2024届高考数学冲刺模拟卷（B卷）（含答案）

2024届高考数学冲刺模拟卷06（B卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x=/+J%-2},B={x|2x2-7x-9<0},则图中阴影部分表示的集合为（）

4

2.双曲线y=—的禺心率是（）

x

A.—B.1C.J2D.2

2

3.设狐〃为两条直线，a,£为两个平面，若则（）

A.若〃尸，则机B.若则

C.若m_Lcz,则根D.若mua,nu0,则

4.已知圆C：（x+l）2+（y-l）2=4截直线/：>=公+2所得弦的长度为2忘，则实数。的值是（）

A.2B.-6C.-1D.-4

5.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（）

A.336种B.284种C.264种D.186种

6.已知cos2a—cos2/7=—L，sin（a—y0）=；,贝|cos（2a+2£）=（）

1

7.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=26,平面ABD_L平面BCD,

则该球的表面积是()

A.100KB.40TIC.20兀D.16兀

8.抛物线£:丁=为的焦点为尸，P为其准线上任意一点，过点尸作E的两条切线，切点为AB(点A与P

在抛物线同侧)，则尸A尸尸+PAP2的最小值为()

1

A.1B.2C.3D.-

4

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量加(=(1,2,4),3e=(0,-2,1),则()

A.BABC=0

B.C4在CB上的投影向量为(°，2，T)

C.若向量BE=(l,0,6),则点E在平面A3C内

D.向量|乎，咚］是与BC平行的一个单位向量

10.已知复数z=cose+isin6(6eR),则()

A.目=1B.|z2|=|z|2

C.z-z=1D.|z+l|>2

11.(多选题)定义在R上的函数AM和g(x),函数“X)的图象关于直线x=l对称，且满足

/(x)+g(x+1)=2,g(A-)-/(I-x)=1,若g(2)=2,则()

A."))=1B.函数〃尤)的图象是中心对称图形

C./(2024)=1D.g(2024)=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第63百分位数是4.5,则实数x的最小值是.

13.函数"x)=sin(sq］(。>0)的图象过点［毛,。)且在区间卜;胃上单调递增，则0的值为,

14.已知抛物线y?=2px的焦点为点尸，过点厂的直线/交抛物线于点A,8两点，交抛物线的准线于点

且=b，MB=juBF,贝!JX+〃=

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

cosA

15.已知锐角三角形A3C的内角的对边分别为a,b,c,tanB+tanC=^

cosBcosC

⑴求A

(2)若°=遥，求人+c的取值范围.

16.己知函数=+iir-lnx,aeR.

⑴若函数y=/(x)-2x2在(0,2］上单调递减，求。的取值范围:

(2)若直线丁=就与〃x)的图象相切，求。的值.

RFPF

17.如图，在四棱锥P-ABS中，底面ABCD是平行四边形，E、尸分别为AB、PD上的点，且卷+尧=1•

(1)证明：AB〃平面PCE；

(2)若尸£)，平面ABC。，E为AB的中点，PD=AD=CD=2,ABAD=60,求二面角尸—CE—尸的正切值.

18.动圆C与圆G：(x+2/+V=50和圆G：(x-2)2+;/=2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.

3

⑴求E的方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为At2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则曲线上一点

（%,%）处的切线方程为：Ax0x+B（xoy+yox）+Cyoy+D（xo+x）+E（yo+y）+F=0,试运用该性质解决以下问

题：点尸为直线x=8上一点（P不在％轴上），过点P作E的两条切线PAPB,切点分别为43.

（i）证明：直线AB过定点；

（ii）点A关于x轴的对称点为A,连接交无轴于点设AC2M,8aM的面积分别为廿足，求图7?1

的最大值.

19.对于数列记Aa,=a,用-%,称数列｛A%｝为数列｛七｝的一阶差分数列；记

解%=八（恒,）=必+「阳，称数列｛1叫为数列小｝的二阶差分数列，…，一般地，对于％eN,记

心”“规定：a％=a小a”=Na”,称｛屋氏｝为数列｛q｝的左阶差分数列.对于数

列｛为｝,如果屋氏=”片0（d为常数），则称数列｛4｝为左阶等差数列.

⑴数列是否为左阶等差数列，如果是，求左值，如果不是，请说明为什么？

⑵请用外,A“I，AZ，A%,..表示生,&，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；

⑶请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列｛q｝为左阶等差数列，则其前〃项和为

S”=C；%++C：A2«,++；

⑷某同学用大小一样的球堆积了一个"正三棱锥"，巧合用了2024个球.第1层有1个球，第2层有3个，第

3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形"，从第2层起，每层"正三角形"的"边"都比上一层的"边”多工个球,

问：这位同学共堆积了多少层？

4

2024届高考数学冲刺模拟卷06（B卷）

答案解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=口以=/+〃^},B={X|2X2-7^-9<0},则图中阴影部分表示的集合为（）

9

A.{x\-l<x<-}B.}.Y|-1<X<2}

C.{x|尤>-1}D.{x|x^|）

【答案】D

【分析】首先化简集合，根据交集、补集定义可得.

【详解】依题意，X=Z+7F^2,由/一220,得d2,

又尤=/+〃^5在［2,+8）上单调递增，所以x»2,

9

gpA={.r|%>2},B={.x|（2x-9）（.x+l）<O}={x|-l<x<-},

则Ac3=］尤|2Wx<1},图中阴影部分表示的集合是集合A中AcB的补集，

9

故阴影部分表示的集合为{xIX2；},

2

故选：D.

4

2.双曲线y=—的离心率是（）

x

J?r-

A.—B.1C.V2D.2

2

【答案】C

【分析】利用反比例函数的性质，结合双曲线渐近线的性质即可得解.

4

【详解】由反比例函数的性质可知，两坐标轴是双曲线y=—的渐近线，

X

所以这两渐近线的夹角为90°,

4

将双曲线y=?顺时针旋转45。后，该双曲线的焦点落在X轴上，

5

b

同时，其中一条渐近线的倾斜角为45。，所以左=—=tan45o=l,

3.设“”为两条直线，口,〃为两个平面，若则（）

A.若加///〃〃£,则B.若m，a,nl1{3,则m

C.若，则机_L〃D.若mua,nu。,则机

【答案】C

【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若a，/3宣mlla,nll/3,则〃，与“平行、相交或异面，所以A不正确;

对于B中，若且〃力，则加与〃平行、相交或异面，所以B不正确；

对于C中，若ar_L/?且〃?_L%〃_1_尸，

如图所示，取点A,过点A,作则AS〃私AC//”，

设aP=l,可得AB_L/,AC_U,因为ABcAC=A,且AB,ACu平面ARDC,

所以平面ABOC,又因为BQCDu平面ABDC,所以/，3£>,/，C£）,

所以N3DC为a与夕所成角的平面角，由（z_L£,可得/BZ）C=90,即BD_LCD,

所以四边形ABAC为矩形，所以AB1AC,所以机，〃，所以C正确；

对于D中，若（z_L尸且7"ua,wu£,则加与〃平行、相交或异面，所以D不正确.

故选：C.

4.已知圆C:（x+l）2+（y-l）2=4截直线/:y=6+2所得弦的长度为2拒，则实数a的值是（）

A.2B.-6C.-1D.-4

【答案】C

【分析】确定圆心到直线的距离为d=夜，根据点到直线的距离公式计算即可.

【详解】圆的标准方程为（X+1）2+（>-1）2=4,圆心为（-1,1）,半径r=2,

弦的长度为2后，故圆心到直线的距离d=色2一（度『=夜，

6

|-cz-l+2|

圆心到直线ax-y+2=0的距离d==母,所以。=-1,

+1

故选：C.

5.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有()

A.336种B.284种C.264种D.186种

【答案】A

【分析】根据题意考虑两端的位置排的是男生或女生的情况，结合女同学不相邻，求出各种情况的排法数，根

据分类计数加法原理，即可求得答案.

【详解】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，

共有A；A：=2x4x3x2x1=48种排法；

当有1名女生排在一端，另一端排男生时，

共有2A；A；A；A；=2x2x3x3x3x2xl=216种排法；

当男生排在两端时，共有C；A；A；A；=3x2x2x3x2=72种排法；

故不同的排法共有48+216+72=336(种)，

故选：A

6.已知cos2(z-cos2£=-，,sin(tt-£)=；,贝!Jcos(2a+2y0)=()

7722

A.一一B.-C.——D.-

9999

【答案】B

【分析】根据条件,利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到sin(a+/?)sin(a-0=、，从而得到sin(a+/?)=；,

即可求出结果.

【详解】因为cos2a-cos2/=1+一1+=1.(cos2a-cos2Q)=一sin(a+P)sin(a-〃)二一看，

得到sin(a+P)sin(a-0=\,又sin(a—/7)=；,所以sin(a+0=；,

27

所以cos(2。+2/?)=1-2sin2(cr+尸)=1——,

故选：B.

7.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=26平面平面5CZ),

则该球的表面积是()

A.100兀B.40TIC.20兀D.16兀

7

【答案】C

【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.

【详解】过三角形的中心E作平面的垂线，

过三角形BCD的中心厂作平面BCD的垂线，

两垂线交于点。，连接。。，

依据题中条件可知，。为四面体43。0的外接球球心，

因为AB=BC=CD=DA=BD=26,

所以。尸=2,OP=1,

则OD=\IOF2+FD2=旧，

即外接球半径为石，

则该球的表面积为4兀（如）=20兀，

故选：C.

8.抛物线的焦点为尸，P为其准线上任意一点，过点尸作E的两条切线，切点为AB（点、A与P

在抛物线同侧），则尸APk+PAP2的最小值为（）

1

A.1B.2C.3D.-

4

【答案】D

【分析】根据过点尸的直线与抛物线相切，得到PAPB,利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限,

然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得尸一：，4一小］得

PAPF+PAPB=PAPF=-,最后利用基本不等式求最值.

2

8

y

由V=支，可知抛物线焦点尸2,o),准线方程为》=-；，

因为尸为其准线上任意一点，设

设过点P且与抛物线相切的直线为：y—=左，+(1,①

y_t=k\x'\—|

由＜I4J得：4ky-4y+Z+4%=0,

所以A=16—4x4左(左+4。=0,整理得，k2+4kt-l=0,②

所以怎A，怎B是方程②的两根，

所以3ra=T，故

所以尸4PB=0，

利用抛物线对称性，不妨设切点为A在第一象限，坐标为

由丁=工得丫=«,所以y'=，

,i

所以直线PA的斜率kpA=-T-r=,

代入①可得切线PA的方程为:

又因为点Qo,在")在直线m上,

9

=包+'^__包=直,+1+幺2区—+-=-+-^-

2864/4464/8\464x08884,

厮111

当且仅当寸==，即时等号成立，所以PAPF+PAPB的最小值为:

464x044

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量弱=(1,2,4),Bd=(O,-2,1),则()

A.BABC=O

B.C4在C8上的投影向量为(°，2，T)

C.若向量BE=(l,0,6),则点E在平面ABC内

D.向量|乎是与BC平行的一个单位向量

【答案】ABD

【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B.

【详解】由已知可得A4=(l,2,4),3C=(0,-2,l),2A-3C=0-4+4=0,A正确；

由于区4LBC,所以。1在C2上的投影向量即为C8=(0,2,-1),B正确;

若丽在平面ABC内,则存在实数无，》使得BE=xBA+yBC,而BE=(1,0,6),BA=(1,2,4),BC=(0,-2,1),

1=x

所以<0=2x-2y,

6=4尤+y

上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误;

故卜鼻u且卜+卜华：

由BC=(0,-2,1)君丫1

所以D正确.

10

故选：ABD.

10.已知复数2=85夕+15111夕(。£2,则()

A.|z|=lB.|z2|=|z|2

C.z巨=1D.|z+l|>2

【答案】ABC

【分析】根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A,根据复数乘方运算即可判断B,根据复数乘法代

数运算即可判断C,根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D.

【详解】对于A,|z|=A/COS20+sin20=1,A正确；

对B,因为复数z=cose+isin6,则z°=cos?夕―sin?6+2isinecos9=cos26+isin26,

则同={cos?26+sin?26=1,而同-=Jcos？6+sin28=1,贝"卜耳=忖~,故B正确；

对C,z-z=(cos0+isin0)-(cos0-isin6*)=cos20+sin2Q-\,C正确；

对D,由题意得z+l=(cos8+l)+isin0,

z+l|=^(cos0+l)2+sin26=Jcos2l+sin：9+l+2cos9=j2+2cos6,

因为cos，e则当j2+2cos8e[0,2],故D错误.

故选：ABC.

11.(多选题)定义在R上的函数f(x)和g(x),函数/(x)的图象关于直线x=l对称，且满足

/(x)+g(x+1)=2,g(^)-/(I-X)=1,若g(2)=2,则()

A./(0)=1B.函数/(x)的图象是中心对称图形

C./(2024)=1D.g(2024)=2

【答案】BC

【分析】对于B,由题意得了(l+x)=/(l-无)，结合g(x)=2T(x_l),g(x)=/(l-x)+l即可验证；对于A,在

/(尤-1)+/(1-尤)=1中，令x=l即可验证；对于D,首先得出g(x)的周期为4,进一步g(x)+g(2-x)=3,从而

令x=0结合g(2)=2,得g(0),结合周期性即可验证；对于D,取特殊值，由题意得g(2025)=g(l)=q,结合

7(2024)+g(2025)=2即可验算.

【详解】由/⑴的图象关于直线x=l对称得到/(I+x)=/(I-X),

再由+1)=2-/(x),g(x)=f(l-x)+l,

即g(x)=2-f(x-I),g(x)=f(l-x)+l,

11

得到了(%-D+/(l-%)=1,故fM的图象关于(0,；)对称，故B正确；

令x=l,得到/(0)=；,故A不正确，

由/(x)+g(x+1)=2,g(x)-/(I-x)=1,

/(x+l)+g(%+2)=2,g(x)-f(l-x)=l,即g(%+2)+g(x)=3,

.•.g(%+4)+g(x+2)=3,.•.g(%+4)=g(x),

故得到g«的周期为4,

又/(x)+g(x+D=2,g(l—x)—/(x)=l,即g(x+l)+g(l—%)=3,即g(x)+g(2-x)=3,

令％=0,则g(0)+g(2)=3,故g(0)=l,g(2024)=g(0)=l,故D错误；

33

令x=l,贝Ig⑴+g(-l+2)=3,故g(l)=~,所以g(2025)=g(l)=-,

令尤=2024,贝l]/(2024)+g(2025)=2,故/(2024)=；,所以C正确.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数/⑺关于直线x=。轴对称，则/(x)=/(2a-x),若函数/(元)关于点(。力)中心对称，

则/(0=2尻f(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+o)=-/(x),或/(x+a)=工=，或/5+。)=一工，可知函数/⑴的周期为2a.

fM/(x)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第63百分位数是4.5,则实数尤的最小值是.

9

【答案】4.5/1

【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.

【详解】由题意可知这组数据一个有8个，

因为63%x8=5.04,

所以这组数据第63百分位数是这组数据从小到大排列，第6个数据，

因为这组数据第63百分位数是4.5,

所以实数x的最小值是4.5,

故答案为：4.5

13.函数=(。＞0)的图象过点[费,0)且在区间,右3上单调递增，则/的值为.

3

【答案】iA75

4

12

393

【分析】根据函数图象过的点，求出。再结合函数的单调性推出。用，二者联立即可确定

答案.

【详解】由题意知函数〃x）=sin,xq[（。＞0）的图象过点]^,。

.（4兀@兀）rh[4兀G兀777

故sin[——―]J=°，则———]=祈次£Z,

39

故^co——I—k,kGZ,

44

am兀、7ic,

zX----------------------->-----------F2KJI

又“X）在区间9上单调递增，贝U932，丘Z,

''199；。兀兀，兀。7

---------<—+2kn

[932

f3

3G——18*

239

解得<1,,keZ,结合。>0,①=二七k,keZ,

人”+18%44

[2

3

可得k=0时，。=一，

4

3

故答案为：：

4

14.已知抛物线V=2px的焦点为点/，过点b的直线/交抛物线于点A,8两点，交抛物线的准线于点M,

S.MA=AAF.MB=〃BF,贝！]%+〃=

【答案】0

【分析】联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到"-4%3=0,再利用平行线分线段成比例，将长度比转

换为坐标关系，从而得解.

【详解】依题意，抛物线y?=2px的焦点产坐标为，,04

易知直线/斜率存在，设直线方程为：y=（x-£|,4（占,%）,8（%,%）,

y2=4x

联立（消去y,得4左2%2一（4/+16）%+左2〃2=。

[1仁J

易知A〉。，则玉工2=勺=-=£，即"2一4玉%2=。，

过A作A。垂直于1轴，过M作平行于X轴，两者交于。，

过5作踮垂直于无轴，交工轴于尸，根据对称性，示意图如下，

13

,一MA\MQ\玉+5

因为A£4=AAF，所以一％=--Z-=।r=---------

AF\FG\-P

X1l2

P

MBHP々x十+2

因为=所以4

BF-PFP__

2~x2

pp

XH----X9H----2(-4玉尤2)

则X+〃=一i2+-----2

P(P-2%)(p-2%)

X-P

1---x?

222

故答案为：0.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为(%%),(%，%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意A的判断;

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为再+无2、(或%+%、％%)的形式;

(5)代入韦达定理求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知锐角三角形ABC的内角A2,C的对边分别为。，b,c,tan3+tanC=＞侬4

cosBcosC

⑴求A;

(2)若“=而，求6+c的取值范围.

【答案】⑴A=W

(2)(372,276]

14

【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算;

（2）利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算.

.、小々刀//［、•.”-V3cosA日门sin5sinC<3cosA

【详角军】（1）•tanB+tanC=------------，即-----+-----=-........,

cosBcosCcos3cosCcosBcosC

由于8C,贝"os5wO,cosCw。，gpcosBcosC^O,

两边同乘以cosBcosC可得：V3cosA=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA,

则tanA=6,且解得A=g.

（2）由题意及正弦定理二=，=二=20，得6=2夜sinB，c=2应sinC，

smBsmCsinA

则人+c=2^/2sinB+20sinC=242sinB+2夜sin（A+B）

=2A/2sinB+V2sinB+acosB=3叵sinB+^6cosB=2A/6sin［3+《］,

由（1）可知A=g,且，ABC为锐角三角形，

0<B<-

则2，解得

K,62

一<A+5D<兀

12

mi兀r»兀2兀..1.（n兀71）

则5<2+7<不，所以+

61到

故b+c的取值范围是（30,2#］.

16.己知函数〃力=%2+以一Inx,aeR.

⑴若函数y=〃x）-2f在（0,2］上单调递减，求°的取值范围:

（2）若直线丁=蓝与〃x）的图象相切，求。的值.

【答案】⑴依,2回

（2）e-l

【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求

解；

（2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.

【详解】（1）记y=/（x）—2犬2=G；—inx一/二8⑺心⑺在（o,2］上单调递减，

15

gf=Q------2%W。对VxG(0,2］怛成立,

二.Q«12xH---|9而2xH—22,2x--=2s/2,

minXX

当且仅当2尤=1即工=正时，等号成立，

x2

所以当天=正时，2x+，取得最小值为2应.

2x

/.a<272

（2）设直线y=E与/⑴的图象相切于p（%,X；+”-ln/o）

2x0+a-----=e,①1

由题意可知n〃=eH------2x0

XQ+6/x0-lnx0=ex0,(2)''

1)

代入②n*+e+-----2xx-lnx=ex,

I%0；000

-ln.x0=0,左边式子关于不单调递减且％=1时，左边=0,；.%=1

〃=e+l—2=e—1.

BFPF

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面43。是平行四边形，E、尸分别为A3、PD上的点，M—+—=1.

⑵若依），平面ABC。，E为A3的中点，PD=AD=CD=2,ZBAD=60,求二面角尸-CE—尸的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵身

【分析】（1）在。上取一点G,使得CG=AE,连接AG、FG,证明出平面AFG〃平面PCE,再利用面面

16

平行的性质可证得结论成立;

（2）推导出DE1CD,以点。为坐标原点，DE、DC、DP所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）证明：如图，在CD上取一点G,使得CG=AE,连接AG、FG,

BEPF,

因为----1------=1,且ABC。是平行四边形,

CDPD

PFBECGj

所以而=1-——,WFGIIPC,

CDCD

又因为PCu平面PCE,尸Gcz平面尸CE,所以EG〃平面PCE,

因为四边形ABC。是平行四边形，则AE〃CG且CG=AE,

所以四边形AECG是平行四边形，敬AGHEC,

又因为ECu平面尸CE,AGa平面尸CE,所以AG〃平面PCE,

因为AGcFG=G,且FG、AGu平面APG,所以平面AFG〃平面PCE,

因为AFu平面A尸G,所以A尸〃平面PCE.

（2）解：当点E为AB的中点，PD_L平面ABCD,PD=AD=CD,NBA。=60时，

连接8。，则为等边三角形，所以，DEJ.CD,

以点。为坐标原点，DE、DC、DP所在直线分别为无、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则C（0,2,0）、£（V3,0,0）,F（0,0,1）,P（0,0,2）,

所以CE=（若,-2,0）,FE=（^,0-l）,P£=（V3,0,-2）,

设平面FCE与平面PCE的法向量分别为m=（占,%,4）,〃=（孙力，Z2），

m-CE=石%-2%=0

则取占=2,可得加=（2,道,2月），

m-FE='J3x1-z（=0

n-PE=Kx、-2z,=0

取4=2,可得n=倒,6,6卜

n-CE=下＞x,—2y2=0

17

m-n1313

所以，C0S〃2,〃=^^

H•同Vi9xVio-7190

169721

贝!Jsinm,n-Jl-cos.m,血-

190一A/190°

sinm,n>/21J190\/21

所以,tanm,n=------=—---x-----=----,

cosm,nJ/1901313

由图可知，二面角夕-CE-尸为锐角，故二面角尸—CE—尸的正切值为叵

13

18.动圆C与圆G：（x+2>+V=50和圆G：。-2）2+y?=2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.

⑴求E的方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为耿v+Cy2+2Dx+2及y+F=0,则曲线上一点

（七,%）处的切线方程为：心工+3（%丫+%*）+.丫+。小+2+矶％+y）+尸=0,试运用该性质解决以下问

题：点尸为直线x=8上一点（尸不在x轴上），过点尸作E的两条切线尸4尸3,切点分别为A,二

（i）证明：直线AB过定点；

（ii）点A关于x轴的对称点为A,连接交无轴于点设AC2M,Bg"的面积分别为,求国-闵

的最大值.

22

【答案】⑴j+J=1

84

⑵⑴证明见解析，（ii）—

2

【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程；

（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点尸坐标后，得出直线A3的方程，从而得出定点坐标;

（ii）联立直线AB的方程与椭圆E的方程，由韦达定理得出%+%，%%，进而求解出A3的定点坐标，表示出

,由基本不等式得出结果.

【详解】（1）设动圆C的半径为r,由题意得圆G和圆C2的半径分别为50,应，

因为c与G，C?都内切，

所以|CCj=5应-r，|CC2|=-0,

所以|CCj+|CC2|=5&_r+r_0=40,

18

又£（-2,0）,G（2,0）,故|C2cb4<4近,

所以点C的轨迹是以C_C?为焦点的椭圆,

22

设E的方程为：»l（a>6>0）,

则2a=4忘，2c=4,所以/-c?=4,

22

故E的方程为：—+—=1.

84

（2）（i）证明：设4（%,%）,B（x2,y2）,P（8j）«w0）,

由题意中的性质可得，切线9方程为竽+¥=i,

84

切线依方程为容+乎=1,

84

因为两条切线都经过点P（8,r）,所以否+（=1,%+与=1，

故直线AB的方程为：x+2=l,显然当y=0时，x=l,

4

故直线AB经过定点（1,0）.

（ii）设直线AB的方程为：尤=〃9+1（机力。）,

x=my+1

联立整理得+2）/+2my-7=0,

%2+2/=8

2m

%+%=__Fir

由韦达定理得〃;，

Lm+2

又）,所以直线AB的方程为>+%=芝£红一玉）,

令y=o得，

+尤=必人+%1=M（叼2+1）+%（阳i+l）

%+x1%+X%+%

c2m\——：

2mxy2+X+必=1+2〃明以=i+I"+2）=8

%+X%+%2m

m2+2

所以直线A3经过定点加（8,0）,又。2（2,。）,

所以^^卜gcMEH可=3»]+%|

19

6|m|6<63>/2

==-

^U+A^~,

H

所以|s「邑L=孚，当且仅当H=怖时，即加=±&时取等号.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）"特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解J即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据

参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程y-X。）或截距式>=区+》来证明.

19.对于数列｛4｝（"€N*）,记称数列｛A%｝为数列｛%｝的一阶差分数列；记

AX=A（Afl„）=Afl„+1-Afl„,称数列｛管%｝为数列｛4｝的二阶差分数列，…,一般地，对于让N,记

ol

规定：Aan=an,Aa„=Aa„,称｛屋4｝为数列｛4｝的左阶差分数列.对于数

列｛%｝,如果A%