2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试卷及答案

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分共24分.在每小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.B.V5C.V4D.70^8

3.已知关于x的方程晨-3）世C+（2Z：-3）x+4=0是一元二次方程，则上的值应为（）

A.±3B.3C.-3D.不能确定

4.下面有四种说法：其中，正确的说法是（）

①为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；

②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2x

5.计算「-一;的结果是（）

%-2%-2

A.0B.1C.-1D.x

6.如图，菱形ABC。中，E、尸分别是AB、AC的中点，若EF=3,则菱形ABC。的周长

是（）

A.12B.16C.20D.24

7.已知下列命题，其中真命题的个数是（）

①若a2=b2,贝Ua=b；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

④在反比例函数y=（中，如果函数值y<l时，那么自变量无>2.

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图，在正方形ABC。中，点E、F、G分别在A3、AD.CD±.,AB=3,AE=1,DG

>AE,BF=EG,BF与EG交于点P.连接DP,则DP的最小值为（）

AFD

B

A.V13-1B.2V13C.V13D.2V13-2

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分共30分.不需写出解答过程，请把答案

直接填写在答题卡相应位置出））

9.若式子空现在实数范围内有意义，则尤的取值范围是.

X

,,pa2be2

10.化间：~7—•（-——）=.

b2c2a------------------------------------

11.为了解我市2019年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考

数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是.

12.如果x=0是关于x的方程〃%2+3X+〃2-a=Q的一个根，则a=.

13.已知近=3,那么/=.

14.已知关于尤的方程--=2的解是负数，则〃的取值范围为.

15.若最简二次根式|丘4a2+1与|卜6a2-1是同类二次根式,则。=.

Qa

16.已知双曲线y=—；与直线>=尤-5有一交点为（a,b）.则:+

17.如图，四边形EFG”的四个顶点E、F、G、H分别在正方形ABC。的AB、BC、CD、

D4上滑动，在滑动的过程中，始终有EH〃BD〃FG,且EH=FG,四边形EFG”的周

长为6/a,那么正方形ABC。的周长为.

A

EK

BFC

18.如图，△AOB为等边三角形，点2的坐标为（-6,0）,过点C（6,0）作直线/交A。

于。，交A8于E,点E在某反比例函数图象上，当和△OC。的面积相等时，那

么该反比例函数的解析式为y=

三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（8分）（1）计算：（3+2遮）2—（4+逐）（4—遍）；

%+14

（2）解方程:

20.（8分）先化简，再求值：公+（x+2+3），然后从不等式组的解集中,

选取一个你认为符合题意的整数尤的值代入求值.

21.（8分）今年3月5日，学校组织八年级全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活

动.八（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出的人

数，并作了如下直方图和扇形统计图.请根据班长所作的两个图形，解答:

A人数

（1）八（3）班有多少名学生？

（2）补全直方图的空缺部分;

（3）若八年级有1000名学生，请估算该年级去敬老院有多少人?

（4）求“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率.

22.（8分）如图，O是菱形A8CD对角线AC与8。的交点，CD=10cm,OD=6cm；过点

C作CE//DB,过点B作BE//AC,CE与BE相交于点E.

（1）求OC的长；

（2）求证：四边形03EC为矩形；

（3）求矩形OBEC的面积.

23.(10分)工匠制作某种金属工具要进行材料煨烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到

800℃,然后停止煨烧进行锻造操作，经过8加"时，材料温度降为600℃.煨烧时温度y

(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间无(机沅)成反比

例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.

(1)分别求出材料煨烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量元的取值范围;

(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作.那么锻造的操作时间有多

长？

24.（10分）如图，矩形ABC。中，AB^16cm,BC=6cm,点尸从点A出发沿AB向点B

移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D

移动（不与点C、。重合）.

（1）若点尸、。均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形？

（2）若点尸为3cm/s的速度移动，点。以2cmis的速度移动，经过多长时间△。尸。为

直角三角形？

25.(10分)某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两

个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺

设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.

(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？

(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有

几种？请你帮助设计出来(工程队分配工程量为正整百数).

26.（10分）【阅读理解】对于任意正实数〃、b,V（Va—VF）2>0,.\a—2>Jab+b>0,

.\a+b>2^fab,（只有当〃=Z?时，a+b=2VaF）.

【获得结论】在a+b>2^[ab（a、b均为正实数）中，若为定值p,则Q+b>2#,

只有当。=/?时，有最小值26.

【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：

⑴若m>0,只有当m=时，m+凄有最小值；

（2）已知点。（-4,-5）是双曲线y=三上点，过。作QALx轴于点A,作QBLy轴

于点艮点尸为双曲线y=/（久>0）上任意一点，连接抬，PB,求四边形A0BP的面积

的最小值.

27.(12分)如图，平面直角坐标系中，矩形0ABe的对角线AC=5,边。4=3.

(1)求C点的坐标；

(2)把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交

点分别为。、F、E,求折痕。E的长；

(3)在(2)的条件下，若点M在无轴上，平面内是否存在点N,使四边形fDMN是菱

形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

28.(12分)如图所示，直线y=ax+b(a<0,b>0)的图象与无轴交于点A,与y轴交于

点、B,与反比例函数y=((x<0)交于点C,且8为线段AC的中点，向上平移直线A8

与反比例函数的图象相交于点。，点E为尤轴负半轴上一点，四边形BOCE为平行四边

形.

(1)若a=-$,b=l,则点C的坐标为,反比例函数的表达式

为;

(2)在(1)的条件下，求平移后的直线。尸的函数表达式；

b2

(3)当平行四边形的面积等于30时，求一的值.

2023-2024学年九年级上入学考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，满分共24分.在每小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意;

8、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意;

。、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；

故选：D.

2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.£B.V5C.V4

D.70^8

解：A、电=¥，不是最简二次根式，故此选项错误；

B、V5,是最简二次根式，故此选项正确；

C、V4=2,不是最简二次根式，故此选项错误；

D、9=电，不是最简二次根式，故此选项错误.

故选：B.

3.已知关于x的方程晨-3）尤腓1+（2左-3）x+4=O是一元二次方程，则上的值应为（）

A.±3B.3C.-3D.不能确定

解：由关于x的方程（笈-3）#」+（2^-3）x+4=0是一元二次方程，得

因-1=2且左-3W0.

解得上=-3.

故选：C.

4.下面有四种说法：其中，正确的说法是（）

①为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；

②”在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件;

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；

④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.

A.①②③B,①②④C.①③④D.②③④

解：①为了解一种灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，宜采用抽样调查的方法，故①错

误;

②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件，故②正

确；

③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件，故③正确；

④如果■件事发生的概率只有十万分之,那么它仍是可能发生的事件，故④正确；

故选：D.

2x

5.计算三一口的结果是（）

A.0B.1C.-1D.x

解:原式=怒=-头

故选：C.

6.如图，菱形ABC。中，E、F分别是A3、AC的中点，若EF=3,则菱形ABC。的周长

C.20D.24

解：：£、产分别是A3、AC的中点,

是△ABC的中位线，

:.BC=2EF=2X3=6,

菱形ABC。的周长=4BC=4X6=24.

故选：D.

7.已知下列命题，其中真命题的个数是（）

①若°2=庐，则a=b；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④在反比例函数、=［中，如果函数值y<l时，那么自变量尤>2.

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①若/=序，则。=6,错误，是假命题；

②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；

④在反比例函数y=（中，如果函数值><1时，那么自变量x>2,错误，是假命题.

故选：C.

8.如图，在正方形A8C。中，点E、F、G分别在A3、AD,上，AB=3,AE=1,DG

>AE,BF=EG,BF与EG交于点、P.连接。P,则OP的最小值为（）

A.V13-1B.2V13C.V13D.2V13-2

解：如图，过点石作加工。于点取3E的中点。，连接QP、QD,

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZA=ZADC=ZDME=900,AB//CD,

四边形AOME是矩形，

：.EM=AD=AB,

在RtABAF和RtA£MG中,

(BF=EG

<AB=ME'

：.RtABAF^RtAEMG(HL),

：.ZABF=ZMEG,/AFB=ZEGM,

'：AB//CD,

・•・ZMGE=ZBEG=NAFB,

VZABF+ZAFB=90°,

ZABF+ZBEG=90°,

AZEPF=90°,

：.BFLEG,

••,△EP3是直角三角形，。是BE的中点,

1

：.QP=qBE,

VAB=3,AE=19

:・BE=3-1=2,

・•・QB=QE=1,

QD-QPWDP,

・••当Q、D、尸共线时，DP有最小值，

1

U：QP=^BE=1,AQ=AE+EQ=1+1=2,

：.QD='_02+ZQ2=732+22=V13,

：.PD=V13-1,

工尸。的最小值为g-l.

故选：A.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分共30分.不需写出解答过程，请把答案

直接填写在答题卡相应位置出））

A/%+2

9.若式子2^—在实数范围内有意义，则x的取值范围是龙2-2且月0.

x

解：由题意得：x+220且无W0,

解得：xN-2且xWO,

故答案为：X2-2且xWO.

a2be2

0化A简A：嬴♦(一元)二—一a与c一.

&Q2A2

解・——•(-C-)

解•b2c12J

a2be2

--------•-----

b2c2a

ac

=~2b-

故答案为：一笠.

11.为了解我市2019年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考

数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取150名考生的中考数学成绩.

解：为了解我市2019年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中

考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取150名考生的中考数学成绩.

故答案为：被抽取150名考生的中考数学成绩.

12.如果尤=0是关于x的方程a^+'Sx+a2-a=0的一个根，则a=0或1.

解：把尤=0代入/+3工+/-。=0,得：

a-4=0,

解得：4=0或〃=1,

故答案为：0或1.

13.己知a=3,那么7=81.

解：,:应=3,

.•・x=9,

故答案为：81.

14.已知关于尤的方程^-=2的解是负数，则n的取值范围为〃<2且廿

解方程得：x=n-2,

:关于x的方程获笃=2的解是负数，

An-2<0,

解得：n<2,

又•・,原方程有意义的条件为：/一

n-2。—

即n丰

故答案为：〃<2且〃。子

15.若最简二次根式,.4a2+1与|V6a2-1是同类二次根式,则。=±1

解：•.•最简二次根式4a2+/与1A/6口2一1是同类二次根式,

.•.4〃2+1=6〃2-1,

〃2=1,

解得a=±l.

故答案为：士1.

oCLb1Q

16.已知双曲线y=-弓与直线y=x-5有一交点为(a,b).则:+-=——?

xba-s一

解：..•双曲线y=—(与直线y=x-5的交点坐标为(a,b),

••ab=-3,〃一5=Z?,

••ci-Z?=5,

a2+b2_(a—b)2+2ab_52+2x(—3)

则原式=

ab~ab--3

故答案为：一学.

17.如图，四边形ER3X的四个顶点E、F、G、X分别在正方形A8CD的A3、BC、CD、

ZM上滑动，在滑动的过程中，始终有EH〃BD〃FG,且EH=FG,四边形EFGH的周

长为6鱼a,那么正方形ABC。的周长为12a

四边形是平行四边形,

又：四边形ABCD是正方形,

：.AB=BC=CD=DA,ZABD=45°,ZA=ZC=ZABC=9Q°

,:EH〃BD,

：./AEH=ZABD=ZAHE=45°,

同理/GFC=NBGC=45

在△AEH和△CFG中，

24=Zf

^AEH=乙CFG,

、EH=FG

：.AAEH^ACFG(AAS),

：.AE=CF=AH=CG,

：・BE=EF,

■:EH=0AE,EF=&BE,

：.EH+EF=V2(i4E+EB)=y[2AB,

VEH+EF=3缶，

•\AB=3a,

二・正方形周长为12a.

故答案为：12”.

18.如图，ZvlOB为等边三角形，点5的坐标为(-6,0),过点C(6,0)作直线/交AO

于。，交A3于点E在某反比例函数图象上，当△A0E和△OCO的面积相等时，那

解：连接AC,过A作A/U5C,垂足为R

•・•点3的坐标为(-6,0),△AOB为等边三角形，C(6,0),

VAO=OC=6,OF=BF=3,

：.ZOCA=ZOAC,AF=<0A2-OF2=3A/3,

・••点A的坐标为(—3,3V3),

VZA(?B=60°,

ZACO=30°,ZB=60°,

：.ZBAC=90°,

：.AC=y/BC2-AB2=6V3,

*.*SAADE=SADCO,S/\AEC=S^ADE+S^ADC,S^AOC=S^DCO+SAADC,

11

,・S^AEC=SAAOC=2X4E,4C=20°”凡

即1-6V3=-1X6X3V3,

：.AE=3.

点为AB的中点，

即（一2，1V3）,

9

-|次）代入y=

2

fc=-^V3.

所以反比例函数解析式为y=-密,

【点睛】

三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(8分)(1)计算：(3+2通)2—(4+西)(4—遍);

八、＜%+14

(2)解方程：—-——―-=2.

x-1xz-l

解：(1)(3+2V5)2-(4+75)(4-V5)

=9+20+1275-16+5

=18+12V5；

%+14

=2,

x-1x2-l

方程两边乘以(x+1)(x-1)得：(x+1)2-4=2(x+1)(x-1),

解得：x=X,

检验：当x=l时，（x+1）（x-1）=0,

•..x=l是原方程的增根,

...原方程无解.

20.（8分）先化简，再求值：三1+包+2+与），然后从不等式组的解集中，

选取一个你认为符合题意的整数x的值代入求值.

解.序式.（%+2）（久—2）+3_久一1三________

解•原式_%_2,x-2-x-2（x+l）（x-l）-x+1

不等式组｛，;仔2°的解集为一14W2,

担当尤=0时，原式=1.

21.（8分）今年3月5日，学校组织八年级全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活

动.八（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出的人

数，并作了如下直方图和扇形统计图.请根据班长所作的两个图形，解答：

（1）八（3）班有多少名学生？

（2）补全直方图的空缺部分；

（3）若八年级有1000名学生，请估算该年级去敬老院有多少人？

（4）求“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率.

解：（1）由条形图知到社区文艺演出的人数为15人，由扇形图知到社区文艺演出的人数

3

占全体的C

10

所以抽取的部分同学的人数15+余=50人；

（2）根据题意，去敬老院服务的人数是：50-25-15=10（人）,

如图：

（3）根据题意得：

1n

1000=200（人）.

答：该年级去敬老院的人数是200人；

101

（4）“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率为h=T.

505

22.（8分）如图，。是菱形A3C。对角线AC与BD的交点，CD=lQcm,OD=6cm；过点

C作CE//DB,过点B作BE//AC,CE与BE相交于点E.

（1）求。C的长；

（2）求证：四边形OBEC为矩形；

（3）求矩形02EC的面积.

(1)解：：四边形A8C。是菱形，

：.AC±BD,

直角△OCD中，OC=VCO2—OD2=V102-62=8cm,

(2)证明：'JCE//DB,BE//AC,

四边形OBEC为平行四边形，

X".'ACXBD,即NCOB=90°,

平行四边形OBEC为矩形；

(3)解：'：OB=OD,

2

矩形OBEC=O8・OC=6X8=48(cm).

23.（10分）工匠制作某种金属工具要进行材料煨烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到

800℃,然后停止燃烧进行锻造操作，经过8"砌时，材料温度降为600℃.煨烧时温度y

(℃)与时间x(77?m)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间尤(min)成反比

例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32℃.

(1)分别求出材料煨烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；

(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作.那么锻造的操作时间有多

长？

解：(1)材料锻造时，设y=5(%。0)，

由题意得600=

O

解得4=4800,

当y=800时，

解得x=6,

.•.点8的坐标为(6,800)

材料煨烧时，设y=ax+32(aWO),

由题意得800=6a+32,

解得a=128,

材料燃烧时，y与x的函数关系式为y=128x+32(CXW6).

V48004-32=150,

/.锻造操作时y与x的函数关系式为>=等(6<xW150)；

4800

才巴代入，得

(2)y=480y=xx=10,

10-6=4（分），

答：锻造的操作时间4分钟.

24.（10分）如图，矩形A8CD中，AB=16cm,8c=6cs,点尸从点A出发沿A8向点8

移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D

移动（不与点C、。重合）.

（1）若点P、。均以3czn/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形？

（2）若点P为3cm/s的速度移动，点。以2cm/s的速度移动，经过多长时间△QP。为

解：（1）:四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD.

:点P、。均以3cms的速度移动，

：.AP^CQ,

:.BP=DQ,

.••四边形BPDQ是平行四边形，

...当8尸=Z）P时，四边形BPDQ是菱形.

设经过心，四边形2PD0是菱形，则有AP=3尤的，BP=（16-3x）cm,

由勾股定理得：Dp2=（3无）2+62,

：.DP2=（3X）2+62=（16-3x）2,

解得：x=2^.

答：经过往s时四边形2尸。0是菱形.

24

（2）•.•点P不与点A重合，

：.ZPDQ^90°,

：.^DPQ为直角三角形分两种情况：

①当/。尸。=90°时,ADPQ为直角三角形,过点Q作于M,易得四边形BCQM

为矩形，如图所示.

,.,人尸=3尤cm,BM=CQ=2xcm,则PAf=(16-5x)cm,DQ=(16-2x)cm,

：.(16-5x)2+62+(3x)2+62=(16-2x)2,

解得：xi=2,X2=I；

②当/。。尸=90°时，AP+CQ=16,

所以3x+2x=16,解得：x=

616

综上可知：经过2s、/或gs时，△QP。为直角三角形.

25.（10分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两

个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺

设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.

（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？

（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有

几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）.

解：（1）设甲工程队每天能铺设尤米，则乙工程队每天能铺设（尤-20）米.

即350（x-20）=250%,

.'.lx-140=5%

解得尤=70.

经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，

乙工程队每天能铺设：x-20=70-20=50米.

答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米.

（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米.

由题意，得

依《1。

解得500WyW700.

所以分配方案有3种:

方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；

方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；

方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米.

26.(10分)【阅读理解】对于任意正实数a、b,'."(Va-VF)2>0,.,.a-2^ab+b>0,

.'.a+b>2y[ab,(只有当a=b时，a+b=24ab^>.

【获得结论】在a+b>24ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b>2^/p,

只有当a=b时，a+b有最小值2的.

【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：

4

(1)若小>0,只有当2时,爪+9有最小值4

(2)已知点Q(-4,-5)是双曲线y=趣上点，过。作QAL轴于点A,作QB。轴

于点丛点尸为双曲线y=/(x>0)上任意一点，连接以，PB,求四边形AQ2P的面积

的最小值.

解：(1)根据题意得当m=*时，m=2,此时ni+包=4.

故答案为：2,4；

(2)连接尸。，

y

:点Q(-4,-5)是双曲线y=［上的点,

k=-4X(-5)=20,即丫=彳，

设PQ，韵,

:，S四边形AQBP=SAAPQ+SABPQ=2X5(x+4)+2X4(—+5)

540[540

=^x+—+20>2^xx—+20=40.

2x\2x

，四边形AQBP的面积最小值为40.

27.(12分)如图，平面直角坐标系中，矩形0ABe的对角线AC=5,边。4=3.

(1)求C点的坐标；

(2)把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC,AB的交

点分别为。、F、E,求折痕。E的长；

(3)在(2)的条件下，若点M在无轴上，平面内是否存在点N,使四边形EDMN是菱

形？若存在，请直接写出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1):四边形AOCB为矩形,

AZAOC=90°,

在RtzXAOC中，AC=5,。4=3,

根据勾股定理得：0C=7AC2—。4=4,

则C(4,0)；

（2）连接AD如图1所示,

图1

由折叠的性质设AD=DC=x,贝！］OD=OC-CD=4-x,

在RtZiAO。中，0A=3,AD^x,0。=4-尤，

根据勾股定理得：A£）2=（9A2+（9D2,即/=3?+（4-x）2,

解得：%=导

257

：.AD=箸，0D4,

1

由中心对称性质得到石关于。对称，即EF=CF=*DE,

在中，由勾股定理得：DF=7AD?-AF2=J（等尸_（芬=竽,

1q

则DE=2DF=芋；

（3）解：在（2）的条件下，若点M在无轴上，平面内存在点N,使四边形如MN是菱

形，

如图2所示，分两种情况考虑：

（z）当DM为菱形的一边时，

①当M与N在直线Z5E右边时，

1C

四边形FDMN是菱形，DF=-Q-,

15

：.DM=二号，

71，1111

・・・0M=。。+DM=豆+百=彳，即M（彳，0）；

②当与N'在直线OE1左边时，

1q

同理得到DM'=DF=詈，

Z.OM'=DM'-OD=1,此时M(-1,0)；

综上，使四边形如MN是菱形时M的坐标为(彳，0)或(-1,0).

图2

28.(12分)如图所示，直线y=ax+6(a<0,b>0)的图象与无轴交于点A