直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系TOC\o"13"\h\z\u题型1直线与抛物线的交点坐标 1题型2抛物线的切线方程 6题型3弦长问题 13题型4抛物线中的通径 23题型5最值取值范围 29题型1直线与抛物线的交点坐标【方法总结】直线与抛物线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。【例题1】（2023·北京海淀·校考三模）抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=【答案】3或1【分析】先求得A，B两点的坐标，再利用抛物线定义求得AF,BF的值，进而求得【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)由y2=4xy=解之得x=3或x=13，则A则AF=3+1=4,BF=则AF:BF故答案为：3或1【变式11】1.（2023·全国·高二课堂例题）已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x（如图），平行于x轴的光线照射到抛物线上的点【答案】1【分析】根据抛物线方程可知F14,0【详解】因为抛物线y2=x的焦点为F14,0由于Qx,y是抛物线与直线PF联立方程y=-43x-14故点Q的坐标为116【变式11】2.（2021秋·高二课时练习）已知直线y=kx+2k>0与抛物线C:y2=8x【答案】233【分析】由联立直线与抛物线方程，根据韦达定理结合抛物线的定义计算得A、B坐标，并由余弦定理计算即可得出结果.【详解】设Ax1,由直线与抛物线方程联立y=kx+2y2∴x1x由抛物线的标准方程及定义可知：p=4，FA=∴x1=2由①②得x1则A4,42,B1,22由余弦定理得，cos∠AFB=故答案为：233【变式11】3.（2022秋·四川成都·高二校考期中）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P1,2，Ax1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF=2【答案】(1)y2=4x；(2)±22【分析】(1)利用待定系数法即可求解抛物线方程，根据抛物线的几何性质即可求其准线方程；(2)根据向量得到A、B坐标关系，再根据A、B在抛物线上得到两个方程，联立方程组求出坐标即可求得直线AB的斜率．【详解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2∵点P1,2∴22=2p×1故抛物线的方程是y2=4x，其准线方程是（2）AxAF=2∵A、B在抛物线上，∴y1由①②③④联立可得x2=1由③－④得：y1即kAB【变式11】4.（2022秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线C：y2=4x焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点(1)请写出一组满足∠AEF=∠BEF的点A，B的坐标；(2)证明：∠AEF=∠BEF；(3)若过点M8,0的直线与抛物线交于A'，B'两点，点E'-8,0【答案】(1)A(1,2)，B(1,-2)时满足∠AEF=∠BEF；(2)证明见解析；(3)96.【分析】（1）写出AB⊥x轴时对应的A，B的坐标即可；（2）过A,B分别作AC,BD垂直准线于C,D，根据抛物线定义及平行线性质易证Rt△ACE∼Rt△BDE（3）设直线A'B'为x=ky+8，联立抛物线及韦达定理得y【详解】（1）当直线AB⊥x轴，显然A,B关于x轴对称，此时∠AEF=∠BEF，由F(1,0)，若A,B分别在一、四象限，则A(1,2)，B(1,-2)满足.（2）过A,B分别作AC,BD垂直准线于C,D，如下图示，所以|AF|=|AC|,|BF|=|BD|，AC//BD//x轴，由平行线分线段等比例性质知：|DE||CE|=|AF|所以Rt△ACE∼Rt△BDE又∠CAE=∠AEF,∠DBE=∠BEF，所以∠AEF=∠BEF.（3）由题设，可设直线A'B'为x=ky+8，代入y所以y2-4ky-32=0，则yA'y故yA'=8,所以S△【变式11】5.（2022·全国·高三专题练习）已知圆F：x-22+y2=1，动圆P与圆F外切，且与定直线x=-3(1)求E的方程；(2)若直线l过点F，且与E交于A，B两点，与y轴交于M点，满足MA→=λAF→，MF→=μFB→（【答案】(1)y2(2)λ=μ.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系可得R=x+3，根据圆与圆的位置关系可得R=x-2（2）设直线l的方程为y=kx-2、Ax1,y1、【详解】（1）解：设Px,y，圆P的半径为R，由题可知，点P在直线x=-3因为圆P与定直线x=-3相切，所以R=x+3．又圆P与圆F外切，所以R=|PF|+1=x-2所以x+3=x-22+y2+1，化简得（2）解：由（1）得F2,0，设直线l的方程为y=kx-2，Ax则M0,-2k，因为MA→=λAF→因为点A在E上，所以y12=8x1同理，由MF→=μFB所以μx21+μ=2，-2k+μy因为点B在E上，所以y22=8x2由4λ1+λ=4μ1+μ因为λ>0，μ>0，所以λ+μ+1≠0，即λ-μ=0．题型2抛物线的切线方程【方法总结】在利用抛物线的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由Δ=0（2）抛物线y2=2pxp≠0在其上一点x0,y0【例题2】（2023·全国·高二课堂例题）已知点A(0,2)和抛物线C:y【答案】x=0或3x-4y+8=0【分析】根据直线l是否存在斜率进行分类讨论，结合一元二次方程的判别式进行求解即可.【详解】当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A0,2可知，直线l就是y轴，其方程为x=0由x=0,y2=6x消去未知数x得y如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+2．由方程组y=kx+2,消去x，整理得ky2-6y+12=0．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有k≠0因此可解得k=3此时直线l的方程为y=34x+2综上可知，直线l的方程为x=0或3x-4y+8=0．【变式21】1.（2024·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，点M，N在抛物线C:x2=4y(1)证明：直线MN过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求MNOP【答案】(1)证明见详解；(2)1,【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究计算其范围即可.【详解】（1）由题意可设直线MN的方程为：y=kx+m，Mx联立抛物线方程y=kx+mx所以x1又OM=化简得x1解之得m=2，即直线MN为：y=kx+2，显然过定点0,2；（2）由抛物线C:x则点Mx1,易知y1=x结合（1）可知x=2k，∴y=kx故P2k,-2，OP由弦长公式及（1）可得MN=所以MNOP易知k2即MNOP2的取值范围为【变式21】2.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线E:y2=2px(p>0)，焦点为F.过抛物线外一点P（不在x轴上）作抛物线C的切线PA,PB，其中A、B(1)求CA⋅(2)证明：①FP是FA与FB的等比中项；②FP平分∠AFB.【答案】(1)0(2)详见解析【分析】（1）先利用题给条件求得点C的坐标，进而利用向量数量积求得CA⋅（2）先求得点P的坐标，进而利用等比中项定义证得FP是FA与FB的等比中项；先利用向量求得cosFA,FP=cosFB,【详解】（1）抛物线E:y2=2px(p>0)焦点F设抛物线C的切线PA,PB的方程分别为：y-由y-y1=由Δ=可得k1=p则抛物线C的切线PA,PB的方程分别为：y-则C0,y1则CA=y（2）①由（1）可得FPFA=y1则FA⋅FP2则FP2=FA⋅FB，故FP②FAcos=y12cos=y2则cos∠AFP=cos∠BFP,又故FP平分∠AFB.【变式21】3.（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线C1:y2=2(1)已知F为抛物线C1的焦点，若PF的中点坐标为1,1，求p(2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为k1.若斜率为k2的直线l与抛物线C1和C【答案】(1)2(2)证明见解析，定值为0【分析】（1）利用中点坐标公式可直接求解；（2）先联立两抛物线方程求出P点坐标，从而求出k1，再设出直线l的方程，然后分别与抛物线C1和C2联立，从而根据直线l与抛物线C1和【详解】（1）由C1:y2=2因为PF的中点坐标为1,1，所以p1解得p1（2）

联立y2=2p1x所以P2所以直线OP的斜率k1设直线l的方程为y=k联立y2=2p1x因为直线l与抛物线C1所以Δ=4k2若k2b-p所以k2b-p1联立x2=2p2y因为直线l与抛物线C2所以Δ=4p22由①②可得k2=-3故k1【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【变式21】4.（2023·全国·高二专题练习）已知A、B是抛物线C:y2=8x上的两点，M是线段AB的中点，过点A和B分别作C的切线l1(1)证明：PM⊥y轴：(2)若点P的坐标为-4,2，求△PAB的面积.注：抛物线y2=2px在点x0【答案】(1)证明见解析(2)54【分析】（1）设点Ax1,y1、Bx2,y2，写出直线（2）求出点M的横坐标，根据点P的坐标求出y1+y2、【详解】（1）证明：设Ax1,y1、Bx2,y所以，x1≠x2，且由题意可知，直线l1的方程为y1y=4x+x联立直线l1、l2的方程得y1所以，点P、M的纵坐标相等，故PM⊥y轴.（2）解：因为点P的坐标为-4,2，由（1）可知，xM=yy1+y由于PM⊥y轴，则S=1即△PAB的面积为54.题型3弦长问题【方法总结】弦长公式（1）已知直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)交于Ax（2）若直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线交于Ax1,【例题3】（2023·浙江·模拟预测）过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线与C交于M,N两点，从点M,N分别向准线l作垂线，垂足分别为M1,N1【答案】5【分析】设Mx1,y1，Nx2,y2可得【详解】由已知得抛物线的准线方程为x=-1，F1,0设Mx所以M1,N1的中点A的坐标为设直线MN的方程为x=my+1，与抛物线方程联立x=my+1y2=4x可得y2-4my-4=0所以x1所以MN=故答案为：5.【变式31】1.（2023秋·高二课时练习）已知抛物线C：y2(1)当AB=8(2)求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．【答案】(1)x+y-1=0或x-y-1=0(2)证明见解析【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在两种情况讨论，根据AB=8即可求出l的方程；解法2：根据题意可知l斜率存在时，斜率不为0，由此可设l:x=my+1，根据AB（2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，过M作MN⊥准线于N，过A作AA1⊥准线于A1，过B作BB代数法：设l:x=my+1，求出AB和AB中点M到准线的距离d，根据d和AB关系即可证明．【详解】（1）解法1：由题意，可得F(1,0)，p=2，当l斜率不存在时，l为x=1，由x=1y2=4x得x=1当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-1)，∴y2设A(x1,根据抛物线的定义可得AB=x1则2k2+4∴直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0．解法2：由题意，可得F(1,0)，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设l:x=my+1，则y2设A(x1∴AB=1+m则直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0．（2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设AB=2r，过M作MN⊥准线a于N，过A作AA1⊥准线a于A1，过B作B根据梯形的性质和抛物线的定义可得MN=代数法：设A(x1,∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设l:x=my+1，则y2则y1+y则M到准线的距离为d=x又AB=故d=AB【变式31】2.（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l:y=x-2与抛物线C:x(1)求弦长|AB|；(2)判断OA⊥【答案】(1)2(2)不成立，理由见解析【分析】（1）联立直线与抛物线方程消元得二次方程，由韦达定理得x1+x（2）垂直关系的判断，转化为OA⋅OB=x【详解】（1）设Ax则|AB|联立方程组y=x-2x消去y，整理可得x2由韦达定理可知x所以x2因此|AB|2=2×84=168（2）设Ax1,因此OA⋅又因为由（1）可知x1+x2=-6所以OA⋅所以OA⊥【变式31】3.（2023秋·全国·高二期中）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，点A(1)求直线AB的斜率；(2)若AB=163【答案】(1)3；(2)y2【分析】（1）设Ax1,y1,Bx2,（2）由题意可设线AB的方程为y=3x-p2，即x=【详解】（1）解：设A因为AF=2p，所以A到准线x=-p即x1+p代入抛物线方程可得y1=3又因为Fp2,0，所以直线AB（2）解：由（1）知，直线AB的斜率为3，设直线AB的方程为y=3则x=3由y2=2pxx=所以|AB|因为p>0，所以p=2，所以该抛物线方程为y2【变式31】4.（2024·江西·校联考模拟预测）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，顶点为坐标原点O，过点F的直线l与C相交于A,B两点，当点O到直线l(1)求C的标准方程；(2)过点B作BD⊥x轴于点D，记线段BD的中点为P，且△OAF与△OPF的面积之和为S，求S的最小值.【答案】(1)y(2)2【分析】（1）根据题意设l:x=my+p2，直线与抛物线方程联立，结合弦长公式得到（2）设l:x=ny+1，Ax1,y1【详解】（1）由题意知，Fp2,0，直线l设l:x=my+p2，由x=my+p2yΔ=4p2则AB=1+当m=0时，ABmax=2p=4，所以所以C的标准方程为y（2）由（1）知F1,0，设l:x=ny+1，A联立x=ny+1y2=4x，则y因为线段BD的中点为P，所以P点纵坐标为12所以S=1当且仅当y1=y所以S的最小值为2【变式31】5.（2021秋·高二校考单元测试）已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1:y=-1相切，圆心C的轨迹为(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则PQ【答案】(1)x(2)6【分析】（1）设圆心C(x,y)，由点C到点F的距离等于它到l1（2）由题意易知直线l2的斜率存在，分两种情况讨论，当直线l2的斜率为0时，得出PQ=42，当直线l2的斜率不为0时，设直线l2的斜率为k，PQ中点坐标为t,2,Px1【详解】（1）设圆心C(x,y)，由题知，点C到点F的距离等于它到l1则x2两边平方得x2+y知点C的轨迹是以F为焦点，l1所求轨迹的方程为x2（2）由题意易知直线l2又抛物线方程为x2当直线l2的斜率为0时，令y=2，得x=±22，则PQ=当直线l2的斜率不为0时，设直线l2的斜率为k，PQ中点坐标为则有x12=4作差得，x12-则直线l2的方程为y-2=t由y-2=t2(x-t)Δ=4t2由根与系数的关系得x1+x则PQ=(1+=(4+因为4+t2>0，8-当且仅当4+t2=8-t2因为42<6，所以【变式31】6.（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C：y2(1)若直线PF交C于另外一点A，求AP；(2)若圆E：x-22【答案】(1)25(2)证明见解析【分析】（1）由点在抛物线上求得y2=4x，写出直线PF方程，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线定义求（2）设M(yM24,yM)，N(yN24,yN)，则MN为4x-(【详解】（1）由题设42=2p×4，则p=2，故y2又直线PF过抛物线焦点F，则直线PF:4x-3y-4=0，联立直线与抛物线并整理得：y2-3y-4=0，故4+y所以xA结合抛物线定义知：AP=（2）设M(yM24,yM所以MN为(y-yM)(y由PM:y-4=yM-4yM而E(2,0)，PM与圆相切，则r=|8+4yM同理可得：(r所以yM,y故yM+yN=8(8-r所以r2(x+2y+8)-16(x+y+1)=0，即x+2y+8=0x+y+1=0所以直线MN过定点(6,-7).【点睛】关键点点睛：第二问，设点坐标、PM、PN方程，利用直线与圆相切，应用点线距离公式得到yM,y题型4抛物线中的通径【方法总结】过抛物线的焦点作垂直于对称轴Q的直线与抛物线交于两点，连结这两交点的线段称为抛物线的通径,它的长为2p,这也是抛物线标准方程中2p的几何意义。【例题4】x+12+y-22=4A．12 B．1 C．2【答案】C【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线y2=2px经过点【详解】因为圆x+12+y-2而抛物线y2=2pxp>0所以圆x+12+y-2且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，因为圆x+12+y-22=4的圆心为-1,2，半径为2即抛物线y2=2px经过点1,2，则4=2p，即故选：C.【变式41】1.（2023·全国·高三专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为22cm的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm，则该抛物线的通径长为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】建立直角坐标系设Ax1,y1，Bx2【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x2=2py(p>0)，焦点F0,p2∵AB=22，AB≤AF+设线段AB中点为M，则2y由题意知，yM的最小值为6，即12+p=22，得p=10∴该抛物线的通径长为2p=20.故选：C【变式41】2.（多选）（2023秋·高二课时练习）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与x轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（

）A．y2=8x B．y2=-8x【答案】AB【分析】由题意设y2=2px、y2【详解】由题意，若y2=2px(p>0)，则焦点为(p2,0)，故y=±p若y2=-2px(p>0)，则焦点为(-p2,0)，故y=±p综上，p=4，则y2故选：AB【变式41】3.（2023·全国·高二专题练习）设抛物线C:y2=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线C交于点Ax1,y1，(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点P1,0，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D①求证：直线CD过定点；②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.【答案】(1)C:(2)①证明见解析；②52【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=p2，代入抛物线方程得y1=±p，则AB=2p（2）（i）设Cx3,y3与抛物线C:y2=2x联立，得y2-2my-1=0设直线AC:x=ny+1，与抛物线C:y2=2x因此y1+y3=2n，y所以kCD因此直线CD:x=2my-y3令y=0得，x=-2m=2所以直线CD过定点Q2,0（ii）因为S△PABS△PCD所以S△PAB当且仅当m=0时取到最小值52【变式41】4.（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，(1)求抛物线C的方程；(2)过点M(3,0)作方向向量为d=(1,a)的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S(a)(3)设m>0，过点M(m,0)作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y(2)S(a)=26+4(3)存在，m的取值范围为(6-4【分析】（1）由抛物线通径的长，可求p的值，得抛物线方程；（2）用点和方向向量表示出直线，与抛物线联立方程组，由S△FAB（3）设出直线方程代入抛物线方程，因为∠AFB为钝角，所以FA⋅【详解】（1）抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F由题意可得P1p2,p,P2（2）直线方程为y=a(x-3)，由y2=8xy=a(x-3)△=64+96a设A(x1,y1),B(xS△FAB所以S(a)=26+4a2>0所以S(a)的值域为(26（3）设所作直线的方向向量为d=(b,1)，则直线方程为由y2=8xby=x-m设A(x1,y1又F(2,0)，则FA=(因为∠AFB为钝角，所以FA⋅FB<0即x1x所以m2-12m+4<16b因此m2-12m+4<0，所以又点M与焦点F不重合，有m≠2，因此，当m∈(6-42,2)∪(2,6+42)时满足条件，即【变式41】5.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C:x2=2py(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P2,1，直线m:y=kx+2与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为k1和k【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）将MN用p表示，得出p的值，进而得抛物线方程；（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.（1）由题意可得2p=4，得p=2，∴抛物线C:x（2）证明：m:y=kx+2，联立y=kx+2x由Δ=16k2+32k>0，得设Ax1,y1，B∴k=x题型5最值取值范围【方法总结】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例题5】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知动圆过点F12,0，且与直线x+12=0相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C；过点F的直线与曲线C交于A，B两点，曲线C在(1)证明：EF⊥AB；(2)设AF=λFB，当λ∈13,【答案】(1)证明见解析(2)27【分析】（1）根据抛物线的定义可得动圆圆心的轨迹为抛物线，设直线方程，根据切线方程可得E点坐标，进而可得EF⊥AB；（2）由AF=λFB得m2=(1-λ)24λ，根据弦长公式，可得AB【详解】（1）

由题意得，圆心到点F的距离和直线x+1由抛物线的定义知，曲线C的轨迹为抛物线，由焦点F12,0和准线方程x+设l的方程为x=my+12，代入y2设Ay122,y1，切线AE方程为：y1y=x+y122③由③､④得y2x+y③④，得y1-y2y=当m=0时，显然有EF⊥AB，当m≠0时，kEF⋅k所以EF⊥AB.（2）由题意得：AF=λFB，得y1=-λyy2=2m1-λ，因为AB=1+m所以S△ABE设y=m2=当λ∈13,12时，y所以，当λ=12时，m2取得最小值1【变式51】1.（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象．已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，∠FAP=30∘，∠AFP=90∘．设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于(1)求曲线C的方程；(2)斜率为k的直线过点D0,-3，且与曲线C交于不同的两点M,N，已知k的取值范围为0,2，探究：是否存在λ，使得DM=λDN【答案】(1)y(2)存在λ∈0,1【分析】（1）根据抛物线定义可知轨迹为抛物线，采用待定系数法，求得P点坐标后代入抛物线方程即可；（2）假设存在λ，将直线MN方程与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，并将λ+1λ表示为关于t=1【详解】（1）由题意知：笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等，∴笔尖留下的轨迹为以F为焦点，a为准线的抛物线，设其方程为y2=2pxp>0由∠FAP=30∘，∠AFP=90∘，PF+∴P点坐标为p2代入抛物线方程得：34=2pp2-12∴轨迹C的方程为y2（2）

假设存在λ，使得DM=λ设Mx1,由y=kx-3y2=3x得：k∴x1+∴x∵DM=λDN，∴x1令t=1k∈∴u>12+2∵DM,DN同向，∴λ>0，∴4λ2∴存在λ∈0,14【点睛】思路点睛：本题考查抛物线定义的应用、直线与抛物线综合应用中的存在性问题的求解；本题求解λ范围的基本思路是结合韦达定理构造出与λ有关的等量关系，将其表示为关于1k【变式51】2.（2023秋·高二单元测试）已知F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，过点F的直线交抛物线C于A、(1)求抛物线C的方程；(2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G，求GBDG【答案】(1)y(2)1【分析】（1）分析可知AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+p2，设点Ax1,y1、Bx2,y（2）写出直线AO的方程，将y=y2代入直线AO的方程，求出D的坐标，然后求出AE的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点G的坐标，分析可知G、B、D三点共线，可得出GBGD=1-1【详解】（1）解：抛物线C的焦点为Fp若直线AB与x轴重合，则直线AB与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB的方程为x=my+p2，设点Ax联立y2=