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文档简介
2024届北京市景山校中考一模数学试题
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.下列运算正确的是()
A.a2+a2=a4B.(a+b)2=a2+b2C.a6-j-a2=a3D.(-2a3)2=4a6
2.已知a=5匕,下列说法中,不正确的是()
A.a-5b=0B.。与匕方向相同
C.allbD.|tz|=5|Z?|
3.如图,直角三角形ABC中,ZC=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为
A.2n-逝B.7t+^/3C.TT+2^/3D.271-2-y3
4.下列式子成立的有()个
①-,的倒数是-2
2
②(-2a2尸=-8a5
③内省-0)=6-2
④方程x2-3x+l=0有两个不等的实数根
A.1B.2C.3D.4
5.如图,点E在ADBC的边DB上,点A在ZkDBC内部,ZDAE=ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:
①BD=CE;②NABD+NECB=45。;③BDJ_CE;④BE1=1(AD^AB1)-CD1.其中正确的是()
D
A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④
6.如图,△ABC在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形的顶点位置.如果△ABC的面积为10,且sinA
=—,那么点C的位置可以在()
5
I■।■I■a(■
I•»(•«•
:丁丁;…「丁二一阴:一;…「1■":
A.点G处B.点C2处C.点C3处D.点C4处
7.小手盖住的点的坐标可能为()
A.(5,2)B.(3,T)C.(-6,3)D.(-4,-6)
8.如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图,则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是()
A.30,28B.26,26C.31,30D.26,22
9.2018年1月,“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发,这标志着“墨子号”具备了洲际量子
保密通信的能力.数字7600用科学记数法表示为()
A.0.76X104B.7.6xl03C.7.6xl04D.76xl02
10.天气越来越热,为防止流行病传播,学校决定用420元购买某种牌子的消毒液,经过还价,每瓶便宜0.5元,结
果比用原价购买多买了20瓶,求原价每瓶多少元?设原价每瓶x元,则可列出方程为()
420420420420
A.---------------=20B.——-----------=20
x+0.5XXx+0.5
420420420420”
一n—on
x-0.5XXx-0.5
11.如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,那么其三种视图中面积最小的是()
A.主视图B.俯视图C.左视图D.一样大
12.下列计算正确的是()
A.a2*a3—a6B.(a2)3—a6C.a6-a2—a4D.a5+fl5=a10
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.抛物线丁=2必-1的顶点坐标是.
14.王英同学从A地沿北偏西60。方向走100米到B地,再从B地向正南方向走200米到C地,此时王英同学离A
地的距离是米.
15.如果关于x的一元二次方程/必-(2左+l)x+1=0有两个不相等的实数根,那么左的取值范围是.
16.如图,RtAABC中,NACB=90。,D为AB的中点,F为CD上一点,KCF=-CD,过点B作BE〃DC交AF
3
的延长线于点E,BE=12,则AB的长为.
17.如图,在矩形ABCD中,过点A的圆O交边AB于点E,交边AD于点F,已知AD=5,AE=2,AF=1.如果以
点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,那么r的取值范围是.
18.计算:21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测Z?。"一
1的个位数字是.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图,在平面直角坐标系中,直线yi=2x-2与双曲线y2=&交于A、C两点,ABLOA交x轴于点B,且
X
OA=AB.
(1)求双曲线的解析式;
(2)求点C的坐标,并直接写出yiVyz时x的取值范围.
X
20.(6分)(1)解方程:x2-5x-6=0;
x+4<3(x+2)
(2)解不等式组:L-1x
-------<—
I23
21.(6分)如图,一次函数丫=1«+1}与反比例函数y=@的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点
B,且OA=OB.
(1)求一次函数y=kx+b和y=3的表达式;
x
(2)已知点C在x轴上,且△ABC的面积是8,求此时点C的坐标;
(3)反比例函数y=3(l<x<4)的图象记为曲线Ci,将Ci向右平移3个单位长度,得曲线C2,则Ci平移至C2处所
x
扫过的面积是.(直接写出答案)
22.(8分)某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天
每人加工零件的个数,数据如下:
20211916271831292122
25201922353319171829
18352215181831311922
整理上面数据,得到条形统计图:
(个)
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示:
统计量平均数众数中位数
数值23m21
根据以上信息,解答下列问题:上表中众数m的值为;为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件
的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据来
确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工
人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数.
23.(8分)如图,已知A(a,4),3(-4,b),是一次函数与反比例函数图象的两个交点.
(1)若”=1,求反比例函数的解析式及》的值;
(2)在(1)的条件下,根据图象直接回答:当x取何值时,反比例函数大于一次函数的值?
(3)若a-6=4,求一次函数的函数解析式.
24.(10分)如图,在ABC中,NA=90,AB=AC,点D是BC上任意一点,将线段AD绕点A逆时针方向
旋转90,得到线段AE,连结EC.
(1)依题意补全图形;
(2)求“CD的度数;
(3)若NCAE=7.5,AD=1,将射线DA绕点D顺时针旋转60交EC的延长线于点F,请写出求AF长的思路.
25.(10分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,CE=CD,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.求
证:DF2=EF・BF.
26.(12分)如图,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点E在BC上.
求证:AABC义AADE;(2)求证:ZEAC=ZDEB.
2
27.(12分)(1)计算:(-2018)°+-9x
x—1〉2(x—3),
(2)解不等式组:6x-1°
-------->2%.
I2
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、D
【解题分析】
根据完全平方公式、合并同类项、同底数塞的除法、积的乘方,即可解答.
【题目详解】
A、a2+a2=2a2,故错误;
B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故错误;
C、a64-a2=a4,故错误;
D、(-2a3)2=4a6,正确;
故选D.
【题目点拨】
本题考查了完全平方公式、同底数塞的除法、积的乘方以及合并同类项,解决本题的关键是熟记公式和法则.
2、A
【解题分析】
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用.
【题目详解】
A、a-5。=0,故该选项说法错误
B、因为。=5匕,所以。与b的方向相同,故该选项说法正确,
C、因为。=5。,所以a//,故该选项说法正确,
D、因为a=5沙,所以|。|=5|切;故该选项说法正确,
故选:A.
【题目点拨】
本题考查了平面向量,注意,平面向量既有大小,又由方向,平行向量,也叫共线向量,是指方向相同或相反的非零
向量.零向量和任何向量平行.
3、D
【解题分析】
分析:观察图形可知,阴影部分的面积=$半圆ACD+S半圆BCD-SAABC,然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即
可.
详解:连接
A
iy'B
VZC=90°,AC=2,AB=4,
/.BC=742-22=273.
・•・阴影部分的面积=S半圆ACD+s半圆BCD-SAABC
=;乃义仔+;乃义(6)-x2x2^/3
,+物-2指
22
=2/r—2^3•
故选:D.
点睛:本题考查了勾股定理,圆的面积公式,三角形的面积公式及割补法求图形的面积,根据图形判断出阴影部分的
面积=S半IOACD+S半BIBCD-SAABC是解答本题的关键.
4、B
【解题分析】
根据倒数的定义,幕的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式进行判断.
【题目详解】
解:①-工的倒数是-2,故正确;
2
②(-2a2>=-8a6,故错误;
③右(6-0)=«-2,故错误;
④因为△=(-3>-4xlxl=5>0,所以方程x2-3x+l=0有两个不等的实数根,故正确.
故选B.
【题目点拨】
考查了倒数的定义,塞的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式,属于比较基础的题目,熟记计算法则即可
解答.
5、A
【解题分析】
分析:只要证明△DABgAEAC,利用全等三角形的性质即可一一判断;
详解:VZDAE=ZBAC=90°,
:.ZDAB=ZEAC
VAD=AE,AB=AC,
/.△DAB^AEAC,
/.BD=CE,ZABD=ZECA,故①正确,
ZABD+ZECB=ZECA+ZECB=ZACB=45°,故②正确,
,.,ZECB+ZEBC=ZABD+ZECB+ZABC=45o+45°=90°,
/.ZCEB=90°,即CE_LBD,故③正确,
/.BE^BC^EC^IAB1-(CD^DE1)=lAB^CD'+lAD^l(AD】+AB])-CD1.故④正确,
故选A.
点睛:本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三
角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
6^D
【解题分析】
如图:
VAB=5,5AABC=10,DC4=4,VsinA=&,:.旦=吧=士,:.AC=4下,
55ACAC
22
•••在RTAADC4中,DC4=4,AD=8,•••AC4=78+4=4逐,故答案为D.
7、B
【解题分析】
根据题意,小手盖住的点在第四象限,结合第四象限点的坐标特点,分析选项可得答案.
【题目详解】
根据图示,小手盖住的点在第四象限,第四象限的点坐标特点是:横正纵负;
分析选项可得只有B符合.
故选:B.
【题目点拨】
此题考查点的坐标,解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号,进而对号入座,四个象限的符号特点分别是:第一
象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).
8、B.
【解题分析】
试题分析:由图可知,把7个数据从小到大排列为22,22,23,1,28,30,31,中位数是第4位数,第4位是1,所
以中位数是1.平均数是(22x2+23+1+28+30+31)+7=1,所以平均数是1.故选B.
考点:中位数;加权平均数.
9、B
【解题分析】
科学记数法的表示形式为“X10〃的形式,其中IWMIVIO,〃为整数.确定〃的值时,要看把原数变成。时,小数点移
动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,"是正数;当原数的绝对值<1时,〃是负
数.
【题目详解】
解:7600=7.6x103,
故选B.
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式,其中1WIMV10,〃为整数,表示时关键要
正确确定”的值以及"的值.
10、C
【解题分析】
关键描述语是:“结果比用原价多买了1瓶”;等量关系为:原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1.
【题目详解】
原价买可买,瓶,经过还价,可买—一瓶.方程可表示为:一--------=1.
xx-0.5x-0.5x
故选C.
【题目点拨】
考查了由实际问题抽象出分式方程.列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题要注意讨价前后商品的单价的
变化.
11、C
【解题分析】
如图,该几何体主视图是由5个小正方形组成,
左视图是由3个小正方形组成,
俯视图是由5个小正方形组成,
故三种视图面积最小的是左视图,
故选C.
根据同底数嘉乘法、塞的乘方的运算性质计算后利用排除法求解.
【题目详解】
A、a2,a3=a5,错误;
B、(a2)3=a6,正确;
C、不是同类项,不能合并,错误;
D、a5+a5=2as,错误;
故选B.
【题目点拨】
本题综合考查了整式运算的多个考点,包括同底数塞的乘法、塞的乘方、合并同类项,需熟练掌握且区分清楚,才不
容易出错.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、(0,-1)
【解题分析】
.b4ac-b~
Va=2,b=0,c=-l..-----=0,------
2a4a
二抛物线y=2f—i的顶点坐标是(o,-i),
故答案为(0,-1).
14、100、;
【解题分析】
先在直角△ABE中利用三角函数求出BE和AE,然后在直角AACF中,利用勾股定理求出AC.
B
解:如图,作AELBC于点E.
VZEAB=30°,AB=100,
;.BE=50,AE=503.
VBC=200,
/.CE=1.
在RtZkACE中,根据勾股定理得:AC=100;.
即此时王英同学离A地的距离是100\米.
故答案为100、3.
解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
1)
15、k>一1且片1
【解题分析】
由题意知,k/1,方程有两个不相等的实数根,
所以△>1,△=b2-4ac=(2k+l)2-4k2=4k+l>l.
又;方程是一元二次方程,二片1,
/.k>-l/4且醉1.
16、1.
【解题分析】
根据三角形的性质求解即可。
【题目详解】
解:在RtAABC中,D为AB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得:AD=BD=CD,
因为D为AB的中点,BE//DC,所以DF是AABE的中位线,BE=2DF=12
所以DF=』BE=6,
2
12
设CD=x,由CF=-CD,则DF=-CD=6,
33
可得CD=9,故AD=BD=CD=9,
故AB=1,
故答案:L
【题目点拨】
本题主要考查三角形基本概念,综合运用三角形的知识可得答案。
17、V10-^<r<710+75
【解题分析】
因为以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,则圆D与圆O相交,圆心距满足关系式:|R-r|<d<R+r,
求得圆D与圆O的半径代入计算即可.
【题目详解】
连接OA、OD,过。点作ON_LAE,OM1AF.
11
AN=-AE=1,AM=-AF=2,MD=AD-AM=3
22
四边形ABCD是矩形
ZBAD=ZANO=ZAMO=90°,
•*.四边形OMAN是矩形
.\OM=AN=1
OA=AJ22+12=小QD=J]2+32=^/10
•••以点D为圆心,r为半径的圆D与圆O有两个公共点,则圆D与圆O相交
【题目点拨】
本题考查了圆与圆相交的条件,熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.
18、1
【解题分析】
观察给出的数,发现个位数是循环的,然后再看2019+4的余数,即可求解.
【题目详解】
由给出的这组数21-1=1,22-1=3,23-1=1,24-1=15,25-1=31,…,
个位数字1,3,1,5循环出现,四个一组,
2019+4=504…3,
...22019_1的个位数是1.
故答案为1.
【题目点拨】
本题考查数的循环规律,确定循环规律,找准余数是解题的关键.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4
19、(1)%=-;(1)C(-1,-4),x的取值范围是x<-1或0<x<L
x
【解题分析】
【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得:x=lx-1,可得A的坐标,从而得双
曲线的解析式;
(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组,解方程组可得点C的坐标,根据图象可得结论.
【题目详解】(1)•••点A在直线yi=lx-l上,
.,.设A(x,lx-1),
过A作AC_LOB于C,
VAB1OA,且OA=AB,
.".OC=BC,
1
r.AC=-OB=OC,
2
x=lx-1,
x=l,
・・・A(1,1),
k=lxl=4,
4
%二一
x
y=2x-2
xl=2%2=-1
⑴4解得:
y=一J=2y=-4
lX2
AC(-1,-4),
由图象得:yi<yi时x的取值范围是x<-1或0<x<L
【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合;熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法;通过
观察图象,从交点看起,函数图象在上方的函数值大.
20、(1)xi=6,X2=-1;(2)-1<X<1.
【解题分析】
(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)先求出不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
【题目详解】
(1)x2-5x-6=0,
(x-6)(x+1)=0,
x-6=0,x+l=0,
Xl=6,X2=-1;
x+4<3(%+2)@
•••解不等式①得:x>-l,
解不等式②得:X<1,
...不等式组的解集为
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(1)的关键,能根据
不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键.
121Q
21、(1)y=一,y=2x-5;(2)点。的坐标为(不,0)或(亍0);(3)2.
x22
【解题分析】
试题分析:(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值,从而得出反比例函数解析式;由勾
股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标,由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式;
(2)设点C的坐标为(m,0),令直线AB与x轴的交点为D,根据三角形的面积公式结合△ABC的面积是8,可得
出关于m的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可得出m值,从而得出点C的坐标;
(3)设点E的横坐标为1,点F的横坐标为6,点M、N分别对应点E、F,根据反比例函数解析式以及平移的性质
找出点E、F、M、N的坐标,根据EM〃FN,且EM=FN,可得出四边形EMNF为平行四边形,再根据平行四边形
的面积公式求出平行四边形EMNF的面积S,根据平移的性质即可得出G平移至C2处所扫过的面积正好为S.
试题解析:
(1)♦.,点A(4,3)在反比例函数y=3的图象上,
X
:.a=4x3=12,
1?
二反比例函数解析式为y=—;
x
22=1
VOA=A/4+3»OA=OB,点B在y轴负半轴上,
.•.点B(0,-1).
把点A(4,3)、B(0,-1)代入y=kx+b中,
3=4k+bk=2
得:u,,解得:〈
-5=0b=-5,
...一次函数的解析式为y=2x-1.
(2)设点C的坐标为(m,0),令直线AB与x轴的交点为D,如图1所示.
O\fazf
令y=2x-1中y=0,则x=^,
AD0),
2
.,.SAABC=-CD«(yA-y)=-|m--|x[3-(-1)]=8,
2B22
19
解得:m=不或m=—.
22
19
故当△ABC的面积是8时,点C的坐标为(一,0)或(一,0).
22
(3)设点E的横坐标为1,点F的横坐标为6,点M、N分别对应点E、F,如图2所示.
•*.E(1,12),;
12「I
令A丫=一中x=4,贝l)y=3,
x
AF(4,3),
VEM/7FN,且EM=FN,
,四边形EMNF为平行四边形,
•*.S=EM»(yE-yr)=3x(12-3)=2.
Ci平移至C2处所扫过的面积正好为平行四边形EMNF的面积.
故答案为2.
【题目点拨】运用了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的面
积,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程;(3)求
出平行四边形EMNF的面积.本题属于中档题,难度不小,解决(3)时,巧妙的借助平行四边的面积公式求出C1
平移至C2处所扫过的面积,此处要注意数形结合的重要性.
22、(1)18;(2)中位数;(3)100名.
【解题分析】
【分析】(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值;
(2)根据题意可知应选择中位数比较合适;
(3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数.
【题目详解】(1)由图可得,
众数m的值为18,
故答案为:18;
(2)由题意可得,
如果想让一半左右的工人能获奖,应根据中位数来确定奖励标准比较合适,
故答案为:中位数;
1+1+2+3+1+2
(3)300x=100(名),
30
答:该部门生产能手有100名工人.
【题目点拨】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数,解答本题的关键是明确题意,
利用数形结合的思想解答.
4
23、(1)反比例函数的解析式为7=—,6的值为-1;(1)当xV-4或0<x<l时,反比例函数大于一次函数的值;
x
(3)一次函数的解析式为y=x+l
【解题分析】
(1)由题意得到A(1,4),设反比例函数的解析式为y=&(4邦),根据待定系数法即可得到反比例函数解析式为y
X
4
=-;再由点5(-4,b)在反比例函数的图象上,得到力=-1;
x
(1)由(1)知A(1,4),5(-4,-1),结合图象即可得到答案;
(3)设一次函数的解析式为(而邦),反比例函数的解析式为》=",因为A(a,4),B(-4,b)是一次
4,
a
函数与反比例函数图象的两个交点,得到■,解得〃=8,a=l9b=-1,则A(1,4),B(-4,-1),由点
b=»
、—4
2m+n=4
A、点5在一次函数〃图象上,得到〃。,解得即可得到答案.
-4m+n=-2[n=2
【题目详解】
(1)若。=1,则A(1,4),
设反比例函数的解析式为(际0),
X
・・•点A在反比例函数的图象上,
解得k=4,
4
・・・反比例函数解析式为y=—;
・・,点5(-4,b)在反比例函数的图象上,
-4
4
即反比例函数的解析式为y=—,》的值为-1;
x
(1)由(1)知A(1,4),B(-4,-1),
根据图象:当x<-4或0<xVl时,反比例函数大于一次函数的值;
(3)设一次函数的解析式为(机邦),反比例函数的解析式为y=K,
VA(〃,4),b(-4,b)是一次函数与反比例函数图象的两个交点,
4/以小
.a4a=
..\,即0n〈,,
b=_P_1-4"=p②
、-4
①+②得4a-4b=lp,
■:a-b=4,
.M6=lp,
解得p=8,
把p=8代入①得4a=8,代入②得-45=8,
解得a=l,b=-1,
/.A(1,4),B(-4,-1),
,・•点A、点b在一次函数y=%x+〃图象上,
2m+n=4
・•〈
-4m+n=-2
二一次函数的解析式为y=x+L
【题目点拨】
本题考查一次函数与反比例函数,解题的关键是待定系数法求函数解析式.
24、(1)见解析;(2)90。;(3)解题思路见解析.
【解题分析】
(1)将线段绕点A逆时针方向旋转90。,得到线段AE,连结EC.
(2)先判定AABD义Z\ACE,即可得到4=NACE,再根据NB=NACB=NACE=45°,即可得出
NECD=ZACB+ZACE=90°;
(3)连接OE,由于△ADE为等腰直角三角形,所以可求£>E=0;由NAZ*=60。,NC4£=7.5°,可求/EOC
的度数和NCDE的度数,从而可知。歹的长;过点A作产于点",在RtAADH中,由NAD尸=60。,AD=1
可求AH、07/的长;由。B、07/的长可求〃尸的长;在RtAAHF中,由A”和利用勾股定理可求4月的长.
【题目详解】
解:(1)如图,
(2)线段AD绕点A逆时针方向旋转90,得到线段AE.
../DAE=90,AD=AE,
../DAC+NCAE=90.
/BAC
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