江苏苏州市2024年高一年级下册期中调研数学试题+答案

高一期中调研试卷

数学

2024.04

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填

空题（第12题〜第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分，答题时间为

120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题

卡的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须

用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠

笔.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.i是虚数单位，则复数（3-i）（4-i）在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知单位向量Z,B的夹角为也，则伍-b\=

31

A.1B.V2C.V3D.3

3.i是虚数单位，则2=’-的共辗复数是

1-i

11.11.

AC.1-iD.1+i

2222

4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=l,A=135°,则—一的值为

sinB+sinC

V2V2

A.—B.—c.V2D.2V2

42

5.已知向量£=（3,—4）,b=（2,0）,则Z在很上的投影向量为

A.（3,0）

6.下列命题正确的是

A.AB-AC=~BC

B.若向量£=(2023,2024),把Z向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2025,2024)

C.在△A2C中，福••〉()是AABC为锐角三角形的充要条件

D.在△ABC中，若;I为任意实数，且而=/(，可•而卜则P点的轨迹经过△ABC的内心

7.苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球

高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤

鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主

塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部(当作点。)一直线上位于。同侧两点A,B分别测得金融中心

顶部点尸的仰角依次为30°,45°,已知的长度为330米，则金融中心的高度约为

A.350米B.400米C.450米D.500米

8.在平行四边形ABC。中，E为的中点，BF=-BC,AF与BE交于点G,若丽=%,BC,

3

则BG=

2-11-21-2

A.一aH—b7B.一aH—b7D.-ciH—b7

777755

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在△ABC中，下列说法正确的是

A.若贝!JsinA>sinB>sinCB.若则sin2A>sin2B>sin2C

C.若贝!JcosA<cosB<cosCD.若贝i」cos2A<cos28<cos2c

10.Z/Z2是复数，下列说法正确的是

A.若z；<0,则%是纯虚数

B-若卜上㈤,则z：=z；

C.若ZrZ2互为共朝虚数，则Z「Z2在复平面内对应的点关于实轴对称

D.若z；-z；>0,则z；>z；

11.已知尸是边长为1的正六边形ABCOEF内一点（含边界），且衣二血+力而，2G7?,则下列正确

的是

A.△PCD的面积为定值B.使得|正卜|西|

C.NCPD的取值范围是D.|正|的取值范围是[1,6]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知1,B为两个不共线的非零向量，若左％+5与％—2各共线，则左的值为.

13.ZXABC中，^sin|A+—|=,贝Usin（A-2]=.

I4；5I12；

14.已知AABC的外接圆半径为1,则赤•团的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知复数Z在复平面上对应点在第一象限，且目=也，Zz的虚部为2.

（1）求复数Z；

（2）设复数z、z-z2在复平面上对应点分别为4B、C,求丽•尼的值.

16.（15分）

已知向量。4,不共线，点P满足。尸=xQ4+yOB,x,yeR.证明：

（1）若x=y=！，则点P是线段4B的中点；

2

（2）x+y=l是A、B、尸三点共线的充要条件.

17.（15分）

在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C满足:A在x轴的正半轴上,C的横坐标是-哈，|次卜|砺|=|瓦卜1,

OAOB=^~.记NAOB=a,ZAOC=p,a是锐角，尸是钝角.

(1)求cos(a-77)的值；

(2)求夕一2a的值.

18.(17分)

如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1,CD=2,△ABC为等边三角形，记NADC=e.

TT

(1)若。=—,求△A3。的面积;

3

(2)若ae1，%,求△A3。的面积的取值范围.

19.(17分)

某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCO某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用

高中所学知识解决或验证下列有趣的现象.

若尸，。分别为边AB,D4上的动点，当△APQ的周长为2时，P。有最小值(图1)、/PC。为定值(图

2)、C到尸。的距离为定值(图3).请你分别解以上问题.

(1)如图1,求尸。的最小值；

图1

(2)如图2,证明：NPCQ为定值;

图2

（3）如图3,证明：C到尸。的距离为定值.

图3

高一期中调研试卷

数学参考答案

2024.04

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

题号12345678

答案DCBCADCB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分

题号91011

答案ACDACAC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

1473-31

12.一；13.----------；14.-

2102

四、解答题：本题共5小题，共77分

15.解：

⑴设z=a+6i,则目=Ja?+/,z2=+=(^a2-b2^+2abi,

因为目=J/+/,z?的虚部为2,

a2+b2=2

所以《

2ab=2

a—\、a——1

解得：＜或《

b=\b=-l，

又复数Z在复平面上对应点在第一象限,

a—\

所以＜,故z=l+i

b=l

2

(2)因为z=l+i,所以d=(l+i『=2i,z-z=i+i-2i=l-i,

所以3(0,2),C(l,-1)

ABAC=(-1,1)(0,-2)=-2

16.证明：

(1)因为x=y=工的，所以而=工次+工砺，即2历=0X+砺,

222

所以而—砺=砺—而，所以彳？=而

所以尸是线段AB的中点

（2）充分性：

若x+y=l,贝!jy=l—尤，

所以丽=x0X+（l—x）砺，

所以而—赤=》赤—x为

所以而=x（宓—砺）=x丽，

所以A、B、P三点共线

必要性：

因为A、B、P三点共线，

所以存在实数x满足：BP=xBA

所以而一砺=x（砺一砺），即而_砺=工砺_%砺

所以丽=x0X+（l—x）砺，

所以x+y=1

综上所述，%+丁=1是4、B、P三点共线的充要条件

17.解：

（1）因为网=|词=1,点5（cosa,sina）,

所以OA-OB==cosa

5

所以COS。=4£

5

________2R

又a为锐角，所以sina=Jl^cos^a=一1

因为钝角P的终边与单位圆0的交点C的横坐标是-陪

所以cos°-_7个,sin-Jl—cos20-

所以cos一尸）=cosacos£+sinasin0=~^~x/7收24541V10

H-----------X---------------------

10J51010

(2)由(1)知sina=2,cosa=—,sin/?=—,cosJ3=--

551010

所以sin2a=2sinacosa=2x拽=d

555

T=T

cosla=2cos2a-1=2

67收4V2

所以sin(夕一2a)=sinPcosla-cos/3sinla=^-xX—=——

10J52

因为tz为锐角,

TC

所以0<a<—,

2

所以0<2tz<n,

又cos2a<0,

所以»

又再

7171

所以2a—£e

71

所以/—2a=i

18.解:

(1)在△AC。中，由余弦定理，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosa=l+4-2x2xcos—=3,

3

所以AC=所以NZMC=90°,

又因为△ABC为等边三角形,

所以A3=AC=G，且N5A£>=N5AC+NZMC=150°,

所以S^BD=-AB-AD-sinZBAD=-xV3xlxsinl50°=—

224

(2)不妨设/D4C=".

在△AC。中，由余弦定理，

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosa=l+4—2x2xcos。=5—4cosa,

cAC2+AD2-DC25-4cosdZ+1-4l-2cosa

cosp=----------------=---------------=---------.

2ACAD2ACAC

ArcnAC?

在△AC。中，由正弦定理，———=———，即一匕

sin/ADCsinADACsinasin°

.八2sma

所以SHI£=----------

=-ABAD-sinZBAD=-AC-sin\B+^-\=-Ac\-smB+—cosB

所以SAAB。22(312(22

1.

=—sma+

2

又因为aw1],乃

所以sin[a—工71)+且e

3

即△A3。的面积的取值范围为

19.解:

(1)设NQP4=6,

因为△APQ的周长为2

所以尸Qsine+PQcosO+P。=2

22______

所以PQ=

sin0+cos9+1V2sin[6+：)+1

因为

所以<sinf0+—<1,

24

所以l<0sin6+