成都市高2021级高三一诊数学文科试题及答案解析及答案

成都市2021级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷《非选择题》2至4

页,共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂战，如需改动，用橡

皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答腹卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

仔’—2,工V0

1.已知函数工）=1.XT,则八一1）+/（】）=

（A）-l（B）0（C）1（D）2

2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽

样方式，为此将他前一-蜀号为1〜2000,并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码

段中随机抽出的号码是2,那么从第三个号码段中抽出的号码为

(A)52(B)82(C)162(D)252

3.已知复数z-=j（i为虚数单位），则M的虚部为

i+r

(A)-l(B)l(C)-i(D)i

4.若数列｛aj满足a1=3,a-i=2a.-it+1,则02+03+*=

(A)6(B)14(C)22(D)37

5.巳知向量a=(-lJI).b=(2,0),则cos<a,b>=

(A)号(c)-4

（B）4(D)-^y

2工一y》0

6.若实数工,》满足・z—2y40，则工+»的最小值为

3x+>-l>0

(B)|（c）4

(A)0(D)1

数学（文科）“一建"考试题第I页供4K）

7.已知函数/(x)的大致图象如图所示，则/(x)的解析式可以为

(A)/(x)声口

2xY

-4x

(C)/(x)

(J+DIM|N|+2)

rmft\4ln(;x|4-1>

(D)/(x)=x，+1

&已知平面a，aflP=a‘yCl3=6，则a〃7是a〃占的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必嘤条件

A.1.1,2.21rtM

9・若。=W4IIK也="7ln行，c=-----，则

44«sJe

(A)cV6Va(B)6VcVa(C)c<a<*(D)ft<a<c

10.已知a6(0,K),且sina—73cosa=2,则tana=

(A)-73(B”当(C泮(D)存

JV

11.若w6L0,+oo),工？+»+1(廿恒成立,则实数a的最大值为

(A)e(B)2(C)1(D)e-2

12.巳知|8CH+y2-4s语-4=0经过椭圆1(。>6>0)的两个焦点R,F”

圆c和椭圜n在第二象限的交点为N,肃•对=16&—2,则椭圆n的离心率为

(A)§(B)咚(C)年(D)：

4J4

第n卷(非选择题，共9。分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知集合A={W||H|V2},B=(H|y=lgr),则AflB=.

14.曲线/(x)=x*+x*+1在点(1J(D)处的切线方程为.

15.记S.为公差不为零的等差数列<a>>的前"项和.若S,=14,且a.,a<,at成筹比数列，则

。加的值为.

16.已知例面积为临将的圜锥内接于球O.若圜锥的母线与底面所成角的正切值为|，则球

O的表面积为.

数学(文科)"一诊”考试题第2页(共4页)

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小愿满分12分)

如图，正四棱柱ABCD-AICDi中，M为AX1的中点，AB=2,=4.

《1)求证"倒_|_平面89乂］

(0)求三棱锥M-BCiD的体积.

18.(本小题满分12分)

某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程,

从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中,统计出参加上述课程的情况如下：

男生女生总计

参加黛球模块课程人数602080

参加羽毛球模块课程人数4080120

总计100100200

(I)根据上述列联表,是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与

性别有关；

(D)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模

块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化

课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.

触Kt=________»3——)’________

'-(a+A)(c+d)(a+c)S+d)•

P(K2>*o)0.0250.0100.0050.001

品5.0246.6357.87910.828

19.(本小题满分12分)

已知函数/(H)=2V5sinxcosx+28『H-l.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别

是a,b,c，且满足

(1)求人的值】

(II)若6=1，求a+c的取值范围.

数学(文科)“一修"考试16第3页(共4页)

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，动点C到点F（l,0）的距离与到直线工=一】的距离相等.

（I）求动点C的轨迹方程，

（n）若直线I=，+m与动点C的轨迹交于P,Q两点，当的面积为2时，求直

线/的方程.

21.（本小题满分12分）

巳知函数/Gr）=2j-ex.

（I）求函数”工）的单调区间,

（U）求证：/（x）>e<lnx+cosx）.

请考生在第22.23国中任选择一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.作答时，用

2B铅械在答题卡上把所选电目对应的标号涂黑.

22.（本小18满分10分）选修4一船坐标系与参数方程

在平面直角坐标系工Oy中，已知直线Ci的参数方程为｛,二2+tCOSat

(t为参

tsina

数.OVaV得）.以坐标原点O为极点，工轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C,

的极坐标方程为"8526=2.

（1）当&=5时，求直线。1的普通方程；

《口）已知点P（2,o），若直线a交曲线Ct于A,B两点，且|PA|・IPBI-4,求a的值.

23.（本小题满分10分）选修4-51不等式选讲

已知函数八工）・|2工一。|+|工+1|,°eR.

（I）当a=4时，求不等式f（工）。7的解集；

（11）若/（工）>勿，求”的取值范围.

数学（文科）■一诊”考试题第4页（共4页）

成都市2021级高三第一次诊断性检测数学(文科)

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1、已知函数f(x)=，2-2,x<0,则f(-l)+f(l)=()

兀x

A-1sin——，x>0,B0C1D2

I2

【解析】

【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。

【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出

f(-l)+f(l)的值就可得出选项。

JI

【详细解答］-1<0,f(-l)=l-2=-l,1>0,f(l)=sin—=1,f(-l)+f(l)=-l+l=0,4B

2

正确，，选B。

2、普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统

抽样方式，为此将他们一一编号为「2000,并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号

码段中随机抽取的号码是2,那么从第三个号码段中抽出的号码为()

A52B82C162D252

【解析】

【考点】①系统抽样法定义与性质；②系统抽样法的基本方法。

【解题思路】根据系统抽样法的性质，运用系统抽样法的基本方法，结合问题条件求出从第

三个号码段中抽出的号码就可得出选项。

【详细解答】剪^=80,第一个号码段中随机抽取的号码是2,二从第三个号码段中抽

25

出的号码为162,nC正确，，选C。

i-i

3、已知复数Z=一二(i为虚数单位)，则Z的虚部为()

Z+Z

A-1B1C-iDi

【解析】

【考点】①复数定义与性质；②复数代数表示的基本方法；③复数运算法则和基本方法。

【解题思路】根据复数的性质和复数的代收表示方法，运用复数运算法则和基本方法，结合

问题条件求出复数Z的代数表示式，从而求出复数Z虚部的值就可得出选项。

(1-21_+r-2/

【详细解答】Z=_LA=_;__L!_J'E-r的虚部为-1,nA正确,

i+i4(1+0(1-01-z22

选Ao

4、若数列｝满足％=3,an+1=2an-n+1,%+%+%=()

A6B14C22D37

【解析】

【考点】①数列定义与性质；②数列递推公式定义与性质；③运用数列递推公式求数列项的

值的基本方法。

【解答思路】根据数列和数列递推公式的性质，运用数列递推公式求数列项的值的基本方法,

结合问题条件分别求出。2，%的值，从而求出42+a3+%的值就可得出选项。

【详细解答】[=3,an+i=2an-n+1,a2=2x3-1+1=6,a3=2x6-2+1=11,tz4=2x11-3+1

=20,%+%+%=6+11+20=37,=>D正确，二选D。

5、己知向量a=(-1,y/3),b=(2,0),则cos<a,b>=()

,V3£1旦

A——BC——D

222一~T

【解析】

【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则

和基本方法。

【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本

方法，结合问题条件求出cos＜。，b＞的值就可得出选项。

【详细解答】向量a=(-1,),b=(2,0),；•a力=-2+0=-2,|a|=JTT^=2,|=J4+O

a.b-2

二2,a.b=\d\\b|cos<4?,b>,•*-cos<a,b>=nc正确，二选

\a\.\b\~2x22

Co

6、若实数x,y满足约束条件2x-y＞0,则x+y的最小值为()

33

A0B-x-2y<0,CD1

75

【解析】Jx+y-l>0,

【考点】①简单线性规划定义与性质；②确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；③

确定二元一次不等式组表示可行域的基本方法；④求目标函数最优解的基本方法。

【解题思路】根据确定二元一次不等式表示平面区域和确定二元一次不等式组表示可行域的

基本方法求出约束条件的可行域，运用求目标函数最优解的基本方法就可求出z=x+2y的最

大值就可得出选项。

【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由

2x-y=0,解得：［x=0,A(0,0)，由2x-y=0,

x-2y=0,匕=0,3x+y-l=0,

1BJ22

解得:rx=一,••JJ\J二)，由「x-2y=0,解得;x=—,

557

_21

y-513x+y-l=0,y=—,C

777

当目标函数z=x+y经过点A时，z=0+0=0,当目标函数z=x+y经过点B时,

12321333

z=—+—=—,,当目标函数z=x+y经过点C时，z=—+—=一，0<—<—,x+y的最

55577775

小值为0,=>A正确，二选A。

7、己知函数f(x)的大致图像如图所示，则f(x)的解析式可以为()

2xex2xex41n(|A|+1)

Af(x)=———Bf(x)=F——Cf(x)=----D----f-(-x-)-=---

e2x-le2x+l(x2+l)ln(|%|+2)~x~+l-

【解析】

【考点】①函数奇偶性定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④判

断函数奇偶性的基本方法。

【解题思路】根据函数奇偶性，指数函数和对数函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方

法，结合函数的大致图像对各选项的解析式进行判断就可得出选项。

【详细解答】对A,函数f(x)的定义域为(-co,0)IJ(0,+oo)与图像不符，，A错

误；对B,f(x)=F'=」T，定义域为R,f(0)=、一=0,f(-x)=二±=-f(x),.•.函

e+1.，11+11,/

数f(x)是奇函数，图像关于原点对称，当XT+00时，函数f(x)的图像与x轴无限逼近，二

函数f(x)=F——的大致图像与已知图像吻合，=>B正确，二选B。

e+1

8、已知平面a,B若aP=a,yP=b,,则“a///"是"a//b"的()

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

【解析】

【考点】①直线平行平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③直线平行平面性

质定理及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要

条件和充分必要条件的基本方法。

【解答思路】根据直线平行平面和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用直线平

行平面判定定理，性质定理与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法判断

“a///”是“a//b”所属的条件就可得出选项。

【详细解答】;•若a///,a\/3=a,"1-acz平面0,Vy/3=b,a//b,=>uall7”是

"a//b”的充分条件；\•若a//b,/(3=b,当直线a在平面,内，或与平面,相交时，都

不能推出a///,二“a//y”不是“a//b”的必要条件，综上所述，“a///”是“a//b”的充

分不必要条件，nA正确，，选A。

.1122IE、

9、右a=­In—，b=—In—,c=——，则()

2233e

Ac<b<aBb<c<aCc<a<bDb<a<c

【解析】

【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。

【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出

a,b,c的大小关系就可得出选项。

11722[4

【详细解答】a=—In—=ln—，b=—In—=ln^—

22AV233V9

<b=­In-,-<A/-<1,,,——In—<0，---1——----<0，,,—v—<0,c<a<b,

33五丫2222e12ee2

=>C正确，•二选C。

10、已知aG(0,Ji),且sina-cosa=2,贝!Jtana=()

A-73B巫cBDA/3

33

【解析】

【考点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数在各个象限的符号及运用；③同角三角

函数基本关系及运用。

【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求三角函数在各个象限的符号和同角三角函

数的基本关系，结合问题条件求出tana的值就可得出选项。

【详细解答】«e(0,»)，sina=-\/l—cos2a»sina-A/3cosa=2,I+A/3

_________6

22

coscr=vl—cosa?=>4cosa+2y/3cosa=0,「•cosa=0,或cosa=----,nsina=l,

2

]1\/3

或sina一,当sina=l,cosa=0时，tana无意义；当sina=—,coscr=-----时,

222

.sinaV3.但

••tana二------=-----，=>B正确，••选B。

cosa3

11、若X£[O,+00),x2+ax+i“1恒成立，则实数a的最大值为()

AeB2C1De-2

【解析】

【考点】①函数导函数定义与性质；②求函数导函数公式和基本方法；③运用函数导函数求

函数最值的基本方法；④求解恒成立问题的基本方法。

【解题思路】根据求解恒成立问题的基本方法，结合问题条件得到aWg(x)的表示式，运用求

函数导函数公式和基本方法及运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x)的最

小值，从而求出实数a的取值范围并求出实数a的最大值就可得出选项。

x

e1

【详细解答】XG[0,+00),V+ax+Ke"恒成立，=x£[0,+co),a<---X--恒成

XX

、&n茄/、/1'(\祀无一婷1(x-l)(eA-x-1)人、(、

乂，设函数g(x)=——X-—,g(X)=-----——-1+—=--------2-------，令g(X)

XXXXX

二0解得：x=l,XG(0,1)时，gf(X)<0,XG(1,+00)时，g'(x)>0,「•函数g(x)

在(0,1)时单调递减，在(1,+00)上单调递增，=>当X£[0,+00)时，g(x)max=g(l)

=e-l-l=e-2,••・若x£[0,+oo),*+ax+l4，恒成立，则实数a的取值范围是(-co,e-2],

即实数a最大值为e-2,0D正确，，选D。

_22

22

12、已知圆C：x+y-4V3y-4=0Q：=+斗=1(a>b>0)的两个焦点耳，F2,

ab

圆C和椭圆Q在第二象限的交点为N,NFX.A^=16A/3-24,则椭圆Q的离心率为()

A走B迈C巫D1

2322

【解析】

【考点】①椭圆定义与性质；②圆定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④求椭圆离

心率的基本方法。

【解答思路】设N(x「%)(看<0,%>0),根据椭圆和圆的性质，结合问题条件得到

焦点及(-2,0),F2(2,0),从而得到须，为关于b的表示式，运用平面向量数量积

的性质得到关于b的方程，求解方程求出b,a的值，利用椭圆离心率公式求出椭圆Q的离

心率就可得出选项。y

【详细解答】设N(x-%)(^<0,%>0),如图，

22

圆C：%2+y2y_4=0经过椭圆。：——+-^-T-=1

"ab

2

(a>b>0)的两个焦点耳，F2,C+0-0-4=0,=>

4(-2,0),F2(2,0),,圆C和椭圆。在第二象限的交点为N,+

22_

1

二0①，乌十^-=1②，NF1二(一2-玉，%),NF2=(2-11,%),NF1.NF2=16百一24,

aa-4一一

2

无；+,；=16省一20③，联立①②③解得：xx=-4^2^/3—3,yx=4-2A/3,a=^>3=2^2,

椭圆。的离心率为e=9=-^==R2,=>C正确，，选C。

a2V22

第II卷(非选择题，共90分)

二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。

13、设集合A={x||x|<2},B={x|y=lgx},则A।B=。

【解析】

【考点】①集合定义与性质；②表示集合的基本方法；③求解绝对值不等式的基本方法；

④对数定义与性质；⑤求两个集合交集的基本方法。

【解题思路】根据表示集合的基本方法，集合和对数的性质，运用求解绝对值不等式和两个

集合交集运算的基本方法，化简集合A,B,就可求出AB的集合。

【详细解答】集合A={x||x|<2)={x|-2<x<2),B={x|y=lgx}={x|x>0},A

B={x|0<x<2}o

14、曲线f(x)=/+x2+i在点(i,f(i))处的切线方程为o

【解析】

【考点】①函数在某点的导数定义与性质；②求曲线在某点处切线方程的基本方法。

【解答思路】根据函数在某点的导数线的性质，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法，

结合问题条件求出曲线f(X)=d+x2+l在点(1,f(l))处的切线方程。

【详细解答】f(X)=3X2+2X,Af(1)=3+2=5,f(l)=l+l+l=3,/.曲线f(x)=x3+%2+l

在点(Lf(l))处的切线方程为y-3=5(x-l),即5x-y-2=0。

15、记S”为等差数列{4}的前n项和，若％=14,且4，%，4成等比数列，则%024的

值为o

【解析】

【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及

运用；④求等差数列通项公式的基本方法。

【解答思路】根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式和前n项和公式，结合问题条件

得到关于等差数列{4}的首项和公差的方程组，求解方程组求出等差数列{4}的首项和公

差的值，从而求出首项和公差的通项公式就可求出生024的值。

【详细解答】设等差数列{4}的首项为可，公差为d,S7=14,且%，%，4成等比数

列，；.7a]+21d=14①，(q+3d)2=(%+2d)(4+5d)②，联立①②解得：4=2,d=0,

—-1，d=l,—cifl—2cin=n-2,.*.a，o24=2,^2024-2024-2—2022o

16、已知侧面积为8宕万的圆锥内接于球0,若圆锥的母线与底面所成角的正切值为工，

2

则球0的表面积为。

【解析】

【考点】①圆锥定义与性质；②球定义与性质；③球的表面积高三及运用；④棱锥体积公

式及运用。

【解题思路】根据圆锥和球的性质，结合问题条件求出R的值，从而求出SC的值，求出以

SC为直径，且垂直与球O直径的圆的面积，就可求出经过S和。1A中点的平面截球。所得

截面面积的最小值。

【详细解答】如图，设球的球心为0,半径为R,圆锥

底面圆的半径为r,圆心为SA为圆锥的母线，连接

SO,0A,圆锥的母线与底面所成角的正切值为

2

•■-SO.=-r,=>SA=Jr2+-r2=—r,-「圆锥的侧

12V22

面积为8J?%,兀户=8亚兀，=>r=4,SO.=—r=2,在RtAOQA中，OA=R,

22

OO]=R-2,0[A=4,二7?2=i6+(R—2)2,=>R=5,二球O的表面积为4万R?=100万。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分12分)

如图，已知正四棱柱ABCD-4B]G0中，M为AA的中点，AB=2,AA1=4O

(1)求证：GMJ■平面BDM；

(2)求三棱锥M-BGD的体积。

【解析】

【考点】①正四棱柱定义与性质；②勾股定理逆定理及运用；③直线垂直平面判定定理及运

用；④三棱锥体积公式及运用；⑤求三棱锥体积的基本方法。

【解题思路】(1)如图，根据正四棱柱的性质，运用勾股定理逆定理，结合问题条件证明

CjMlBM,GM_LDM,利用直线垂直平面判定定理就可证明GM_L平面BDM；(2)

根据三棱锥的体积公式，运用求三棱锥体积的基本方法，结合问题条件求出GM的值，三

角形BDM面积，就可求出三棱锥M-BC1D的体积。

【详细解答】（1）证明：如图，•ABCD-A]B}qDx是正四棱柱，M为A4的中点，AB=2,

AA=4,AM=MA=2,nBM=DM=《4+4=2&,MG=44+4+4=26,

22222

BC\=DG=J4+16=26，BM+MC]=8+12=20=BCt,DM+MC]=8+12=20

=DQ2,BM±QM,DM±QM,BM,DMu平面BDM,BMDM=M,/.CjMl

平面BDM；(2)如图，GM=J*+AG?=+AB；+与和2=J4+4+4=26,

BD=A/BA2+AD2=A/4+4=2①,BM=YJBA2+AM2=,4+4=2加，DM

二SABOM；T=2A/^,V_

^^JDA^+AM2=V4+4=2A/2,=x2\/^X2&XMBClD

=Vc「BDM=gX2V3X2^=4。

18、(本小题满分12分)

某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从

该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：

男生女生总计

参加篮球模块课程人数602080

参加羽毛球模块课程人数4080120

总计100100200

(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性

别有关；

(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块

化教学推广大使的评选资格,若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课

程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率。

n(ad-bc)

附：P^K2>K)0.0250.0100.0050.001

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)C

5.0246.6357.87910.828

Kc

【解析】

【考点】①列联表定义与性质；②随机变量定义与性质；③独立性检验的基本方法；④随机

事件概率定义与性质；⑤求随机事件概率的基本方法。

【解题思路】(1)根据列联表的性质，运用独立性检验的基本方法，结合问题条件求出K?

的值就可得出是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；

(2)根据随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法就可求出这2人来自不同

模块化课程的概率。

K?_n(ad-be)2

【详细解答】(1)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

200(60x80-20x40)2100

——~33.33333.333>10,828,有99.9%的把握认

(60+20)(40+80)(60+40)(20+80)3

为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)设这2人来自不同模块化课程的

事件为C,篮球模块的3名学生分别为A,4,4，羽毛球模块的3名学生分别为B,,B2,

B3,-从6名学生中随机抽取有2名的基本事件有A4，44，4片，A,B2,A]B},

，B共个,

AA3,A,Bt,B2,4aA3X,A3B2,A3B3,BxB2,BtB3,4B,15

从6名学生中随机抽取的2名学生来自不同模块化课程的基本事件有4Bx,A.B2,A】B),

__93

TL共个，,即这人来自

4zBi,,zBz,,&ByAJ,B1,,JA,z,B,,AJ,J9P(C)——=—,2

不同模块化课程的概率为三3。

19、(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2J^sinxcosx+Zcos?x-1,在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,

c,且满足f(A)=l。

(1)求A的值；

(2)若b=l,求a+c的取值范围。

【解析】

【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③三角形正弦定理

及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤三角形面积公式及运用。

【解题思路】(1)根据三角函数二倍角和辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)正弦型

三角函数的表示式，就可求出A的值；(2)根据三角形余弦定理，结合已知条件求出c关

于a的表示式，从而求出b,c的值，运用三角形面积公式就可求出AABC的面。

【详细解答】(1)函数f(x)=2^3sinxcosx+2cos2x-l=^/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

=^>2A+—=2k^+—,或2A+工=2k%+%,

f(A)=2sin(2A+—)=1,sin(2A+—,

TT7/7/

A=k〃，或A=k%+—(keZ),AABC是锐角三角形，二A=—；(2)b=l,A=—,

7?10/77h71TC71

ci=1+c-2cx—=c-c+1,=^>a+c=7c—c+1+c,0<C=--B<—,—<B<—,

71

1入「sin(—+B)

1/?sinC3

---------，..一—<c=-----------=-------------------------------1---、----1---、工,田奴旦

sinBsinC2sinBsin32tanB222

二A/02—c+l+c在(—,2)上单调递增，]+'=1+若Vf(c)=—c+]+c

2\4222

<74-2+1+2=73+2,二a+c的取值范围是(匕无，2+g)。

2

20、(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，动点C到点F(l,0)的距离已与到直线x=-l的距离相等。

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)若直线1：y=x+m与动点C的轨迹交于P,Q两点，当APQF的面积为2时，求直线1

的方程。

【解析】

【考点】①点的轨迹方程定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③设而不求，整体代入

数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及

运用。

【解题思路】(1)根据点的轨迹方程的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条

件就可求出动点C的轨迹方程；(2)设P(七，%),Q(%，为)，联立直线1与动点

C的轨迹方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到

须+%，关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式，

结合问题条件得到关系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线1的方程。

【详细解答】(1)设动点C(x,y),|CF|=J(x-l)2+y2,点C到直线x=-l的距离为

d=|x+l|,动点C到点F(l,0)的距离已与到直线x=-l的距离相等，二J(x-If+y?=|x+l|,

ny2=4x,二动点C的轨迹方程为y2=4x(xNO),(2)设P(x「%),Q(%，为)，

222

联立直线1与动点C的轨迹方程得：x+(2m-4)x+m=0,+x[=4-2m,x^x^m,

二|PQI=gJ(4-2㈤2-4疗=45赤,小与警U宁，

22

|PQ|JF=2|l+m|Vl-m=2,P,Q是不同两点，A.=i6-16m+4m-4m=16(l-m)>0,

_i+J5

=>m<l,(m2+2m+l)解之得：m=0或m=—,直线1的方程的方程

、r_p.-1+y/5

为x-y=0,或x-y+-------=0,或x-y-

2

21、(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2e'-ex。

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：f(x)>e(Inx+cosx)。

【解析】

【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法;

③运用函数导函数证明不等式的基本方法。

【解题思路】(1)根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数/'(x)