一轮复习课件46正弦定理和余弦定理-3

第六节正弦定理和余弦定理内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.正弦定理(1)定理:在△ABC中,其中R为△ABC的外接圆半径.(2)运用方法适用情形:两角A,B及其对边a,b(知三求一).列方程:.(3)变形:a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理(1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2accosB,c2=______________.

(2)运用方法适用情形:三边a,b,c,任一内角A(知三求一).列方程:a2=b2+c2-2bccosA或cosA=___________.a2+b2-2abcosC(3)变形:cosA=

,b2+c2-a2=2bccosA等等.3.三角形面积公式(1)正弦定理推论:S△ABC=absinC=

bcsinA=

.

(2)其他常用公式方法S=底×高;S=

absinC;S=

×C×r,(C为周长,r为内切圆半径)等等.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ()(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.()提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的.【易错点索引】序号易错警示典题索引1在三角形中,一个正弦值(正数)对应两个角,一个余弦值对应一个角考点一、T32忽视三角形内角范围,即0°<A<180°考点二、典例【教材·基础自测】1.(必修5P51练习T1改编)在△ABC中,BC=1,AC=5,则AB= ()【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=2.(必修5P52T5改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcosA,则△ABC为 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.3.(必修5P56A组T3改编)已知在△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于 ()【解析】选D.由正弦定理4.(必修5P56A组T6改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=,则△ABC的面积等于

.

【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由题意及余弦定理得解得c=2.所以答案:核心素养数学运算——正余弦定理结合三角变换

【素养诠释】数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.【典例】(2019·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2). 世纪金榜导学号(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【素养立意】

与三角恒等变换相结合,考查正弦定理、余弦定理.【解析】(1)由asinA=4bsinB及得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理得(2)由(1)及A∈(0,π),可得sinA=

,代入asinA=4bsinB,得由(1)