2024年高考数学模拟卷3（新题型地区专用）

2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的50百分位数为（）

A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7

【答案】B

【解析】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，

o4+S6

所以数据6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第50百分位数为二——二=8.5.故选：B

2

2.若抛物线炉=2py（p>0）上一点到焦点的距离是4p,则。的值为（）

「7

1276

【答案】A

【解析】因为抛物线V=2py（p>0）的准线为>=-勺

由题意可得：6栏=4p,解得p=T•故选：A.

3.若数列｛%｝为等比数列，贝-生21”是"1+。5±2"的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【答案】C

【解析】若数列｛4｝的公比为0,

由生=。421,故4>0,则%=可炉>。，

所以4+。5z2doic=羽22,当且仅当4=%，即q2=l时取等号，故充分性成立；

由q+为22,故—+若q2=（，则故必要性不成立；故选：C

4.已知a、”是空间中两个不重合的平面，相、〃是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若加〃〃，〃ua,则〃z〃czB.若机_L〃，〃ua,则机

C.若7〃u<z,nu/3,mHn,则a〃尸D.若nL/3,m±n,则1_L/?

【答案】D

【解析】A：若根〃"，"ua,则m〃a或mua,错；

B：若根_L〃，nua,则优与a相交或“zue,不一定有错；

C：若mua,nu/3,miln,则a,6平行或相交，错；

D：若相，a,则直线的方向向量分别为a,力的法向量，

又山」”,即平面法向量垂直，所以对.故选：D

5.将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书,

每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为()

A.78B.92C.100D.122

【答案】C

【解析】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，

「202

此时的分配方法有c；・C；•A；+当/•A；=14种，

当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有C[A；=36种.

综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是14+36=50.

同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.

故不同的分配方法数是50+50=100.故选：C

6.正一ABC边长为2,点P是一AfiC所在平面内一点，且满足BP：#,若AP=2AB+〃AC,则几+〃的

最小值是()

A.|B.更C.2D.毡

【答案】A

【解析】正..ABC边长为2,点P是一/1BC所在平面内一点，且满足8尸=走，

2

建立平面直角坐标系，如图所示：

则4(0,®5(-1,0),C(l,0),

由于点尸在以(-1,0)为圆心，正为半径的圆上，

2

所以P点的坐标为1-I+孝cosd^sinJ],

所以AB=(-1,-若)，AC=(1,-V3),AP=(T+*cos。,咚sin。-石)，

由于AP=AAB+juAC,

:(―1H—^-cosa5-sin6-5/^)=4(-1,-+〃(1,-,

当6=270。时，sin6=-l,即（4+〃）皿=-；+「；.故选：A.

则sin3a=()

7.已知tana=2,

sina+cosa

2_2_

A.-B.—C.二D.

9159-15

【答案】D

［解析］.s1113a_sinacos2a+cosasin2a_tanacos2a+sin2a

sincr+coscrsina+cosatana+1

2cos2。+sin2a2（cos2cr-sin26Z）+2sinacosa2（1-tan2。）+2tan。2

=------；------=------------------------=——7N—x-=一.故选：D

33^sin2cr+cos2crj3（tan2cif+lj15

22

8.已知双曲线C：1r-}=1Q>O,"O）的左顶点为AP（c,0）是双曲线C的右焦点，点P在直线x=2c上，且

tan—AP尸的最大值是逅，则双曲线C的离心率是（）

6

A.273B.2+A/7C.2痣D.4+2用

【答案】B

【解析】如图，直线尤=2c与x轴交于点〃，设|尸刊=加，则tan/Pm=',tan/PA"="-.

11ca+2c

因为NAPb=N7小H—,

tanZPFH-tanZPAH

所以tanZAPF=tan(NPFH-ZPAH)=

1+tanZPFHtanZPAH

mm

=+2c=，"（a+c）=a+c

加mac+2c2+m1ac+2c2'

n-----------mH------------

ca+2cm

因为“0+2L尔收+2c2,当且仅当〃z=J及+2c2时,等号成立，

m

所以tanZAPF<广十°,=£,整理得c之一4ac—3/=0,

2Jac+2c26

则e2-4e-3=0,解得e=2+J7.故选：B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数z满足z「=0，则z=0

B.若复数4、Z2满足区+马|=卜1-品|,则乎2=。

C.若复数4、Z2满足㈤=㈤，则z；=z；

D.若|z|=l,则|?+l+i|的最大值为0+1

【答案】AD

【解析】对于A,设2=。+历,a,6wR,则z-z=(a+bi)(a-bi)=/+/=0,于是。=6=0,z=0,A正确;

对于B,令复数4=1、z2=i,显然[z]+Z2]=|l+i|=0JZ]-Z2|=|l-i|=拒，

满足上+&|=%一22],而Z[Z2=i*0,B错误；

对于C,复数4=1、z?=i,满足㈤="|,而z；=l,z；=-l,显然z"z；,C错误;

对于D,因为忖=1,则在复平面内表示复数z的点尸在以原点。为圆心的单位圆上,

|z+l+i|=|z—（T—i）|表示点p到复数—l—i对应点A（T-l）的距离，

因此|以|1mx。49|+1=拒+1,即|z+l+i|的最大值为0+1，D正确.故选：AD

10.己知函数/（x）=Asin（azx+。）（其中A>O,0>O,-]<e<]）的部分图象如图所示，则下列结论正确

的是（）

A.f（x）=2sin（2x+

B.要想得到y=2cos2x的图象，只需将的图象向左平移三个单位

C.函数y=〃x）在区间,-*加+。（旌2）上单调递增

D.函数y=/（x）在区间g兀上的取值范围是卜6,1]

【答案】AC

【解析】由图得A=2,：T=岩一£=彳，所以7=§=无，。=2,所以/（x）=2sin（2x+0）,

因为点已2）在图象上，所以2=2sin（2x>",sinf|+J=l,

TTTT弓，可得/(x)=2sin[2x+[J,故A正确;

因为一5<。<]，所以9=

6

对于B,将/■（》）的图象向左平移三个单位，

得到y=2sin2卜+鼻+已=2si“2x+g+胃=2si“2x+爸的图象，故B错误;

对于C,由一^+2E<2x+~<^+2kn^kGZ）得一三十EWXW6+E（左GZ）,

所以函数y=〃x）在区间（也一夕也+为左阳上单调递增，故c正确；

_LF「7兀时，2x+3仁子所以疝,+「一I,

对于D,--,71

函数y=在区间—,7t上的取值范围是［-2』，故D错误.故选：AC.

11.已知定义域为R的函数〃x)满足/(%+丁)=/(%)+/3+盯(％+丫),尸(了)为/(力的导函数，且

r(i)=2,贝u()

A.〃尤)为奇函数B.在x=-2处的切线斜率为7

C.f(3)=12D.对\/占,％e(0,+co),X［.彳2，/［一；々］</(一)；/(%)

【答案】ACD

【解析】由题意定义域为R的函数〃x)满足/(x+y)=〃x)+〃y)+移(x+y)

令x=y=O,则〃0)=〃0)+〃0),二〃0)=0,

令产T,则/(O)=/(x)+/(—x),即O=〃x)+y(-x),，〃f)=-f(x),

故/'(X)为奇函数，A正确；

由于/(f)=-f(x),故__f(r)T(x),即「(T)=「(X),

则尸(X)为偶函数，由/'⑴=2可得r(—l)=2,

由/(尤+y)=/(x)+/(y)+孙(尤+y)，令y=i得了(左+1)=/(元)+/(1)+彳(％+1),

故/'(x+l)=/'(x)+2x+l,令x=-2,则/(-!)=1/''(—2)—3,，/'(—2)=5,B错误;

又/(x+y)=/(x)+/(y)+召(x+y)，

则/(尤+y)_(X［y)

令g(x)=/(x)—、，贝Ug(x+y)=g(x)+g(y),

由柯西方程知，g(元)=g6,尤，故/(xAgOO+'n'+g⑴-X,

贝Ijr(x)=x2+g(l),由于尸(1)=2,故l+g(l)=2,，g⑴=1,

即〃x)=：+x,则"3)=12,c正确；

%+尤2)3

11+2

对V%,%e(0,+oo),Xj^x2,f\^2,

%十%2

2

32

=~(~X1~X2+4兀2+演写)=--(Xl~X2^2(X1+工2)<0,

故）—""）；"%）,D正确，故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合A=卜9_2尤_3<0,xeR},8={尤料>a,a>0},则A8=R,则实数a的取值范围为.

【答案】（0,1）

【解析】由题意4=①，一2X一3<0"€叫="|-1<尤<3},8=卜卜|>>0}={%]%”或%（—a,a〉0},

若满足AB=R,则

-1<-a

又因为"3={%|-,所以<Q<3,解得0<a<l.

a>0

13.已知正四棱台ABC。-ABC"中，A8=2A4=4,若该四棱台的体积为空电，则这个四棱台的表面

3

积为.

【答案】44

【解析】如图所示：设分别为底面的中心，M,K分别为3C,4G的中点，且有KNLML,〃，地，

设正四棱台ABCD-A与GR的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为用、邑、4s3,

2

由A8=24用=4,即得A5=4,4月=2,所以岳=（4旦了=4,S2=AB=16,

又丫=；[岳+$2+7^?1/2及V=

33

所以有:（4+16+44x16〉JL=为3,解得JL=KN=6.

由勾股定理可得斜高KM=y/KN2+MN2=J阴2+F=2,

所以$3=：（用G+8C）-XM=6,从而S表面积=3+显+453=4+16+4X6=44.

14.若。+£-sin7=O,则而+4-Jcosy的最大值为.

【答案】72

【解析】由题意得：0<a+^=sinZ<l,a>0,020,

则（口+=a+（3+l^aP<a+/3+a+[3=2[a+/3^,

当且仅当。=6时等号成立，

即4a+用<小2（a+0）=12sin.,

即口+曲-Jcosy«J2siny-Jcosy,

10Ksin/«1兀

则有八/八'则+keZ,

[0<cos/<12

TTTT

有sin/在2k7t,—+2kji单调递增，cos/在2kitf—+2k7t上单调递减，

故JZsiny-Jcosy在2fai,1+2E上单调递增，

则当7=^+2®时，即sin/=l、cos7=0时，J2siny-Jcosy有最大值0,

即4a+曲-Jcosy的最大值为a.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数〃了)=1112%-依.

(1)a=—2e,求函数〃无)的最小值；

(2)若在(0,+动上单调递减，求。的取值范围.

【答案】(1)3；(2)|,+^

0]nx

【解析】(1)因为a=—2e,所以〃%)=1!12%+2同=尸(%)=——+2e,

x

令g(x)=&吧+2e,则有g，(x)=2(l-：nx),

XX

当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减,当0<x<e时，g[x)>0,g(x)单调递增,

因此当0<x<：时，则有g(x)<g]J=0,

因此当:〈KVe时，贝I]有。=g[j<g(x),

当x>e时，显然g(x)>0,

于是有当。<x<L时，函数单调递减，

e

当X>：时，函数/(X)单调递增，

所以-=©=啖]/3；

(2)由/(%)=In2%_狈=>='(%)=21n%,

x

因为/(%)在(0,+。)上单调递减，

所以:(%)=誓-。工0在(0,+8)上恒成立，

,21nx‘八、21nx

由------QW0nQ2-------,

XX

设/z(x)=&吧，则有〃⑴=2(l[nx),

尤X

当x>e时，”（x）vO,/z（无）单调递减,

当0<x<e时，/zr(x)>O,g(x)单调递增,

2Ine_2

所以M元）max

ee

要想/（力=羿-。40在（0,+功上恒成立,

2

只需4，因此。的取值范围为j+f.

e

16.(15分)

某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，

培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，

全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若

一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为希.

91

（1）若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概

率；

（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为求J的分布列和数学期望.

1412

【答案】⑴⑵分布列见解析，y

【解析】（1）由题意知共有（加+6）个团队，

一次抽取2个团队的情况有C；+6种，其中全是私家游团队的情况有C1种,

故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是廿=7—37~zv=—

C；+6（7W+6）（777+5）91

整理得+11租-152=0,解得=8或m=-19（舍去），

若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有C：=20种情况，

若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有C；=56种情况,

所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，

这3个团队全是跟团游团队的概率为女工=《；

（2）由题意知，随机变量J的所有可能取值为0,1,2,3,4,

33648

-。）中瑞以S是106i-143?

「（1）=管天■尸（"）=詈常,

故J的分布列为

如图，在四棱锥M-ABCD中，AB±AD,AB=AM=AD=2,MB=2血,MD=2-^3.

(1)证明：AB工平面MM；

2

(2)^DC=-AB,BE=2EM，求直线CE与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）|

【解析】⑴为AB=RW=2,MB=2心,

所以AA^+ABZ,所以ABJ_AM.

又AB_LAD,且AMAD=A,AMu平面7ID似，ADu平面AZ）暇,

所以ABI平面MAf.

（2）因为W=AD=2,MD=2B

4+4-121

贝Ijcos/M40=------------=——,且00vNM4Dvl80。，可知ZMW=120。，

2x2x22

在平面ATM/内过点A作x轴垂直于AM,

又由(1)知431平面4ZM1,

分别以AAf,AB所在直线为＞,z轴建立如图所示空间直角坐标系A-型.

则。(石,-1,0),("-I1}5(0,0,2),M(0,2,0).

因为助=2EM,则

可得EC=(石,BM=(0,2,-2),BD=(V3,-l,-2),

设平面BDM的一个法向量为〃=(%y,z),

BMn=2y-2z=0

则取z=l得〃=回,1）,

BDn=yfix-y-2z=0

jr

设直线EC与平面双加所成角为0,-

1

则sin0=cosEC,n\

5

所以直线EC与平面3ZW所成角的正弦值为g.

18.（17分）

22

已知点N在曲线C：—+—=1±,O为坐标原点，若点M满足ON=2OM，记动点M的轨迹为

1612

（1）求:T的方程;

11

（2）设c,。是上r的两个动点，且以co为直径的圆经过点。，证明:|oc|2+|OD|2为定值,

22

【答案】（1）土+工=1；（2）证明见解析

43

【解析】（1）（1）设M（x,y）,N（%N，yN），

因为点N在曲线C:二+2=1上，所以自+或=1,

16121612

xN=2x

因为ON=2OM=＞（/，％）=2（x,y），所以

yN=2y'

代入可得整+整=1,

f—丫2

即三+二=1,即r的方程为工+=1;

4341

（2）因为以8为直径的圆经过点O,所以。CLOD,

11117

当、。为椭圆顶点时,----7-----T=——I——二——

C|oc|卬4312

当C、。不是椭圆顶点时，可得直线OC的斜率存在且不等于零,

可设直线OC的方程为y=6（左片0）,则直线OD的方程为y=-^-x,

k

12

匚匚1

3+4左2（1212H

由，43，得,C

12k2、3+4公’3+442

y=kxy2

3+4左2

所以lOClW+,212（二+1）

3+4/

12(^2+1)

同理可得,,|<W=

3r+4

所以」-+」-=3+4/+(3/+4)=上7七=工

|OC「|OD|212(^+1)12(/+1)12'

117

综上，|OC「+|OD『为定值五.

19.(17分)

如果无穷数列｛4｝是等差数列，且满足：①Vi、jeN*,.eN*,使得“臼=4；②VLeN*,引、jeN*,

使得%%=ak,则称数列｛q｝是“H数列”.

(1)下列无穷等差数列中，是数列”的为;(直接写出结论)

{«„}：1>3、5、

｛么｝：0、2、4、

｛c.｝：0、0、0、・

｛""｝：-1、。、1、

(2)证明：若数列｛%｝是数列”，则％wZ且公差de