广西来宾市2023-2024学年高考数学五模试卷含解析

广西来宾市2023-2024学年高考数学五模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i是虚数单位，复数匕（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

2.若直线-不平行于平面且-则（）

A.二内所有直线与二异面

B.内只存在有限条直线与-共面

C.内存在唯一的直线与平行

D.二内存在无数条直线与二相交

JT7T

3.已知函数/（x）=sin（2019x+—）+cos（2019x——）的最大值为"，若存在实数以〃，使得对任意实数x总有

44

f(.m)<f(x)</（八）成立，贝!小7L-司的最小值为（）

712%4〃71

A.-------B.-------C.-------D.-------

2019201920194038

4.已知双曲线三-g=l（a〉0力〉0）的左、右焦点分别为丹、玛，圆好+/=〃与双曲线在第一象限内的交点

为M,若|峥|=3］摩则该双曲线的离心率为

A.2B.3C.72D.6

22

5.设耳，骂是双曲线C：1-4=1（。＞0力＞0）的左，右焦点，。是坐标原点，过点工作c的一条渐近线的垂

ab

线，垂足为P.若|尸制="|。升，则C的离心率为（）

A.72B.&C,2D.3

6.执行如图所示的程序框图，若输入的1=3,则输出的，=()

A.9B.31C.15D.63

7.已知函数/(%)满足"1—x)=/(l+x),当时，/(%)=%--,贝！|{x|/(x+2)>l}=()

A.或x>0}B.{x|x<0或%>2}

C.{%[%<—2或%>0}D.{%[%<2或%>4}

4y+4«0

8.在平面直角坐标系中,若不等式组2x+y-10V0所表示的平面区域内存在点(x0,%),使不等式/+加%+1<0

5x-2y+2>0

成立，则实数相的取值范围为()

A.(-co,--]B.(-00,--]C.[4,+oo)D.(-oo,-4]

22

9.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，.…下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天

数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()

发芽所需天数1234567>8

种子数43352210

A.2B.3C.3.5D.4

2+3,

10.已知i为虚数单位，则()

(l-2z)z

74.74.47.47

A.—+—zB.--iC.—1—1D.--

555555-5

11.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()

A.1B.2C.3D.0

/、「、八/、\X(X+2Y-2<X<0“、八/、

12.已知函数/(九)满足：当2,2)时，/(6=，二，且对任意XGR,都有/(x+4)=/(x),

log2尤,u<X<，

则/(2019)=()

A.0B.1C.-1D.log23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋膈”意指四个面都

是直角三角形的三棱锥.某“憋膈”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知几何体高为2&，

则该几何体外接球的表面积为.

x+2,x<-1

14.已知/(x)=Y_5T<X<3,则/[/(4)]的值为.

log2x,x>3

15.用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有个.

16.在矩形ABC。中，BC=4,M为的中点，将ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点3与C重合

于点P.若ZAPD=150°,则三棱锥〃-的外接球的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=Zsin?x+2gsinxcosx-l,xeR.

(1)求兀r)的单调递增区间；

(2)AA8C内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若/(5)=1且A为锐角，a=3>,sinC=2sinB,求△ABC的面积.

18.(12分)已知三棱柱A5C—4与C中，AB=BB[=2,。是的中点，/用痴=60。，B}D±AB.

(1)求证：AB±AC；

(2)若侧面ACG4为正方形，求直线用。与平面GA。所成角的正弦值.

x=2+cos0

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线/的参数方程为1(。为参数)，以原点。为极点,

X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=4s加a

(1)求曲线C的普通方程；

(2)求曲线/和曲线C的公共点的极坐标.

20.(12分)已知集合4={X,2-x-2>o},集合3={%|2/+(2左+5)x+5左<。},k&R.

(1)求集合成

(2)记M=AB,且集合”中有且仅有一个整数，求实数4的取值范围.

21.(12分)设点b(1,0),动圆P经过点p且和直线x=—l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过点/(0,2)的直线/与曲线W交于A、B两点,且直线/与x轴交于点C,设MA=0AC，MB=/3BC,

求证：a+分为定值.

11

X=—+—COS6Z,

42

22.(10分)在直角坐标系中，曲线C的参数方程是(c是参数)，以原点为极点，x轴的正

出1.

y=——+—sina

-42

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)在曲线C上取一点"，直线绕原点。逆时针旋转(，交曲线C于点N,求IOMWONI的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用复数的除法运算，化简复数=即可求解，得到答案.

1

【详解】

1+i(l+i)-(-i)

由题意，复数.).、=1-i,故选D.

1ix(-i)

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,

属于基础题.

2、D

【解析】

通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线-不平行于平面-，且--可知直线-与平面-相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

3、B

【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到/(x)=2sin(2019x+(),进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于

半个周期，最终得到结果.

【详解】

函数

f(x)=sin^2019x+^+cos^2019x-^=2^(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019%)=2sin(2019x+

则函数的最大值为2,=2|m-n|

存在实数W,使得对任意实数x总有〃加)工/(力</(〃)成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即

m—n>———2\m—n\=

20191lnun2019

故答案为：B.

【点睛】

这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.

4、D

【解析】

本题首先可以通过题意画出图像并过〃点作3垂线交打工于点H,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形

。加入的形状并求出高必/的长度，的长度即加点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐

标，最后将〃点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】

根据题意可画出以上图像，过M点作百鸟垂线并交耳耳于点X,

因为|5|=3|加国，M在双曲线上,

所以根据双曲线性质可知，居|=2a,即31Ml瑞|=2a,|人里|=a,

因为圆/+，2=尸的半径为是圆/+y2=〃的半径，所以Q0=〃，

222

因为闾=a,0F2=c,a+b=c>

所以？。M90,三角形。仍是直角三角形，

因为必/人。鸟，所以OMIMF2,MH=粤,即"点纵坐标为呼，

将〃点纵坐标带入圆的方程中可得必+哆=/，解得尤=?,制，

将M点坐标带入双曲线中可得号-《=1,

化简得/=。2°2,(，-叫之_/=42。2,/=3片，6=5=6，故选D。

【点睛】

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结

合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

5、B

【解析】

设过点用(c,0)作y=&x的垂线，其方程为y=—?(x—c),联立方程，求得X=幺，"吆,即P—,由

abcc(cc)

|P^|=V6|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点与(c,o)作y=2》的垂线，其方程为y=-?(x-c),

ab

b

y=—x27<27A

IaAT；ZBaab日nD〃a"

由1解得%=—，y=一，即P一,一，

a(\cc\cc)

y=-c)v7

4

,IDZ7i任icoi由I、I2/(aY(aa%?)

由|明|=。6|。尸I，所以有—+c=6—+,

c\cJ\ccJ

化简得3a2=。2,所以离心率e=f=G.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

6、B

【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.

【详解】

执行程序框t=3,z=0；t—8,z=1st—23,z=3；

?=68,z=7；t=203,z=15；/=608,2=31,

满足/〉606,退出循环，因此输出，'=31,

故选:B.

【点睛】

本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.

7、C

【解析】

'2,

2x---=1

简单判断可知函数关于x=l对称，然后根据函数/(x)=x—-的单调性，并计算X,结合对称性，可得结果.

X[x>Q

【详解】

由/(l—x)=/(l+x)，

可知函数/(X)关于％=1对称

当时，y(x)=x-一，

X

9

可知/(X)=X——在[1,+8)单调递增

X

1二一1

则Jx=>%=2

%>0

又函数“X)关于X=1对称，所以"0)=1

且/(九)在(-8,1)单调递减，

所以x+2<0或x+2>2,故无<-2或%>0

所以{耳/(%+2)>1}={x[x<-2或%>0}

故选:C

【点睛】

本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：/(l-x)=/(l+x),

/(l-x)+/(l+x)=O,考验分析能力，属中档题.

8、B

【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数/+根%+1<0恒过。(-1，0)，再分别讨论加的正负进一步确定目标函数

与可行域的基本关系，即可求解

【详解】

作出不等式对应的平面区域，如图所示:

其中4(2,6),直线X+叼+1=0过定点£)(-1,0),

当加=0时，不等式x+l<0表示直线x+l=0及其左边的区域，不满足题意;

当机>0时，直线x+%+1=0的斜率—■-<0,

m

不等式工+阳+1<0表示直线x+阳+1=0下方的区域，不满足题意；

当山<0时，直线x+冲+1=0的斜率—->0,

m

不等式x+^y+lVO表示直线％+叫+1=0上方的区域，

要使不等式组所表示的平面区域内存在点(尤0,%)，

使不等式/+m%+1<0成立，只需直线X+阳+1=0的斜率—L<KD=2,解得mw—

m2

综上可得实数机的取值范围为(-8,-?,

故选:B.

【点睛】

本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题

9、C

【解析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.

【详解】

3+4

由图表可知，种子发芽天数的中位数为一=3.5,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查中位数的计算，属基础题.

10、A

【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.

【详解】

2+3，_2+3，_（2+3。（2—，）_74.

（l-2z）z-2+i—（2+Z）（2-Z）-5+5Z'

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数运算，属于基础题题.

11、C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

其中AABC,ABCD,AA0C为直角三角形.

.•・该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

12、C

【解析】

由题意可知/(2019)=/(-1)，代入函数表达式即可得解.

【详解】

由/(x+4)=/(x)可知函数/⑴是周期为4的函数，

/(2019)=/(-I+4x505)=f(-1)=-lx(-1+2)=-l.

故选：C.

【点睛】

本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12K

【解析】

三视图还原如下图：AB=2y/2,BD=CD=y/2,BC=2,由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以

R=5=4万氏2=12万,填12兀。

【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直

角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。

14、-1

【解析】

先求/(4),再根据/(4)的范围求出/[/(4)]即可.

【详解】

由题可知/(4)=log24=2,

故了"（4）］=/（2）=2?—5=—l.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.

15、60

【解析】

对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.

【详解】

①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，

此时，符号条件的6位自然数个数为曷团=36个；

②若首位数为偶数，则首位数不能为0,0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，

此时，符合条件的6位自然数个数为C；尺备=24个.

综上所述，符合条件的6位自然数个数为36+24=60个.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力,

属于中等题.

16、68乃.

【解析】

计算△见¥外接圆的半径广，并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据

上面尺2=［野）+/即可得解.

【详解】

由题意可知，MP±PA,MPLPD,PDoPA^P,

所以可得？ML面QAD，

设AADP外接圆的半径为r,

AD4

由正弦定理可得----------=2r,即--------=2r,r=4,

sinZAPDsin150°

设三棱锥M-B4Z）外接球的半径R,

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,

则+/=1+16=17,

所以外接球的表面积为5=4万尺2=68万.

故答案为：68%.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)[——+k7i,—+k?i](keZ)(2)—^―

632

【解析】

(1)利用降次公式、辅助角公式化简/(%)解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得/(龙)的单调递增区间.

(2)先由=l求得4,利用正弦定理得到c=25,结合余弦定理列方程，求得仇。，由此求得三角形ABC的

面积.

【详解】

(1)函数/(%)=2sin2X+2A/3sinxcosx-l,xGR,

/(x)=V3sinlx-cos2%=2sin(2x-—),

6

由一乙+2k兀<2x——<—+2k兀,k^Z,

262

得——-\-k7i<x<—+k兀、左cZ.

63

jrjr

所以/Xx)的单调递增区间为[—：+左凡4+左汨(左eZ).

63

(2)因为/(g)=2sin(A—()=1且A为锐角，所以A=g.

7T

由sinC=2sin8及正弦定理可得c=2b,又a=3,A=y,

2222

由余弦定理可得片=及+c-2bccosA=b+c-bc=3b>

解得6=石,c=2G,SARC=—besinA=—xy/3x2A/3X.

ABC2222

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面

积公式，属于中档题.

18、(1)证明见解析(2)正

5

【解析】

(1)取A5的中点。，连接8,0B{,证明A3,平面。。用得出再得出A3LAC；

(2)建立空间坐标系，求出平面&AD的法向量〃，计算cos<〃，8Q>即可得出答案.

【详解】

(1)证明：取A8的中点。，连接8,0B},

ZB.BA=60°,B]B=2,OB=-AB=1,

2

OB】=V4+l-2x2xlxCOS60°=A/3,

OB2+OB；=BB；,故AB_L06,

又AB_L4。，BXD=B,,OB1再Du平面ODB],

AB_L平面。。用，

AB±OD,

0,。分别是A5,BC的中点，，。。//人。，

.-.AB±AC.

(2)解：四边形ACGA是正方形，•••ACLAA，

又ACLAB,AB^AA.=A,AB,A4,u平面45与4，

.•.47，平面43与4,

在平面A3耳A内作直线A3的垂线AE,以A为原点，以AB,AC,AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系

则4(0,0,0),0(1,1,0),C](-l,2,g),Bt(l,0,5,

AD=(1,1,0),AC,=(-1,2,73),BtD=(0,1,-国,

n-AD-0

设平面GA。的法向量为〃=a,y,z),贝！।

H-AQ=0

令x=l可得：〃=(1,—1,6),

\n\\BtD\非5

直线BQ与平面QAD所成角的正弦值为Icos<n,>|=半.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题.

19、(1)%2+(y-2)2=4(2)(2班，j).

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的转化公式x=夕cosoy=0sin。求解.

(2)先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.

【详解】

(1)•.•曲线C的极坐标方程为夕=4sin，,

:.夕2=42sin6,则x?+V=4y,

即Y+0—2)2=4.

x=2+cos2a=2cos2-+1

⑵彳2

y=A/3+2A/3cos2y=A/3(2COS2-^+1)

y=V3x，x>l

联立_?+(>—2)2=4可得必+3%2=46x，

x=0(舍)或x=6，

公共点(g,3),化为极坐标Q6,1).

【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一

般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.

20、(1)B—j(2)[—3,2)u(3,4]

【解析】

(1)由不等式2/+(2k+5)x+5左<0可得(2%+5)(%+k)<Q，讨论—左与—°的关系，即可得到结果；

2

(2)先解得不等式好一尤_2>0,由集合M中有且仅有一个整数，当-k<-g时，则M中仅有的整数为-3；当

-k>-之时，则M中仅有的整数为-2，进而求解即可.

2

【详解】

解：(1)因为2f+(2左+5)x+5k<0,所以(2%+5)(尤+左)<0,

当_左<_二，即上〉"I■时,5=1一左<彳];

22(2)

当一上=_[,即左=g时,6=0；

当—k>——,BPk<—时,-8=(—,—kI.

22I2J

(2)由％2_%_2>0得兄£(-oo,-l)u(2,+oo),

当一左<—g,即左>I时,M中仅有的整数为—3,

所以TV—左<—3,即左«3,4]；

当一左>—|■，即左<°时,“中仅有的整数为-2,

22

所以-2〈-左<3,即丘[-3,2,

综上，满足题意的k的范围为[—3,2)D(3,4]

【点睛】

本题考查解一元二次不等式，考查由交集的结果求参数范围，考查分类讨论思想与运算能力.

21、(1)/=4x；(2)见解析.

【解析】

(1)已知P点轨迹是以口为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；

2

(2)设直线方程为丁=丘+2,k丰3则C(-：,0),设由直线方程与抛物线方程联立消元应

用韦达定理得为+%2，芯%2,由MA=(zAC，加5=，3。，用横坐标表示出。,用，然后计算。+广，并代入药+%2,

七％2可得结论.

【详解】

(1)设动圆圆心P(x,y),由抛物线定义知：P点轨迹是以p为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，设其方程为

y2=2px(p>0),则^•=：!,解得。=2.

二曲线w的方程为/=4%；