2024年高考数学难点突破：立体几何（附答案解析）

2024年高考数学难点突破：立体几何

1.如图，在四棱锥P-N3C〃中，底面48CD为平行四边形，PB=AB=1,AD=PD=2,NBAD=60；

(1)求证：平面以B_L平面48a)；

(2)若二面角P-3D-/的大小为120°,点£在棱上，且PE=2ED,求直线C£与平面P8C所成角的正

弦值.

2.如图(1),在平面五边形H2CD中，AB//CD,ABLAD,APLDP,CD=3AB=3,4D=24P=4,将△E4。沿

—>—>

折起得到四棱锥尸-/8CO,如图(2),满足PB=*,且AD=4AE.

(1)求证：平面尸8E_L平面尸CE；

(2)求直线CE与平面PCD所成角的正弦值.

A

B

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3.如图，已知为等腰梯形，点E为以5。为直径的半圆弧上一点，平面N8CD,平面BCE,M为CE的中点,

BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求证：DM■〃平面/AB；

(2)求平面4BE与平面DCE所成角的余弦值.

4.在五棱锥尸-4BCFE中，AB//CF,AE//BC,PELPF,ABLBC,PE=PF=AE=2,FC=BC=4,48=6,平面

尸M_L平面ABCFE.

(1)求证：PELBF；

-*-2V10

(2)若PM=4PB(4>0),且直线与平面PCF所成角的正弦值为不一,求人的值.

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5.已知：斜三棱柱48C-//1C1中，ABi_L/C,44i与面/2C所成角正切值为2,=瓜AB=BC=*AC=2V2,

点E为棱/1G的中点，且点£向平面48c所作投影在△N3C内.

(1)求证：ACLEB-,

(2)9为棱441上一点，且二面角N-8C-歹为30°,求丁的值.

AAi

->—>—>—>

6.如图1,已知正三角形48C边长为4,其中AD=3DB,力E=3EC,现沿着DE翻折，将点N翻折到点4处，使

得平面/方C_L平面。8C,M为4c中点，如图2.

A

图1图2

(1)求异面直线4D与所成角的余弦值;

(2)求平面48c与平面。夹角的余弦值.

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7.已知：斜三棱柱48C-//1C1中，ABi_L/C,44i与面/2C所成角正切值为2,=瓜AB=BC=*AC=2V2,

点E为棱小。的中点，且点£向平面48c所作投影在△N3C内.

(1)求证：ACLEB-,

(2)9为棱441上一点，且二面角N-8C-歹为60°,求丁的值.

AAi

G

8.在图1的直角梯形4ffcr＞中，ZA=ZD=90°,AB=BC=2,DC=3,点£是。C边上靠近于点。的三等分点,

以BE为折痕将△水;£折起，使点C到达Ci的位置，且力的=遥，如图2.

(1)求证：平面BCiE_L平面4BED；

(2)在棱DG上是否存在点尸，使得二面角尸-E8-Ci的大小为45°?若存在，求出线段。尸的长度，若不存

在说明理由.

图1图2

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9.刍薨(chumeng)是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤

无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”，如图，在刍薨/5CZ)斯中，四边形

ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF.

(1)求证：AB//EF；

(2)若平面CD£_L平面AB=4,EF=2,ED=FC,AF=3V3,求平面/DE和平面夹角的余弦

值.

10.如图，四边形/BCD是边长为2的菱形，N48C=60°,四边形B4c0为矩形，以=1,且平面以CQ_L平面/BCD

(1)求3P与平面/CQP所成角的余弦值；

(2)求平面尸3。与平面尸。。夹角的大小；

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11.如图，圆台。1。2的轴截面为等腰梯形Z1/CC1,NC=2441=Z41C1=4,2为底面圆周上异于/,C的点.

(1)若P是线段3C的中点，求证：。尸〃平面4/8；

⑵若4B=BC,设直线/为平面与平面CiCB的交线，点。O,2cl与平面Q4c所成角为a,求sina的最

大值.

12.如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为。，Oi,该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱/8C-431C1的三条侧棱均

为圆柱的母线，且力B=4C=噌。。一点P在轴。5上运动.

O1

(1)证明：不论尸在何处，总有

(2)当尸为。。1的中点时，求平面小网与平面81P8夹角的余弦值.

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13.如图，P为圆锥的顶点，NC为圆锥底面的直径，△为C为等边三角形，O是圆锥底面的圆心，△/AD为底面圆

。的内接正三角形，且边长为2b，点E为线段PC中点.

(1)求证：平面平面N8D；

(2)M为底面圆O的劣弧A8上一点，且//CM=30°.求平面/腔与平面HC夹角的余弦值.

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14.如图，在三棱台A8C-DM中，AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=\,N为。9的中点，二面角D-/C-B的

大小为&

(1)证明：ACJLBN；

V21

(2)当。为何值时，直线与平面BEFC所成角的正弦值为〒?

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2024年高考数学难点突破：立体几何

参考答案与试题解析

1.如图，在四棱锥尸-48CD中，底面48CZ)为平行四边形，PB=AB=1,AD=PD=2,NB4D=60：

(1)求证：平面以3_L平面/BCD；(2)若二面角P-8。-/的大小为120°,点£在棱尸D上，且PE=2ED,

求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：在△48。中，由余弦定理得BD=>在+22-2•1•2cos60。=b,

所以/。2=/32+3。2,PD2=PB2+BD2,因止匕PBLBD,又ABCPB=B,AB,PBu平面以8,

所以8。。面为3,又因为BDu平面/BCD,故平面J_平面/BCD；

(2)解：由于4B_LAD,PB±BD,所以二面角尸-3。-/的平面角为NPB4即NPB力=120。，

在平面我3内过点8作的垂线，交/产于凡由平面必8_L平面N3CD,且比七平面以8,平面B48n平面

4BCD=AB,所以即U平面ABCD,以3为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（0,0,0）,D（0,曲,0）,C（-1,V3,0）,P（-1,0,字），

设平面P2C的法向量为蔡=（久，y,z）,由于鼠=（一1,V3,0）,5P=（-1,0,等），

or_nf-x+V3y=0__

贝I」丝=0,即{1右，令尤=百，则产Z=l,所以71=（直1,1）.

In-BP=0~2X~^~2Z=

又a=H+而=H+l而=（1,一孚,,）,

t->Ir^p->i2①

设直线CE与平面PBC所成角为e,贝!ISind=\cos{CE,n）|=叱[=-白°=E,

\CE\-\n\国暂舁系

V6

因此直线CE与平面PBC所成角的正弦值为

2.如图（1）,在平面五边形P43CD中，AB//CD,ABLAD,APLDP,CD=3AB=3,AD=2AP=4,将△X4D沿

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折起得到四棱锥尸-/BCD,如图(2),满足PB=花，且4D=4AE.

(1)求证：平面P8E_L平面尸CE；(2)求直线C£与平面PCD所成角的正弦值.

图⑴图⑵

【解答】(1)证明：AB//CD,ABLAD,APLDP,CD=3AB=3,4D=24P=4,PB=V5,S.AD=4AE,

——Ap?"1AZ7jrTF

可得N£=l,AD=CD=3,BE=V2,cosZPAD==J=1>ZDAC=ACD=J,ZABE=ZAEB=^,

所以B£J_CE,①所以PEJ_4D,PE=7PAi一招=于4-1=次,在△%£■中，PB2^PE2+EB2,

所以BECAD=E,所以尸E_L平面/BCD,所以尸E_L3£,②又PECCE=E,③

由①②③可得BEJ_平面PCE,BEu平面尸2E,所以平面P2E_L平面PCE；

(2)解：过£作E7QLN。交3c于凡由①可得PE,EF,/£>两两相互垂直，

以E为坐标原点，以EF,ED,EP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,0,V3),D(0,3,0),C(3,3,0),

EC=(3,3,0),PC=(3,3,-V3),PD=(0,3,-V3),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

71-PC=03x+3y-V3z^0^令尸1胃百，》=(),即£=(0)1,四),

n-PD=03y—V3z=0

T—>T_)

贝lJn・EC=3X0+3Xl+0xb=3,\n\=VO+1+3=2,|EC|=,9+9=3/,

所以cosWLEC>==—^==设直线CE与平面尸CO所成角为仇0e[0,

|n|-|EC|2X342,

；r—方

则sin8=|cosV亡EC>\=^.所以直线CE与平面尸CO所成角的正弦值为宁.

A

B

图⑴c图⑵c

3.如图，已知/BCD为等腰梯形，点E为以3c为直径的半圆弧上一点，平面/BCD,平面BCE,“为CE的中点,

BE=AB=AD=DC=2,BC=4.(1)求证：DM〃平面/8£；(2)求平面N5E与平面。CE所成角的余弦值.

E

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【解答】(1)证明：如图，取的中点N,连接NN,MN,

1111

贝〃一BC,MN=^BC,JLAD//-BC,AD=aBC,所以ACV〃/。，所以四边形/ND"为平行四边形,

则DM〃/N,又DWC平面4BE,/Nu平面4BE,所以DM〃平面4BE；

(2)取/。中点为尸，过点。作直线3c的垂线交元于点G,

分别以OG,0C,。尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

1

因为2。为直径，所以BE=^BC,所以NBCE=30。，KBOE=60。,NEOG=30。，在梯形48CD中易求高为百,

所以E(百，—1,0),C(0,2,0),D(0,LV3),B(0,-2,0),4(0,—LV3),

—>—>—>—>

则CE=(遮，一3,0),CD=(0,-1,V3),BE=«,1,0),BA=(0,1,V3),

设平面DCE的法向量为茄=(久，y,z),

则旧.号=0),解，岳一氏=0,令"色则尸3,z=l,所以益=(3,V3,1),

1m-CD=0/1-y+V3z=0

平面的法向量为蔡=(a,b,c),

则牝BE=0,即［百a2b=0,取q=i,贝ijg一百，c=l,即£=(1,—8，1),

(BA-n^05+岳=0

—>—»

1=质

设平面A8E与平面CDE所成的角为a,则cosa=\cos<m,n>\=|了之---，

|m|-|n|713x7565

即平面ABE与平面CDE所成角的余弦值为”.

4.在五棱锥P-ABCFE中，AB//CF,AE//BC,PELPF,ABLBC,PE=PF=AE=2,FC=BC=4,4B=6,平面

PM_L平面(1)求证：PELBF；

ft2V10

(2)若PM="B(4>0),且直线与平面PC尸所成角的正弦值为一打,求人的值.

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【解答】解：（1）证明：延长/£,C尸交于点。，因为/8〃CF,AE//BC,ABLBC,

所以四边形N2CD为矩形，所以DE=DF=2,所以NDFE=NCFB=45°,所以/瓦芭=90°,即2斤，斯，

因为平面平面NBCFE,PEFHABCFE=EF,BFu平面ABCFE,

所以2尸_1_平面PEF,因为PEu平面PEF,所以BF±PE,即PELBF；

（2）如图建系，所以/（0,0,0）,P（鱼，0,V2）,C（-2V2,2鱼，0）,4（3鱼，VL0）,8（0,4金，0）,

T->->T

所以PB=（—VL4VL-V2）,AP=（—2五,-V2,V2）,PM=兀PB=（—伍,4/4,-V2Z）,

所以4M=AP+PM=（—2夜一夜4,4企4一&,鱼（1-入）），因为FP=（VL0,鱼），尸。=（一2/，242,0）,

设平面PCF的一个法向量蔡=（久，y,z）,所以^z=°,

n-FC=-2A/2X+2y[2y—0

TT___

人,t~.\AM-n\2V104V2（1-A）

令X=l,贝Uy=l,Z=-1,所以71=（1,1,—1）,所以r；-==0-j=^D•?/pL=

14Mli71115,2（2+—）2+2（44-1）2+2（1-/1）2・75

5.已知：斜三棱柱45。-481。中，8历_L/C,441与面/8C所成角正切值为2,44i=瓜AB=BC=:AC=20,

点£为棱4cl的中点，且点£向平面A8C所作投影在△N3C内.

(1)求证：/C_L£3；(2)尸为棱441上一点，且二面角/-5C-尸为30°,求二厂的值.

【解答】解：(1)证明：斜三棱柱48C-/bBiCi中，BB/AC,441与面A8C所成角正切值为2,

441=*，48=8。=¥4。=2奁，点£为棱/1。的中点，且点£向平面N5C所作投影在△48C内,

取线段NC的中点连接EM,BM,：.AAi//CCi,44i=C。，...四边形441cle是平行四边形，

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：.AC//AiCi，AC^AiCi，,:E,M分别是4G,NC的中点，，四边形441EM是平行四边形，

：.EM//AAi,•:AAi〃BBi,：.EM//BBi,"：ACLBB\,：.AC±EM,'：AB=BC,M为NC的中点，：.BMLAC,

■:EMCBM=M,，/C_L平面BE",YEBu平面：.EBLAC.

(2)解：由(1)可知，NC_L平面£儿必历，过点£在平面BBiEM内作垂足为点。，

：/CJ_平面2囱£〃，£0u平面：.EO±AC,•:EOLBM,BMC\AC=M,BM、/Cu平面A8C,：.EOL

pn

平面A8C,；.直线44i与平面/8C所成的角为/EMO,；.tcmNEM。=湍=2,：.EO=2OM,

"：EM=VEO2+OM2=V5OM=V5,，(W=1,EO=2,

'：AB=BC=当AC=2或,：.AB=BC=2^2,AC=4,：.AB2+BC2^AC2,C.ABLBC,

1一

为/C的中点，.•.MB='/1C=2,以点。为坐标原点，在平面A8C内过。作而■的垂线为x轴，

。8所在直线为y轴，。£所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

X

则/(2,-1,0),B(0,1,0),M(0,-1,0),C(-2,-1,0),E(0,0,2),

ME=(0,1,2),则。41=。4+A4i=。4+ME=(2,-1,0)+(0,1,2)=(2,0,2),

...点出(2,0,2),同理点囱(0,2,2)、Ci(-2,0,2),

—»—)

设力F=4A41=4(0,1,2)=(0,X,24),其中0W入W1,

则CF=G4+4F=(4,0,0)+(0,A,2A)=(4,X,24),且CB=(2,2,0),

设平面3CF的法向量为蔡=(x,y,z),

则行@=2久+2y=。取-2入，得U=(23-2九4-4),

{m•CF=4x+Ay+2Az=0

平面43C的一个法向量为蔡=(0,0,1),,・,二面角力-5C-b为30°,

,II-----=整理得23入2+8入-16=0,

14/12+4/12+(4—4)2

876-4.8左一4

•・・0《人・1,解得2=

23AA]_23

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—>—>—>—>

6.如图1,已知正三角形4SC边长为4,其中4E=3EC,现沿着翻折，将点/翻折到点4处，使

得平面43c_L平面。8C,M为4c中点，如图2.

（1）求异面直线4〃与所成角的余弦值；（2）求平面42。与平面。夹角的余弦值.

—>—>—>—»

【解答】解：（1）正三角形/8C边长为4,其中4）=3DB,AE=3EC,现沿着OE翻折，

将点N翻折到点4处，使得平面平面O8C,M为4c中点，

-»—>—>—>

取3C的中点为。，的中点为。）连接40与。。1•.•正三角形NBC中，AD=3DB,AE=3EC,

■2

J.DE//BC,DE==rBC,OO'上DE,OO'±BC,;立体图形由翻折可得且：.A'C=A'B,

q

：。是BC的中点，：.A'O±BC,平面4BCL平面。3C,平面/'BCD平面DBC=3C,HOu平面42C,

，4O_L平面D3C,J.A'OLOO',

以点。为坐标原点，0C所在直线为x轴，。。'所在直线为y轴，0A'所在直线为Z轴，

建立空间直角坐标系，如图，

:正△NBC的边长为4,DE〃3C,D£=,8C,；.0C=0B=2,。。'=噂，连接4。，,在△/'OO'中，4。'=华,

在△40。，中，由勾股定理得。/'=］。。2+。幺2=逐，

.,.4（0,0,V6）,D（-|,字，0）,E（|,孚,0）,M（l,0,孚）,

Jc/3g77•、二，，1V3V6.二，、ATt-EM710

AD=（一亍,—，—76）,EM=（一—y-，—），-*cos<AD,EM>=—------=---,

27227->5

\A'D\-\EM\

..•异面直线所成角的取值范围为［0,今］,...异面直线4。与EN所成角的余弦值为

第14页（共24页）

z

B/1o

l3V33V3V6

(2)4(0,0,V6),5(-2,0,0),C(2,0,0),Dy,0),E(-,y,0),M(1,0,y),

TTT5V3V6

/.BC=(4,0,0),BA'=(2,0,V6),DE=(3,0,0),DM=(一，-—，—),

222

由题意得平面43C的一个法向量为益=(0，1,0),设平面DEM的法向量为蓝=(%,y,z),

(T1

DE-n—3%—0,tj-

则t｛nLf5右乃c'取z=l，得九=(0,V2,1),

DM•九二尹——5-y+、-z=0

<zzz

--'f~~

：.|cos<m,1>|=4叫=苧,由图知平面48c与平面DEM■夹角为锐角，，平面43C与平面DEM夹角的余

|m|-|n|3

弦值为手.

7.已知：斜三棱柱48C-//1C1中，ABi_L4C,44i与面N5C所成角正切值为2,=瓜AB=BC=^AC=2vL

点E为棱/1C1的中点，且点£向平面48c所作投影在△/3C内.

AF

(1)求证："八四⑵尸为棱.上一点，且二面角/—公尸为6。。,求再的值.

【解答】解：(1)证明：取线段/C的中点"，连接EM,BM,

在斜三棱柱4BC-/bBiG中，BBxLAC,441与面4BC所成角正切值为2,

441=*，48=8。=¥4。=2四，点£为棱小。的中点，且点E向平面N3C所作投影在△NBC内,

：.AAi//CCi,AAi=CCi,，四边形/NiCiC是平行四边形，：.AC//AiCi,AC=AiCi,

,:E,M分别是/Ci,/C的中点，，四边形441EN是平行四边形，〃4li,

"：AAi//BBi,：.EM//BB\,'：AC±BBi,：.ACLEM,

,:AB=BC,M为NC的中点，贝i]8A/_LNC,,:EMCBM=M,，/C_L平面BEN,

:£2u平面BEN,C.EBLAC.

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（2）由（1）知/C，平面过点E在平面内作EO_LBM,垂足为O,

：/C_L平面BS1E以内作£O_LBM,垂足为。，•.1C_L平面A81EM,£Ou平面8曲£赫，贝U£O_L4C,

•：EOLBM,BM^AC=M,；.EO_L平面4BC,，直线44i与平面48c所成角为NEMO,

.•.tanZWO=翱=2,则EO=2OM,EM=VEO2+OM2=VSOM=V5,解得0M=1,£0=2,

,:AB=BC=mAC=2a,贝Ij/8=8C=2a,AC=4,：.AB2+BC2=AC2,：.AB±BC,

为/C中点，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则/(2,-1,0),B(0,1,0),M(0,-1,0),C(-2,-1,0),E(0,0,2),

ME=(0,1,2),贝1J。41=0A+4&=0A+ME=(2,-1,0)+(0,1,2)=(2,0,2),

：.Ai(2,0,2),同理得3(0,2,2),Ci(-2,0,2),

—>—>—»

设力F==入(0,1,2)=(0,入，2人)，则尸(2,A-1,2入)，CF=(4,入，2人)，

'T-

m-CB=2x+2y=0,取皿入，则罚=(2入，-2入，A-4),

血.CF=4%+Ay+2Az=0

平面45。的法向量为蔡=(0,0,1),,・•二面角Z-BC-尸为60°,

・।I--、i\m-n\帆一4|整理得入入-

・・cos<m,n>\===1,52+2448=0,

|m|-|n|422+422+(2-4)2

..n<ri<r.到汨、876-12•AF8V6-12

.0W入W1,解得入=——F——...二7的值为—--

5AAi5

8.在图1的直角梯形45CD中，ZA=ZD=90°,AB=BC=2,QC=3,点E是。C边上靠近于点。的三等分点,

以为折痕将△3CE折起，使点C到达。的位置，且力的=声，如图2.（1）求证：平面8C1EL平面/5££＞；

（2）在棱DG上是否存在点尸，使得二面角尸-£8-Ci的大小为45°?若存在，求出线段。尸的长度，若不存

在说明理由.

图1图2

【解答】（1）证明：根据题意，由直角梯形边长48=3C=2,DC—3,可知NC=60°,ZABC—120°,

又点E是。C边上靠近于点。的三等分点，所以£C=2,可得△BCE为等边三角形，

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连接NC,AE,AC交BE于点、F,如图所示,

可得四边形/BCE为菱形，所以NC_L3£,即折起后CiF±BE,如图所示,

C,

易知49=的尸=再，又AC、=&,满足4尸+的92=力《，即//_LCF,

又AFCBE=F,AF,BEu平面N8瓦），所以CF_L平面N3EO,又因为CFu平面

所以平面3clE_L平面ABED；

->—>—>

（2）解：以。为坐标原点，分另1J以DA,DE为x,y轴，尸的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示:

则。（0,0,0）,4（®0,0）,8（遮,2,0）,E（0,1,0）,广（孚,1,0）,C式孚,j,遮）,

可得薪=（一百，-1,0）,应\=（孚,V3）,

假设存在点P满足题意，设防=4。4=（字九V3A）,AG[0,1],

所以P（李九|A,V3A）,则晶=（一字九1一射，-V3A）,由⑴可知/凡L平面3GE,

利用於=（—字，•!，0）,易得平面的一个法向量可取为蔡=（―1,V3,0）,

设平面P3E的一个法向量为蔡=（久，y,z）,

（n•BE=—V3x—y=0「

贝HT-AM,令％=入，可得y=一遍九z=X-1,

•PE=-2-Ax+（1—2"）y—V3Az=0

可得平面尸的一个法向量£=（3-V3A,A-1）,所以|cos〈茄，I〉|=」学吗==率,

\m\\n\275A2-2A+12

解得力=称或入=-1（舍），此时办=Q3，可得।而।=和心|=半，即线段DP的长度为日.

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9.刍薨(chumeng)是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤

无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”，如图，在刍薨/5CZ)斯中，四边形

ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于£足(1)求证：/8〃EF；(2)若平面COE_L平面ABCD,AB=4,EF=

2,ED=FC,AF=3V3,求平面4DE和平面34E1夹角的余弦值.

【解答】解：(1)证明：在正方形48。中，AB//DC,因为/8C平面CDE,COu平面CDE,所以/8〃平面CDE,

因为48u平面平面A4E和平面CDE交于ER所以48〃£尸；

(2)过点尸作尸DC于点O,过点。作OHLDC于点〃，连接/。，

因为平面CDE_L平面48cD,平面CDEC平面48cD=CD,尸Ou平面CDE,所以尸。J_平面48a),

因为O〃u平面/BCD,所以尸O_LO/f,

所以以。为坐标原点，OD,OH,O尸所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

因为AB//DC,所以EF〃DC,在四边形COE/中，CD=AB=4,EF=2,ED=FC,所以。C=l,OD

=3,在正方形4BCD中，48=4,所以4。=7AD?+OD2=川+32=5,

因为NO_LTO,AF=3V3,所以F。=<AF2-AO2=V27-25=V2,

所以H(0,4,0),D(3,0,0),A[3,4,0),E(2,0,V2),F(0,0,a),

所以以=(0,4,0),法=(-1,0,鱼)，族=(-1,-4,V2),薪=(2,0,0),

—LT

设平面的法向量为£=(x,y,z),则获_L百4,法，贝!]7)=句7=°,解得>=0,

、71•DE=—x+y/2z=0

—>—>—>T—>T

令z=l,得X=鱼，则n=(鱼，0,1),设平面34E1的法向量为m=(a,b,c),则mlHE,mlFE,

弓•当=—a—4b+伍=0,解得x=o,令Qi,得z=2a,则蔡=(0,1,2夜),

则

m-FE=2a=0

设平面ADE和平面所成角为仇贝『cosei=|cos(薪，苗|=磐3=3^=孚

|m||n|3XV39

2V6

所以平面ADE和平面BAE夹角的余弦值为丁.

9

10.如图，四边形/BCD是边长为2的菱形，ZABC=60°,四边形山C。为矩形，为=1,且平面刃C0_L平面/BCD

(1)求BP与平面/C0尸所成角的余弦值；(2)求平面尸3。与平面尸。。夹角的大小;

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p

【解答】解：(1)因为平面力CQ_L平面/BCD,必u平面以C0,且为_L/C,

平面/BCDn平面B4C0=/C,所以RIL平面又四边形48CD是边长为2的菱形，设/CnAD=。，则

ACVBD,建立空间直角坐标系，如图，

则8(国，0,0),P(0,-1,1),所以薪=(一百，-1,1),平面/C0尸的一个法向量是1=(1,0,0),

->―>_____

设3尸与平面NC0P所成的角为0,所以sin8=虺匕!=具=芈，所以cos。=%.

|BP卜|t|V5X133

—>—>

(2)。(—百，0,0),Q(0,1,1),所以8(2=(一百，L1),DQ=(遮,1,1),

_*__.7Lm-B—P=-Vr3~x—y+z=0

DP=(V3,—1,1),设平面依。的法向量为m=(x,y,z),则

、m•BQ=-V3x+y+z=0

令x=则丁=0,z=3,所以771=(8,0,3),设平面PZ)。的法向量为九=(%「yrzQ,

n-DP-V3%!yi+zi—0,令勺=也得|=(b，o,-3),所以|cos茄，n\=

则

DQ=届1+%+zi=0\m\-\n\2,3x243

7T

故平面PBQ与平面PDQ的夹角为9

11.如图，圆台。。2的轴截面为等腰梯形/i/CCi,AC=2AAi=2AiCi=4,8为底面圆周上异于C的点.

(1)若尸是线段3c的中点，求证：GP〃平面出/5；

(2)若/5=3C,设直线/为平面与平面CiCB的交线，点00，8Ci与平面Q/C所成角为a,求sina的最

大值.

【解答】证明：(1)取48中点H,连接出”，PH,如图，

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11

因为P为3c中点，所以PH||HC,PH=^AC,在等腰梯形N1/CC1中，A1C1||AC,A©=

所以坂〃出Cl,HP=AiCi,所以四边形NCiPH为平行四边形，

所以Ci尸〃又平面448,GPC平面所以GP〃平面

解：（2）延长44i,CG交于点O,作直线8。，则直线2。即为直线/,

;AB=BC,贝I]OTB±AC,

以直线OM,OiB,。2。分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

在等腰梯形/MCC1中，NC=244i=2/9=4,此梯形的高为九=/吊-("二：&)2=百,

1

因为&Ci=*4C,ArCr||AC,所以4cl为△CMC的中位线，

则。2(0,0,0),0(0,0,2百)，A(2,0,0),8(0,2,0),的(-1,0,V3),

—>—»—>—>

所以BCi=(—l,-2,g)，4B=(—2,2,0),BD=(0,-2,2遮)，O2A=(2,0,0),

设BQ=4B。，则力Q=4B+8Q=4B+4B0=(—2,2—24,2V3A),

设平面。/C的一个法向量为蔡=（尤，y,z）,

'->T

则一r八。2A=2x=0，令y=百九得£=(0,百人4—1),

、TI•AQ=-2%+(2-22)y+2V3Az=0

TTf—LL

则有：s.=苑)|=i1小回+加-1)|=吗h,

\n\\BCr\J(V3A)2+(2-1)2XJ(-1)2+(-2)2+(V3)2