广东省深圳市2024届高三年级下册二轮一阶测试数学试题（含解析）

广东省深圳市深圳中学2024届高三下学期二轮一阶测试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合—={y|y=lgx,%21},N=Ny=，4一%2卜则A/cN=()

A.[0,2]B.[-2,+00)C.[1,2jD.[0,+<»)

2.用最小二乘法得到一组数据(%,y,)(z=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为夕=2x+3,若

66

2%=30,贝!lZy=()

!=11=1

A.11B.13C.63D.78

3.已知向量。=(4+1,3),=(2,3)，若d与°+公共线，则实数2=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.函数/(x)=sin(ox+0)(o>O,O<9<7i)的部分图象如图所示，ABC是等腰直角三

角形，其中48两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|。到=3|。4],则

/(2024)=()

D,显

2

5.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这

个多面体的外接球的体积为()

AoR8兀86兀n80兀

A.8兀B.——C.-------D.-------

3273

6.假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取

2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从

甲袋中取出的也是2个白球的概率为()

A37「9小18

A.----D.—C.—D.—

15075372

7.己知数列｛4｝的各项均为正数，记AShq+w++%，B(n)=a2+ai++an+1,

C5)=q+4++%+2,“eN*,设甲：｛%｝是公比为夕的等比数歹!J；乙：对任意〃eN*,

A(n),B(n),C(〃)三个数是公比为q的等比数列,则()

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分又不必要条件

8.己知抛物线C:/=4x的焦点为尸，若圆〃与抛物线C只有一个交点，且圆M与x轴

相切于点尸，则圆M的半径为()

A.迪B.-C.也2V3

D.

992~T~

二、多选题

9.已知复数z满足忸=1且2=i-z,则z可能为()

兀..3兀-3..71-3..3兀..兀

At.cos---ism——B.cos—7i-ism—C.cos—兀+isin—兀D.cos—+ism—

44444444

10.已知函数/3=优+办+6产，下列结论正确的是()

A.若函数/(x)无极值点，则/(》)没有零点

B.若函数〃x)无零点，则“X)没有极值点

C.若函数/(可恰有一个零点，则可能恰有一个极值点

D.若函数/(x)有两个零点，则一定有两个极值点

11.已知,A4c5=1,2,3,)是直角三角形，4是直角，内角/)、纥、G所对的边

分别为耳、c”,面积为S“，若4=4,。=3,%=。出产,2

()

A.应“｝是递增数列B.区)是递减数列

C.也-。"｝存在最大项D.也-q,｝存在最小项

三、填空题

12.已知空间中三点A(l,l,省),2(1,-1,2),。(0,0,0),则点4到直线2(7的距离为.

13.已知在一ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB,A£=5,则A3边上的高为.

14.从1,2,3,L这"个数中随机抽一个数记为x,再从1,2,L,X中随机

试卷第2页，共4页

抽一个数记为y,则现y)=.

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-ABCD中，尸3_L底面ABC。，ABJ.BC,ADUBC,BC=2,

BA=1,AD=3,点E为棱R4上一点，S.AE=AAP.

(1)若BE〃平面PCD,求实数4的值；

(2)若BE_L平面PAD,求直线BE和平面PCD所成角的正弦值.

16.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地,

果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，

并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结

束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实作为样本，按果径分成5组进行统计:

[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](单位：mm).统计后分别制成如图的

频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”.

⑴现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实样本中抽取10个,再从这10个果

实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X,求X的分布列和期望；

⑵以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取〃(〃22,〃wN*)个，设其中恰有2个

“大果”的概率为尸(“),当尸⑺最大时，求〃的值.

17.设数列｛q｝的前”项之积为4,满足2%+7；=15eN+).

(1)设求数列｛2｝的通项公式2；

（2）设数列｛%｝的前〃项之和为S",证明：S„<j+|ln（7；,+l）-^.

18.在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点A［；,。］且与直线x=相切，设该动圆

圆心的轨迹为曲线K,P是曲线K上一点.

⑴求曲线K的方程；

⑵过点A且斜率为k的直线/与曲线K交于8、C两点，若///0P且直线0P与直线x=1

交于。占求网应的值•

舅…\OP\-\OQ\

⑶若点在y轴上，△/>处?的内切圆的方程为（x-iy+y2=i,求△PDE面积的最小

值.

19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程y=&+l中，当％取给定的

实数时，表示一条直线；当左在实数范围内变化时，表示过点（0,1）的直线族（不含>

轴）.记直线族2（a-2）x+4y-4。+/=0（其中aeR）为中，直线族y=3产x-2/（其

中f>0）为。.

⑴分别判断点4（0,1）,3（1,2）是否在乎的某条直线上，并说明理由；

（2）对于给定的正实数为，点户（x。,几）不在Q的任意一条直线上，求y。的取值范围（用

%表示）；

（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的

切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求。的包络和甲的包

络.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】

先化简集合M和N,再求交集.

【详解】易知/={y|y=lgx,x21}={y|y20},

因为4一/20,所以一2VxW2,故N=1x|y="一/卜{尤卜2WX42},

故AfcN=[0,2].

故选：A.

2.D

【分析】

根据线性回归方程为f=2x+3一定过点(工同，先求出"代入回归方程即可得出工，进而

6

可得Z%的值.

Z=1

【详解】依题意，

6_on

因为£*=30,所以彳=三=5,

i=i6

因为线性回归方程为£=2尤+3一定过点(H),

所以]=21+3=2x5+3=13,

6

所以=6x13=78.

1=1

故选：D.

3.C

【分析】

先求得a+万的坐标，再根据向量d与.+%共线求解.

【详解】已知向量。=(彳+1,3),。=(2,3),所以。+6=(4+3,6),

因为。与0+方共线，所以(X+1)X6-(X+3)X3=0,解得:2=1.

故选：C

4.D

【分析】

答案第1页，共19页

根据函数的解析式得到ABC的高，继而利用ABC的性质得到A[g,o],从而求得。=],

进而代入求值即可得解

【详解】因为〃x)=sin(0x+0),所以“尤)1Mx=1，

又因为4Ase是等腰直角三角形，所以M同=2=工，则。=£,

CD2

又因为31=33，所以代入〃”得0=疝13,\,

又0<0<兀，则一gW+0=o,解得。=：,

故/(x)=sin(£+：],则/(2024)=sin00127t+：[=*.

故选：D.

5.D

【分析】

先得到多面体为正八面体，然后根据正八面体的棱长可得外接球的半径，进而可得体积.

【详解】如图一：所得的多面体为正八面体，这正八面体的球心如图二中点。，设外接球半

径为广，

正八面体的棱长为2,

在AMOE中，OM=OE=r,ME=2,ZMOE=90,

所以OM=OE=r=0,

所以V=2兀/=[7rx(JJj=8f兀.

故选：D.

【分析】

答案第2页，共19页

根据题意，设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个为事件4,从乙中取出2个球，其

中白球的个数为2个的事件为B,分别求得相应的概率，结合贝叶斯公式，即可求解.

【详解】设从甲中取出2个球，其中白球的个数为i个为事件4。=。,1,2）,事件A,的概率为

P（A）,

从乙中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为8,事件B的概率为尸（3）,

22

根据题意，可得P（4）=MCC°=G1，P（BI4）=*cc°=R1；

z~i0z~i2oQ

]_「（"工⑻少罟=二

P（A）=-^=-,P（BIA）=-^

5

根据贝叶斯公式得，从乙袋中取出2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为:

32

——X—

p（a）p（8ia）10518

P（W）=

P（4）P（5|4）+P（4）P（3|A）+P（4）P（5|4）1X1+3X1+2X237

101555105

故选：c.

7.C

【分析】

根据等比数列的定义及通项公式先考虑充分性，再考虑必要性即可.

【详解】充分性:

若｛4｝是公比为q的等比数歹！J,

则2（"）_4（卬+%++«„）_[4（"）_

、A（w）4（"）一一再一"‘

C（n）q^a2+a3++an+l）qB^n）

B（n）~B（^）—B（w）-4

B（n）C[n

A⑺B（n）

故A（〃），B⑻,C（〃）三个数是公比为q的等比数列，则充分性成立;

必要性：

若对任意”N*,A（n）,B（n）,C（〃）三个数是公比为q的等比数歹U,

答案第3页，共19页

当"=1时，=3（1）=%,C（l）=q,

则％,外,%为公比是4的等比数列.

当"227EN时,

有C（/j）-5（«）=^[B（n）-A（n）],

即%+2—%=4（%+1一q），又。2=。「4,

%。

贝！I%+2=夕4+1，即—=q，

an+l

则｛%｝是公比为q的等比数列，必要性成立.

故选：C.

8.A

【分析】先根据题意写出圆M的方程，根据圆M与抛物线C只有一个交点得出联立后的方

2

程组有唯一解，整理得出有唯一解，且y>。；再构造函数八力二（x>0）»

32y32x

将问题转化为函数y=/（x）与直线y=r的图象有唯一的交点；最后利用导数判断函数/'（X）

的单调性及值域即可求解.

【详解】设圆M的半径为r（r>0）.根据抛物线的对称性不妨设圆M的圆心在x轴的上方.

由抛物线C:/=4x可得：*1,0）.

因为圆M与x轴相切于点尸，

所以圆M的方程为（彳-1）2+（k『）2=日

又因为圆加与抛物线C只有一个交点，

所以方程组（:T+（—）=厂有唯一解,

y=4x

有唯一解，且y>0.

32y

令〃*（尤>0）

答案第4页，共19页

1+42

则函数〃x）=L（x＞0）与直线y=，的图象有唯一的交点.

32尤

中％/、（X2+4）（3X2-4）

因为f（同=^~~』，

2^/3；令八力＜0,解得：o〈尤〈半

令/'(x)>0,解得:X>------

3

1+4\2

所以函数/（%）=@＞0）在区间0,上单调递减,在区间,+。上单调递增,

32尤7

(、/2⑹44

贝1/(力向“=/丁=7

\J

又鬻“力=+8,蚂”x)=+8,

所以一殍

故选：A.

【点睛】关键点点睛:本题解题关键在于将题目问题转化为r=上一＞-有唯一解,且V＞。,

32y

进一步将问题转化为函数图象有唯一的交点.

9.AC

【分析】

根据复数的几何意义、共辗复数的概念与运算以及复数的乘法运算依次判断选项即可.

【详解】A:z=cos--isin—=^--^-i,贝！Jz=i,

442222

忖=J亭+（一看=1,必=*+争=」,故A符合题意；

B:若2=3型—isin3=-交—也i,贝H〜也+也i,

442222

|z|=J（一争+（一争=1,必=*争美,故B不符合题意；

C：若Z”包+isin型.也+也3贝丘一克一g,

442222

闫=卜今+吟2=i—=_与—与="故C符合题意；

D：z=cos—+isin—=—+—i,则z=—

442222

忖=J亭+（今=1,必=一孝+今#」,故D不符合题意.

答案第5页，共19页

故选：AC

10.AD

【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.

尸（x）=[/+（a+2）尤+a+可e*,设8（尤）=彳+（a+2）x+a+b

若函数〃x）无极值点则，则△=（a+2）2_4（a+6）=0,

此时。2-4b+440,Wa2-4b<-4,所以〃尤）=（d+奴+6），>0,没有零点，如图①;

若函数无零点，贝IJ有片-46<0,止匕时储一46+4<4,

当/-4b+4>0时，/'（X）先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②;

若函数〃尤）恰有一个零点，则4-4）=0,

此时1-46+4=4>0,f'（x）先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图

③；

若函数“X）有两个零点，贝！1〃-46>0,止匕时/一48+4>4>0,/'（X）先正再负再正，

函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；

所以AD正确.

故选：AD.

11.ACD

C2

2

【分析】由题意推出=*,从而说明。向=%，利用三角形面积公式推出5„+1=二+二,

189

2

构造数列从而求得sn=*一曲（g）"T，由此可判断A,B由%=e券结合

斤+c：=25可求得4、G，对数列｛d-g｝中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项

的符号进行分析，确定数列｛2-£,｝的最大项和最小项，可判断CD.

【详解】由题意知：a：=6：+c“2,

答案第6页，共19页

故=%+4=2a";；+b；=2%;a：,即见;=〃/，即％”=%,

a=a=a

所以n+lnn-l==a2=al=5,贝qa：—b：+c；=25,

13+b：=25+疗

故63=通±^="±4

33

25+r225+办；252+25（c；+b；）+q%；

由S〃+1、=得：（2S/=W^

39

即（2S./=空笆产X,所以53=*+%

22

e2251“225\石。2251,20225~49

贝！IS“+；----=-（S„2-----）,而Sj----=-X42X32-------

用169"1611641616

所以s7=空一竺?『‘，由于。丫随〃的增大而减小,

2"1616（9J（9）

故S-=兰-竺’是随〃的增大而增大，

2"1616<9J

由题意知$2*>0,故｛%｝是递增数列，故A正确;

同理S-=磊假随”的增大而增大，住“空是递增数列，B错误；

又%=T代-号，由于%2+%「=25,b"=25,且厅-c；=7,

所以，优-婿是首项为7,公比为一的等比数列，故

因为么>。，g>。，故勿=

所以，b,~

所以，%M其中％eN*,

答案第7页，共19页

0,其中左eN*,

257257/1A

因为数列万+,（%eN*）随着％的增大而减小，数歹ij0一了卜）,eN*）随着

%的增大而增大，

故数列"tfi｝（此N*）随着左的增大而减小，故仿为数列也-c„）中所有正项中最

大的，

同理可知数列｛&GN*）随着％的增大而增大，故"2为数例J也-Cn｝中所有负项

中最小的，

综上所述，数歹!]｛2-％｝的最大项为4-。，最小项为a-。2，CD均对.

故选：ACD.

【点睛】本题综合考查了数列的单调性问题以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强,

难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造

新数列解决问题.

12.73

【分析】

利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义

即可求解.

【详解】1(1,1,省),2(1,T2),C(0,0,。),

：.CA=(1,1,我,CB=(1,-1,2)..'.|C4|=+F+阴2=向词=+⑵2=指

.cos<rACB>_C4-CB_lxl+lx(-l)+2^3_273_Vl0

..COS<C/i,CJD>—i-------nr----------------T=产----——f=----

|C4||CB|A/5X>/6V305

/.sin<CA,CB>=-cos2<CA,CB>=~~，

设点A到直线BC的距离为d,则

f77

1=|CA卜in<G4,CB>=国号="

故答案为：G

13.6

答案第8页，共19页

【分析】

根据角的关系及两角和差正弦公式化简得到sinA=3cosA,利用同角三角函数基本关系式求

出sinA,cosA,代入2sin（A-C）=sin_B求出sinB,再由正弦定理求出AC,根据等面积法求

解即可.

IT

【详解】A+5+C=3C+C=4C=TI,所以。=一.

4

2sin（A-C）=sinB=sin（A+C）,

所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

所以sinA=3cosA.

又sin?A+cos2A=1,且在ABC中，sinA>0,

所以sinA=±W,cosA=叵，

1010

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2f

AB一斤AB-sinB

由正弦定理七三B知，AC=------------=2A/10.

sinBsinC

设AB边上的高为h,则5ABe=JAB鬃CsinA=：AB?h,

所以/z=AC-sinA=6.

故答案为：6

【分析】

易知P（x=k）=-,k=l,2,,n,根据全概率公式求出

n

尸（丫二1）、夕（y=2）、尸（y=3）、、尸（y=〃-1）、尸（丫=〃），结合数学期望公式计算即可求解.

【详解】由题意知P（%=Q=，，k=1,2,,〃，由全概率公式知,

n

p(y=l)=p(y=l|X=l)+p(y=l|X=2)+P(y=l|X=3)+.-.+P(y=l|X=H)

11111

=—xld--X—+—x-++L-1++

nn2n3nnn23n

p(y=2)=F(y=2|X=2)+P(y=2|X=3)+-+F(y=2|X=〃)

，八3-d+驾+-

n2n3nnn23n

答案第9页，共19页

尸(y=3)=P(y=3|X=3)+P(y=3|X=4)++P(y=3|x=〃)

p(y=77-1)=p(y=M-i|x=«-i)+p(y=/j-i|x=n)=-x—!—+-x-=-(—+-

nn—1nnnn—\n

所以E(Y)=1-P(r=l)+2P(Y=2)+3P(Y=3)++(n-l)P(Y=n-l)+nP(Y=n)

,11

=—[1-(1+—+-++-)+2(-+-++—)+3(-++—)++5—1)(.------+—+n--]

n23n23n33nn—1nn

Ji+d+"2+3)+d+2+”++&空+

+-)]

n223334444nnnn

」(i+*+9++叫

n2222

」，々2+〃+1)

n22

n+3

4

及+3

故答案为:

4

【点睛】本题主要考查条件概率以及全概率的计算公式的应用，结合等差数列的运算，寻找

x和y的联系是解决本题问题的关键，即

p(y=l)=p(y=l|X=l)+P(y=l|X=2)+P(y=l|X=3)++P(Y=]\X=n),

p(y=2)=P(y=2|X=2)+P(y=2|X=3)++P(Y=2\X=n),L、

P(Y=n)=P(Y=n\X=n).

15.(1)；

⑵叵

20

【分析】

(1)由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系,表达出E(1-尢0,辰)，求出平面PCD

的法向量，从而BE_Lm,列出方程，求出a=；；

答案第10页，共19页

(2)求出平面PAD的法向量，结合第一问得到的E0-尢0,而)，列出方程组，求出2=；,

从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.

【详解】(1)

因为P3_L底面ABCD,BC,A8u平面A5CD,

所以尸3_LBC,PBLAB,

又因为AB13C,

所以A民两两垂直，

以B为坐标原点，3A所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，8P所在直线为z轴，建立空间

直角坐标系，

因为3C=2,BA=l,AD=3,PB=g，AE=AAP，

所以8(0,0,0),4(1,0,0),网0,0,⑹,C(0,2,0),£>(1,3,0),设E(a,6,c),

故(a—1,6,c)=%(—,解得：a=l—A,b=Q,c=A/32,

故E0-4O,疯)，BE=(l-2,0,V32),

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

m-PC=(x,y,z)-(0,2,-6)=2y—y/3z—0

m-PD=(x,y,z)•(1,3,-6)=尤+3y—也z=0

令z=l,解得：y=—,x=~—>

22

故根十耳万/卜

由题意得:

解得：2=

答案第11页，共19页

（2）设平面PAD的法向量为〃=（网,％,zj,

zj（1,0,-@=无［-任।=0

”•20=（%,%，4）-（1,3,_指）=&+3%-百4=0

令4=1,则％=石，M=。，

故〃=（右,。,1）,

由于3E_L平面尸AD,所以BE//〃，设BE=tn，

1—A—y/3t

即＜0=0/,解得：％=：,

不入=t

故吟\,0当，

44

由（1）得：平面尸CD的法向量为“=1-4，半,1

设直线BE和平面PCD所成角的正弦值为e，

因‘冬唱’。书I

痂/\\m-BE\V10

故sineucos^IELdn—L

、'm-BE~2D

直线3E和平面PCD所成角的正弦值为典.

20

o

16.（1）分布列见解析；£（^）=—

⑵6

【分析】

答案第12页，共19页

(I)根据频率分布直方图求得100个果实样本中大果的个数，继而可求得从这10个果实中

随机抽取3个时，随机变量X的取值，分别求出对应的概率，即可求解；

(2)根据已知条件，结合二项分布的概率公式，建立不等式组，解之即可得解.

【详解】(1)由题中对照园的频率分布直方图得，

这100个果实中大果的个数为(0.040+0.020)x5x100=30,

采用分层抽样从对照园选取的100个果实样本中抽取10个，

其中大果有湍^10=3个，从这10个果实中随机抽取3个，

其中“大果”的个数为X的可能取值为：0」,2,3,

37c2cl

P（X=0）=ZC='35，，尸（X=l）=匕36321

V7Co12024I）C：。120-40'

123

“X=2）=泠rc217ri

120而'P（X=3）=W=商，

Jo

所以X的分布列为

X0123

72171

P

244040120

72171Q

E（X）=Ox—+lx—+2x—+3x——=—

v724404012010

（2）由题可知P（〃）=CXO.32XO.7"-2,

2n-32-1

贝P（n-1）=C"x0.3x0.7,P（zz+1）=^+1x0.3xO.7",

刖尸（"I）C"X0.32X07T10（〃一2）

人P（n）C>0.32x0.7n_27n'

P（〃+l）_C3xO.32xO.7"T_7伍+1）

且P（n）C；x0.32x0.7n-210（w-l），

1720

解得—<^<—,又〃£N*,则〃=6.

17.（l）b„=2n+1

（2）证明见解析

答案第13页，共19页

【分析】

(1)数列｛〃〃｝的前〃项之积为1,满足2%+<=1(〃£N+),〃=1时，24+6=1,解得

手+1=1,变形为J+l=2（；+1）,71I

〃>2时,结合2=1+7,即可得出或.

'〃-1'n11n

,1〜用1,1、11

（2）由（1）可得：1+-=2，，+1,解得（，当“22时，T„=z

Ln1n-l2，-1，，

11iii9n+11on+1—1

可得S“<=-：+B，需要证明.〈匕nW+l）=Ln^^，即证明一t>]n土泉，

242"+22"+2222,,+1-12"+12"+1

—

=t,^(0,1),令/⑺=1皿+1-，te(0,l),利用导数研究函数的单调性即可得出结

2，+i

论.

【详解】(1)

因为数列｛«„｝的前"项之积为T„,满足24+[=1(〃eN+),

所以当〃=1时，2q+4=l,解得Q=g.

当"22时，"+?“=1,

4-1

1cli

化为〒=2xk+1,

变形为"+1=2（J—+D,

，n^n-1

,r14c7Y1”

又b“=l+〒,所以即宣」=2且々=1+—=4,

T„*q

则数列｛2｝是以4=4为首项，2为公比的等比数列

所以6"=4x2-=2阳.

(2)

由(1)可得：1+[=2向，解得雹=二1，

1n2

72n_11111

当"'2时，%=亡=^7!=5(1一^^)<5一萍•

o/I1、/11、/I1、〃n11

•••S"<(5_Q)+(5一梦)+•••+(，一尸)=5一

242n+2'

需要证明Jr<fn（7；+l）=1n2"+1

ZZZZ—1

答案第14页，共19页

即证明-一i1>1121"+^i-^1,

2〃+i2〃+i

2n+1-1

设2用二31£(。』)，

则一』■nfT，

设/⑺=lnf+lT,fe(0,1),

则函数/⑺在te(0,1)上单调递增,

所以/⑺<川)=0,

1,2,,+1-1

即Hn一产■'In2“+i，

.一n11

所以S〃<2+2ln^+^-4,

18.⑴V=2x

*

(3)8

【分析】

(1)由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，

(2)联立直线/与抛物线，求出|AB|,|AC|的值，又IUOP,设出。尸的方程，再联立抛物

,...\AB\-\AC\

线求出。尸的值，再求出。。，得出％“J的值;

(3)由于。、E在y轴上，设出。、E坐标，并求出|£叫，尸点的横坐标即为的高,

再求△PDE面积的最小值即可.

【详解】(1)

由题意可知圆心到g,oj的距离等于到直线x=的距离，

由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为丁=2尤，

(2)

设直线/的方程为丁=4尤-9，

答案第15页，共19页

联立,y=k[X~l],7肖y得发212_（上2+2）彳+,左2=0,

y2=2x'4

%2NO

,，）/\2.,•,kwO,

A=（）t02+2）-V>0

设3（&乂）,。优,%），•,•西+z=与£，尤也=：

k4

又叫3+g,M=x2+;,

2

II“Z（1Y01zx111r+21Jt+1

..\AB\-\AC\=\^xl+-^x2+-j=xlx2+-（xl+x2）+-=-+-+-=-p—

：///OP,...设直线OP的方程为了=履，

Iy=Ax

联立<2c，消y得上2V-2x=o,

[y=2元

令x=l,则为=左，AQ（l,k）,:.\OQ\=y]l+k2,

|AB|-|Ad.

故|0尸”。@的值为5'

（3）

设P（%,%）,D（0,%）,E（0,c）,

直线PD的方程为(%-6)%-飞丫+/6=0,

答案第16页，共19页

\y0-b+xQb\

二1

又圆心(1,0)到PD的距离为1,即叫二7

整理得伉—2)〃+2%%-%=0,

同理可得(％-2)厂+2yoe—毛=。,

所以，可知6,c是方程(%-2)尤2+2%尤-%=0的两根,

4xg+4yp-8x

依题意bc<0,即％>2,贝|(C-6)2=0

U-2)2

因为北=2%