2024年浙江省高考数学模拟试题（新高考适用）

2024年浙江省高考数学模拟试题（新高考适用）

一、单选题

1.命题“玉eR,尤2<1”的否定是（）

A.VxeR,x2..1B.V%eR,x2,,1C.V尤eR,f>lD.V%eR,x2<1

2.已知复数Z1=2+i,Z2=l—ai（aeR）,且z「马为纯虚数，则立=（）

Z2

A.y/3B.75C.1D.76

3.已知正项等比数列｛为｝的前〃项和为S“，若Se=6,贝U8S3+S9的最小值为（）

A.18B.24^/2C.30D.33

4.在ABC中，BC=a>CA=b，则AB等于（）

A.a—bB.b-aC.a+bD.-a—b

5.一个容量为10的样本，其数据依次为：9,2,5,10,16,7,18,23,20,3,则

该组数据的第75百分位数为（）

A.15B.16C.17D.18

JT

6.已知函数〃x）=asin（ox）,a>0,了（无）向右平移§个单位长度后的图象与原函数图

象重合，f（x）的极大值与极小值的差大于15,则。的最小值为（）

A.6B.7.5C.12D.18

7.设函数/（司=小幺在区间（1,2）上单调递减，则〃的取值范围是（）

A.（-co,2]B.（-<%>,4]C.[2,+oo）D.[4,+oo）

8.已知抛物线C:y?=4x与过焦点/的一条直线相交于A,B两点，过点P且垂直于

弦的直线交抛物线的准线/于点则下列结论正确的是（）

A.准线/的方程是x=-2B.以AB为直径的圆与丁轴相切

\AB\

C.的最小值为2D.一的面积最小值为2

二、多选题

9.已知S“工分别是数列｛%｝,也｝的前n项和,

1

A.an=2-B.S2=4

10.已知函数/(x)=JIcos,则（

/w的一个对称中心为兀,。

B./（九）的图象向右平移9个单位长度后得到的函数是偶函数

O

57r7

C.7⑴在区间—上单调递减

OO

D.若/CO在区间（。,加）上与y=l有且只有6个交点，则根e（2兀,一

11.如图所示，在平行六面体-ABCD中，。为正方形45co的中心,

AA=AC=AB,M,N分别为线段AAAB的中点，下列结论正确的是（）

。G

GCy平面0MN

B.平面AC。平面QWN

C.直线MN与平面所成的角为45

OM1D.D

、填空题

12.小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.

若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布M（38,25）；

若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布例（45,9）；

若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间（单位：分钟）服从正态分布2（36,16）.

若小明上午8：12从家里出发，贝U选择_____上班迟到的可能性最小.（填“自驾”“公交”

或“地铁”）

试卷第2页，共6页

参考数据：若X，则尸（〃-〃+。）。68.3%,

P（//-2cr<X<〃+2b）a95.4%,P（//-3cr<X<4+3b卜99.7%

13.已知曲线c：x2+（>一根y=2和G：y=x+2，G：y=|%|+2,若。与G恰有一个公共

点，则实数；若。与G恰有两个公共点，则实数机的取值范围是.

14.已知户（知儿）是圆C:（尤-+V=1上任意一点，则近）的取值范围为.

40+1

四、解答题

15.某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学

生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下:

分组频数频率

[60,70)160.2

[70,80)50n

[80,90)10P

[90,100]40.05

合计801

w频率

（1）求表中〃，P的值和频率分布直方图中a的

（2汝口果用分层抽样的方法，从样本成绩在［60,70）和［90,100］的学生中共抽取5人，再从

这5人中选2人，求这2人的成绩在［60,70）的概率.

,、21,

16.已知数列｛%｝的前"项积为勾，且7+一=L

an

⑴证明：也｝是等差数列；

（2）从｛"｝中依次取出第1项，第2项，第4项……第2片项，按原来顺序组成一个新数

列｛1｝,求数列＞（G-1）｝的前〃项和.

试卷第4页，共6页

17.如图，在三棱台ABC-A耳G中，NBAC=90。,AA1平面ABC,AB=AC=24弓=2,

且。为BC中点.

(1)证明：3。工平面44。；

(2)若AA=6，求此时平面ABC和平面\CD所成角的余弦值.

18.已知椭圆C：5+/=l(a>6>0)的焦距为2,且经过点

⑴求椭圆C的方程；

⑵经过椭圆右焦点b且斜率为左(心0)的动直线/与椭圆交于A、3两点，试问x轴上是

否存在异于点尸的定点T,使得直线7A和7B关于x轴对称？若存在，求出T点坐标，

若不存在，说明理由.

b

a

19.已知点门(见也)满足〃用=rPn+\，bn+i匚方(〃eZj,且6(1,T),过点《、P2

的直线为I.

(1)证明：对于任意的〃eZ+，点匕均在直线/上;

k

(2)求对所有〃eZ+，均有(1+%)。+%)(1+%)27n『=的最大实数/的值.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】将特称量词改为全称量词，再否定结论即可得解..

【详解】因为命题“IXER,/<1”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即

故选：A.

2.C

【分析】根据复数的乘法运算法则化简4・引，由纯虚数的概念求出。，由复数的除法运算

以及复数的模长公式可得结果.

【详解】复数Z]=2+i,Z2=ji,则为Z=(2+i)(l+*=(2—a)+(2a+l)i,

[a—2=0

依题意得，c,C，解得。=2,即z?=l_2i,

[2。+1*0

4_2+i(2+i)(l+2i)5i.

-------------------------------__—1

z2l-2i(l-2i)(l+2i)一5一’

所以五=L

故选：C.

3.C

【分析】设等比数列｛%｝的公比为4,则4>。，由已知可得出$3=号，可得出

6(1+43：/),化简得出8s3+w=6(i+q3)+K-6,利用基本不等式可求得8s3+Sg

91+/i+q

的最小值.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,则q>0,

则=q(1+4+q?+d+q，+q，)=4(1+q+/乂]+/)-S3(1+/)=6,

所以，邑=15,

11

贝1s9=ax｛\+q+q++/)=q(l+q+/)(l+q3+.)二邑(1+,3+,6)=_(——，；)，

答案第1页，共12页

所以,8s3+S9»业JU+7+里

1+q1+g1+ql+q

［（i+q3）—20+0+1

6（l+^3-l）2=6+1?

=6+々+

1+夕31+q31+q31+q3

=6（l+<?3）+j!^y-6>2^6（l+^）-j1^--6=36-6=30,

,、54

当且仅当6（l+g3）=L（q>0）时，即当q=蚯时，等号成立,

因此，8邑+Sg的最小值为30.

故选：C.

4.D

【分析】利用平面向量加法的三角形法则结合相反向量的定义可得结果.

【详解】由已知可得BA=BC+cA=a+b，^AB=-BA=-a-b-

故选：D.

5.D

【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.

【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2,3,5,7,9,10,16,18,20,23,

10x0.75=7.5,则取从小到大排列后的第8个数，

即该组数据的第75百分位数为18.

故选：D.

6.C

【分析】写出平移后解析式，由它与原函数相同，结合周期性得。的表达式，再由极大值与

极小值的差大于15得”的范围，从而可得结论.

【详解】平移后函数式为〉=侬皿。（尤-§=asin（以-卷），它与原函数一样，则

^^=2k兀,kwZ,a=6k,keZ,

3

/（x）是正弦型函数，极大值与极小值的差是2a,由题意2a>15,。>7.5,

所以。的最小值是12.

故选：C.

7.D

答案第2页，共12页

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数片3、在R上单调递增，而函数〃尤)=亦川在区间(1,2)上单调递减，

所以y=|2x-4在区间(1,2)单调递减，所以晟22,解得a1.

故选：D.

8.C

【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线A3斜率不存在时，计算可得

此时以"为直径的圆不与y轴相切，即可判断B；对于CD：分直线A3斜率存在以及不存

在两种情况分别讨论，即可求解.

【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为(1,0),故准线/的方程为：x=-l,故A错

误.

对于B：当直线A3的斜率不存在时，即A8直线方程：x=l,易得|A3|=2p=4,

则以48为直径的圆半径为2,此时不与y轴相切，故B错误.

14^

((\_

"

Illi\AB

对于C：①当直线AB的斜率不存在时，易得|AB|=2p=4,|MF|=2,二佑=2；

②当直线A3的斜率存在时，设直线A3的方程为,=左(％-1)小工0),3(孙为)，

由『二》；。，得严/-2(后2+2卜+左2=0,

得△=16(/+1)＞。，占+々=2([：2),2=1,

.•.网=行上一引=正反匡回二二=坐已，

uKK

X——1(X

易知直线产用的方程为y=由_11V得M-1],

答案第3页，共12页

4因

\MF\=22+>2,

\AB\

综上所得，谒的最小值为2,故C正确.

对于D：当直线A3的斜率不存在时，易得|AB|=2p=4,|MF|=2,

所以SABE=；|A斗悭司=4；

当直线A3的斜率存在时，S=^\AB\-\MF\=^x

故当匕->0时，5成£取得最小值，且此时最小值为4,故D错误.

故选：C.

【分析】选项A,根据条件得到“22时，凡=2"\再检验为是否满足，即可判断出选项A

的正误；选项B,根据条件可直接求出邑=4,即可判断出结果；选项C,通过放缩

n2+n>n+^->0,即可得出结果；选项D,根据条件，利用裂项相消法即可求出结果.

2

【详解】对于选项A,因为S,i=%(〃22)①，所以S“=a向②，

②-①可得a„=an+l-an,即an+l=2an,(n>2),

又q=2,所以a1=Sj=出=2,

2n-2

所以当"22时，an=a2q"~=2x2=2"”,

又4=1,不满足4=2"\

答案第4页，共12页

2,n=l

故为=“，所以选项A错误;

2,n>2

对于选项B,令〃=2,得4=%=2,故52=%+。2=4,故选项B正确；

对于选项C,因为或="~=~,由于/+〃>〃+7>。恒成立，

nx(n+l)n+n2

2

故勿―所以选项C正确；

2〃+1

71111

对于选项D,因为么=：)"=―(n=77，

log2an+x-log2an+2nx(n+l)nn+1

所以4+%++4。=(1一；］+［：-：］+==所以选项D正确.

故选：BCD.

10.AC

【分析】对A,代入验证即可；对B,根据平移的原则即可判断；对C,利用整体法即可判

断其单调性；对D,找到第7个点的横坐标，则得到优的范围.

【详解】对A,由了0cos—2x—|=0,故A正确;

48)

对B,/⑺的图象向右平移券个单位长度后得

O

故B错误;

,、”「5兀7兀1,rs5兀「5兀-

对C,当x£—-,——时，则2x+—-e--,3兀,

_88J4\_2_

5兀7兀

由余弦函数单调性知，/(九)在区间—上单调递减，故C正确；

OO

对于D,由/'6)=1,得cos(2x+型］=交，解得x=&+fai或x=二+航，kwZ,

(4)242

/(x)在区间(0,租)上与y=l有且只有6个交点，

其横坐标从小到大依次为：y,g,斗，寻，，，斗，

424242

而第7个交点的横坐标为13耳兀，，S芈ir〈根〈1耳3兀，故D错误.

424

故选：AC.

11.BCD

【分析】A选项，判断4A和平面OMN关系可得答案;

答案第5页，共12页

B选项，注意到MN平面Ac。，ON，平面ACD,即可判断选项正误;

C选项，注意到AO_L平面4台。，MNAB,则MN与平面人3。所成的角即为A3与平面

所成的角；

D选项，题目数据及勾股定理逆定理可得AC，AA,后由MOAC,D.DAA可判断选

项正误.

【详解】对于A,若GCy平面OMN,因为GC44,则/平面OWN,或AAu平

面OAW,而AA和平面OMN相交，故A错；

对于B,因为M,N分别为线段AAAB的中点，所以MNABC0MNZ平面ACRC。u

平面AC。，所以MN/平面A。。，因为O,N分别为线段BD,AB的中点，所以ON

4。,。"<2平面4。。4。匚平面4。。，所以ON，平面AC2MNCON=N,MNU平面

OMN,ONu平面QWN,所以平面AC£>，，平面QWN,故B正确；

对于C,由于AC1BD,且AA=AC,故ACJL4。，而其。BD=O,故A。，平面，

而MNAB,故MN与平面所成的角即为48与平面所成的角，又A8与A。夹

角为45,即直线MN与平面48。所成的角为45,故C正确；

对于D,设AA=AC=AB=a,则4。=缶，显然+A。？=AC?,A,C1A,由MO

AC,所以MO^AA,而DQAA,所以。M，2。，故D正确.

故选：BCD.

【分析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到，由此计

算三种方式下P(X>48)的值，比较大小，即可得结论.

答案第6页，共12页

【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到;

1-954%

若选择自驾，则P（X>48）=P（X>〃+2b）n---；

1_（ZQ4%

若选择地铁，则P（X>48）=P（X>〃+b）。---；

1-997%

若选择公交，贝|P（X>48）=P（X>〃+3b）。---,

h1—68.3%1-95.4%1-99.7%

而————>——z——>——-——，

222

故选择公交上班迟到的可能性最小，

故答案为：公交

13.0或4（2-亚,2+&）U{4}

【分析】若c与G恰有一个公共点，结合直线与圆的位置关系分析求解；若c与c?恰有两

个公共点，结合对称性可知C与C?在（0,+8）内只有1个交点，且C不过（0,2）,联立方程

可得关于尤方程2三+2（2-根）工+（2-m）2-2=0只有一个正根，且根不为0,结合二次函数

零点分布分析求解.

【详解】由题意可知：曲线C:Y+（y）2=2表示圆心为。（0,机），半径为0的圆，

若c与G：x-v+2=o恰有一个公共点，则口力=百，解得m=0或加=4；

因为C与CZ均关于y轴对称，注意到孰与y轴的交点为（0,2）,

若C与C?恰有两个公共点，等价于。与C?在（0,+e）内只有1个交点，且C不过（0,2）,

此时。2:y=工+2,

y=x+2

联立方程<2/$消去y得2炉+2（2-根）%+（2）2-2=0,

x+yy-m）=2

即关于x方程2炉+2（2-加）x+（2-加了一2=0只有一个正根，且根不为0,

A=4（2-m）2-8[（2-m）2-2]=0[A=4（2-m）2-8P（2-m）2-21>0

则加一2或2L」，

—>0[（2-m）2-2<0

神军得机=4或2一0vv2+,

所以实数m的取值范围是（2-0,2+夜）U{4}.

答案第7页，共12页

故答案为：0或4；（2-^/2,2+72）U{4}.

14.因「41

【分析】设发="，变形可得人（％+1）-%-1=。，利用”的几何意义转化为直线与圆

的位置关系即可求解.

【详解】设发="，变形可得左5+1）-%—1=0,

玉）十1

则”的几何意义为直线上（彳+1）-y-1=0的斜率，

X0十1

户（知几）是圆C:（x-l）2+y2=i上任意一点，圆心（1,0）,半径为1,

2fc-l4

则与"wl,mo<k<~,

收+13

即』y0七+1的取值范围为P04,~-.

毛+1L3J

「41

故答案为：0,§.

15.(1)/1=0.625,P=0.125,«=0.0625；

【分析】（1）根据给定的频率分布表，利用频率的意义求出〃,P,再利用频率分布直方图求

出。作答.

（2）利用分层抽样求出5人中，每个分数段的人数，再利用列举法求出概率作答.

【详解】⑴依题意，«=—=0.625,^=—=0.125,4=0.625+10=0.0625.

8080

（2）样本成绩在［60,70）和［90,100］的学生的人数之比为16:4=4:1,

因此抽取5人中成绩在［60,70）的有4人，记这4人为a,b,c,d,成绩在［90,100］的有1人，

记为E,

从这5人中任选2人，有ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共10个结果，

其中这2人成绩均在［60,70）内有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6个，

所以这2人成绩均在［60,70）内的概率为A=|.

16.(1)证明见解析

(2)(n-l)-2"+1+2

答案第8页，共12页

21b2b,

【分析】(1)由三+—=1,。“=广，代入可得厂+$=1,化简即可证明结论；

ba

„„bnbn

(2)由等差数列的通项公式可得从而得到数列｛%｝的通项公式，利用错位相减即可求

得结果.

b

【详解】(1)因为数列｛凡｝的前〃项积为2，所以%=广("22,〃€4)，

21।2b,

又因为7+一=1,所以7+;2=1A,

b“a„bnbn

化简可得b„-么-=2(〃22,〃eN*),

21,

当〃=i时，—+—=1,解得：4=3,

瓦「

所以也｝是等差数列，首项为3,公差为2.

(2)由(1)可得么=3+2(九-1)=2"+1,

所以%=%=2.2"T+1=2"+1,故〃(c“-1)=〃・2',令数列｛〃(g-1)｝的前"项和为7；,

贝！=1X2+2X2?+3X23++小2”①

27；,=1X22+2X23+3X24++(M-1)-2"+M-2"+1@

①-②可得：-7；=1x2+1x22+1x23+.+1X2"-M-2"+1

化简可得：T„=2+(n-V)-2n+l,

所以数列｛〃&T)｝的前〃项和北=2+(”-1).2前

17.(1)证明见解析

⑵粤

【分析】(1)利用线面垂直的性质定理与判定定理即可得证；

(2)依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面AC。和平面A3C的法向量，再利用空间

向量法即可得解.

【详解】(1)因为平面A8C,8CU平面ABC,所以AALBC.

又因为A8=AC,。为2C中点，所以AD13C,

答案第9页，共12页

又AAAD=A,且AA,4。u平面4A。,

所以3C，平面A】A。；

（2）依题意，以A为坐标原点，AB,AC,A4,所在直线分别为x轴，）轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系A-邙,

则4（0,0,0）,8（2,0,0）,。（0,2,0），4仅,0,6）,。（1,1,0）,

所以丽=(1,1,-@,4=(0,2,_石),

设平面AC。的一个法向量为〃=（&%,zj,则4。力=。，4。"=0,

%—=0

所以《可取M=l,贝5=（后君,2卜

2yl_后1=0

又易知平面A3C的一个法向量为m=（0,0,1）,

设平面ABC和平面AC。所成角为凡

E八II|加力|2JI6

贝I]cos6=cos>m,〃制=,,=---=---

11同网lx>/3z+3+45

故平面ABC和平面所成角的余弦值为手.

尤2

18.⑴」2匕V=1

43

⑵存在；7(4,0)

【分析】（1）将带入椭圆的方程求解即可;

（2）将直线Z4和关于x轴对称转化为七「+原7=0,然后联立直线和椭圆的方程求解即

可.

答案第10页，共12页

22

【详解】⑴椭圆C：t+2=l（a>6>0）的焦距为2,故c=l,

ab

过点尸+且/=〃+°2,

联立解得：a=2,b=V3.

椭圆右焦点为“1,0）,

故过椭圆右焦点F且斜率为k（kw0）的动直线I为:y=1）,

22

和椭圆：+5=1联立得：（4左2+3）尤2-8右元+43-12=。，

A=64--4（4左②+3）（4公-12）=144（F+1）>0,

设4（%，%），3（工