2024届鄂西北四校高二数学第一学期期末考试试题含解析

2024届鄂西北四校高二数学第一学期期末考试试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果双曲线的一条渐近线方程为y=且经过点（5,（）,则双曲线的标准方程是（）

A。，1

169916

C・-----------=1-----------1

916169

jr

2.已知函数/（无）=—xcos（i—x）,则/'（]）等于（）

A.OB.2

rin

C.—D.一一

22

3.已知抛物线尸=2加（。>0）,过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A、B两点,点河的坐标为（-2,0）,

且Aa〃为直角三角形，则以直线A3为准线的抛物线的标准方程为（）

A.y1-8xB.y2=-8x

C.y2=-4xD.y2=4x

Y2

4.已知点P是椭圆工=1上的任意点，厂是椭圆的左焦点，。是p尸的中点，则一。网2的周长为（

95

A.5B.6

C.10D.12

5.已知数列｛〃｝的通项公式为2="2-/1"-3（"wN*）,且数列｛包｝是递增数列，则实数X的取值范围是（）

A.（-<x>,2）B.

C.（-oo,3）D.（-co,3]

6.已知四面体P—ABC中，PC=a,PA=PB=AC=BC=2a,AB=2@a,若该四面体的外接球的球心为。，则

Q4C的面积为（）

D.Ca?

7.若圆£:(x—a)2+/=，&〉0)与圆Q：x2+y2=4/(厂〉0)相切，则。的值为()

A.±3rB.±r

C.±3'或土rD.3r或一

8.已知一组数据为：2,4,6,8,这4个数的方差为。

A.4B.5

C.6D.7

9.命题“存在xc[-L0],使得必+x—“<o”为真命题的一个充分不必要条件是。

11

A.a>——B.a〉一

44

11

C.a2—D.a>—

22

22

10.已知R是椭圆C:二+乙=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点。坐标为(4,4),贝！JIPQI+IP尸|的最大值

1615

为()

A.B.13

C.3D.5

11.现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有()

A.12种B.24种

C.36种D.48种

22

12.已知F为椭圆C：=+2=13乂>0)右焦点，。为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|O川，NPO尸=120。,

a2b-

则椭圆C的离心率为()

A亚B,昱

A.-----

23

C.72-1D.百-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某次实验得到如下7组数据，通过判断知道》与x具有线性相关性，其线性回归方程为$=0/25x+3,则

a=.（参考公式：y=bx+

X1234567

y6.06.26.36.46.46.76.8

14.已知直线/:如-（2-m）y+1-机=0,圆Ud+V—2x=0,若直线/与圆C相交于两点，则|政V|的最

小值为______

15.数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.

例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设R是方程/（力=0的根，选取作为R的初

始近似值，在点（%,/（%））处作曲线丁=/（尤）的切线4,则4与％轴交点的横坐标王称为尺的一次近似值，在点

（七,/（玉））处作曲线y=/（%）的切线.则4与x轴交点的横坐标x2称为R的二次近似值.重复上述过程，用x,逐步逼

近区.若给定方程§必+%—1=0,取％=0,贝!|々=.

16.函数/（x）=e'sinx+l的图象在点（0,7（0））处的切线的方程是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行

摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额，（百元）的频率分布直方图如图1所示：

（1）利用图1,求网民消费金额/的平均值i和中位数为；

（2）把下表中空格里的数填上，能否有90%的把握认为网购消费与性别有关.

男女合计

t..XQ

30

合计45

附表:

产（/次0）0.100.050.01

k。2.7063.8416.635

n(ad-bc)2

参考公式：z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.（12分）已知抛物线C:f=2加（夕〉0）的焦点R在直线x—y+l=O上

（1）求抛物线C的方程

（2）设直线/经过点A（-L-2）,且与抛物线。有且只有一个公共点，求直线/的方程

19.(12分)已知/(x)=(sinx+cosx)’—cosI2x—

I6

（1）求/（九）在0e上的单调递增区间；

（2）已知锐角ABC内角A,B,。的对边长分别是。，b,c,若/（C）=l,。=2.求ABC面积的最大值.

20.（12分）已知歹是抛物线C：V=4x的焦点，直线/交抛物线于M、N两点.

（1）若直线/过点歹且NxM0=6O°，求|引图；

（2）若P（2,l）平分线段MN,求直线/的方程.

21.（12分）已知数列｛%｝满足q=g且a“+i=3a“+l.

（1）证明数列上是等比数列；

⑵设数列也｝满足4=1,bn+i-bn=an+^,求数列也｝的通项公式.

22.（10分）已知函数/（尤）=（必+始;+1）］.其中e为然对数的底数

（1）若。=1,求函数/（尤）的单调区间；

（2）若a>0,讨论函数/（%）零点个数

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点15,：

代入，进而求得答案.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y所以设双曲线方程为看-9=2（4wO）,将15,9

代入得:

259r2v2

---=2^2=1,即双曲线方程为土-匕=1.

1616169

故选：D.

2、D

【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.

【详解】由题意，/（x）=xcosx,

故选：D.

3、B

【解析】设点A位于第一象限，求得直线A3的方程，可得出点A的坐标，由抛物线的对称性可得出|40|=忸"|,

进而可得出直线A"的斜率为1,利用斜率公式求得P的值，由此可得出以直线A3为准线的抛物线的标准方程.

y~~2px

X_L

【详解】设点A位于第一象限，直线AB的方程为％=与，联立<，可得2,

2x=一P

2y=±p

所以，点A

k-p

AM

QVABM为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出\AM\=\BM\,则直线AM的斜率为1，即~P+2^

解得。=4.

因此，以直线A3为准线的抛物线的标准方程为V=-8x.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

4、A

【解析】设椭圆另一个焦点为b'，连接尸尸，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.

22________

【详解】在椭圆=1中，a=39b=A/59c=\ja2-b2=2，

如图，设椭圆的另一个焦点为尸，，连接尸「，

因为。、。分别为竹'、P/的中点，则|。。|=；|尸尸|,

则—。的2的周长为目+\OQ\+\QF\=\OF\+^（\PF'\+\PF\）=c+a=5,

5、C

【解析】利用递增数列的定义即可.

［详解］由2+1_4=（〃+1）2_2（〃+1）_3_（〃2_；1〃_3）=（2〃+1）-2〉0,

A＜2n+1＞即是4小于2〃+1的最小值，.\】＜3,

故选：c

6、C

【解析】根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可.

【详解】由图设点。为A3中点，连接由Q4=M=AC=5C,所以

A

D

B

PD±AB,CD1AB,PDcCD=D,PD,CDu面PCD,

则AB，面PCD,且PAB^.ABC,

所以球心Oe面PC。，所以平面PC。与球面的截面为大圆，CD延长线与此大圆交

于E点.在三角形ABC中，由AC=8C=2a,A8=2/a,所以

A=B=30,C=120,CD=BCsinB=2«x1=«,由正弦定理知：三角形ABC

1AH

的外接圆半径为/=^x.=2a,设三角形ABC的外接圆圆心为点“，则

2sin120

OM±^ABC,"=ME=MC=2a,则ME>=a,设钻的外接圆圆心为点N,则ON,面Q4B,由正弦

140

定理知：三角形弘5的外接圆半径为r=二X—^^=2”，

2sin120

所以0M=0N,又三角形PDC中，PC=PD=CD=a,

所以。。为ZPDC的角平分线，则/。。/=30,

在直角三角形中，OM=MDtan30，

3

2]q

在直角三角形。即中，R2=0M2+EM2=—+^cr=—a2，

在三角形。4c中，取中点S,由。4=0CnQS_LAC

OS=yJoA2-AS2=,—a2-a2=J—a,所以

q=~ACxOS」x2ax叵"叵a

0.OAC223

故选：C.

【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键.

7,C

【解析】分类讨论：当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.

【详解】圆G的圆心为30)，半径为「，圆的圆心为(0,0),半径为2厂.

①当两圆外切时，有|a|=3乙此时。=±3八

②当两圆内切时，有|a|=r,此时。=土厂.

综上，当。=±3厂时两圆外切；当“=土厂时两圆内切.

故选：C

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分

类讨论，属于基础题.

8、B

【解析】根据数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由平均数的计算公式，可得工=2+"6+8=5,

4

所以这4个数的方差为:[(2—5尸+(4—5>+(6-5)2+(8—5>]=5

故选:B.

9、B

【解析】“存在无武—1,0],使得炉+x—a<0”为真命题，可得。“一+工心，利用二次函数的单调性即可得出.再

利用充要条件的判定方法即可得出.

【详解】解：因为“存在1,0],使得必+%—a<。，，为真命题,

£

4,

因此上述命题得个充分不必要条件是a>-.

4

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10、B

【解析】利用椭圆的定义求解.

【详解】如图所示：

\PQ\+\PF|=|PQ|+2a-1PF'|<2a+\QF'|=8+,J(4-l)4+42=13，

故选:B

11,C

【解析】先把4本书按2,1,1分为3组，再全排列求解.

【详解】先把4本书按2,1,1分为3组，再全排列，

「2cle1

则有」5ALx蜀=36种分法，

故选:c

12、D

【解析】记椭圆。的左焦点为E,在尸OE中，通过余弦定理得出户耳，归国，根据椭圆的定义可得(6+l)c=2a,

进而可得结果.

【详解】记椭圆C的左焦点为E，在POF中，可得户典=7C2+C2-2XCXCXCOS120=&，

在中，可得|PE|=c,故忸回+户口=(6+1*=2%

故，个高41，

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

59

13、9##—

10

【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得6.

详解】根据表格数据可得：

X=4,y=|(6+6.2+6.3+6.4+6.4+6.7+6.8)=6.4

故64=c1：5.4t，解得&=5.9.

故答案为：5.9.

14、V2

【解析】求出直线过的定点，当圆心和定点的连线垂直于直线/时，|MN|取得最小值，结合|〃乂|=2小产一万2即可

求解.

由题意知，圆C:(x—1)2+丁=1,圆心半径厂=1,

直线/:mx-(2-tn)y+1-m=Q,相(x+y-1)—2y+l=0,

1

x=—

x+y-l=02

<-2y+l=0解得7,故直线/过定点尸

设圆心到直线的距离为d,则|吹|=2,产_42=2jl_12,可知当距离d最大时,

|MN|有最小值，由图可知，CP,/时，d最大,此时—=乎,

=0.故|MN|的最小值为行.

故答案为：0.

5

15、-

6

【解析】根据牛顿迭代法的知识求得马.

【详解】构造函数/(x)=gd+x—1,/(力=炉+1/(o)=i,/(0)=-1,

切线4的方程为y+l=lx(x—o),y=x—1,与X轴交点的横坐标为王=1.

/1(1)=2,/(1)=|,

所以切线4的方程为丁―；=2(x—l),y=2x—g,与x轴交点的横坐标为々=：.

故答案为：—

6

16、X—y+1=0

【解析】求导，求得/(0)=1,左=/(0)=1,根据直线的点斜式方程求得答案.

【详解】因为/(0)=1,f(^v)=ex(sinA;+cosx),

所以切线的斜率左=/(0)=1,切线方程是y—l=x,即x—y+l=。.

故答案为：x-y+l=0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)7=11.5，%=10

(2)列联表见解析，没有

【解析】(1)根据平均数的定义求平均数，由于前2组的频率和恰好为0.5,从而可求出中位数，

(2)根据频率分布表结合已知的数据计算完成列联表，然后计算/公式计算犬，再根据临界值表比较可得结论

【小问1详解】

以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额♦的平均值为

t=2.5x0.2+7.5x0.3+12.5x0.2+17.5x0.15+22.5x0.1+27.5x0.05=11.50.

频率直方图中第一组、第二组的频率之和为0.04x5+0.06x5=0.5,

..•中位数to=10；

【小问2详解】

把下表中空格里的数填上，得列联表如下;

男女合计

t••ZQ252550

203050

合计4555100

2

100x(25x30-25x20)=100al01<2706>

45x55x50x5099

所以没有90%的把握认为网购消费与性别有关.

18、(1)x2=4y

(2)/的方程为I=-］、y=x-l、y=-2x—4

【解析】(1)求得/点的坐标，由此求得2,进而求得抛物线。的方程.

(2)结合图象以及判别式求得直线/的方程.

【小问1详解】

抛物线c：f=2加(夕＞0)的焦点在y轴上，且开口向上，

直线X—y+l=0与y轴的交点为(0,1),则尸(0,1),

所以］=1，P=2,抛物线的方程为d=4y.

【小问2详解】

当直线/的斜率不存在时，直线％=-1与抛物线只有一个公共点.

那个直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y+2=k(x+l),

y+2=k(x+l)x2..,,

2

{2—+2=kx+k,x—4Ax+8_4左=0,

%-=4y4

A=16左2—4(8—4左)=16左2+16左一32=0,k2+k-2^omk=l^k=-2.

所以直线/的方程为、=尤-1或y=-2x—4.

综上所述，/的方程为l=-1、、=尤-1、y=-2x-4.

(2)2+G

TT

【解析】(1)首先根据三角函数恒等变换得到/(x)=sin(2x-§)+l,再求其单调增区间即可.

(2)根据/(C)=1得到C=9,根据余弦定理和基本不等式得到。匕<4(2+若)，结合三角形面积公式计算即可.

6

【小问1详解】

由题意/(x)=；sin2x——^-cos2x+l=sin(2x-g)+1.

JTTTTTTT)7T

由----F2k7t<2x----<——\-2k7t,得k兀-----<x<-----Fk7r(keZ),

2321212

令左=0,n--<x<—,

1212

所以/(九)在［0,1d上的单调递增区间是［0,1|］

【小问2详解】

7T4

因为/(O=sin(2C--)+1=1,所以2C—§=k兀(keZ),

得C=J+”，又C是锐角，所以C=工，

626

由余弦定理：c2=a2+b2-2abeosC,M4+y/3ab=a2+b2>2ab，

所以〃Z?<4（2+若），且当。=b时等号成立

所以=—absinC=—ab<2+y/39

故.ABC面积最大值为2+6

20、（1）4；

（2）2x—y—3=0.

【解析】（1）分析可知直线/的方程为x=3y+l,将直线/的方程与抛物线方程联立，求出点用的坐标，利用抛物

3

线的定义可求得|FM|；

（2）利用点差法可求得直线/的斜率，利用点斜式可得出直线/的方程.

【小问1详解】

解：设点N（*2，%），则直线/的倾斜角为60，易知点b（1,0）,

r[@]

直线/的方程为x=1@y+l,联立“一行'+,可得百V—4丁―4百=0,

3y2=4x

由题意可知X>o,则X=2A/L.•.玉=[另+1=3,因此，|襁|=3+1=4.

【小问2详解】

解：设以（不乂）、N（x2,y2）,

若MNLx轴，则线段的中点在x轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，

y,2=4x,y,-y4

因为〃、N在抛物线上，贝叫；1,两式相减得9=------,

[£=4/%一々X+%

又因为P（2,l）为的中点，则为+%=2,

所以，直线/的斜率为左="^=”=2,

玉一122

此时，直线/的方程为y-l=2（x-2）,即2x-y-3=0.

4〃T+1

21、（1）证明见解析；（2）b=------（neN*）.

n2

【解析】(1)根据题意可得a.+i+g=31a"+g；根据等比数列的定义，即可得证；

(2)由⑴可得%=3"T—g,可得"+「〃=3"T,利用累加法即可求得数列也｝的通项公式.

1

1(04+1+5

【详解】(1)因为。“+1=3。“+1,所以。“+1+5=34+^,即-----j=3,

「2

所以1%+11是首项为1公比为3的等比数列

(2)由⑴可知4+g