高三数学一轮复习讲义立体几何的综合运用教师

课题：立体几何的综合运用知识点一、直线、平面平行、垂直的性质及其判定1．直线、平面平行的判定及其性质：定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．【技能方法】（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行．【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．2．直线、平面平垂直的判定及其性质：定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。运用较少平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中．【技能方法】（1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；（2）证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；（3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直．【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．知识点二、空间几何体的表面积和体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π（r1＋r2）lV＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h＝eq\f(1,3)π（req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2）h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)（C＋C′）h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r(S上S下)）h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32．几何体的表面积：（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．【典型例题】【例1】正方体中，为中点，为中点.（1）求证：平面；（2），求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.（1）取中点，连接，，有，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，得证.（2）三棱锥的体积.【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积..【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）试题解析：解：（Ⅰ）因为分别为的中点，所以.又因为平面，平面所以平面.（Ⅱ）因为，为的中点，所以.又因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以.又因为，所以三棱锥的体积为.【举一反三】1．如图所示，在四棱锥中，是边长为2的正方形，且，且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）．试题解析：（1）证明：正方形，，，，，，，，，.（2），，，，，，，，，，，，，，，设点到平面的距离为，则，，【课堂巩固】1．如图，四棱锥的底面是正方形，⊥底面，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）取的中点为，连接，，可证明，∴平面．（2）．2．如图，三棱锥中，，底面为正三角形．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若平面，，，求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，∵，∴，又，∴，∴．（Ⅱ）平面且交于，，∴，即为三棱锥的高．又，，，∴，∴．则三棱锥的体积为．【课后练习】正确率：________1．如图，平面，底面为矩形，于，于（1）求证：面；（2）设平面交于，求证：.（Ⅰ）∵平面，面∴，又，∴面,面，∴∴面,面，∴，又∵,∴面.（Ⅱ）设平面交于，由（Ⅰ）知面∴,由（Ⅰ）同理面,面，∴∴面,面，∴，2．如图，四边形为矩形，四边形为梯形，,且平面平面，,点为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）四边形为矩形，且平面平面，平面，，，又平面，又平面，平面平面.（Ⅱ）作，垂足为，由平面平面，平面平面.得平面，即为三棱锥的高.在中，,是正三角形，,由，知，三棱锥的体积为.3．如图，在四棱锥中，为正三角形，,,,平面.（Ⅰ）若为棱的中点，求证：平面;（Ⅱ）若,求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）点到平面的距离为..试题解析：（Ⅰ）因为平面，平面,所以.∵，，所以平面.而平面,∴.,是的中点