2024年高考数学押题卷4附答案解析

2024年高考数学押题卷4

一.选择题(共8小题)

1.已知集合4="61\]：<4},5={xSZ|x2-3x-4<0},贝l](CiU)^B=()

A.{0,2,3}B.{2,3}C.{x|2Wx<4}D.{x|2<x<4}

2.据统计，某地区所种植苹果的果实横径(单位：加加)服从正态分布N(70,52),则果实横径在[60,75)的概率

为()

附：若X〜N(山。2),则尸(R-o<x<|i+o)=0.6827；P(口-2。<X<\i+2o)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

3.3名工作人员安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，则不同的安排方

法共有()

A.30种B.60种C.90种D.180种

4.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此

做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”.若四人中只有一人判

断正确，则判断正确的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.已知三条不重合的直线加，"，I,三个不重合的平面a,p,y,则下列命题不正确的个数是()

①若机〃"，〃ua,则加〃a；②若/J_a,l_Lm,贝lJa〃B；

③若a_Ly,p±y,aAp=/,贝！J/J_y；@mca,nca,n//^,贝!Ja〃仇

A.4B.3C.2D.1

6.已知函数/'(x)=kx,g(x)=詈，若关于X的方程/(x)=g(x)在区间［1,2］内有两个不同实数解，则实数

人的取值范围是)

111ln21

A.[0,-)B.(―,-

2eec7孤)

7.已知函数/(%)=3sin(au+(p)(a)>0,|(p|<J)的部分图象如图所示，A,5两点之间的距离为10,且/(2)

=0,若将函数/(%)的图象向右平移，。>0)个单位长度后所得函数图象关于歹轴对称，则，的最小值为()

8.已知/(%)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(2+x),若/(I)=-2,则/(5)tf(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

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二.多选题（共3小题）

（多选）9.若函数/（x）—xln（x+2）,贝！|（）

A./（x）的定义域是（0,+8）B.f（x）有两个零点

C.f（x）在点（-1,/（-1））处切线的斜率为-1D./G）在（0,+8）递增

（多选）10.如图所示，四边形/BCD为梯形，其中/8〃C£>,AB=2CD,M,N分别为48,DC的中点，则下列

T1T1T

A.AC—ADd-'2ABB.CM=^CA^-^CB

C.MN-^AD+ABD.BC=AD-AB

（多选）11.已知双曲线C:/一1=1的左、右焦点分别为尸1,尸2,点P是双曲线C的右支上一点，过点尸的直

线/与双曲线C的两条渐近线分别交于N,则（）

A.P理—P盛的最小值为8

B.尸尸「尸尸2-。「2为定值

C.若直线/与双曲线C相切，则点M,N的纵坐标之积为-2

D.若直线/经过尸2,且与双曲线C交于另一点。，则P。的最小值为6

三.填空题（共3小题）

12.已知复数2=（«+2z）（1+/）的实部为0,其中i为虚数单位，则z表示的复数对应的点的坐标为.

/y2

13.已知椭圆C：/+金=1（。>6>0）的上、下顶点分别为43,右焦点为凡3关于直线肝的对称点为夕.若

过N,B',尸三点的圆的半径为0,则C的离心率为.

14.我国南北朝时期的数学家祖昭提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的

几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.根据祖唾原理，现在要用3。打印技术制造一个零件，其在高为力的水平截面的面积为S（4）=n（9-庐），

0<hW3,则该零件的体积为.

第2页（共18页）

四.解答题（共5小题）

15.为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验.采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据:

抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其

中25名治愈，20名未治愈.

（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2X2列联表;

疗法疗效合计

治愈未治愈

服用新药

服用安慰剂

合计

（2）依据a=0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论.

2_n(ad—bc')2

附:%—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.010.001

Xa2.7066.63510.828

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16.已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且&=2斯+〃-3.

(1)证明数列｛即-1｝为等比数列，并求｛斯｝的通项公式；

(2)在斯和斯+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为办的等差数列，求数列｛上｝的前„项和Tn.

an

第4页(共18页)

17.如图，在圆柱。。2中，矩形A8CD是圆柱。1。2的轴截面，点尸在上底面圆周上(异于。，C),点E为下底面

圆弧荏的中点，点尸与点E在平面N8C®的同侧，圆柱。1。2的底面半径为1，高为2.

(1)若点尸是圆弧坑的中点，证明：平面。所_1_平面3CE；

(2)若NDOIFT，求直线。尸与平面COE所成角的正弦值.

第5页(共18页)

18.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/(0,c)(c>0)到直线/：x-y-2=0的距离为；一,设P为直线/上的

点，过点尸作抛物线C的两条切线融，PB,其中45为切点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点尸(xo,yo)为直线/上的定点时，求直线48的方程；

(3)当点尸在直线/上移动时，求|/尸，的最小值.

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19.设函数/(x)=机/+(x+l)e',其中mCR.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)若/(x)存在两个极值点，设极大值点为a,b为f3的零点，求证：a-b^lnl.

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2024年高考数学押题卷4

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.已知集合/={x€N|/<4},5={XGZ|X2-3X-4<0},贝！I(CR/)C2=

A.{0,2,3}B.{2,3}C.{x|24V4}D.{x\2<x<4}

解：由于/<4,可得-2<x<2,则集合/={0,1},x2-3x-4<0,可得-l<x<4,则集合3={0,1,2,3},

所以（CR/）A5={2,3}.故选：B.

2.据统计，某地区所种植苹果的果实横径（单位：加加）服从正态分布N（70,52）,则果实横径在［60,75）的概率

为（）

附：若X〜N（n，o2）,则P（厂o<X<n+o）=0.6827；P（黑-2。<X<n+2。）=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

解：,:X〜N（70,52）,，四=70,。=5,：.P（65<X<75）=0.6827,P（60<X<80）=0.9545,

：.P（60<X<75）=-，9^4-+°-6^27=0.8186.故选：D.

3.3名工作人员安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，则不同的安排方

法共有（）

A.30种B.60种C.90种D.180种

C2xf2xC2

解：第一步，五天分成三组的分法为M23=15,第二步将这三组分给三个人，即Z3乂为3=90

故不同的安排方法种数是90种故选：C.

4.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此

做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”.若四人中只有一人判

断正确，则判断正确的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

解：因为只有1人判断正确，而甲和丙说法矛盾，故两人中有1人判断正确，

故乙和丁都判断错误，则乙获奖，故丙没获奖，即丙判断正确，故选：C.

5.已知三条不重合的直线〃z,n,I,三个不重合的平面a,P，丫，则下列命题不正确的个数是（）

①若加〃”，〃ua,则加〃a；②若/J_a,"?u0,ll.m,贝Ua〃仇

③若a_l_y,p±Y>an0=/,贝!I/J_y；④机ua,n<za,n//^,贝！|a〃仇

A.4B.3C.2D.1

解：对于①，机〃"，〃ua时，7"〃。或7的£1,所以①错误；

对于②，已知/J_a,加u0,l±m,此时平面0可以是绕直线正旋转的任一平面，所以a〃廿或a,0相交，所以②

错误；

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对于③，记支口丫=加，0门丫="，在平面丫任取一点/(不在直线/上)，过点/作48_1_m=8,AC±n=C,

因为a，％p±y,所以/2J_a,AC±^,所以/B，/,ACLI,即/，丫，所以③正确；

对于④，当加〃〃时，平面a与平面0可以平行，可以相交，所以④错误；则不正确的有3个，所以8正确;

故选：B.

6.已知函数/'(x)=kx,g(x)=—,若关于x的方程/(x)=g(x)在区间［1,2］内有两个不同实数解，则实数

人的取值范围是()

11

(行；］

解：由/(x)=g(x)知，kx=詈，则k=菱令h(x)=芸,X&［1,2］,

因为方程/(x)=g(x)在区间［1,2］内有两个不同的实数解，

:.h(x)在［1,2］内的图象与直线y=人有两个交点，="；磬,

1

・••令l<x<y/e,令/i^x)<0/4e<x<2,.••当x=y［e时，h(x)取最大值h(«)=%

/-V)Q

当x=l时，h(1)=0；当x=2时，/(2)=竽，因为〃(2)>h(1),

J4

数形结合易知，当咐警，点)时，〃(X)与直线尸后有两个交点.故选：C.

7.已知函数/(x)=3sin(a)x+(p)(3>0,即|在)的部分图象如图所示，A,8两点之间的距离为10,且/(2)

=0,若将函数/G)的图象向右平移/(/>())个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，贝h的最小值为()

厂0

解：由题设图象知，［48|=10,周期:;7=，102—62,解得T=16,；.3=^=奈可得/(x)=3sin(-+(|))

2/。8

7TTTTTTT,,,17T7T

'：/(2)=0,.,.sin(-x2+(|))=0,:送W①W务故得/(x)=3sin(gx—J

第10页(共18页)

7TITTCTCTC

将函数/(x)的图象向右平移，(f>0)的单位可得：j/=3sin[-(x-t))一耳|=3%(-%7),

0。oo4

函数图象关于y轴对称，，一亚一冬=*而，整理得：f=-6-8比OO,

当人=-1时，/的最小值为2.故选：B.

8.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且满足了(2-x)=/(2+x),若/(I)=-2,则f(5)t<(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

解：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则/(-x)=-/(x)且/(0)=0.

又/(2-x)=/(2+x),令x=-3可得：/(5)=/(2-3)=/(-1)=-/(1)=2；

又由/(2-x)=/(2+x),变形可得/(-x)=/(x+4),而/(-X)=-/(x),所以/(x)=-/(x+4),

则有/(x+8)=-/(x+4)=/(x),所以函数/(x)是周期为8的周期函数，

所以/(2024)=/(8X253)=/(0)=0,所以/(5)+f(2024)=2+0=2.故选：C.

二.多选题(共3小题)

(多选)9.若函数/(x)—xln(x+2),贝！|()

A./(x)的定义域是(0,+8)B.f(x)有两个零点

C.f(x)在点(-1,/(-1))处切线的斜率为-1D./G)在(0,+8)递增

解：V/(x)=xln(x+2),，x+2>0,.•.函数/(x)的定义域是(-2,+0°).

对于函数的定义域是(-2,+8),故/不正确；对于2.令/(x)=0,即x历(x+2)=0,解得x=0或x

=-1,故函数/(x)有2个零点，故8正确；对于C.斜率k=—1)=仞(―1+2)+^^=—1,故C正

uXX

确；对于Df(x)=bi(x+2)+15，x>0时，In(x+2)>0,-->0,

x+zx+2

故，(x)>0,f(x)在(0,+8)单调递增，故D正确；故选：BCD.

(多选)10.如图所示，四边形/2CO为梯形，其中AB=2CD,M,N分别为4B,OC的中点，则下列

结论正确的是()

A.AC=AD+^ABB.CM=^CA+^CB

C.MN=^AD+ABD.BC=AD-AB

^：AB=2CD,AB//CD,AC=AD+DC=4。+正确;M为N8的中点，；.CM=+CB)=^CA+^CB,

3正确；MN=MA+AD+DN=-^AB+AD+^AB=AD-^AB,C错误；

T—>—>—»TT1T―>［一>

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+^AB=AD-^AB,。错误.故选：AB.

第11页(共18页)

（多选）11.己知双曲线C:，一1=1的左、右焦点分别为Q,尸2,点P是双曲线C的右支上一点，过点尸的直

线/与双曲线C的两条渐近线分别交于N,则（）

A.「尸：一「/^的最〃、值为8B.尸尸1•尸尸2-。尸2为定值

C.若直线/与双曲线C相切，则点M,N的纵坐标之积为-2

D.若直线/经过尸2,且与双曲线。交于另一点0,则尸。的最小值为6

解：依题意得。=1,b=®c=2,Fi（-2,0）,Fi（2,0）,\PFT\-\PFx\=2a=2,

2

2

设尸（xo,yo），则xo》l，x0--1,即为2=3久02_3,双曲线C的两条渐近线方程为y=±Hx,

22

对于4PFl-PFl=（x0+2）+y02[（x0-2）+y02]=8x0>8,N正确；

222222

对于B,\PFr\.\PF2\-\OP\=V（x0+2）+y0•V（^-2）+y0+7o）

=J（X。+2）2+3%。2—3•1（=。-2）2+3%。2—3-（%。2+3%。2—3）

2

=（2%o+1）-（2x0-1）-（4%0-3）=2是定值，B正确；

对于C,不妨设V3%1）,N（%2，—V3X2）»直线/的方程为％=叼+〃，

X=my+n

由2y2_1，得（3冽2-1）y^+Gmny+^n2-3=0,

若直线/与双曲线C相切，则A=36冽2层一12（3冽2-1）（层-1）=0,化简整理得几2=1-3冽2,

则点N的纵坐标之积为丫2=-3%1亚=-3•~~—=_[3：2=_3,C错误；

1—V3m1+V3m

2b2

对于。，若0在双曲线C的右支，则通径最短，通径为——=6,

a

若。在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为2a=2<6,D错误.故选：AB.

三.填空题（共3小题）

12.已知复数2=（a+2z）（1+力的实部为0,其中，为虚数单位，则z表示的复数对应的点的坐标为（0,4）

解：z=(Q+2Z)(1+z)=(Q-2)+(Q+2)ij

由复数2=（。+2力（1+z）的实部为0,得。-2=0,解得：。=2,

故z=4z.,

故复数2对应的点为（0,4）.

y2

13.已知椭圆。：靛+=1(a>6>0)的上、下顶点分别为/，B,右焦点为F,3关于直线/尸的对称点为夕.若

第12页（共18页）

,1

过/,B',尸三点的圆的半径为a,则。的禺心率为

解：根据题意可得%A4FB,

...△/EB的外接圆的半径为a,设椭圆的左焦点为E,

由对称性易知：£为△/EB的外接圆的圆心，

A\EA\=\EB\=\EF\=a,又|即=2c,

.c.c1

・・a=2c,・・e=—=亍,

ct2

,,…生,1

故答案为：

14.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了一条原理：“哥势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的

几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.根据祖昭原理，现在要用3。打印技术制造一个零件，其在高为力的水平截面的面积为S(4)=TT(9-力2),

0<hW3,则该零件的体积为18TT.

解：该零件在高为〃的水平截面的面积为S(/z)=TT(9-h2)(0W〃W3),

总与一个半径为3的半球在高为h处的水平截面面积相等，

147r

由祖眶原理，该零件的体积即为半球的体积5xwx33=187r.

故答案为：18TT.

四.解答题(共5小题)

15.为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验.采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据:

抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂(没有任何疗效)的患者45名，其

中25名治愈，20名未治愈.

(1)根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2X2列联表；

疗法疗效合计

治愈未治愈

服用新药

服用安慰剂

合计

(2)依据a=0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论.

第13页(共18页)

2_______?i(ad—bc)2______

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.010.001

2.7066.63510.828

Xa

解：（1）2X2列联表;

疗法疗效合计

治愈未治愈

服用新药451055

服用安慰剂252045

合计7030100

2_”ad-bc）2_l0°（45x20—25x10）2〜

S*—（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）—55x45x70x30~813>0.6处，

所以在犯错率不超过0.01的前提下，可以认为新药对治疗该种疾病有效.

16.已知数列｛斯｝的前〃项和为S“，S.S„=2an+n-3.

（1）证明数列｛即-1｝为等比数列，并求｛斯｝的通项公式；

（2）在斯和斯+i之间插入"个数，使这什2个数组成一个公差为右的等差数列，求数歹式上｝的前〃项和7”.

an

证明：（1）因为S〃=2斯+〃-3①，

当〃=1时，ai=2ai-2,所以QI=2,

当〃三2时，52-1=2斯4②，

由①-②得Cln=2an-2斯_1+1,即Cln=2cin-1-1,

所以斯-1=2（Q〃.1-1）,又Q1-1=1,

所以数列｛即-1｝是首项为1，公比为2的等比数列，

所斯-1=2nT,故斯二2九一1+1；

解：（2）因为劭+1=劭+（几+1）dn，所以2"+1=2"I+1+（几+1）dn，

解得％=%on-lr所以1瓦=n+后1，

所以Tn=或+―+养+…+

1234nn+1

/=厘+再+”••+后

疗4—11111n+1

两式相减侍=2+（天+齐+声■+•••+而T）--

1

,2.lEl-Cj）"-]n+1^n+3

—乙十_12九一D2九，

1-2

所以几=6—霜•

第14页（共18页）

17.如图，在圆柱。。2中，矩形A8CD是圆柱。1。2的轴截面，点尸在上底面圆周上(异于。，C),点E为下底面

圆弧荏的中点，点尸与点E在平面N8C®的同侧，圆柱。1。2的底面半径为1，高为2.

(1)若点尸是圆弧坑的中点，证明：平面。所_1_平面3CE；

(2)若NDOIFT，求直线。尸与平面COE所成角的正弦值.

(1)证明：：点E为下底面圆弧48的中点，点厂为上底面圆弧。。的中点,

：.BE//CF,

是圆。1的直径，：.DF±CF,BPDFLBE,

：3C_L圆面。1,：.BC±DF,

又CBCEB=B,.,.DF±5FffiBCE,

：DFu平面DEF,：.平面DETQL平面BCE；

(2)解：以。2为坐标原点，分别以。加、O1B、。2。1所在直线为x、y、z轴

建立空间直角坐标系。2-xyz.

则E(1,0,0),C(0,1,2),D(0,-1,2),

：.F(y,-j,2),得法=(¥，I，0),

—>T

CE=(1,-1,-2),CD=(0,—2,0),

设蔡=(%,yfz)为平面CDE的一个法向量，则

JT

n-CD=x—y—2z=0_"一/八八八

-t，取z=l,得n=(2,0,1).

、n-CE=-2y=0

设直线。尸与平面cr>£所成角为e,

一TTI——

sin0=|cos<n,DF>\=DP)=—

\n\-\DF\

第15页(共18页)

18.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/(0,c)(c>0)到直线/：x-y-2=0的距离为；一,设尸为直线/上的

点，过点尸作抛物线C的两条切线PB,其中48为切点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点尸(xo,yo)为直线/上的定点时，求直线48的方程；

(3)当点尸在直线/上移动时，求3n的最小值.

解：(1)焦点/(0,c)(c>0)到直线/：x-y-2=0的距离d=与尹=贤=挈，解得c=l,

所以抛物线C的方程为x2=4y.

-11

(2)设4/)，B(%2，4虐),

由⑴得抛物线C的方程为丫=#，，=打

11

所以切线以，P3的斜率分别为5%,-%2,

所以E4：y-^xj=-x-O^PB：y-1%2=^x2(x-X2)@

联立①②可得点尸的坐标为(“攵，羊)，即x0=%&，%=等，

12

1y。—11

又因为切线我的斜率为彳%1=------,整理得y()=^x1x0-

LXQ—XI乙4

直线AB的斜率k=母翌=号2=当，

Xi—Xo4乙

所以直线AB的方程为y—"%：=4%0(%—%。，

]1]1

整理得y=2xox_2X1XO+4X1，即7=2久0%―y0，

因为点P(xo,J0)为直线/：x-y-2=o上的点，

第16页(共18页)

所以-yo-2=0,即yo—xo~2,

所以直线的方程为xox-2y-2yo=O.

(3)根据抛物线的定义，有|/川=//+1,田川="城+1,

1111

所以|4F|•|BF|=J好+1)(4点+1)=i6xix2+[(/+彭)+1

11

=16X1X2+4鼠%1+X2)2-2%1久21+1，

由(2)得XI+X2=2XO,xix2=4yo,xo=/+2,

所以|明•|BF|=羽+4(4瑞-8y0)+1=%o+yo-2yo+1=(yo+2)2+%-2yo+1=2%+2y()+5=

109

2仇+])2+于

i9

所以当yo=-十寸，M回•田产|的最小值为不

19.设函数/(x)=mx2+(x+1)e”,其中冽ER.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)存在两个极值点，设极大值点为b为f(x)的零点，求证：a-b^ln2.

解：(1)，(x)=2mx-xeX=x(2m-e%),

当加WO时，2机-e%V0,

令，(x)=x(2m-e，)<0,得%>0,

令，(x)=x(2m-e-x)>0,得x<0,

所