山东省日照市2024届高三年级下册一模数学试题（附答案解析）

山东省日照市2024届高三下学期一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜|2必一彳一"0},B={x|x>0},则AB=（）

A.-万/B.——,+°°^C.[0,1]D.（0,1]

2.已知数列{%}是公比为2的等比数列，且4+%=3,则%+4等于（）

A.24B.48C.72D.96

3.已知样本空间Q={a,b,，M含有等可能的样本点，且&={。,耳，B={b,c},则

尸（碉=（）

A.一B.—C.—D.1

424

4.已知/,根是两条不同的直线，a为平面，机ua,下列说法中正确的是（）

A.若/与a不平行，贝I]/与相一定是异面直线

B.若/〃1，则/与机可能垂直

C.若/Ia=A,且则/与比可能平行

D.若/Ia=A,且/与口不垂直，贝心与机一定不垂直

5.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他

的同学一行四人决定去看这三部电影,则恰有两人看同一部影片的选择共有（

A.9种B.36种C.38种D.45种

JT

6.“0<4<二"是"£<5[11<7''的（）

2

A.充分不必要条件B.必要不死分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.己知函数/（X）=2S血-2。阻，则（）

B./（%）不是周期函数

C.“X）在区间（0,空上存在极值

D.〃尤）在区间（0,兀）内有且只有一个零点

22

8.过双曲线^--匕=1的右支上一点P,分别向G：(x+4)2+y2=3和

412

G：（%—4）2+V=i作切线，切点分别为N,则（尸加+尸叶地的最小值为（

c.30D.32

二、多选题

9.下列命题正确的是（）

A.复数z=—2—i的虚部为-1

B.设z为复数，（l-i）z=l+i,则同=2

C.若复数z=a+历（a力eR）为纯虚数，则。=0,方片。

D.复数2-i在复平面内对应的点在第二象限

10.从标有1,2,3,8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得

到数字a,b,记点A（a,b）,0（0,0）,则（）

7B./ABO是直角的概率为二

A.203是锐角的概率为二

1632

743

C.一AO5是锐角三角形的概率为D.的面积不大于5的概率为

76T47T64

11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭

圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与

圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球球仪切于点及F（E,尸是截口椭圆。的

焦点）.设图中球a,球。2的半径分别为4和1,球心距。&|=取，则（）

试卷第2页，共4页

A.椭圆。的中心不在直线上

B.|EF|=4

C.直线002与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为也

34

,3

D.椭圆C的禺心率为《

三、填空题

12.有一组按从小到大顺序排列的数据：3,5,7,8,9,10,则这组数据的40%分位

数为.

13.设=满足：对任意占wR,均存在超eR,使得

〃')=/(9)-2々，则实数。的取值范围是.

14.已知正四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC

的平面截该棱锥，得到截面多边形用则》的边数至多为，»的面积的最大值

四、解答题

15.在锐角ABC中，角4,B,C.所对的边分别为a,b,c.已知&a-26sinA=0且

a=5,C=4A/2

(1)求角B及边b的大小；

(2)求sin(2C+B)的值.

16.己知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S“，且知,Sn,力成等差.

(1)求％及｛4｝的通项公式；

⑵记集合卜a“+：W2左,左eN+，的元素个数为4,求数列4的前50项和.

17.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变

人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索

最贴切的结果进行应答.在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误,

则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%.假设

每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；

(2)在某次测试中，输入了〃("26)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记

软件正确应答的个数为X,X=A(Z:=0,L,〃)的概率记为尸(X=k),则w为何值时，

P(X=6)的值最大？

18.已知函数/'(x)=31nx+＜zv2-4x(a＞0).

⑴讨论函数的单调性；

(2)当a=g时，若方程=有三个不相等的实数根芯,9，不，且玉＜/＜无3,证明：

一项＜4.

19.已知椭圆C：W+《=l(a＞6＞0)的左、右焦点分别为F2,离心率为:经过点“

且倾斜角为《。＜夕＜鼻的直线/与椭圆交于A,8两点(其中点A在x轴上方)，且△山码

的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-片8为直二面角，如图所示，

①求证：A'O1B'F2；

②求平面AEK和平面4"居所成角的余弦值；

⑵是否存在使得折叠后-A2或的周长为1?若存在，求tan。的值；若

不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】根据题意求集合4再根据交集运算求解.

【详解】由题意可得：A={x|2x2-x-l<0}=|x|-1<x<lj,

所以AB=（O,l].

故选：D.

2.B

【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果.

【详解】因为数列{%}是公比为2的等比数列，且4+%=3,

所以%+“6=（%+?）q=3，24=48,

故选：B.

3.A

【分析】根据题意分别求得P（A）,P（B）,P（AB）,结合独立事件的定义，可判定事件A与

B相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.

【详解】由题意，P（A）=1,

:.P（AB）=P（A）P（B）,

所以事件A与8相互独立，则A与月也相互独立，

.•.P（AB）=P（A）P（B）=P（A）（l-P（B））=1x1=l

故选：A.

4.B

【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若/与。不平行，贝也与a的位置关系有：相交或直线在平面内，

且mua,则/与根的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；

对于选项B：若/〃然，贝!J/与机可能垂直，

如图所示:l//l',r<^a,r1m,可知：ll.ni,故B正确；

答案第1页，共16页

对于选项C：若/Ia=A,且Ae机，〃zua,则/与机异面，故C错误;

对于选项D：若/Ia=A,且/与a不垂直，贝！j/与根可能垂直，

如图，取a为平面ABC。，1=ADt,m=AB,

符合题意，但/_Lm,故D错误；

故选：B.

5.B

【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.

【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看,

剩余的2人，2部影片进行全排列，

故共有CjC；A；=6x3x2=36种情况.

故选：B

6.D

【分析】根据幕函数以及正弦函数的性质，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若。例如。=1,则〃=i,sina<sin5=l,

可知〃>sina,即充分性不成立；

若c^vsina,例如a=-2,贝〃=-8<-i«sina,满足题意，

但-即必要性不成立；

综上所述："0<a<曰7T"是“a3<sina”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7.D

答案第2页，共16页

【分析】对于A,由诱导公式即可判断；对于B,由三角函数周期可得了（2兀+x）=/（x）,

由此即可判断；对于C,由复合函数单调性即可判断；对于D,令

/⑴=2A-2COM=O,xe（0,7i）,解方程即可得解.

【详解】对于A,

对于B,/（2兀+x）=2'皿2吟）一2co'（2E）=2sinx-2""=〃x）,所以是以2兀为周期的函数,

故B错误；

对于C,由复合函数单调性可知、=2'加4=2。。,在区间：0,口上分别单调递增、单调递减，

所以“力在区间［。弓］上单调递增，所以不存在极值，故C错误；

对于D,令〃耳=2、加-2coM=O,xe（（U）,得2s班=2"必，所以sinx=cosx,即该方程有唯

一解（函数/（可在（o㈤内有唯一零点）故D正确.

故选：D.

8.C

22

【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线'-卷=1的左右焦点为耳（Y,。），耳（4,0）,

连接Pfj,PF2,F、M,F2N,运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和

取得最小值，计算即可得到所求值.

22

【详解】由双曲线方程+忘=1可知：a=2,b=2&=G仔=4,

可知双曲线方程的左、右焦点分别为耳（T,。），舄（4,0）,

圆G：（x+4y+y2=3的圆心为G（-4,0）（即月），半径为

圆。2：口一4）2+/=1的圆心为G（4,0）（即尸2），半径为4=1.

连接尸月，PF2,F、M,F2N,则.，

答案第3页，共16页

可得（PM+PN）.7VM二,”+例）,“—氏[^⑼,一归叫:伊外—/卜伊工厂—日

=|即「一3）-仍用2T=|尸耳「-「用2-2=（户周一户用）.（|3|+「闻）一2

当且仅当尸为双曲线的右顶点时，取得等号，即（9+两＞也的最小值为30.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得（PM+PN）-NM=|PM『-,N『，结合双曲

线的定义整理得（PM+PN）•NM=2a（附|+1尸闾）-2,结合几何性质分析求解.

9.AC

【分析】对于ACD：根据复数的相关概念和几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法

运算可得z=i,进而结合共辗复数的概念和复数的模长运算求解.

【详解】对于选项A：复数z=-2-i的虚部为-1,故A正确；

对于选项B：因为（l—i）z=l+i,贝i]z=H=/（1：）、=i,

1-1（1—+

所以同=同=1,故B错误；

对于选项C：若复数z=a+历①力eR）为纯虚数，则。=0,b^Q,故C正确；

对于选项D：复数2-i在复平面内对应的点为（2,-1）,在第四象限，故D错误；

故选：AC.

10.ACD

【分析】A选项，先得到8x8=64种情况，数形结合得到要想，A03为锐角，则点A应在

直线/：'=无下方，共有28个点满足要求，得到NAOB是锐角的概率；B选项，求出直线

y=x-2,要想/ABO为直角，贝。点A在y=x-2上，列举出满足要求的点的个数，B正确；

C选项，要想sAOB为锐角三角形，则点A落在直线/：y=x与直线〃z：y=x-2之间，列举

答案第4页，共16页

出满足要求的点，得到概率;D选项，要想:A03的面积不大于5,则点A在x+>-1。=0上,

或x+y-10=0的下方，即x+y-10W0,列举出满足要求的点，得到答案.

【详解】A选项，标有1,2,3,8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张,

共有8x8=64种情况，

设/与直线。3垂直，因为左OB=T，则直线/：y=x,

其中64个点中，有8个落在直线/：y=x上，剩余56个点中，一半在/：y=x上方,

一半在/:>=无下方，

要想/AC®为锐角，则点A应在直线/：'=无下方，

其中满足要求的有28个点，

OQ7

故是锐角的概率为二=二，A正确;

6416

B选项，过点B作直线口」03,

则A点落在直线加上，满足为直角，

其中噎=-1,故直线加的斜率为1,直线加的方程为y+l=x-l,即y=x-2,

落在y=x-2上的点的坐标有（3,1）,（4,2）,（5,3）,（6,4）,（7,5）,（8,6）,共6个,

故是直角的概率为二=1，B错误；

6432

C选项，要想以03为锐角三角形，则点A落在直线/：y=x与直线my=x-2之间,

根据点的坐标特征，应落在y=x-i上,

满足要求的点有（2,1）,（3,2）,（4,3）,（5,4）,（6,5）,（7,6）,（8,7），共7个,

答案第5页，共16页

7

故.AO3是锐角三角形的概率为二，C正确;

D选项，直线0B的方程为尤+y=。，|O@=jm=&,

设直线〃：％+y+c=o,

设直线"与直线。B的距离为d,

则心得=5

|c|

^~\OB\-d=^xy/2--^<5,|^#-10<C<10,

故要想A03的面积不大于5,则点A在尤+y-10=0上，或x+y-10=0的下方,

即x+y-10<0,

满足要求的点有（1,1）,（1,2〉..,（1,8）,（2,1）,（2,2）,,（2,8）,（3,1）,（3,2）,,（3,7）,

（4,1）（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（7,1）,（7,2）,（7,3）,（8,1）,（8,2）,

共8+8+7+6+5+4+3+2=43个,

AO3的面积不大于5的概率为TY，D正确.

64

故选：ACD

11.ACD

【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦

距作答.

【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平

答案第6页，共16页

面截此组合体，

得圆锥的轴截面及球a,球。2的截面大圆，如图,

点A,B分别为圆O,,O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴,

可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线。。2上，故A正确；

过作020AQA于。，连Q8,显然四边形AB。?。为矩形，

又|。2回=1,|0划=4,。勾=南，

贝!12a=|明=\O2D\=河=J（后『_32=5,

过。2作交。出延长线于C,显然四边形为矩形，

22

椭圆焦距2c=\EF\=|O2C|=J|QQ『TqC『=J（V34）-5=3,故B错误；

所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为sinNC0Qi=翳=2=孚，

73434

故C正确；

所以椭圆的离心率6=三=3,故D正确；

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是

解决问题的关键.

12.7

【分析】根据百分位数的定义分析求解.

【详解】因为该组数据共6个，且6x40%=2.4,

所以这组数据的40%分位数为第三位数，即为7.

答案第7页，共16页

故答案为：7.

13.（-<o,l]

【分析】令Mx）=/（x）-2x,由题意MXUW/a）而n，利用二次函数性质求得最值列不等

式求解即可.

【详解】令h（x）=/（x）-2x=尤2+（。-2卜+>

因为对任意占eR,均存在％eR,使得〃%）=/卜2）-2W，所以/（尤）的值域是无⑺值域

的子集，

所以以幻出W/（X）min，即b一件/W6一],解得。41,即〃的取值范围是（一8,1].

故答案为：（fl]

14.5逑/4亚

33

【分析】数形结合，作平面与平面3ZW平行，即可解决；令三=%，用几表示相关长度,

SF

2

整理得S=SEMP+SPMNQ=-3V22+4低,结合二次函数即可解决.

【详解】取SC中点且BPDF=F,8尸，。尸u平面取不，可知SCL

平面BDF,

根据平面的基本性质，作平面与平面3期平行，如图至多为五边形.

令m=2，贝1|£尸=28歹=后,5尸=>158=2；1，

可得P3=3。=PQ=2（1-力）,NQ=A/尸=43。=2仞，

2

则cosNDFB=2义石义若=§，可得sinZDFB=^1-cosZDFB=,

所以SEMP=LX出入x坦入乂地=近万，

23

又因为肱V与NQ的夹角为&L与即夹角，而&4与助垂直，

答案第8页，共16页

贝USPMNQ=2V22X2(1—2)=4也(1-2),

可得S=4&(1_2)+仞2=_3内2+4&=

可知：当时，s取最大值记.

33

故答案为：5；逑.

3

【点睛】关键点点睛:根据平面的性质分析截面的形状,结合几何知识求相应的长度和面积,

进而分析求解.

15.⑴台=“b=VF7

⑵一述

34

【分析】⑴根据正弦定理边换角即可得B三，再利用余弦定理即可得什叵

(2)利用余弦定理求得cosC=J^

,再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得

到答案.

【详解】(1)依题意，y/2a-2bsinA=0

由正弦定理得0sinA—2sin5sinA=0，

由于锐角三角形中0<A<],sinA>0,所以血一2sinB=0,sinB=#

而3是锐角，所以3=：.

4

由余弦定理得6=J/+c2_2accosB=125+32—2>5>40>孝=旧.

⑵由余弦定理得"言,而C是锐角,

所以sinC=A/1-COS2C所以

sin(2C+3)=sin12。+(J=与(sin2C+cos2C).

=2sinCcosC+2cos2C-l^

答案第9页，共16页

=5/2sinCcosC+5/2cos2C—

2

二后木*+0;%-等

16.(1)%=1,an=n

(2)2497

【分析】(1)根据等差中项可得2'=°"+%，结合S”与与之间的关系分析可知数列｛q｝为

等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解；

[0,%=0

(2)根据题意可得％+结合基本不等式可得为=1,％=1,结合等差数列求

2(n)

2k-l,k>3

和公式运算求解.

【详解】(1)因为。“，Sn,a；成等差，则2s”=a“+a：,且a“>0,

当〃=1时，可得2q=%+“；，解得q=1或%=。(舍去)；

当"22时，可得2S"_]=见_]+a；_],

两式相减得2a„=4,-%+4；-41，整理得(q+«„-1)(«„-%)=(a〃+%T)，

且a“+a,i>。，则

可知数列｛%｝是以首项为1，公差为1的等差数列，所以4=1+1=九.

441(4A

(2)因为为+一工2左，由(1)可得”+—V23gp/:>-n+-\,

a.n2(n)

因为+=当且仅当〃=：,即〃=2时，等号成立，

可知仿=0,仇=1；

当上23时，因为512%-1+

所以a=2"1；

答案第10页，共16页

Q%=0

综上所述：4=1次=1.

2k-l,k>3

所以数列4的前50项和为0+1+5+7+…+99=1+48（"99）=2497.

2

17.（1）0.75

（2）7或8

【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解;

（2）由题意可知：X:2.—］且「（*=6）=@@）\：,结合数列单调性分析求解.

【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件4“回答正确”为事件3,

由题意可知：P（A）=0.1,P（B|A）=0.8,|A）=0.3,贝|P（A）=1—尸（N）=0.9,

所以尸（B）=尸（例可尸（可+尸（3|A）尸（A）=0.75.

3

（2）由（1）可知：P（B）=0.75=-,

n+1

令4（"5）<1解得〃>7,可知当可得%+i>4；

n+1

令4（"-5）=1解得〃=7,可得〃8=%;

所以当〃=7或〃=8时，a“最大,即"为7或8时，P（X=6）的值最大.

18.（1）答案见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）求导，分AW0和A>0两种情况，结合导数符号判断函数单调性;

答案第11页，共16页

（2）根据题意分析可知：在（0,1）,（3,M）内单调递增,在（1,3）内单调递减,

0<Xj<1<x2<3<%3,利用极值点偏离证明％+无2>2和3+w<6,即可得结果.

【详解】（1）由题意可知：/（尤）的定义域为（。,+巧，r（x）=-+2ar-4=W-4x+3,

XX

且a>0,令/'（x）=0,可得2加_4彳+3=0,

2

当△=16-24a（。，即时，可知262一4元+320在（。,+8）内恒成立，

即广⑺20在（0,+8）内恒成立，所以〃x）在（0,+向内单调递增；

当A=16—24。>0,即0<。</时，由2分2一4元+3=0角军得%=2->一6a或尤?=2+3-64,

32a2a

23

由4+工2=一>0,不工2-——〉0可矢口0<%1<々，

a2a

若尤6（0,不）3无2，+8）,>0;若%€（4%2），尸（“<。；

所以f（x）在（0,%），（%，口）内单调递增，在（%,%）内单调递减；

综上所述：当时，〃尤）在（0,+司内单调递增；

当0<。<段时，"X）在（0,2一?一6。］（丑坐图,+［内单调递增,在

2—，4一6〃2+44—6a1141M、田、节、件

——-----,——-----内单倜递减.

［2a2a,

ii3

（2）当4=］时，KTW/（-^）=31nx+—x2-4x,/r（x）=-+x-4,

由（1）可知:〃%）在（。,1）,（3,+s）内单调递增，在（1,3）内单调递减，

由题意可得：。<%<1<工2<3<七，

因为〃%）=/（%）=/（玉）=6,

令g（x）=〃x）-/（2-x）,0<x<l,

则g，（^）=/，（-y）+/，（2-x）=f-+x-4>l+f-^—+2-X-4K>0,

\X）［2—XJX12,—X）

可知g（X）在（0,1）内单调递增,则g⑺<g⑴=0,

可得/（x）<〃2r）在（0,1）内恒成立，

答案第12页，共16页

因为。<玉<1,则毛)=/(%2)</(2—玉)，

且1<2-不<2,1<马<3,〃x)在(1,3)内单调递减,

则2-玉<兀2,即再+%2>2；

令/z(x)=/(九)一/(6—九),1vx<3,

贝1g'(尤)=/'(x)+/'(6_x)=(3+x_4]+(^—+6_j_4]=6(j3)、>0,

1工)[6-兀)x[6-x)

可知/?(x)在(1,3)内单调递增，则1(x)<43)=0,

可得/7(x)<〃(6-x)在(1,3)内恒成立，

因为1<%<3,则/(X2)=/(X3)</(6-X,),

且3<6-x?<5,鼻>3,/(X)在(3,+Q0)内单调递增，

则6-％2>%,即％+%3<6；

由石+%>2和％2+x3<6可得工3—再<4.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数/©)；

(3)利用导数研究火力的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两

个函数的最值问题.

19.(1)①证明过程见解析；②坦叵

205

(2)返，理由见解析

14

【分析】(1)①根据椭圆定义得到4〃=8,结合离心率得到c=l,求出62=/_°2=3,得

(o3O

到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到A(0,6),B,得到40，£月，结合

7

答案第13页，共16页

二面角A-月g-8为直二面角，得到线面垂直，证明出结论；

②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值；

(2)设折叠前A&,%),8(%,%)，折叠后对应的4(%,如0),3'(々。-%)，设出直线/的方

程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到

\AB\-\A'B'\=^,变形得到;一2%%=,4+1"6+一4%%，代入两根之和，两根之积，

求出/=上，进而求出tan。的值.

45

【详解】⑴①由椭圆定义可知|做|+|四|=2a,|即|+忸引=勿,

所以△ABW的周长z=4a=8,所以a=2,

1Q|.,

因为离心率为不，故一解得c=l,

2a2

则62=42一°2=3,由题意，椭圆的焦点在x轴上，

22

所以椭圆方程为工+乙=1,

43

直线/：^-0=tanj-(x+l),即/:y=6(％+1),

22o

联立=二=1得15f+24x=0,解得x=0或弓,

435

当x=0时，y=V3x（0+l）=V3,当x=_|"时,

(836)

因为点A在无轴上方，所以4仅,道)也一厂号J

故49,用B，折叠后有AOL片鸟,

因为二面角4-片巴-B为直二面角，即平面月，月6夕，交线为久心,

A。u平面A'E月，

所以AOL平面

因为巴ZTu平面月玛夕，所以

②以。为坐标原点，折叠后的y轴负半轴为无轴，原》轴为了轴，原y轴正半轴为z轴，建

立空间直角坐标系，

答案第14页，共16页

则与（O,-l,O）,A仅,0,若）,B-^-,--,0，耳（0