2023-2024学年河南中考四模数学试题含解析

2023-2024学年河南聚焦中考四模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（）

2.安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（）

A.3804.2X103B.380.42xl04C.3.8042xl06D.3.8042xl05

3.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

单

4.已知圆内接正三角形的面积为36，则边心距是（

D,更

A.2B.1C.73

5.某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%,

结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x辆，则根据题意可列方程为（）

1600400016004000-1600

A.-------+—18B.--1-----—18

X(1+20%)%X(1+20%)%

16004000-160040004000-1600

C.+—18D.-------11……—18

x20%%X(l+20%)x

6.如图是一个放置在水平桌面的锥形瓶，它的俯视图是（）

A.°AD.，

7.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

A.等边三角形B.菱形C.平行四边形D.正五边形

8.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）

A.H

9.有理数a、b在数轴上的位置如图所示,()

ab

■!，♦」-------1--------1--------L

-3-2-10123

A.a+b>0B.ab>0C.a-b<oD.a4-b>0

10.如图所示的图形为四位同学画的数轴,其中正确的是（）

A.B・-1

123450123

C.D。-2-1012

-1-2012

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在△ABC中，NACB=90。，点。是C3边上一点，过点。作OELA3于点E,点尸是AO的中点，连结

EF、FC、CE.若AD=2,ZCFE=90°,贝！|CE=

E

cDB

12.一副直角三角板叠放如图所示，现将含45。角的三角板固定不动，把含30。角的三角板绕直角顶点沿逆时针方向匀

速旋转一周，第一秒旋转5。，第二秒旋转10。，第三秒旋转5。，第四秒旋转10。，…按此规律，当两块三角板的斜边平

行时，则三角板旋转运动的时间为.

函数y=Y亘中自变量x的取值范围是

13.

X-1

*ci—b

14.如果a+b=2,那么代数式（a-乙）-——的值是.

aa

15.已知（x・ay）（x+ay）=x2—16y2,那么a=

tri_1

16.若反比例函数y=——的图象在每一个象限中，y随着上的增大而减小，则机的取值范围是.

x

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹

果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元.设

x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元,

求出y与x的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？

18.（8分）定义：任意两个数a,b,按规则c="+a6-。+7扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“如意数”.若a

=2,b--1,直接写出a,》的"如意数"c；如果a=3+/n,b—m-2,试说明“如意数"c为非负数.

19.（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方

图的一部分.

请根据图表信息回答下列问题：

视力频数（人）频率

4.0<x<4.3200.1

4.3<x<4.6400.2

4.6<x<4.9700.35

4.9<x<5.2a0.3

5.2<x<5.510b

（1）本次调查的样本为,样本容量为;在频数分布表中，«=,b=,并将频数分布直

方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？

（每组数据含最小值，不含最大值）

20.（8分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下:

甲7.29.349.6

乙9.7

根据上面的数据，将下表补充完整:

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

甲101215

乙——————

（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0〜7.9万元为良好，6.0〜6.9万元为合格，6.0万元以下为不合

格）

两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

结论：

人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个；

（2）可以推断出____业务员的销售业绩好，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

21.（8分）2019年1月，温州轨道交通S1线正式运营，S1线有以下4种购票方式：

A.二维码过闸B.现金购票C.市名卡过闸D.银联闪付

某区居艮购11方式

磨形筑计图

某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已

知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A,B,C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一

种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.

22.（10分）问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD的中点，贝!J/AEBZACB（填

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，NAPB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的

距离BD=11.6米.如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果，最

好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离.

BE

\_______L

DF

图②图③

23.（12分）已知平行四边形.必C「.

尺规作图：作」1的平分线交直线3c.于点/，交DC延长线于点

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；在（1）的条件下，求证：=

24.阅读

（1）阅读理解:

图①图②图③

如图①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到

△EBD）,把AB,AC,2AD集中在4ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.

中线AD的取值范围是；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DELDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:

BE+CF>EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，NB+ND=180。，CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点作一个70。角，角的两边分别交

AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

试题分析：从上面看是一行3个正方形.

故选A

考点:三视图

2、C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lS|a|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移

动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】

V3804.2千=3804200,

/.3804200=3.8042xl06；

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|<10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

3、D

【解析】

从正面看，有2层，3歹U,左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，据此解答即可.

【详解】

•••从正面看，有2层，3歹!],左侧一列有1层，中间一列有2层，右侧一列有一层，

.••D是该几何体的主视图.

故选D.

【点睛】

本题考查三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看

到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

4、B

【解析】

根据题意画出图形，连接4。并延长交3c于点O,则设。。=x,由三角形重心的性质得AZ>=3x,利用锐

角三角函数表示出30的长，由垂径定理表示出5c的长，然后根据面积法解答即可.

【详解】

如图，

A

连接4。并延长交3C于点。，则

设OD=x,贝！|AD=3x,

,BD

VtanZBAZ)=-----,

AD

:.BD-tan300*AZ>=百x,

：.BC=2BD=2y/3x,

"：~BCAD=3y/3,

2

1「「

/.5x2.3xx3x=3y/3,

.\x=l

所以该圆的内接正三边形的边心距为1,

故选B.

【点睛】

本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确

题意，求出相应的图形的边心距.

5、B

【解析】

根据前后的时间和是18天，可以列出方程.

【详解】

16004000-16001O

若设原来每天生产自行车X辆，根据前后的时间和是18天，可以列出方程一^+(1+20%/=18.

故选B

【点睛】

本题考核知识点：分式方程的应用.解题关键点：根据时间关系，列出分式方程.

6、B

【解析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

7、B

【解析】

在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内一

个图形绕某个点旋转180。，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别判断各选项即可

解答.

【详解】

解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键.

8、B

【解析】

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】

解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

9、C

【解析】

利用数轴先判断出b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可.

【详解】

解：由服》在数轴上的位置可知：a<l,b>l,且同>叫，

'.a+b<l,ab<l,a-b<l,a-^b<l.

故选：C.

10、D

【解析】

根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.

【详解】

A选项图中无原点，故错误；

B选项图中单位长度不统一，故错误；

C选项图中无正方向，故错误；

D选项图形包含数轴三要素，故正确；

故选D.

【点睛】

本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、夜

【解析】

根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可.

【详解】

解：/ACB=90°,点尸是40的中点，

:.CF=-AD=1

2

DEIAB

ZAED=90°

:.EF=-AD=l

2

CF=EF

NCFE=90°.

CE=VCF2+EF2=Vl2+12=石

故答案为：V2.

【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键.

12、14s或38s.

【解析】

试题解析：分两种情况进行讨论：

(1)如图:

D

BC//DE,

ZDFA=ZB=60,

ZFAE=6Q-45=15.

旋转的度数为：90+15=105.

每两秒旋转15,

105+15=7.

7x2=145.

（2）如图:

BC//DE,

ZAFB==45,

:.ZCAF=60-45=15.

.\ZCAE=90-15=75.

旋转的度数为：360-75=285.

每两秒旋转15,

2854-15=19.

19x2=385.

故答案为14s或38s.

1)

13、x>-----且"1

2

【解析】

2x+l>0

试题解析：根据题意得：｛,八

x-1*0

解得：x>-,且*1.

2

故答案为：xN-7且x#L

2

14、2

【解析】

分析：根据分式的运算法则即可求出答案.

详解：当a+b=2时，

aa-b

—-(-a---+--b--)-(--a--—---b-)-•----a----

aa-b

=a+b

=2

故答案为：2

点睛：本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

15、±4

【解析】

根据平方差公式展开左边即可得出答案.

【详解】

(x-ay)(x+ay)=x2-(ay)2=X2-cTy~

又(x-ay)(x+ay)=x，-I6y2

a2=16

解得：a=±4

故答案为：±4.

【点睛】

本题考查的平方差公式：a2-b2^(a+b\a-b).

16、m>l

【解析】

•.•反比例函数y=2匚的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，

X

:.m-l>0,

解得：m>l,

故答案为m>l.

三、解答题(共8题，共72分)

17、((D)物=4x+；(2)y=—5/+80(卜+40000；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大

利润，最大利润为12500元.

【解析】

(1)根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x天

后每千克苹果的价格为2元与x的函数关系；

(2)根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；

(3)利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.

【详解】

(1)根据题意知，p=0.1x+4;

(2)y=(0.1x+4)(10000-50%)=-5x2+800%+40000.

(3)w=y-300x-4x10000

=—5%2+500x

=-5(x-50)2+12500

，当x=50时，最大利润12500元，

答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出卬与x的函数关系是解题关键.

18、(1)4；(2)详见解析.

【解析】

(1)本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果

(2)根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.

【详解】

解：(1),:a=2,b=-1

'.c=b2+ab-a+7

=1+(-2)-2+7

=4

(2)'."a—3+m,b—m-2

^c=b2+ab-a+7

—(nt-2)2+(3+机)(m-2)-(3+z/i)+7

=2m2-4m+2

—2Cm-1)2

(wi-1)2>0

，“如意数”c为非负数

【点睛】

本题考查了因式分解，完全平方式2的非负性，难度不大.

19、200名初中毕业生的视力情况200600.05

【解析】

(1)根据视力在4.0<x<4.3范围内的频数除以频率即可求得样本容量；

(2)根据样本容量，根据其对应的已知频率或频数即可求得a,b的值;

(3)求出样本中视力正常所占百分比乘以5000即可得解.

【详解】

(1)根据题意得：204-0.1=200,即本次调查的样本容量为200,

故答案为200；

(2)a=200x0.3=60,b=10+200=0.05,

初中毕业生视力抽样调箕须数分布直方图

补全频数分布图，如图所示,

(每组数据含最小值，不含最大值)

故答案为60,0.05；

JJ-.Jr-,pnz；zi=t70+60+10,

(3)根据题意得：5000x-----------------=3500(人)，

200

则全区初中毕业生中视力正常的学生有估计有3500人.

20、填表见解析；(1)6；(2)甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【解析】

(1)月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题，

(2)根据中位数和平均数即可解题.

【详解】

解：如图,

销售额

数量

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

X

人员

甲101215

乙013024

(1)估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；

(2)可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

故答案为0,1,3,0,2,4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【点睛】

本题考查了统计的相关知识，众数，平均数的应用，属于简单题，将图表信息转换成有用信息是解题关键.

21、(1)600人(2)-

3

【解析】

(1)计算方式A的扇形圆心角占D的圆心角的分率，然后用方式D的人数乘这个分数即为方式A的人数；

(2)列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两

名同学恰好选中同一种购票方式的概率.

【详解】

120

（1）200x=600（人），,最喜欢方式A的有600人

（JoU—9U—11U）

(2)列表法:

ABC

AA,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

树状法:

V：

%

C

P(同一种购票方式)=-

3

【点睛】

本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题

的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22、(1)>；(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由见解析；(3)4丽米.

【解析】

(1)过点E作EFLA5于点F,由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：AAE尸是等腰直角三角形，易证NAE3=90。,

而NAC3V90。，由此可以比较NAE3与NAC5的大小

(2)假设尸为CZ>的中点，作△AP3的外接圆。0,则此时C。切。。于P,在上取任意异于尸点的点E,连接

AE,与。。交于点F,连接BE、BF；由NAF3是△Ebb的外角，^ZAFB>ZAEB,且NAbB与NAP5均为。O

中弧AB所对的角，贝！INA歹即可判断NAP5与NAEB的大小关系，即可得点P位于何处时，NAPB最大;

(3)过点E作CE〃。凡交AO于点C,作A5的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点0,使0A=CQ,

以点。为圆心，08为半径作圆，则。。切CE于点G,连接0G,并延长交O歹于点P,连接。4,再利用勾股定理

以及长度关系即可得解.

【详解】

解：(1)ZAEB>ZACB,理由如下：

如图1,过点E作EFLAB于点F,

:在矩形ABCD中，AB=2AD,E为CD中点，

二四边形ADEF是正方形，

/.ZAEF=45°,

同理，ZBEF=45°,

.\ZAEB=90o.

而在直角AABC中，ZABC=90°,

.\ZACB<90o,

/.ZAEB>ZACB.

故答案为：>;

(2)当点P位于CD的中点时，NAPB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图2,作AAPB的外接圆。O,则此时CD切。O于点P,

图2

在CD上取任意异于P点的点E,连接AE,与。O交于点F,连接BE,BF,

VZAFB是小EFB的外角，

.\ZAFB>ZAEB,

VZAFB=ZAPB,

/.ZAPB>ZAEB,

故点P位于CD的中点时，NAPB最大：

(3)如图3,过点E作CE〃DF交AD于点C,作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q,并在垂直平分线上取点O,

使OA=CQ,

A

以点O为圆心，OA长为半径作圆，则。O切CE于点G,连接OG,并延长交DF于点P,此时点P即为小刚所站的

位置,

由题意知DP=OQ=，0A2-AQ'

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+-^AB-CD,

BD=11.6米，2AB=3米，CD=EF=1.6米,

2

.*.OA=11.6+3-1.6=13米，

•*-DP=V132-32=4-710^,

即小刚与大楼AD之间的距离为4阮米时看广告牌效果最好.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾

股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.

23、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

试题分析：(1)作/BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F即可；

(2)先根据平行四边形的性质得出AB〃DC,