2023-2024学年高二数学下学期期中模拟卷3(解析版)

2023-2024学年高二数学下学期期中模拟卷03

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考

生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试

卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.等差数列｛。“｝中，4+。7=20,邑=35,则。20=（）

A.54B.56C.58D.61

【答案】C

【分析】设等差数列｛。“｝的公差为d,由题意列出可和"的方程组，解得生和d,最后

写出的）即可.

%+%+6d=20

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则有

5al+10d=35

解得：E1=L故%）=4+194=58.

[d=3

故选：c

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计

算能力，属于常考题.

2.已知函数AM的导数为了'（X）,且满足/（x）=/+3^，（3）,则（⑶=（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【分析】首先求出尸（X）,再令x=3即可求解.

【详解】由/（x）=d+3矿⑶，

则/（力=2彳+3/⑶，

令x=3,

则/'⑶=2x3+3/'⑶，

所以八3）=-3.

故选：C

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数以及导数的基本运算法则，属于基础题.

3.某校大一新生A,B,C,。欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社.已知这4名

大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况

有（）

A.21种B.30种C.42种D.60种

【答案】C

【分析】把4人分成2个组，选择2个社团，把2个组分配给2个社团.

【详解】4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有C；+冬

种方案，

3个社团选择2个社团，有C；种方案，

把2个组分配给2个社团，有A；种方案，

由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有C；+^C；A；=42种.

IZ）

故选：C

4.在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取

法种数为

试卷第2页，共19页

A.C；C；7B.C；C*+C；C；7C.C：oo-C；C；7D.C盆-C*

【答案】B

【详解】试题分析:恰好有2件次品时，取法为C；•C；?，恰好有3件次品时,取法为C，C3,

所以总数为C；C；7+C1C；7.

考点：排列组合.

5.在二项式(4-。)的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为

().

A.—80B.—60C.60D.80

【答案】C

【分析】先根据仅第四项的二项式系数最大确定〃的值，然后结合二项式展开式的通项

即可求解.

【详解】由题意可知，n=6,所以二项式-彳］的展开式的通项公式为

小=c(«)m(-2yq■/1，,

令3-口=0,得r=2,所以展开式中常数项为(-2)2xC：=60.

故选：C

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.

6.已知等差数列｛4｝中，，=2,前5项的和Ss满足15＜用＜25,则公差d取值范围为

【答案】C

5x4/7

【分析】计算55=5(。2-〃)+菅巴，然后根据15<l<25,简单计算，可得结果.

【详解】由题可知：

5x45x4

S5^5al+-^-d=5(2-d)+—d=5d+10,

又15Vs5<25,所以15<5d+10<25,

解得1<d<3.

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列的前〃和以及公差的范围，关键在于S5用d表示，属基础题.

7.若正项数列｛%｝满足4+1=%-In见，0<%<1,设5“=%+。2+/++%，

Tn=aca2-a3-...-an,则下列说法中一定正确的是()

A.对任意的正整数小恒有。<S“<1B.对任意的正整数小恒有S”>〃

C.对任意的正整数”，恒有。<(<1D.对任意的正整数"，恒有

【答案】C

【分析】构造/(x)=x-lnx(x>0),求导后得到单调性和极值，最值情况，故而得到

%>1,推出A错误;举出反例可得B错误；得到。用=lna“，累加

法得到4一。"+1=ln%+lno2++山%=山(4・％一...“)<0,从而得到。<(<1,D错

误，C正确.

【详解】设函数/(x)=x-lnx(x>0),则f(x)=l__=

XX

可得/(X)在(0,1)上严格递减，在(1,”)上严格递增，

所以/(X)在X=1处取得极小值，也是最小值，故/(X)min=/⑴=L

又""+1=a“Tna”,则"〃+1>1.

因为即0<耳<1,所以排除B；

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因为。“+i>l,故当“22时，Sn>n-l>l,此时排除A；

因为4+1=4Tnan,即an-an+1=Inan,

所以q—4+1=(6一%)+(%-4)++(4-%+i)

=ln%+ln%++ln«n=ln(a1-a,•...•an)<0,得q•生•…q<1,即。<(<1,

所以排除D,

故选：C.

【点睛】数列是一种特殊的函数，即定义域为正整数集的函数，故除利用通项公式，求

和公式外还可利用函数，导函数的知识点来处理数列问题.

fe"x<0

8.已知函数〃x)='C为自然对数的底数)，则函数

[|lnx\,x>Q

/x)=/"(x)]-5”X)T的零点个数为()

A.5B.6C.7D.3

【答案】A

【分析】令"x)=r,由/x)=0可得=利用导数可确定与y=\x+i

图象的位置关系，进而得到/⑺与y='f+l有三个不同交点，并根据图象可确定三个

交点％<o<G<i<G，采用数形结合的方式可确定了(X)与y=4、y=L和y=，3的交点

总数，即为所求的零点个数.

【详解】设〃力=心令户(x)=o可得：/(/)=4?+1；

e

设y=幻+1与y=e'相切于点(元],9)，

(e。'=e、，•••切线斜率为炉，则切线方程为：y—e'，=-(x-玉)，即y=e'i尤+(1-占)e',

勺=d

(―9=]解得：=0,左]=1；

设丫=%/+1与y=ln尤相切于点优,ln%)，

(lnx)'=！，.•.切线斜率为工，则切线方程为：y-lnx2=—(x-x2),即

XX?x?

1I1

y=—x+Inx2-1,

x2

\k-L1

A2

•••■々，解得：x=e2,=—；

2e

Inx2-1=1

作出〃尤)与y=[x+i图象如下图所示,

e

y=4■无+1与〃x)有三个不同交点，

e

即y=g+l与/⑺有三个不同交点，设三个交点为r&Wi气<。

由图象可知：h<0<?2<1<?3;

/(X)与y=4无交点，与y=L有三个不同交点，与y=G有两个不同交点，

•••/⑺=-1的零点个数为5个.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解函数零点个数常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根的个数，即为所求零点个数；

(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

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二、多选题

9.已知（Y-9）"的展开式中第3项与第5项的系数之比为:，则下列结论成立的是

（）

A.n=10B.展开式中的常数项为45

C.含炉的项的系数为210D.展开式中的有理项有5项

【答案】ABC

【分析】根据二项式的展开式的通项公式（M=（-iyc；）"号：，结合第3项与第5项的

3

系数之比为二，可得力=10.再根据公式逐个选项判断即可.

14

【详解】二项式的展开式的通项为&/=（_1），由于第3项

n（n-l）

与第5项的系数之比为二，则与=言，故―1广2―，得〃2-550=0.

14C：14〃（〃一1）（〃一2）（〃一3）14

Ix2x3x4

（n+5）（n—10）=0,解得〃=10,故A正确；

5rSV

则心=（一1）'./.了，令20-了=0,解得r=8,

则展开式中的常数项为或=45,故B正确；

令20号=5,解得/'=6,则含V的项的系数为（一C：0=210,故C正确；

令20-当eZ,则广为偶数，止匕时r=0,2,4,6,8,10,故6项有理项.

2

故选：ABC

10.设数列｛a„｝的前〃项和为S”,若存在实数A，使得对于任意的neN*,都有囚,|<A,

则称数列｛为｝为“T数列”.则以下数列｛。”｝为“T数列”的是（）

A.｛0｝是等差数列，且%>。，公差d<0

B.｛?｝是等比数列，且公比9满足同<1

n+2

C-a"~n(n+l)2"+l

D.4=1，a„+2+(-!)"«„=0

【答案】BC

【分析】求出数列的前〃项和S“，然后判断对|S“|,有无正实数A,使得W|<A成立.

【详解】A中，若｛4｝是等差数列，6>0,公差d<0,

则S",是关于〃的二次函数，当〃­水»时，|S“|f+00,对于任意的

〃eN*,不存在实数A,使得|S“|<A恒成立，所以数列｛a.｝不是"T数列”.

B中，若｛%｝是等比数列，且公比9满足|同<1,

所以数列｛%｝是“T数列

_〃+2__J________]

C中，“"一«(n+l)2"+1一小2”+，

1x21_2x22+2x22-3x23+1+n-2""(n+l)-2"+1

--1-------1----<—1

2(n+l)-2),+12，

则数列｛%｝是“T数列

D中，在数列｛4｝中，4=1,«„+2+(-1)"a„=0,

当”是奇数时，。“+2-%=°，

数列｛%｝中奇数项构成常数列，且各项均为1；

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当"是偶数时，4+2+4,=。，即任意两个连续偶数项和为。，

则对于任意的“eN*,S’,=2"，不存在实数A,使得国|<4恒成立.

所以数列｛见｝不是"T数列

故选：BC.

11.设定义在R上的函数〃x),g(x)的导函数分别为尸(x),g'(x),若

〃x+2)+g(2-无)=2,/'(x)=g'(x+2),且y=g(x+l)为偶函数，则下列说法中正确的

是()

a

A.g”)=0B.g'(x)的图象关于x=£对称

C.g(2)+g(3)+g(4)=0D.函数/(x)为周期函数，且周期为8

【答案】AD

【分析】对于A项，根据y=g(x+l)为偶函数求出g(x)的表达式，然后给g(x)的表达

式两边求导，然后取特值求解；

对于D项,根据/'(x)=g'(x+2)找到了⑺与g(x)的关系，根据A项g(x)的表达式得

到g(x)的周期；

对于C项，根据g(x)的表达式，令特值求解即可.

对于B项，根据/(尤+2)+g(2—x)=2,/'(x)=g'(x+2),且y=g(x+l)为偶函数求出

一个周期内仅有的两条对称轴，得结果.

【详解】对于A项，y=g(x+l)为偶函数

.-.g(-x+l)=g(x+l)

.•.一g'(T+l)=g'(X+l)

令x=0,则_g'(l)=g'(l)

，g")=0,故A正确；

对于D项，尸(x)=g'(尤+2)

/(x)=g(x+2)+〃z

用-X代替原来的X得：/(-x)=g(2-x)+m@

又，g(x+l)是偶函数

.-.g(-x+l)=g(x+l)

用X-1代替原来的X得：g(2-x)=g(x)②

由①②结合得：/(—x)=g(x)+机③

又・〃x+2)+g(2-x)=2

用—x—2代替原来的x得：/(—x)+g(x+4)=2④

由③④联立得：g(x)+m+g(x+4)=2⑤

用x+4代替原来的尤得：g(x+4)+m+g(x+8)=2⑥

⑥-⑤得：g(x+8)=g(x),所以函数g(x)为周期函数，且周期为8,

用t代替原来的X得：g(8-X)=g(-X)⑦

/(x+2)+g(2r)=2用》+2代替原来的x得：/(x+4)+g(-x)=2(D

/(x+2)+g(2—x)=2用》一6代替原来的x得：/(》—4)+g(8—x)=2⑨

结合⑦⑧⑨得〃尤-4)=〃X+4),

用x+4代替原来的x得：f(x)=/(x+8),

所以函数/■(*)为周期函数，且周期为8,故D正确；

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对于C项，〃X）=1，g（x）=l为满足题意的一组解,

但g（2）+g（3）+g（4）=3#。,故C错误.

对于B项,因为/（x）=2-cos^（3-x）,g（x）=cos：（尤-1）,g〈x）=-：sin：（尤-1）为

满足题意的一组解，

但/（无）不关于X对称，所以B错误.

故选：AD

三、填空题

12.函数/（尤）=上3的增区间是,曲线/⑴在点（LD处的切线方程

是.

【答案】（0,1］（开区间也对）y=i

【分析】第一个空：先求函数的定义域，然后求导，求出当导函数不小于零时，x的取

值范围；

第二个空：把*=1代入导函数中，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.

【详解】第一个空：函数“切=二坦,%>0,/（尤）=-绊，显然当0<xVl时，有

XX

f1（x）>0,所以函数=W竺的增区间是（0』（开区间也对）；

第二个空：/（l）=o,所以曲线“X）在点（1,1）处的切线方程是y=l.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程以及单调区间的问题.

13.《九章算术》卷第六《均输》中,有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三

人等.问各得几何?”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次

成等差数列,则乙与丙两人共分得钱

【答案】?13

6

【分析】设出等差数列的首项和公差，利用前5项和以及前两项和等于后三项和列方程

组，解方程组求得由此求得乙、丙两人分得的钱，再相加求得结果.

【详解】设甲、乙、丙、丁、戊分别为01M2，«3，，，。5,等差数列公差为d,依题意有

5〃]+10d=541

4+%+%+〃4+。5=5解得q=d=-乙、丙两人共分得

%+%=%+。4+。52〃]+d=3〃]+9d36

CC7c4cl13

%+%=2%+3d=2x3x—=—

366

【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列基本元的求解，考查化归与

转化的数学思想方法，属于基础题.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量

avd,an,Sn,n,利用等差数列的通项公式或前"项和公式，结合已知条件列出方程组，

通过解方程组即可求得数列01s,进而求得数列其它的一些量的值.

14.如图所示的五个区域中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每

个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（用

数字作答）.

【答案】72

【分析】利用分步乘法及分类加法计数原理即可求解.

【详解】设这四个颜色分别为L2,3,4,先给区域E涂色，有4种涂法；

假设区域E涂的是颜色1,再给区域A涂色，可以是颜色2,3,4,有3种涂法；

假设区域A涂的是颜色2,再给区域3涂色，可以是颜色3,4,有2种涂法；

假设区域8涂的是颜色3,如果区域C涂的是颜色2,则区域。可以涂颜色3或颜色4,

有2种涂法；

如果区域C涂的是颜色4,那么区域。可以涂颜色3,有1种涂法.

所以不同的涂色方法种数为4X3X2X（2+1）=72（种）

试卷第12页，共19页

故答案为：72.

四、解答题

15.在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有

二项式系数的和为2K1，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决

下面两个问题.

n

己知(2x-l)"=%+平+的尤2+为X3+―+anx(〃eN*),若(2x-D"的展开式中，.

(1)求n的值；

⑵求V的系数；

(3)求IqI+1%I+1a31++1%I的值.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴〃=10;

⑵。2=180；

(3)310-1.

【分析】

(1)选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出

(2)由(1)的结论，结合二项式定理求出出.

(3)由(1)的结论，利用赋值法求出所求式子的值.

【详解】(1)选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，贝U(2x-1)"的展开式共11项，

即〃+1=11,

所以“=10.

选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则C：=C；,解得九=10,

所以“=10.

选择条件③，所有二项式系数的和为2%则2"=*，解得”=10，

所以〃=10.

(2)由⑴知，(2x-l严的展开式中f项为：C；。(2x)2(-I)*=180/,

所以的=180.

(3)由(1)知，(2x-Ip"的展开式中，当x=0时，%=1,

当X=-1时，I/I+I4I+I“2I+I。3I++Ian1=(-3)1°=310,

所以|%|+|引+1%1+…+141=31°-1.

16.已知首项为2的数列｛4｝中，前“项和S,满足S'=优2+(eR).

(1)求实数r的值及数列｛%｝的通项公式凡；

(2)将①么=」一，®bn=T-+an,③2=2%y三个条件任选一个补充在题中，求数

anan+\

列｛么｝的前〃项和7；.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)册=2"；(2)答案不唯一，具体见解析.

【分析】(1)由凡=/+1=2可求出f,然后可求出应；

(2)若选①用裂项相消法求出答案，若选②用分组求和法求出答案，若选③用错位相

减法求出答案.

【详解】⑴令“=1得凡=/+1=2,所以f=l

22

a„=Sn-S,T(H>2)=n+n-[(n-l)+(«-l)]=2n

当”=1时，经验证符合上式

an=2n

试卷第14页，共19页

(2)若选①‘么=£=2〃.2；+1)=丽扁

+工一J-]=U-]=q

所以。=伪+与+…+

2++-nn+1)4(n+1)4〃+4

n

若选②：bn=an+r-=2n+4

7；,=(2+41)+(4+42)+L+(2〃+4")

=(2+4+6+L2n)+(4+41+L+4”)

n(2+2n)4(1-4/2)

=------1------

21-4

4°4〃+i4

=n(n+1)+—(4-l)=n2+n-\-------

333

若选③，bn=2%-an=2n-4",

123

Sn=2x4+4x4+6x4++2〃x4〃，

则4s〃=2x42+4x43+6x44++2nx4w+1,

两式相减得:

-3S„=2X4'+2X42+2X43++2X4;,-2??X4H+1

用3，

故"+"

2

17.已知函数/(无)=g丁+g5+1)%+ax+2020

(1)当。=-2时求函数y=/(x)的单调区间;

(2)讨论函数＞=/(%)的单调性

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】⑴将。的值代入尸(X),分析析(X)的取值正负由此得到“X)的单调区间;

(2)对于。与1的大小作分类讨论，从而分析出/(》)的单调性.

【详解】(1)当a=—2时，/'(x)ux2—x—2=(x—2)(x+l)

当xe(-oo,_l)时，>0；当xe(—l,2)时，/,(%)<0；当xe(2,”)时，>0,

所以〃x)在(-8,-1)和(2,+⑹上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

综上可知：的单调递增区间：(-8,-1)和(2,+8);单调递减区间：(-1,2)；

(2)/'(%)=彳2+(a+l)x+a=(x+o)(x+l),

当q>l时,-a<-1,xe(-oo,-a)时/4x)>0,*€(-。，_1)时/'(%)<0,ae(-l,4<o)时

巩4>0,

所以/(x)在(-叫-。)上递增，在上递减，在(T,+8)上递增；

当a<1时，-«>-1,了€(-00,_1)时//q>0,尤时/'(x)<0，xe(-a,+8)时

制x)>0,

所以“X)在(-8,-1)上递增，在上递减，在(一生+8)上递增；

当4=1时，/(^)=(x+l)2>o,所以“X)在(F,+8)上递增；

综上可知：°>1时，〃力在(-<»,-。)上递增，在(-。,-1)上递减，在(-1,+8)上递增；

a<l时，〃x)在(-叫-1)上递增，在上递减，在(-。，笆)上递增；

0=1时，/(X)在(-8,+8)上递增.

【点睛】本题考查利用导数求解具体函数的单调区间以及分析含参函数的单调性，难度

一般.分析含参函数的单调性时，要注意分类讨论.

18.已知数列｛叫，满足％+=〃(〃+D(〃eN*),且4=1,数列也｝满足

试卷第16页，共19页

nbn=3an+n.

(1)求｛q｝的通项公式;

11111

⑵证明：田+原+原++—7<-

次3-

【答案】(1)%=/

(2)证明见解析

【分析】(1)根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解;

(2)求出口，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立.

【详解】(1)+=〃(〃+1),

-"=1,又6=1,

n+1n

数列是首项为1,公差为1的等差数列，

:.-=l+n-l=n,BPa=n2.

nn

(2)由(1)知几2=3a〃+〃=3/+〃，

/.bn=3n+l,

(3〃+1)2-3〃("+1)=6n2+3n+l>0

i二i<1

(3n+l)2〃(3〃+3)n+lj

11111,11111

.,.-r+-r+—r+­+—7<-(l-一+----++-------

b；吠哄3223nn+1

19.已知/(%)=lnx—(Q+l)x+gox2,acR.

（1）若。=1,求“X）在（2,”2））处的切线方程;

（2）讨论的单调性；

（3）设为，超（为＜9）是“X）的两个极值点，若a22,求〃占卜了伍）的最小值.