2023-2024学年重庆市綦江区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2023-2024学年重庆市泰江区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

2.已知图中的两个三角形全等，则N1的度数是（）

A.76°B.60°C.54°D.50°

3.图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地

区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边

形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，

图1

A.135°B.360°C.1080°D.14400

4.下列运算正确的是()

A.2a+4=6aB.a2-a3—a5C.(2a)2=2a23._

5.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米=10-9米，那么

700纳米用科学记数法可表示为（）

A.7xl（p8B.7xICT7c.70x10~8D.0.7x10-7

6.如图，河道机的同侧有〃、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引N

至N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）丫

---------------------------------------m

7.如图，将大正方形通过剪、害人拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4

幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（）

A.图1、图2、图3B.图2、图3、图4c.图1、图2、图4D.图1、图3、图4

8.如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△48c的A处折痕为。E,若〃=a,^CEA'=

B，^BDA'=y,那么下列式子中正确的是（）

A.y=180°-a—pB.y=a+2夕

C.y=2a+£D.y=a+£

9.如图，在AABC中，BO,CO分别平分乙4BC,乙4CB,且交于点

O,CE为外角以CD的平分线，8。的延长线交CE于点E,则以下结

论：

①4E=1zX；

②4BOC=3Z£；

③乙BOC=90°+ZX；

④NBOC=90°+ZE.

正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①④D.①②④

10.有〃个依次排列的整式，第一个整式为9/,第二个整式为9/+6x+l,第二个整式减去第一个整式

的差记为a「将的+2记为a2,将第二个整式加上a2作为第三个整式，将（^+2记为a3,将第三个整式与

。3相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的个数是（）

①=6x+5；

②当x=2时，第四个整式的值为81；

③若第三个整式与第二个整式的差为21,贝卜=3；

④第2024个整式为（3x+2023产

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11.如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知M

AMAC=50。，AACB=20°,则图2中NCBA的度数为.

N

图2

12.如图，BC=BD,只需添加一个条件即可证明AABC会△4BD.这一个条件可以

是(写出一个即可)

13.因式分解：

(l)ab—ac—；

(2)ax2-6ax+9a=.

14.一个长为a,宽为。的长方形的周长为12,面积为7,贝必26+皿2的值为.

15.如图，在△4BC中，AB=AC,BC长为6,面积是27,腰AC的

垂直平分线EF分别交AC、AB边于点及F,若点。为8C边的中

点，点〃为线段EE上一动点，则ACDM周长的最小值为

16.如图，将长方形纸片ABC。沿着。E翻折，使得点C落在边上的点

C'处，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着AE翻折，使得点。落在点

。'处.若NBED'=15°,贝此£71。'=.

(3x+a<2.-皿

17.若关于x的不等式组”“上3、、v)至少有两个整数解，且关于y的分式方程g+宰=2的解是非

12(%+-)>%—2'y-22-y

负整数，则符合条件的所有整数a的和是.

18.若一个四位正整数afecd满足：a+c=6+d,我们就称该数是“振兴数”，则最小的“振兴数”是

；若一个“振兴数”也满足千位数字与百位数字的平方差是15,且十位数字与个位数的和能被5整

除.则满足条件的“振兴数”机的最小值为.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

计算：

(1)(—2)2+V36X2°—|-3|+

(2)(。+1)(。—1)+a(a—4).

20.(本小题10分)

⑴计诏・高

(2)化简求值：(1+3)一与岁，其中％=3.

21.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，点A、B、C、。都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，AABC的位置如图所

示.

(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的4A'B'C'',

⑵△48C的顶点2关于无轴对称的点的坐标为：B",A关于y轴对称的点4'的坐标为：

A"；

(3)求A4B①，的面积.

22.(本小题10分)

如图，在△48C中，ZC=90",点。在边AB上，BD=BC.

(1)作NB的平分线，交AC于点E(尺规作图，保留痕迹，不写作法);

(2)在(1)的条件下，连接CDDE.求证：BE垂直平分CD.

证明：•••BE为N4BC的平分线，

•••Z.CBE=.

BD=BC,BE=BE,

在ABDE和ABCE中，

BD=BC

，()

、BE=BE

•­•ABDE义4BCE().

两点都在CD的垂直平分线上.

BE垂直平分CD.

ADB

23.（本小题10分）

定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的全我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫

做“和谐三角形”.

例如：在ATIBC中，如果乙4=70。，ZB=35°,那么与互为“和谐角”，△力为“和谐三角形”.

问题1：如图1,△力BC中，^ACB=90°,N4=60。，点。是线段A8上一点（不与A、8重合），连接CD.

⑴如图1,△A8C是“和谐三角形”吗？为什么？

（2）如图1,若CD1AB,则△4CD、ABCD是“和谐三角形”吗？为什么？

问题2：如图2,AABC^,^ACB=60°,NA=80。，点。是线段A8上一点（不与A、2重合），连接

CD,若AACD是“和谐三角形"，求N4CD的度数.

图1图2

24.（本小题10分）

列方程（组）解应用题.

蒙江区某校为举行六十周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了312000元购进纪念画册和保

温杯若干.已知纪念画册总费用占保温杯总费用的得.

（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？

（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多20%,而保温杯数量比纪念画册数量的3倍多1200个.求

每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？

25.（本小题10分）

⑴如图①，Z.MAN=90°,射线AE在这个角的内部，点3、C分别在NM4V的边AM、AN上，且力B=

AC,CF14E于点RBD1AE于点D.求证：CAF；

(2)如图②，点、B、C分别在NM4N的边AM、AN上,点E、F都在NM4N内部的射线上，N1、42分别

是AABE、ACAF的外角.已知AB=4C,且Nl=N2=ABAC,求证：EF=BE—CF；

(3)如图③，在△ABC中，AB=AC,4B>BC,点。在边2C上，CD=3BD,点、E、尸在线段A。上,

Zl=Z2=NB4c,若4ABC的面积为17,求小4。9与4BDE的面积之和.

26.(本小题10分)

如图，在AaBC和AADE中，AB=AD,AC=AE,/.BAC+ADAE=180°.

⑴如图1,当点C在A。上时，ABAC=90°,连接CE,若乙4BC=30。，求NCED的度数；

(2)如图2,当点C在4。上时，Z.BAC=90",延长BC交DE于M,连接AM,求证：AM平分NCME；

(3)如图3,若NB4C力90。，连接BE、CD,E为BE中点，连接AF,请猜想线段AF、CQ之间的数量关

系，并证明你的猜想.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.是轴对称图形，故此选项符合题意；

。.不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形，进行判断即可.

本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：第一个三角形中6、c之间的夹角为180。一76。-54。=50。，

N1是b、c之间的夹角.

,••两个三角形全等，

•••Z1=50°.

故选：D.

根据全等三角形对应角相等可知N1是6、C边的夹角，然后写出即可.

本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：内角和是：(8-2)x1800=1080°.

故选：C.

”边形的内角和可以表示成O-2)•180。，代入公式就可以求出内角和.

本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握〃边形的内角和公式是解题关键.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查塞的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，同底数募的除法，分别根据哥的乘方与积的乘方，同底

数塞的乘法，同底数幕的除法逐项计算即可.

【解答】

解：42a与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意;

B.a2-a3=a5,计算正确，符合题意；

C.(2a)2=4a2,原式错误，不符合题意；

D.a3^a3=1,原式错误，不符合题意.

5.【答案】B

【解析】解：700纳米=700x10-9米=7xIO-米，

故选：B.

根据科学记数法的一般形式为aX10”,其中〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210口寸，”是正整数；当

原数的绝对值小于1时，”是负整数.

本题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

6.【答案】C

【解析】解：作点M关于直线机的对称点M',连接M'N交直线加于点P,,

则MP+NP=M'N,此时管道长度最短.卜、

故选：C.：y'P

¥

根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论.'Af

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：图1可以验证的公式为：(a+6)(a-b)=&2一。2,符合题意；

图2可以验证的公式为：a?=(a-人＞++2b(a—6),整理得：(a+6)(a—b)=a?—6?,符合题

,受一

忌；

图3可以验证的公式为：(a+b)(a-6)=a?一符合题意；

图4可以验证的公式为：(a+b)2=(a-6)2+4a6,不符合题意；

故能验证平方差公式的是图1、图2、图3.

故选：A.

根据两种方法，求出面积，列出等式，即可得出结论.

本题考查平方差公式的几何背景.正确的识图，利用两种方法，表示出面积，是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了三角形外角的性质，折叠问题，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关

键.

根据三角形的夕卜角得：^BDA'=ZX+^AFD,AAFD=AA'+/LCEA',代入已知可得结论.

【解答】

解：如图，设AC交£M'于F.

由折叠得：乙4=

•••ABDA'=N4+^AFD,乙AFD=N4+Z.CEA',

,■Z.A=a,乙CEA'=§,Z.BDA'=y,

Z.BDA'=y=a+a+p=2a+p,

故选：C.

9.【答案】C

【解析】解：••・CE为外角乙4CD的角平分线，8。平分乙4BC,

11

・•・乙DCE="ACD,Z.DBE=^ABC,

又•・•乙DCE是公BCE的外角，

Z.E=Z.DCE-Z.DBE

1

乙4,故①正确；

vBO,CO分另lj平分4ABC,乙ACB,

11

・•・乙OBC="ABC,乙OCB=^Z-ACB,

・•・乙BOC=180°-（乙OBC+乙OCB）

1

=180°-（乙+乙4CB）

1

=180-]（180。—“）

=90。+；乙4,故②、③错误.

•・•。。平分NACB,CE平分NACD,

.­./.ACO=*CB,/.ACE=|zXC£),

1

乙OCE=^Z-ACB+ZXCD)=90",

•••4BOC是△COE的外角，

.­.乙BOC=/.OCE+NE=90°+ZE,故④正确.

综上所述，①④正确.

故选：C.

根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到乙4=2/E,Z.BOC=90°+^A,Z.BOC=90°+z£.

本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维.解题关键在于对

角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握.

10.【答案】D

【解析】解：•••第一个整式为9*2,第二个整式为9/+6%+1,第二个整式减去第一个整式的差记为的，

a1=9x2+6x+1—9x2=6x+1,

,•1%+2记为a2,

•••a2=6%+1+2=6%+3,

a2+2记为的，

•t-a3=6%+3+2=6%+5,故①正确；

以此类推：

同理可得：a4=6%+7,

=6%+9,

。6—6汽+11,

an=6%+2n—1,

由于第一个整式为9/,第二个整式为9/+6%+1,

,•・第二个整式加上。2作为第三个整式，

二第三个整式为：9%2+6%+1+6%+3=9久2+12%+4=(3%+2)2,

•••第三个整式加上作为第四个整式，

••.第四个整式为：9/+12久+4+6%+5=9/+18%+9=(3无+3)2,

当％=2时，(3x+3产=(2x3+3)2=81,故②正确；

・•,第三个整式与第二个整式的差为：(3x+2y-(9x2+6x+1)=21,

解得：x=3,

故③正确；

根据题意，第五个整式为：第四个整式加。许

・•.第五个整式为9/+18*+9+6x+7=9/+24%+16=(3x+4)2,

同理第六个整式为(3x+5产，

第七个整式为(3x+6)2,

第八个整式为(3久+7产，

第2023个整式为(3x+2022)2,

第2024个整式为(3x+2023)2,故④正确，

故选：D.

根据已知条件找到规律即可解决.

本题考查整式的加减、列代数式、以及代数式的求值，属于规律性的题目，繁琐，但只要理解题意，掌握

规律即可解决，耐心会更好.

11.【答案】30。

【解析】解：•.・AM4C是AABC的夕卜角，

/.MAC=Z.CBA+Z.ACB,

：.^CBA=^MAC-^ACB=50°-20°=30°.

故答案为：30。.

由NM4C是AABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出NCB4的度数.

本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关

键.

12.【答案】4C=4。(答案不唯一)

【解析】解：这一个条件可以是4C=4。，理由如下：

在AABC和AaB。中，

BC=BD

AC=AC,

.AB=AB

△力BC丝△ABD(SSS),

故答案为：力C=力£>(答案不唯一).

由SSS证明AABC0AABn即可.

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

13.【答案】a(6-c)矶x-3)2

【解析】解：(l)ah-ac=a(b-c),

故答案为：a(b—c)；

(2)a久2—6ax+9a=a(x2—6x+9)

—a(x—3产

故答案为：a(x-3)2.

(1)利用提公因式法进行分解，即可解答；

(2)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因

式.

14.【答案】42

【解析】解：•••长为。，宽为》的长方形的周长为12,面积为7,

2(a+b)=12,ab=7,

故a+6=6,ab=7,

则。2/,+帅2

=ab^a+b)

=7x6

=42.

故答案为：42.

利用长方形的性质得出a+b和ab的值，进而将原式变形得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键.

15.【答案】12

【解析】解：连接AM,AD,

二K\

A

F\B

•••EF是AC的垂直平分线，

MA=MC,

：BC=6,点。为8C边的中点，

CD—3,

CDM周长=CD+MC+MD=3+MC+MD>3+AD,

△CDM周长的最小值为3+4。，

-：AB=AC,点。为BC边的中点，

AD1BC,

•・•△ABC中，8c长为6,面积是27,

1

-x6xAD=27,

解得力。=9,

△CDM周长的最小值为3+9=12,

故答案为：12.

连接AM,AD,利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出ACDM周长的最小值为

3+AD,再利用面积求出即可解决问题.

本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和

大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键.

16.【答案】600

【解析】解：设NE2C'=x。，

•••四边形ABC。是矩形，

•••ZC=乙CDC'=90°,AD//BC,

由折叠的性质得：/-DC'E=NC=90。，/.CED=乙DEC',乙AED=/.AED',

：.^AC'E=180°-90°=90°,

^AEC=90°-^EAC=90°-x°,

•••ZC=Z.CDC'=/.DC'E=90°,

•••Z-CEC'=360°-90°-90°-90°=90°,

.­•乙DEC'=*CEC'=45。，

AD//BC,

：.^AEB=乙EAC'=x°,

•••乙AED=乙AED',

x+15=90—x+45,

x—60,

/-EAC=60°

故答案为:60°.

设NE4C'=x°,由矩形的性质得到NC=乙CDC'=90°,AD//BC,由折叠的性质得：Z-DC'E=ZC=90。，

乙CED=乙DEC',^AED=AAED',求出N4EC'=90°-x°,又乙CEC'=90°,得至此DEC'="CEC=

45°,由平行线的性质得到乙4E8=4EAC'=x。，由乙4ED=N2E。'，得到x+15=90-x+45,求出x=

60,即可得到NE4C'=60。.

本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由折叠的性质，平行线的性质得到x+15=90-久+45.

17.【答案】26

3%+a<2①

【解析】解：｛»3、…

l2(x+-)>x-2@

解不等式①得，乂三号,

解不等式②得，%>-5,

(3x+a<2

・••不等式组•2(“+|)--2至少有两个整数解，

解得a<11,

Jy_.a+6=

y-2+2-y，

方程可化为檄-段=2,

y—2y—2

方程两边同乘y—2得，4y—(a+6)=2(y—2),

解得y=竽

•••y的分式方程的解是非负整数，

•••等20且竽力2,

解得a>一2且a*2,

•,・—2<a<11且aW2,

•••a为整数，且竽为非负整数，

a=-2,0,4,6,8,10,

符合条件的所有整数a的和是-2+0+4+6+8+10=26,

故答案为：26.

解不等式组，得到关于。的不等式，利用分式方程的解为非负整数得到关于。的不等式，将两个不等式组

成新的不等式组，解不等式组求整数解即可.

本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，利用已知条件得到关于。的不等式组是解题的关键.

18.【答案】10014114

【解析】解：a+c=b+d,且ZWaW9,0<fa<9,0<c<9,0<d<9,

二当a=1,b=0,c=0,d=l时，四位数最小，

故答案为：1001.

根据题意，得a?—^2=15,c+d=5k,左是正整数，

(a+Z))(a—b)=15xl=5x3,a>b,

(a+b=15]a+b=5

—b=1'la-b=3'

解得::

S=7S=1

•••a+c=b+d,

•••8+c=7+d,4+c=l+d,

•••d—c=1,d—c=3,

2c+1=5fc,2c+3=5k,

5/c-l5/C-3

0<^i<9,0<^<9,

解得：1<fc<y,

故k=1,k=2,k=3或/c=1,k=2,k=3,k=4,

故当々=1时，c=2,或c=1,

当k=2时，c=或c=(,

当々=3时，c—7或c=6,

当k=4时，c=:，

TH最小，

•••。=4,b=1,c=lf

根据a+c=b+d,

故d=4,

故最小数是4n4,

故答案为：4114.

正确理解定义，结合数的特点分析解答即可.

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解定义，结合数的特点进行分析.

19.【答案】解：(1)(—2)2+^<36X2°-|-3|+|

1

=4+6x1-3+可

1

=4+6-3+可

=7-3-，

(2)(。+1)(。—1)+t(a—4)

=a2—1+a2—4a

=2a2一1—4a.

【解析】(1)先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可;

(2)根据平方差公式及单项式乘多项式的法则分别计算出各项，再合并同类项即可.

本题考查的是平方差公式、实数的运算、单项式乘多项式的法则，熟知以上知识是解题的关键.

20.【答案】解：⑴原式=温8.喏=L

(x+2)(x—2)

(1)2

x—1(%+2)(%—2)

(%—I)2

x+2

-x^f

当x=3时，原式=*

【解析】(1)根据分式的除法法则计算；

(2)根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把无的值代入计算，得到答案.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

21.【答案】(-4,-3)(2,6)

【解析】解：(1)如图，即为所求；

⑵•・•点8(—4,3),

.••点8关于x轴对称的点8〃的坐标为(-4,-3),

故答案为:(-4,-3)；

•.,点4(-2,6),

•••点A关于y轴对称的点4,的坐标为(2,6),

故答案为：(2,6)；

综上所述：A"(2,6)；

(3)AABC，的面积=6x6-^x6x3-|x2x3-ix4x6=36-9-3-12=12.

(1)根据轴对称的性质即可画出图形；

(2)根据关于x轴、y轴对称的点的特点解答即可；

(3)利用△AB'C'所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可.

本题考查了作图-轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称

的性质是解题的关键.

22.【答案】^ABESASDE=ECB,E

【解析】(1)解:如图，BE即为所求;

BD=BC,BE=BE,

在ABDE和ABCE中，

BD=BC

Z.DBE=乙CBE,

.BE=BE

••△BDE"4BCE(SAS).

DE=EC.

・•.B,E两点都在CD的垂直平分线上.

BE垂直平分CD.

故答案为：4DBE,乙DBE=KCBE,SAS,DE=CE,B、E.

(1)根据题意作出图形；

(2)证明△BCE(SAS).推出DE=EC,可得结论.

本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线等知识，解题的

关键是正确寻找全等三角形解决问题.

23.【答案】解：问题1：(1)A4BC是“和谐三角形”，理由如下:

•••ZXCB=90°,ZX=60°,

ZB=30°,

1

•••Z-B=-Z-A,

・•.△ABC是“和谐三角形”；

（2）△am△BCD是“和谐三角形”，理由如下:

•・•乙ACB=90°,4人=60°,

••・乙B=30°,

CD1AB,

・•・^ADC=乙BDC=90°,

・•.Z.ACD=30°,乙BCD=60°.

在△AC。中，

•••△4=60°,/,ACD=30°,

1

・•.Z.ACD=-Z-A,

.•.△4CD为和谐三角形”；

在小BCD中，

•••乙BCD=60°,NB=30°,

1

•••Z-B=-Z-BCD,

.•.△BCD为和谐三角形”；

问题2：若△力CD是“和谐三角形”，由于点。是线段上一点（不与A、B重合）,

贝IJNACD=^AA^ACD=^ADC.

11

当N4CD=微N4时，AACD==40°；

1

当4ACD=*DC时,ZX+3AACD=180°,即344co=100°,

综上，N4CD的度数为40。或耳.

【解析】问题1：(1)根据三角形内角和定理求出的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；

(2)根据三角形内角和定理求出N8的度数，由CD148可知乙4DC=NBDC=90。，再求出各角的度数，进

而可得出结论；

问题2：由“和谐三角形”的定义可知贝I乙4CD=；乙4或乙4CD=222。酊据此得出结论.

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解题的关键.

24.【答案】解：(1)设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元,

%+y=312000

由题意得:

x=^y

x=72000

解得:

y=240000'

答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元;

(2)设每个保温杯的进价是根元，则每本纪念画册的进价是(1+20%)税元,

240000_72000

由题意得:x3=1200,

m(l+20%)m

解得：m=50,

经检验，租=50是原方程的解，且符合题意,

•••(1+20%)m=1.2x50=60,

答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元.

【解析】(1)设纪念画册的总费用是x元，保温杯的总费用是y元，根据花费了312000元购进纪念画册和

保温杯若干.已知纪念画册总费用占保温杯总费用的余列出二元一次方程组，解方程即可；

(2)设每个保温杯的进价是机元，则每本纪念画册的进价是(1+20%)税元，根据保温杯数量比纪念画册数

量的3倍多1200个.列出分式方程，解方程即可.

本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二

元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程.

・

25.【答案】(1)证明：••CF1/E,BDLAEf^.MAN=90°,

・•・乙BDA=Z.AFC=90°,

・••上ABD+4BAD=90°,ABAD+^CAF=90°,

Z.ABD=Z-CAF,

在△ABO和△G4F中，

ZABD=ACAF

乙ADB="F4

AB=AC

•••△/BD^2kC/F(A4S)；

(2)证明：vz.1=Z2=ABAC,Z.l=^LBAE+^LABE,ABAC=ABAE+^CAF,Z2=AFCA+^CAF,

乙ABE=Z.CAF,Z-BAE=Z.FCA,

在△ABE和ACA尸中,

Z-AEB=Z.CFA

乙ABE=Z.CAF,

AB=AC

:△ABE义显G4FQ4AS