山西省运城市2023-2024学年高二年级下册开学考试 数学 含解析

康杰中学2023—2024年高二年级第二学期（开学考试）

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

i.已知数列｛叫的前〃项和s,=〃3,则5%+）X5

的值为（）

A.135B.145C.155D.165

离心率成的双曲线的焦点在，轴上，则它的渐近线方程为（）

2.中心在坐标原点，

_444

A.y=±—xB.y=­xC.y——xD.y=?-x

3-33-4

3.等差数列｛叫中,m,n,s,teN*,贝ijm+〃=s+，是+%=4+4()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.直线x—y_l=0将圆(无一2y+(y_3)2=8分成两段，这两段圆弧弧长之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：5D.3：5

5.已知数列｛4｝中，=殳，则数列也｝的通项公

%=2,当〃22时，an

式为（）

川—〃+2/+〃-1c"2-2〃+3D/+2〃—2

A.B.

2222

6.设a=ln3,0=Gln2,c=V21n3＞则“、b、c的大小关系是（)

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

7.点尸在椭圆G：/+y2=l上，G的右焦点为P，点。在圆。2：必+>2+10%一8>+39=0上，贝u

归。|-户町的最小值为（）

A.26B.242c.73D.◎

22

8.设双曲线C:=-4=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，耳，过坐标原点的直线与。交于A,3两点，

ab

2

\FlB\=2\F1A\,F^A-F^B=4a,则C的离心率为（）

A.V2B.2C.75D.V7

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

713兀）

A.直线xsina+y+2=0的倾斜角。的取值范围是0,—u

_4_

B.“a=—1”是“直线"x_y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”充要条件

C,两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量a=（9,4,T）,[=（1,2,2）,则a在B上的投影向量为（1,2,2）

10.已知抛物线C：y1=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为2,过歹的直线/交抛物线C于两点

A,5,贝iJ（）

A.C准线方程为尤=—2

B.若|AF|=4,贝104|=亚

C.若[4尸|•忸户|=4p2,贝I]/的斜率为土g

D.过点A作准线的垂线，垂足为"，若》轴平分/HFB，则|A耳=4

11.如图，在直四棱柱ABC。—4BCR中，底面A3CD为菱形，NBA。=60,43=4、=2,P为

CG的中点，点Q满足=则下列结论正确的是（）

9；…N…+/-*

A.若;l+〃=g,则四面体A/PQ的体积为定值

B.若△ABQ的外心为。，则A"4。为定值2

C.若4。=若，则点。的轨迹长度为学

D.若4=1且〃=；,则存在点E643,使得AE+EQ的最小值为匹£而

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=In+x2的极大值点为.

13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高

阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数

列.在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为

1,4,10,20,35,则该数列的第6项为.

14.定义在R上的偶函数了⑺满足/(2—x)+/(x)=0,且当xc[0,l)时，/(%)=«—1,则曲线

y=在点(一苫,yjg]]处的切线方程为__________________.

I414〃

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=11式+/+依+2在点(2,/(2))处的切线与直线2%+3丁=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

16.如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，侧棱AiA_L底面ABCD,AB〃DC,ABXAD,AD=CD=1,

AAi=AB=2,E为棱AAi的中点.

(1)证明BiCiXCE；

(2)求二面角Bi-CE-Ci的正弦值.

(3)设点M在线段CiE上，且直线AM与平面ADDiAi所成角的正弦值为旦求线段AM的长.

~6~

1]2

17.已知数列｛%｝的首项为2,前〃项和为5“，且---------------(HGN*).

anan+\43“—1

(1)求4的值;

(2)设a=,求数列也｝的通项公式；

an+l-an

(3)求数列｛4｝的通项公式.

18.己知4(—2,0),3(2,0)为椭圆C：±_+.=1(。〉5〉0)的左、右顶点，且椭圆C过点。

(1)求C的方程；

(2)过左焦点尸的直线/交椭圆C于。，E两点(其中点。在x轴上方)，求於组的取值范围.

19.已知函数/(x)=lnx——B)(4£R).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当时，若e"*尤一土一加In加恒成立，求实数加取值范围.

Vx)m

康杰中学2023—2024年第二学期

高二年级（开学考试）数学试题

2024年2月

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的.

3

[aIS-n|（«i+a5）x5

1.已知数列'』的前九项和超一”,则2的值为（）

A.135B.145C.155D.165

【答案】C

【解析】

【分析】利用a,与S”之间的关系即可求解.

33

【详解】由题意可知，a]=S[=F=l,a5—S5-S4=5-4=125-64=61,

所以((弓+a5)x5=^-(14-61)x5=155.

故选：C.

离心率为9的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（

2.中心在坐标原点,

3

444

A.y=±—xB.y=­xC.y=——xD.y=7-x

-333-4

【答案】D

【解析】

224

【分析】设双曲线方程4-三=1,根据已知得到6=—。，即可得到渐近线的方程.

a-b-3

22

【详解】由己知可设双曲线的标准方程为二X=1(a>0,Z>>0).

a

由已知可得e=£=9,所以c=9。，则〃=。2一片=3/，所以6=4。

a3393

所以，双曲线的渐近线方程为y=±3x=±—X.

b4

故选：D.

3.等差数列｛。〃｝中，m,n,s,t^N*,则7篦+"=s+/是+。“=4+%的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由等差数列的性质知：m,n,s,t^W,7篦+〃=s+/时，％”=4+%成立，即充分性成

立，

反之：等差数列｛4｝常数列，=4+%对任意机,九,s,teN*成立，即必要性不成立.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，判断P是4的什么条件，需要从两方面分析：一是

由条件P能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件P.

4.直线%—丁—1=0将圆（%—2）2+（3；—3）2=8分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：5D.3：5

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件作出图形，利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合弧长公式即可求解.

【详解】设直线与圆的两个交点为A,3,圆心为C,过点C作CD_LA3交于。，

如图所示

设NACD=。（0＜。＜兀），则

所以圆心到直线的距离为d=|CD|==A/2.

11"一

V2

,»\CDV21

在RtAACD中，cosa=\——=—尸=三

\AC2后2

因为0<&<兀，

所以a=百，

3

由圆的性质知，ZACB=2a=—,

3

2兀(2兀、

所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于3-：2兀-可=1：2.

故选：A.

n

5.已知数列｛%｝中，q=2,当心2时，a„=2a„_1+(ra-l)-2,设勿=崇，则数列也｝的通项公式

为()

n~—〃+2n+n—1n—2〃+3n+2n—2

A.-------------B.-------------C.---------------D.---------------

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根据递推关系式得到bn--1,进而利用累加法可求得结果.

【详解】数列｛%,｝中，4=2,当“22时,an=2a“_i+(〃—1>2",

aa,,

j=T+1,

2"2'T

b/

:也-b,i=n-l,且仿=1,

'-bn=(2-%)+(%-2-2)+L+(2一。)+伪

/n11("T)[l+("1)]1n2-n+2

=(〃-1)+(〃-2)++1+1=------2------+1=-----------，

故选：A.

6.设a=ln3,b=^/3In2，c=V2In3»则"、b、c大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数/(x)=一—在(O,e)上的单调性可得到b、C的大小关系，利用对数函数的单调性可

得出。、b的大小关系，即可得出结论.

【详解】构造函数/(力=2?，其中》>0,则/'(x)=2(l-：nx),

当0<x<e时，制*)>0,所以，函数/(%)在(O,e)上单调递增，

因为0<0(百<e，则即劲噌1<劲噌1,即&ln2〈友ln3，

,2.3

所以，b<c,

因为35=243<256=2®,故51n3<81n2,即ln3<|ln2<Gln2,即a<b,

因止匕，c>b>a.

故选：D.

丫2

7.点尸在椭圆G：］+y2=i上，G的右焦点为P，点Q在圆。2：/+/+10%一8>+39=0上，则

忸。|-忸司的最小值为()

A.2也B.20c.73D.6

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据椭圆的定义转化为|PQ|+|P耳卜2拒，即求|尸。|+|尸团的最小值，即为圆心与6的距

离减半径即可.

【详解】设椭圆的左焦点为耳(TO),则「。|—|年1=「。卜(2挺—卢用)=「。|+|「蜀—20

求卢。|-归同的最小值即求|尸。|+归周的最小值，圆。2的半径为四圆心为(-5,4)

所以|尸。|+1尸耳|的最小值为|。24|—J5=,(-5+1)2+(4—0)2—行=3夜

所以|PQ|—|PF\的最小值为372-272=72

故选：D.

【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对题

中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.

22

8.设双曲线C：=一斗=1（。＞0乃＞0）的左、右焦点分别为耳,耳，过坐标原点的直线与C交于A3两点,

ab

阳同=2闺从小4书3=4〃，则C的离心率为（）

A.72B.2C.V?D.V?

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得闺4|=|乙目、闺回=|序4|且四边形公耳5巴为平行四边形，由题意可得出

NF?BFI,结合余弦定理表示出与。、C有关齐次式即可得离心率.

【详解】

由双曲线的对称性可知用H=优回，闺.=|&4|,有四边形443月为平行四边形,

令国A|=国则忻gA|=2加,

由双曲线定义可知|/^A|—|/^A|—2a,故有2加—加=2Q,即加=2a,

即闺H=E@=m=2a,闺目=EH=4a,

2

F2A-F2B=-|F2B\COSZAF2B=2ax4acosZAF2B=4a,

则cos/Ag3=—,即/A7”=与，故/玛5耳=一

233

2

耳3+印瓦|邦T耳研（4a『+（2a）2—（24

则有cosZFBF=

2l2国孙国国2x4ax2a2

20a2-4c21204P之1

即即3—土二—上，则/=7,由e>l,故e=#f.

16a2216162

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于〃、b,。之间的等量关系，本题中

结合题意与双曲线的定义得出闺山、|《耳与。的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与

a、c有关齐次式，即可得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

7137r、

A.直线xsina+y+2=0的倾斜角。的取值范围是0,—o

_4_

B.“a=-1”是“直线/x—y+l=0与直线x—ay—2=0互相垂直”的充要条件

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量a=(9,4,V),Z?=(1,2,2),则。在人上的投影向量为(1,2,2)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条

件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，直线xsina+y+2=。的倾斜角为贝Utang=—sintz,因为一1WsintzW1,所

兀3兀1

以—iWtanCWl,所以，e0,—。,故A正确；

L4」［4)

对于B选项，因为直线/x—y+l=0与直线x—ay—2=0互相垂直，所以/xl+(—1)x(—a)=0,即

/+a=0,解得。=0或。=一1,所以“a=—l”是“a=0或。=一1”的充分不必要条件，所以“。=一1”是

“直线a2x-y+l^0与直线x-ay-2=。互相垂直”的充分不必要条件，故B错误;

对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，

设这两个非零向量为凡。，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量c，使得|a,6,c｝为空间

的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确；

对于D选项，因为向量a=(9,4,T)力=(1,2,2),所以a在人上的投影向量为

同3。，4=同-高9白=若力=《。，2,2)=(1,2,2),故D正确.

\b\网眄.向1^19

故选：ACD.

10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点产到准线的距离为2,过户的直线/交抛物线C于两点

A,3,贝!!()

A.。的准线方程为1=—2

B,若恒耳=4,则|Q4|=四

C.若|A盟•忸b|=4p2,则/的斜率为土?

D.过点A作准线的垂线，垂足为"，若》轴平分/印布，则|人耳=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据抛物线。几何意义求出。，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、

D,设4(再，％),B®,%),直线A3的方程为1=阳+1,联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定

理，根据焦半径公式计算即可判断C；

【详解】解：因为抛物线C：y1=2px(p>0)的焦点产到准线的距离为2,所以p=2,

所以抛物线方程为V=4x,则焦点厂(1,0),准线为x=—1,故A错误；

若M耳=4,则4=3,所以%2=4%=12,所以|04|=+=后,故B正确；

可设A(X],%),B(X2,力)，

直线A5的方程为％=冲+1，与抛物线=4%联立，

消去x,可得丁―4根〉一4=0,

可得M+%=4m,%%=-4，

由抛物线的定义可得IAFI•I2尸1=(药+1)(%+1)=(磔+2)(〃叫+2)=16

222

即myly2+2根(％+y2)+4=16,即-4m+8m+4=16,

解得加=±岔，则直线AB的斜率为土无，故C正确；

3

对于D,若x轴平分/印布，则NOFH=NOFB,又AH〃为轴，

所以ZAHF=NOFH=NOFB=ZAFH,所以HF=AF=AH,

所以=勺,即5=3,所以|A耳=5+1=4,故D正确；

故选：BCD

11.如图，在直四棱柱ABC。—A4G2中，底面A3CD为菱形，/血。=60,43=441=2,2为

CG的中点，点Q满足=则下列结论正确的是（）

B.若△ABQ的外心为。，则4工4。为定值2

c.若AQ=6,则点Q的轨迹长度为亨

D.若4=1且〃=g,则存在点使得AE+EQ的最小值为也+2M

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到W,Q,尸三点共线，得到WFV/平面「4台，

故点。为平面PAR距离为定值，四面体4BPQ的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空

间向量数量积的几何意义得到145HA4=4；c选项，建立空间直角坐标系，设

0（0,242"）,表达出（22+1）2+（2〃—2）2=2,故Q点的轨迹为以s（—1,2）为圆心，夜为半径的

圆，落在正方形82G内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出。（0,2,1）,

E（班,1—2a,2a）,得到AE+EQ=20—+|+Ja2+|,画出图形，数形结合得到其最小

值.

【详解】A选项，在CD,。，上分别取使得DF=LDC,DW=-DD1,

33

因为DQ=ZDC+〃DR,所以。尸+3〃£>W,

因为;1+〃=；,所以32+3〃=1,即£>Q=3X£）E+（1—3彳）。卬，

故。。一。印=3/1。/一3/1。W，即WQ=3XWF,

所以W,Q,尸三点共线，

因为WF//CR,A、BI〔CD_所以WF//A5],

故皿F//平面P&B,故点Q为平面PA}B的距离为定值，

又Sp&B为定值，故四面体ABPQ的体积为定值，A正确；

B选项，取的中点T，因为的外心为。，所以07,A3,

又题意得AB=+AB~=2^2,

则・A。=|A5|-|Ar|=2^2x72=4,B错误；

C选项，取A3的中点A,因为底面A3CD为菱形，ZBAD=60°,

故OR，。。，

以。为坐标原点，以DR，。。,。2分别为苍y*轴，建立空间直角坐标系，

故A（石,-1,21设0（0,242〃），

则4Q=^3+（22+1）2+（2//-2）2=小>

化简得（22+1）2+（2〃—2）2=2,

点Q满足=2DC+2D、（2e[0,1],//e[0,l]）,

即点。在正方形CDRQ内，包括边界，

故。点的轨迹为以s（-1,2）为圆心，、历为半径的圆，落在正方形。2G内的部分,

因为阳=后，SD]=1,故卬｛=出二1=1,

7T

故"s，”为等腰直角三角形，zs=~,

故点。的轨迹长度为三•、巧=叵，c正确；

44

1.1

D选项，若4=1且〃=5,DQ=DC+—DDX,

②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等

问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

第II卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=In［x++V的极大值点为.

【答案】%=-1

【解析】

【分析】利用导数可求得了(%)的单调性，根据单调性可得极大值点.

【详解】由题意知："％)定义域为［-|,+s］,

f'(x)=—^+2x=2x2+3x+l_(2x+l)(x+l)

33

XH----XH----XH—

222

当5，+oo［时，>0；当1,—j时，/,(x)<0；

\"x)在［一］—i］,上单调递增，在上单调递减，

.”=一1是八工)的极大值点.

故答案为：%=-i.

13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高

阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数

列.在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为

1,4,10,20,35,则该数列的第6项为.

【答案】56

【解析】

【分析】利用高阶等差数列的定义，分别计算出前后两项的差，再由等差数列定义即可求得第6项的值为

56.

【详解】由题意可知，所给数列为高阶等差数列,

设数列的第6项为兀

根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，

再利用新数列的后一项减去前一项也得到一个新数列，即可得到一个首相为3公差为1的等差数列,

计算规律如下所示：

该数列的第6项为56.

故答案为：56

14.定义在R上的偶函数/(%)满足/(2-x)+/⑴=0,且当xe[0,1)时，/(x)=«—1,则曲线y=/(%)

在点处的切线方程为_________________.

I414〃

【答案】4x-4y+ll=0

【解析】

【分析】明确函数的周期性，结合导数的几何意义求函数在某点出的切线方程.

【详解】因为“X)是R上的偶函数，且"2—x)+/(x)=0,

所以W(2_x)=_/a_2)n/(x_2)=_/⑺，

所以/(X—4)=—/(1—2)=/(力，即”可为周期函数，且周期为4.

设xe(l,2),则2_X€(0,1),由/(x)=-/(2-x)=-=j2-x；

设3,—2),则龙+4«1,2),由/(%)=/(尤+4)=1—52—(尤+4)=1—J—2—x.

当行(-3,-2)时，

所以曲线y=/(x)在点—g处的切线方程为：=Hx+|j=>4x-4y+ll=0.

故答案为：4尤-4y+ll=0

【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：

(1)求出函数在区间(—3,—2)上的解析式，可得/和进而求出所求的切线方程;

(2)利用函数的对称性和周期性，先求/(一■1］=/1(］=—/］：］得到切点，再根据/(X)的图象关于

(1,0)点对称，则/'(可关于x=l轴对称，所以=得切线斜率，可得所求切线

方程.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/■(%)=hit+f+狈+2在点(2,/(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.

(1)求。；

(2)求“X)的单调区间和极值.

【答案】(1)a=-3

(2)单调递增区间为(0,；］、。,+8),单调递减区间为g,“，极大值?—ln2,极小值0

【解析】

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

【小问2详解】

由”二一3,故/(x)=lnx+%2—31+2,

则,⑴=2亡3五1=(2x—l)(x—1),x>0,

XXX

故当0<x<J时，f\x)>0,当工<x<l时，/'(x)<0,当龙〉1时，f^x)>0,

22

故八工)的单调递增区间为m。,+8),“X)的单调递减区间为14

故八左)有极大值/■出=4+出13

-3x-+2=--ln2,

24

有极小值/(l)=lnl+F—3xl+2=0.

16.如图，四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，侧棱AiA_L底面ABCD,AB〃DC,AB_LAD,AD=CD=1,

AAi=AB=2,E为棱AAi的中点.

(1)证明BiCi±CE；

(2)求二面角Bi-CE-Ci的正弦值.

(3)设点M在线段CiE上，且直线AM与平面ADDiAi所成角的正弦值为42,求线段AM的长.

【解析】

【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解.

如图,以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,O,1)，Bi(0,2,2),Ci(l,2,l),

E(O,1,O).

(1)证明：易得4。；=(l,o,—1),CE=(—1,1，-1),于是4G-CE=0，，B1C1，CE.

⑵耳C=(l,-2,-1).

设平面B1CE的法向量机=(x,y,z),

/C.m=0x-2y-z-0

则，即｛

CE-m=0-x+y-z-0

消去x,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为加=(—3,—2,1).

由(1),BiCi±CE,又CCi_LBiCi,可得BiCi，平面CECi,故4。1=(1,0,—1)为平面CECi的一个法向

量.

.m，BG-42A/7-J21

==

于是COS〈m，4G〉|m|.|5iC1|V14xV2,从而,皿〈小4G〉=不，

故二面角Bi-CE-C!的正弦值为叵.

7

(3)AE=(0,1,0),EQ=(1,1,1).

没EM=kEC[=",九，九)，0<2L<1,有AM=AE+EAf=(入，入+1，九)•可取=(0,0,2)为平面

ADDiAi的一个法向量.

设0为直线AM与平面ADDiAi所成的角，则

AMAB

sinO=|cos〈AW，AB〉1=।------n-----1

AM-AB

22_2

J%+(2+1)-+x2+24+1

九11

于是/,2_==6上，解得九=彳G=——舍去),

，3%+24+1635

AM—^2•

，、112

17.已知数列｛。”｝的首项为2,前几项和为5“，且--------=—~-

anan+l4或一1

(1)求出的值;

设a：,求数列出｝的通项公式.

(2)b"=

an+l~an

(3)求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)=---

一3

4H-1

⑵b

n4

8n-2

⑶an=

3

【解析】

【分析】(1)根据递推关系可得求得4•

，于是,以上两式相减变形可得

(2)由条件可得可得4S〃—1=44用4S,i—1=24T-

aaaa

n+l-nn-n-l

a“4-二］

即b-b_〃2),于是可得数列\b｝为等差数列，并可求得其通项.

aannx=1(>n

„+l-n4-*''

4〃一1a4〃+3

(3)由(2)可得一一=工一，可得3=1］，根据累乘法可得数列｛q,｝的通项公式.

an+\an4册4”-1

【小问1详解】

112

K=2,且或一彳=福二7

.11_2_2

**2%4x2-17

14

解得生=二.

3

【小问2详解】

2aai

可得4S.—1=一

aa

n+X-n

—A/，…,

,4+i4-1_2

aa

"n+l-na,,-a,I-

,a〃+i-4+a〃4T

aaaa

'•n+X-nn-n-l

a.

化为：」'■^^=1,

aa

n+i-na”一总

即b“-b“_i=1(">2),

b,—..a.----2--——3

又ia2-ai14_24>

3

;数列｛2｝是首项为:，公差为1的等差数列.

73,八4〃一1

.・山=丁("-1)==--

【小问3详解】

a,,4〃-1

由⑵可得：-2一=「一

4+1-44

4+1_4〃+3

a”4〃—1

&=险止=网式

an_x4(/7-1)-14/7-5

o“1"aa?4〃一14〃一5117c8〃一2

an=-^x—^x...x-x=xq=------x------x...x——X—x2=-----

an-\an-2a2%4〃一54〃一9733

又q=2满足上式.

8〃—2/

an(neN*).

22

18.已知4(—2,0),3(2,0)为椭圆C：4+4=1（。〉6〉0）的左、右顶点，且椭圆C过点

ab

（1）求C的方程;

（2）过左焦点P的直线/交椭圆C于。，E两点（其中点。在x轴上方），求今"的取值范围.

、4BDF

22

【答案】（1）土+匕=1

43

(2)

【解析】

由题意得。，把“，|

【分析】（1）代入椭圆方程可得答案;

（2）①当/斜率不存在时，易知;②当/斜率存在时，设/犬=9—10。。）,

S^BDF忸方

[3

0（%，％）（%>°），石（W，%）（丁2V°），与椭圆方程联立，求出功=],（_%）、~2^J由