项，2为公差的等差数列，.••4=2”—1.

•••也}是以1为首项，2为公比的等比数列，.冷小？"]

a

/.Tn=C2~\------1-Cn=a瓦+----bn=+…+

=(2xl—1)+(2X2—1)+(2X4—1)+…+(2X2"T—1)=2(l+2+4+---+2^')-n=2x：j=2'+】

V7；,<2020,：.2n+}-n-2<2020,解得〃W9.则当4<2020时，九的最大值是9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

7、C

【解析】

先求导得r(x)=2"7+l(%>0),由于函数/(九)有两个不同的极值点』，X2,转化为方程2^2—X+1=0有

X

两个不相等的正实数根，根据/,石+々，士—2，求出。的取值范围，而/(玉)+/(%2)>2(%+*2)+，有解，通

过分裂参数法和构造新函数/7(a)=-：-lTn(2a)[o<a<J,通过利用导数研究人(。)单调性、最值，即可得出，

的取值范围.

【详解】

由题可得：f\x)=2aX~X+X(x>0),

X

因为函数/'(x)=。犬-x+lnx有两个不同的极值点再，x2,

所以方程2依2一%+1=o有两个不相等的正实数根，

A=1—8〃>0,

于是有百+%2二—〉°，解得0<。<—・

2a8

——〉0,

122a

若不等式/(石)+/(%)>2(%+9)+/有解，

所以，<[/(%)+/(九2)—2(%+%)]1mx

因为/(%)+/(%2)一2(芯+%)=鬲一%+ln%+应一入2+lnx2一2(%+%)

=O[(X]+%2)2—2%犬2]—3(玉+x2)+ln(x1x2)=--^--l-ln(2a).

设h(a)=----1-ln(2a)f0<(2<—|,

4aI8)

//(«)=Izf£>o,故以。)在[o3]上单调递增，

46rI8J

故丸(a)</z[g]=—ll+21n2,

所以/<—n+21n2,

所以/的取值范围是(—8,—11+21n2).

故选：c.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算

能力，有一定的难度.

8、A

【解析】

根据题意，分析可得函数/(九)的图象关于龙=2对称且在［2,+8)上为减函数，则不等式/⑷"(3。+1)等价于

|«-2|>|3«-1|,解得。的取值范围，即可得答案.

【详解】

解:因为函数y=/(x+2)为偶函数，

所以函数/(尤)的图象关于龙=2对称,

因为/(%)对任意为，％目2,+8)(%1A%)，都有"")<0,

%2—%

所以函数/(%)在［2,+8)上为减函数，

贝！j/(a)W/(3a+l)o/(|a_2|)W/(|3a+l-2|)o|a-2|2|3a-l|,

13

解得：—<a<—.

24

「131

即实数〃的取值范围是-于工.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.

9、A

【解析】

先求得?%——L,再求得左边的范围，只需2t—221,利用单调性解得t的范围.

nn+nnn+1

【详解】

n.sin2^_1_11

由题意知sin2••-------------------------------

+〃n2n2nn+1

..sin^sin^sin^sin?。”11111

+十=U1-—I------------F...H--------随n的增大而增大,

I222322+2334nn+1n+1

-<1--------<1,

2n+1

At2-2t-2>l,即产—2f—120,又f(t)=»—2)-1在tNl上单增,f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整数/的最小值为3.

【点睛】

本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.

10、B

【解析】

考虑当%＞0时，丘—l=lnx有两个不同的实数解，令〃（x）=lnx—丘+1,则做了）有两个不同的零点，利用导数和

零点存在定理可得实数k的取值范围.

【详解】

因为/（%）的图象上关于原点对称的点有2对，

所以%＞0时，立—1=Inx有两个不同的实数解.

令〃（x）=lnx-Ax+l,则在（0,+8）有两个不同的零点.

「7、1-kx

又h（%）=-----,

x

当左40时，〃（x）＞0,故〃（X）在（0,+。）上为增函数，

在（o,+。）上至多一个零点，舍.

当左＞0时,

,则可尤）在（0,）

若XC上为增函数;

若.*,则〃(尤)<0,0(九)在］,+co

上为减函数;

因为妆X）有两个不同的零点，所以ln：＞0,解得0〈上＜1.

又当〈左＜时，工〈工且丸1

01＜0,故从%）在0,上存在一个零点.

ek

ppI

又h=ln———+l=2+21n%—々，其中/二一〉1.

k2kk

令g(/)=2+21nf—ef,则=

当/>1时，gr(t)<0,故且⑺为(1,+℃)减函数,

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因为我/I,所以3)在1

,+oo上也存在一个零点.

综上，当0＜左＜1时，妆了)有两个不同的零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说

明零点的存在性，本题属于难题.

11、C

【解析】

求出点(1,2)关于直线x—y—1=。的对称点C的坐标，进而可得出圆(x—iy+(y—2)2=l关于直线x—y—1=0的

对称圆C的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出|的\心血=|MC|n.n-l,即可得解.

【详解】

如下图所示：

设点(1,2)关于直线x-y-l=O的对称点为点C(a,b),

。+1b+21八

22a-b-3=0a=3/、

则,整理得,。八，解得,八，即点C（3,0）,

b-2.a+b—3=0p=0

、a—I

所以，圆(x—l)?+(y—2)2=1关于直线x—y—1=0的对称圆C的方程为(x—3)?+y2=i,

设点河匕",则四=口.3]+y2=,H+9=M(y2—4丫+8，

当尸±2时，MC取最小值2夜，因此，\MN\mm=1^0^-1=272-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

题.

12、A

【解析】

分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：..；

匚=三=、3.•'•.,z?=~

因为渐近线方程为一所以渐近线方程为二=±、：二，选A.

□=±zC

点睛：已知双曲线方程一：求渐近线方程：_：_；..

±—±，=/(匚二>4a-刍=。=二=士=二

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5

13、一

2

【解析】

取AC的中点G,连接GP,GB,取PC的中点"，连接DM，MF,DF,直线AC与。歹所成的角为NMD产,

22

计算板2=4—2a+2,DF-«-4«+10,根据余弦定理计算得到答案。

【详解】

取AC的中点G,连接GP,GB,依题意可得ACGP,AC±GB,

所以AC，平面GPB,所以

TT

因为。，E分别K4、的中点，所以DE//BP,因为NCDE=—,所以MLCD,

2

所以3P_L平面PAC,故5P_LAP,故PA=PB=PC=2也,

故PA,P&PC两两垂直。

取PC的中点"，连接DM，MF,DF,因为。朋7/AC,

所以直线AC与。咒所成的角为ZMDF,

设CF=a（O<aW4）,则+”2一2MC.”COS?=4—2a+2,

LJ2

。尸2=。22+尸尸2=2+8+〃2—2x2j2axJ=〃2—4〃+10,

2

八12—2〃6—a7

所以cos'=,—=,—=—,

4V«-4a+102Va-4a+1010

化简得（6a+41）（2a—5）=0,解得a=g,即

故答案为：一.

2

本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

14、3x-y-l=0

【解析】

求导，得到了'(o)和/(o),利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于/(。)=一1，f'(x)=4-ex,所以广(。)=4一1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-1=0.

故答案为：3x-y-l=Q.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

15、30

【解析】

先将问题转化为二项式(1+X)''的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数分别等于

2,4,求出特定项的系数.

【详解】

由题可得：{+g](1+”6展开式中X2的系数等于二项式(1+%)6展开式中X的指数为2和4时的系数之和，

6

由于二项式(1+%)的通项公式为Tr+l=CR,

令r=2,得(l+x)6展开式的/的系数为C；=15,

令r=4,得(1+4展开式的一的系数为C：=15,

所以1+(1+工丫展开式中x2的系数15+15=30,

故答案为30.

【点睛】

本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题.

16、1.

【解析】

由题意求定积分得到〃的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中dy的系数.

【详解】

042

•・•已知1％3公=、=4=〃，贝！I(%+y+l)〃=(%+y+l)4,

24o.

它表示4个因式(尤+y+l)的乘积.

故其中有2个因式取X,一个因式取y,剩下的一个因式取1,可得dy的项.

故展开式中x2y的系数C}-C\-C\=12.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)—+/=i；(2)-

23

【解析】

(1)根据题意直接计算得到6=1,a2=b2+c~=2,得到椭圆方程.

(2)不妨设尸(牡〃)，且">0,设人(%,％),3(%,%)，代入数据化简得到

[(3+2/77)2-1](2+1)=0,故彳+〃=+=得到答案.

3+2m3-2m9—4加~

【详解】

(1)e=£，所以/=1,屋化简得二£=1=1,

aIa)—+TT=1a2b2b2

ab

所以b=l,a2=b2+c2=2,所以方程为J+V=l；

(2)由题意得，P不在x轴上，不妨设P(犯")，且〃>0,设4(%,x),3(々,%)，

所以由通」=4耳P，得(一1—七,一%)=2(m+l,ri),

所以一项=2m+A+l,-y1=An,

由》…得四守+3)一，代入

化简得：[(3+2m)2-l](2+l)=0,

由于4+1/0,所以力=丁],同理可得〃=

3+2机3-2/71

116

所以4+4=------1------所以当加=0时,%+〃最小为—

3+2m3-2m9-4m2

【点睛】

本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18、(1)证明见解析

⑵萼

【解析】

⑴要证明线面平行，需证明线线平行，取6C的中点连接DM，根据条件证明。”//8后,。M///6,即

BE//FG,

(2)以歹为原点，FC所在直线为X轴，过尸作平行于CB的直线为y轴，E4］所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系尸一孙z,求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：取的中点连接DM.

；BG=3CG,•••G为CM的中点.

又尸为CD的中点，•••bG/ADM.

依题意可知。则四边形为平行四边形，

：.BE//DM,从而6E//FG.

又FGu平面APG,BE.平面A^G,

:.5E//平面A^G.

(2)DE_LAD},DE_LDC,且4。DC=D,

二£)石_1_平面ADC,AFu平面ADC,

DEL\F,

A.FLDC,且DEcDC=D,

AjF_L平面BCDE,

二以口为原点，FC所在直线为x轴，过歹作平行于C5的直线为丁轴，尸4所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

F—xyz,不妨设CD=2,

则网0,0,0),4(0,0,退)，5(1,4,0),E(-l,2,0),G(l,l,0),

F\=(0,0,73),FG=(1,1,0),4石=卜1,2,-⑹，EB=(2,2,0).

设平面APG的法向量为々=6,%,4),

n-FA.=0f6z、=0

则)，即1,

n-FG=01石+%=0

令1i=l,得〃=(1,一1,0).

设平面AjBE的法向量为m=(x2,y2,z2),

m-AE=0-%2+2y2——0

则0,即<

m-EB-02x2+2y2=0

令％2=1,得根二0,一1，一百）.

从而COS（私”>=J+1Vio

V2xV5

V10

故平面\FG与平面A.BE所成锐二面角的余弦值为

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档

题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行

四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

19、（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

分析：（1）用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；

⑵将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；

（3）结合题中的条件，应用反证法求得结果.

详解：证明：（I）证明：采用反证法，若不成立，则

若毛<—3，则乙+1=X/一6〉3,与任意的〃eN*都有玉<空匚矛盾；

若玉〉-鼻，则有-鼻口〈鼻，则

222

与任意的〃eN*都有七<彗匚矛盾;

故对任意〃eN*,都有—3<%〈匕共成立；

(II)由/+i=x/—6得X,+I+2=X『—6+2=(X„+2).(X„-2),

贝!)上+1+2|=氏+2Hx〃一2|,由(I)知x“<。’|%„-2|>2,

即对任意〃eN*,都有|七+1+2|»2,“+2|；.

(HI)由(H)得：氏+i+2|»2瓦+2|222氏_1+2|"-22"|七+2],

由(I)知，—3<x,<—1,.-.|x„+1+2|<l,

・・・21%+2区1,即归+2|《,

若看w—2,则|石+2]>0,取〃之log-J—7+1时，有卜+2]>;「与上+2|〈不■矛盾.

2A,十乙|LL

则X]=-2.得证.

点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形,

以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.

20、(1)a“=2'(〃wN)(2)当〃为偶数时，/,=-+-；当"为奇数时，b=---.(3)(1,也)

、/"3333

【解析】

(1)根据=S“-S“T,讨论〃=1与〃22两种情况,即可求得数列｛4｝的通项公式；

(2)由(1)利用递推公式及累加法，即可求得当“为奇数或偶数时｛〃｝的通项公式.也可利用数学归纳法，先猜想出通

项公式，再用数学归纳法证明.

b

(3)分类讨论，当〃为奇数或偶数时，分别求得”的最大值，即可求得兄的取值范围.

勿+i

【详解】

(1)由题意可知,S“=2"+i—2.

当心2时,%=邑—%=2向-2—(2"-2)=2",

当〃=1时,卬=51=25—2=2也满足上式.

所以4=2"(“eN*).

(2)解法一：由⑴可知d+]+〃=2"(weN*),

即优.+为=»(左eN*).

当左=1时,%+4=2],①

当左=2时,4+4=22,所以—4—打=—22,②

当左=3时也+4=23,③

当上=4时,4+%=2",所以—4—4=-24，④

当左=〃—1时，〃为偶数bn+2-=2片

当左="时,"为偶数所以一2-2-=-2-1

以上〃-1个式子相加，得

b+&]=2-22+23-24+---+2^'=2口一(-2)，二十工

1-(-2)33

2"2

又4=0,所以当"为偶数吐6=t+*.

"33

同理，当n为奇数时，

234

bn+bx=2-2+2-2+----2"T=邛-(-0"[=2-^,

1-(-2)3

所以，当〃为奇数时也=土2"-22

33

解法二：

猜测：当〃为奇数时，

猜测：当〃为偶数时,

以下用数学归纳法证明:

n=\，命题成立;

假设当n=k时，命题成立;

当"为奇数时,4=2i—2i+…+22—2,

当〃=左+1时,〃为偶数，由bM+4=2*(ZeN*)得

kk2

bk+[=2-bk=2-2-+2"2+...-2+2

故,〃=%+1时,命题也成立.

2"2

综上可知，当〃为奇数时4=土-4

"33

同理，当n为偶数时,命题仍成立.

1+|（及为偶数）

（3）由（2）可知