广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷（含答案解析）

广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/=5={1,〃+2},若BqA,贝lja=(

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知复数z满足|z-3+4i|=l,则z在复平面内对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

记S“为等比数列｛%｝的前〃项和，若的5=2叩4,则蒙=

3.)

A.5B.4C.3D.2

4.已知正四棱台ABCD-44GA的上、下底面边长分别为1和2,且班贝IJ该

棱台的体积为（）

A.迪n7V27

D.------------D.-

262

,2

设&分别是椭圆

5.8,C:q+1r=1（。＞6＞。）的右顶点和上焦点，点尸在。上，且

a

BF2=2F2P,则。的离心率为（）

n底

AD.------------D.—

-T132

6.已知函数/（%）的部分图像如图所示，则/⑴的解析式可能是（)

A./(%)=sin(tanx)B.f(x)=tan(sinx)

C.f(x)=cos(tanx)D.f(x)=tan(cosx)

3

7.已知。=不，3b=5,5,=8,贝I」(

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

兀

8.已知夕源是函数"x）=3sin（2尤++-2在阿J上的两个零点,则cos(a—，)=()

6

c后-2D2百+石

A2

A。3,-6-•6

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知向量"，B不共线，向量£+刃平分Z与石的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A.Q.6=0B.（a+b）J_（a—6）

c.向量Z,5在£+书上的投影向量相等D.2相力|

10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色

外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件4和4表示从甲箱

中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两

球都是红球，则（）

311

A.尸（4）=yB.尸⑻

9?

C.P（叫4）=而D.P（4忸）=石

11.已知直线＞=履与曲线＞=lnx相交于不同两点M（西,必），N（x2,y2）,曲线y=lnx在

点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（%,%）,则（）

A.0＜左＜一B.xx=exC.y+y=1+y0D.yy＜1

er20x2x2

三、填空题

S+9

12.已知数列｛%｝的前"项和S“=1+〃，当口一取最小值时，n=.

an

13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重沙（单位：克）与脉搏率/（单位:

心跳次数/分钟）的对应数据（注,/）«=1,2,...,8）,根据生物学常识和散点图得出了与次近

_8

似满足f=c外（C,左为参数）.令x,=ln用，%=ln九计算得嚏=8,亍=5,＞＞；=214.

Z=1

由最小二乘法得经验回归方程为3=加+7.4,则左的值为；为判断拟合效

果，通过经验回归方程求得预测值"=1,2,...,8）,若残差平方和讣,：0.28,

则决定系数R2土.（参考公式：决定系数&=1-4~j）

i=l

14.已知曲线C是平面内到定点厂（0,-2）与到定直线/:＞=2的距离之和等于6的点的轨

迹，若点P在C上，对给定的点T（-2J）,用加⑺表示|尸石+|尸7|的最小值，则加（。的最

小值为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.记的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,“BC的面积为S.已知

22

S=-^-^+c-bY

⑴求8；

兀

(2)若点。在边ZC上，且/48。=万，AC=2DC=2,求的周长.

16.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N3CD是边长为2的菱形，ADC尸是等边三角

7T

形，NDCB=NPCB=1,点、M,N分别为DP和的中点.

(1)求证：MV//平面尸3C；

(2)求证：平面尸平面/BCD；

⑶求CM与平面PAD所成角的正弦值.

17.已知函数/(x)=cosx+尤sinx,兀).

(1)求/(x)的单调区间和极小值；

(2)证明：当xe[O,兀)时，1f{x)<Qx+Sx.

22

18.已知。为坐标原点，双曲线。：/年=1(。>0/>0)的焦距为4,且经过点(在6).

(1)求。的方程：

(2)若直线/与C交于A,8两点，且次.赤=0,求M目的取值范围：

(3)已知点尸是C上的动点，是否存在定圆。"2+/=/">0),使得当过点产能作圆。

的两条切线尸河，尸N时(其中M,N分别是两切线与C的另一交点)，总满足

1PM=|7W]?若存在，求出圆。的半径「：若不存在，请说明理由.

19.某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由〃("W3,〃eN*)

位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成

功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若

某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位

成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力

闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为之和;，且每位

成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

试卷第3页，共4页

(1)若"=3,用X表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值;

(2)记A团队第左(1V左V〃-1/eN*)位成员上场且闯过第二关的概率为PQ集合

中元素的最小值为自，规定团队人数〃=%+1,求〃.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】

根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.

【详解】由/={1,3,/},得即aw±l,此时〃+2wl,a+2w3,

由得〃2=〃+2,而1,所以“=2.

故选：A

2.D

【分析】

设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.

【详解】令2=%+贝,%/£1<,由|z—3+4i|=l,得(X—3)2+(>+4)2=1,

点(xj)在以(3,-4)为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，

故选：D

3.C

【分析】

根据等比数列的性质可得^1二/=2,进而根据求和公式即可化简求解.

。2。4

【详解】

根据题意，设等比数列{%}的公比为外

若的5=202a4，即^1="=2,

」(1，)

故&=I7=1+4=3.

1-g

故选：C.

4.B

【分析】

根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.

【详解】对正四棱台48co-4耳G2,连接。综。5,取A综中点分别为o,a,连接

OH,DXH,如下所示:

答案第1页，共17页

因为/BCD-44GA为正四棱台，则四边形N8CZ),421cl2均为正方形，且垂直于上

下底面，DD[=BB],

易知,DlBl=BH=42,故四边形。48〃为平行四边形，则,且

BB,=DXH,

因为。则。2_1口//,又DD\=BB[=D\H,且DH=；DB=>/i,

由Dp?+DR?=DH?,即22H2=2,解得0户=1；

由0〃_1面44。14，。。(=面44。1。1，则

又正方形ZRiGA的面积为1，正方形45co的面积为4,

故正四棱台ABCD-AMR的体积r=|(l+4+g)x与二等■

故选：B.

5.A

【分析】

求出点用巴的坐标，借助向量坐标运算求出点P坐标，代入椭圆方程求解即得.

【详解】令椭圆半焦距为c,依题意，8(6,0),6(0,c),由瓯=2不，得

-----1hc

9=/©=(-„),

则尸(-3当，而点p在椭圆上，于是，+2:=1,解得e，=也，

2244/a3

所以。的离心率为心.

3

故选：A

答案第2页，共17页

o\)B左

6.D

【分析】

利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.

【详解】观察图象可知函数为偶函数，

对于A,f(-x)=sin(tan(-x))=sintanx)=-sin^anx)=-fg),为奇函数，排除；

对于B,f(-x)=tan(sin(-x))=tan(^sinx)=-tan^inx)=-f(c),为奇函数，排除；

同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为[-5+^,5+左兀J,不是R,舍去，

故D正确.

故选：D

7.C

【分析】

结合对数函数单调性比较。，b与。，c的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较b,

c的大小，即可求解.

【详解】

由题意得6=log35,c=log；8,

因为Q=W=log332=log3V27>log35=6,即。>6,

33__

a=3=log552=log5J125>log58,即a>c,

6二lg5Jg5_(lg5)2,(15)2.4(lg5)2.lg?25)]

-22

因为「Ig3lg8Ig3xlg8Jg3+lg82lg24lg24，所以b>c,

I2)

故a>b>c.

故选：C.

8.A

答案第3页，共17页

【分析】

根据三角函数的对称性可得a+£=；TT,进而代入化简，结合诱导公式即可求解.

【详解】

冗7T2

令/(x)=0,得3sin(2x+—)=2nsin(2x+—)=—,

663

•­,Xe(0,|),.2+今吗亲，

因为a,户是函数/(%)=3sin(2x+£)-2在(。鼻上的两个零点,

则4月是sin(2x+令=：在也母上的两个根，

故2a+乌+24+'=兀=>a+4=—,故。=工一万，

6633

=cos]-2"=“？》+看

则cos(a_/?)=

故选:A.

【点睛】

关键点点睛：本题解决的关键是利用三角函数的对称性得到生。的关系，从而得解.

9.BC

【分析】

根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得修|=|5|,再借助数量积的运算律逐项分析判

断即得.

【详解】作向量O/=a,O8=g,在口。4cs中，OC=a+b<RA=a-b>

由向量Z+B平分方与B的夹角，得口。4cB是菱形，即'，

对于A,G与B不一定垂直，A错误；

对于B(a+b)-(a-b)=c^-b2=0,BP(a+6)l(a-S),B正确;

答案第4页，共17页

r」十一一一t344■.日/4曰3.（之+方）/一1、a'a+bL八

对于C…在2上的投影向堇‘序（i）=西彳（。+6）,

22

_>.一,q上n曰/心曰B•（万+B）/一1、b+d'b_六a+a-b_1、丁”

6在…上的投影向重商可（》）=而不（》）=方短》）'°正确;

对于D,由选项A知，73不一定为0,贝1」而+加与|£/|不一定相等，D错误.

故选：BC

10.ABD

【分析】

根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.

a?c23c21

【详解】依题意可得尸（4）=2,P（4）=（,尸（却4）=发=不，尸仍区）=涓=行，

D2?Ux_zg1U

44']11

所以尸（8）=P（4）尸（5|4）+P（a）尸（冏4）=『而+『历=去，故A正确、B正确、C错

误；

12

尸㈤其）尸区）—x—2

%£=故D正确.

P⑻

50

故选：ABD

11.ACD

1TlX

【分析】对于A,构造函数/（切=手，计算即可判断；对于B,写出43点处的切线程

联立并化简得％=占王1n"一出』，而左=1眸：爪,计算即可判断；对于根据斜率相等

%—%X2再

可得“山占=xjn/,尸（尤。,%）为两切线的交点代入化简得%+1=%In%fin*,再计算

%2—X]

可得乂+%=1+%;对于D,根据।>而7,计算即可判断.

m%Tn必

【详解】令〃X）=（,则/'（x）=T^,

故xe（O,e）时，/（X）递增;xe（e,+8）时，/（x）递减,

所以〃x）的极大值〃e）=L且x>l,/（x）>0,

e

因为直线V=质与曲线y=lnx相交于M（X2J、、（三,外）两点，

所以y=左与〃尤）图像有2个交点,

答案第5页，共17页

所以0＜后＜1,故A正确;

e

设必）,阳々,％）,且1＜再＜6＜%2，可得句=ln%"履2=ln12,

y=lnx在M,N点处的切线程为歹―1口玉=’（＞一%）,〉—In%=」-（x—%），

y一加%二一0一%)lnx?-lnxlnx7-lnx

：,得In%-出西=血-包，即/=-占

=—

j/-Inx2—(X%2)项％2

一、，,lnx-Inx.

因为后:一9——L，所以％0=项%2后,即玉%2=7玉），故B错误;

X2-%,

因为左=匕=色土=电玉，所以％2E玉=xjn%2,

1^2

因为尸（七,%）为两切线的交点,

所以％=lnxj+—x0-l=lnx1+x2-------=-----------11——2------------------------------1,

X]x2-X1x2-X)

即为=.眸-”网_1,所以典+1=匹一”看,

x2-X1x2-X]

所以

“+%=In%!+lnx2=」n-+In-)(—)=1In1-xJtiX]+」In/一项刊*2=%Inx?-”为=,+1

,故C正确;

因为何=必，所以In上+lnX]=ln%,所以In左+乂=In弘，

即lnj_:弘4

同理得1114+%=In%，得In%-必=lny2-y2

因为＞历所以乂力＜1，故D正确.

l।n"%一T：n%7,

故选：ACD.

答案第6页，共17页

yy—Ini

【点睛】方法点睛：判断B,关键在于根据切线方程联立求得％=再尤2也二也而4B

x2-X]

两点得斜率即为直线得斜率得上=也二国土，化简可得；判断C,根据斜率相等得

x2-X]

%lnx|=xjnx2,根据尸(%,%)在切线上，代入化简计算可得%+1=&山x?-一融飞，计算

%2一项

得%+%=&山也;xJn网后即可判断,判断口，关键在于利用不等式乂一;>位进

x2-再Iny2-Inyl

行计算化简即可判断.

12.3

【分析】

根据S,求得巴,再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.

222

【详解】因为S0=〃+〃，则当"22时，an=Sn-Sn_x=n+n-(»-1)-(??-1)=2n,

又当〃=1时，％=S[=2,满足。"=2〃，故。"=2〃；

EN+9M2+M+9If9y1

贝ij-一二--——=-n+-+-,

a〃2n2VnJ2

又y=x+g,xNl在(1,3)单调递减，在(3,+co)单调递增；

qS+9

故当〃=3时，〃+二取得最小值，也即〃=3时，-一取得最小值.

n«„

故答案为：3.

13.-0.30.98

答案第7页，共17页

【分析】

根据回归直线方程i=3x+7.4必过样本中心点门,力求出5,即可求出无，再根据决定系数

公式求出入2.

【详解】因为/=c平”,两边取对数可得In/ulnc+4ln，，

又否=In叱，％=ln£,

依题意回归直线方程j=加+7.4必过样本中心点(x,司,

所以5=筋+7.4，解得务=-0.3，所以<=-0.3,

，=1_______________0.28

-8ZZT=0.9&

8214-8x52

i1H-y

i=l

故答案为：-0.3；0.98

14.2

【分析】

根据给定条件，求出点尸的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离

求出最小值即得.

【详解】设P(xj)，当yN2时，IPFI+y-2=6,则&+(y+2.=8-八

化简得：x2=60-20j,je[2,3],SPy=~x2+3；

当y<2时，|PF\+2-y=6,则信+(y+2[=4+y,

化简得/=47+12,ye[-3,2),即y=；x，-3,

对于曲线C上的任意一点尸，\PF\+\PT\>\TF\,当且仅当尸是线段7F与曲线C的交点时

取等号，

而|7F|=[4+(/+2>1,当且仅当/=-2,即点7(-2,-2)时取等号，

因此|尸尸|+|尸？以砂|22,当且仅当点尸,7重合于(-2,-2)时取等号,

所以巩。的最小值为2.

故答案为：2

答案第8页，共17页

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求

这个函数的最值或范围.

2兀

15.⑴丁

677+14

【分析】

(1)根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合5的范围，即可求得结果;

(2)根据结合余弦定理，求得即可求得三角形周长.

【详解】(1)由S=+/—/),则工m.sinB=-^^X2QC-cosB,tanB=-^3

424

又兀)，故5=三.

27rTiit

(2)由(1)可知，B=—,又NABD=—,则/CAD=—；

326

由题可知，8。为三角形4BC的中线，故S-BD=S.CBD，

即Lx/BxBOuLxsinNCBOxBOxBC,则；

222

在三角形4BC中，由余弦定理可得：cosAABC=AB'+BC'-AC\,[—4B?+4AB2-4

2ABxBC丁4AB2

解得48=冬2,则3C=些；

77

故”3C的周长为/8+8C+NC=R^+上^T2=.

777

答案第9页，共17页

16.(1)证明见解析;

(2)证明见解析;

⑶，,

【分析】

(1)取PC中点E,由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.

(2)过P作5c于点。，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理

即得.

(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.

【详解】(1)取PC中点E,连接由〃■为DP中点，N为A8中点，得

ME//DC,ME=-DC,

2

又BNIICD,BN=*D,驰MEUBN,ME=BN,因此四边形BEMN为平行四边形，

于是MNUBE,而AGVu平面尸BC,BEu平面尸BC,

所以AGV//平面尸8c.

jr

(2)过P作PQLBC于点。，连接。。，由NDCB=NPCB=:,CD=PC,QC=QC,得

4

AQCD^/\QCP,

则/DQC=/P0C=g,即DQL3C,而尸0=。0=&，尸02+。°2=4=尸。2,

因此尸0，。。，XDQ^BC=Q,DQ,BCcABCD,则尸。/平面/BCD,尸Qu平面

PBC,

(3)由(2)知，直线。C,0D,QP两两垂直，

以点。为原点，直线QC,QD,QP分别为x,乃z轴建立空间直角坐标系,

则C(也,0,0),尸(0,0,物,。(0,/0).(0,当今,A(2,60),

答案第10页，共17页

CM=(-&,%4,AD=Q,0,0),DP=(O,-&g，

ii-AD=2x=0

设平面尸/。的一个法向量力=(XJ,Z),贝I」一厂广，令歹=1,得元=(0,1,1),

n-DP=-y/2y+y/2z=0

设CM与平面PAD所成角为0,sin。=|cos〈a7,万〉|=上丝虫=-^-==旦,

\CM\\n\V3-V23

所以CM与平面尸4D所成角的正弦值是心.

3

17.⑴递增区间为(-兀,-](09，递减区间为(go)，弓㈤，极小值为1；

(2)证明见解析.

【分析】

(1)求出函数/(幻的导数，利用导数求出单调区间及极值.

(2)根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.

【详解】(1)函数/(x)=cosx+xsinx,xw(-兀，兀)，求导得f\x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

jrjr

当一兀<%<-万时，/'(x)〉0J(x)单调递增；当一,〈'VO时，/(x)<0J(x)单调递减；

当0<x<T时，/(X)>0,/(x)单调递增；当g<X<7l时，/(x)<0,/(x)单调递减，

所以/(X)的递增区间为(-无,-》(09；递减区间为(go),弓㈤，仆)的极小值为

/(0)=1.

(2)当xe[0,7i)时，令尸(x)=e*+e-x-2(cosx+xsinx),

求导得/'(x)=e"--2xcosx>ex-e~x-2x,

令(p(x)=ex-e-x-2x,求导得d⑴=e*+ex-2>2后.b-2=0,

函数。(x)在[0,兀)上单调递增,则9(口》夕(0)=0,尸'(x)之0,尸(x)在[0,兀)上单调递增,

因此F(x)>F(0)=0,所以2/(x)<eT+尸.

2

18.(l)x2-^-=l

3

⑵陷

答案第11页，共17页

（3）存在,

2

【分析】

（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解，

（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得

3左2+3=2加2,根据弦长公式，结合不等式即可求解，

（3）根据圆心到直线的距离可得3/+3=202,进而根据数量积运算可判断赤，的，结

合对称性即可求解；或者利用切线关系得尸OLMN,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简

可得半径.

-2c=4

23

【详解】（1）由题意可得-—m=1,解得/=1,/=3,

ab

c2=a1+b2

2

故双曲线方程为C:/一匕=1

3

（2）当直线/斜率不存在时，设工（福,艺）,以5,-力），

将其代入双曲线方程舅-?=1,

又厉•砺=舅-$=0,解得乃=±等，

此时\AB\=2\yA\=46,

当直线/斜率存在时，设其方程为y=设/（国,乂）,3@2，%）,

y=kx+m

2

联立2y2左2)%2_2kmx—m—3=0,

X1

3

3-k2wo

2km

3—V

故V

-m2-3

3—左2

A=4A;2m2+12(m2+l)(3-A;2)=12(m2-k2+3)>0

则OAOB=+»2=%停2+侬1+加)侬2+加)

(1+左2卜]超+痴(%]+/)+/=Q+左2一-H-km2km252二0,

3—k3—k

答案第12页，共17页

化简得3/+3=2疗,此时A=6(/+9)>0,

22

所以|力创=J1+左2|Xj-X2|=yjl+kJ（X]+X2）-4X^2

当斤=0时，此时|4B|=后,

当上NO时，此时|“同=61+1

4k+L

9I-----16

:3一左2w0,「.k2+—>2）左2.=6,故]2工9人

Vk2k+p--6

因此|叫="1+

仁+庐-6

综上可得|/同2加.

3

(3)解法一：当直线W：y=〃x+p与―+/二万相切时,

圆心到直线的距离1=*亍=厂=*=的2+3=2p：

V1+W22

设设尸（七,％），河（》4，%）

类似（2）中的计算可得丽•的=退匕+%为

22

=x3x4+（nx3+p）（^nx4+p）=（1+Ar）x3x4+km（^x}+x4）+m

答案第13页，共17页

2o

2\-p-32np23/+3-2/

+n+叩3”二0，

3-n13-n2

所以赤_1而，

由双曲线的对称性，延长MO交双曲线于另一点AT,

则|MO|=“O|,S.OP±OM',

3

根据轴对称性可得=附到,且直线PM，与V=万也相切，即”即为N,

当尸河或尸N斜率不存在时，此时网:尤=逅，PM:y=圆,显然满足题意,

22

解法二:

答案第14页，共17页

由于尸尸N为圆的切线，PO平分/MPN,且尸M=PN,所以PO_LMV,

设过点P与圆。相切的直线方程为7-%=左（丁-毛），（直线斜率存在时）

=/一2飙州+田—，②,

（考——）左2_2kx0y0+/—，=0,将两根记为左，左2，

2y1=＞（3—左：）]2+（2左2%0_2左]J；。卜+2左XoVo—左；—一3=0,

X-1

3

2K苫0了0-k[x；-32左％-k,x-3x_2左％_6x°,

00y

3-片一『3与3-k~°

同理可得/=2%生』,%=产片。+九,

/2后2%-6%2bo-6%.；

息3一行+33-好+%1

故心N

2人2,0—一3%2尢,0—A:：/―310

3-匕2

6yo（左1+左2）（左2—左1）—18%（左2—占）—6x0k2kl（k-kJ

6%（42-左）+2%质左（右一K）一6%（左+公）（勺-左）

6V2%%,--广

6%曰+3-1胱-6犷流%年-，-「飞•乂

X

6y0+2yoe勺-6X（）（勺+后②）6v0+2y0-6