新高考数学二轮复习比较大小（选填题11种考法）（解析版）

专题07比较大小（选填题11种考法）

考法解读

j-法一：与0、1、2、等比较大小

考法一特殊值法一I法二：利用图像确定大体范围

指数幕型fab比大小

a>1T

比同底异指=>按楮数的数比・

较0<a<1J

大[a>oT

单调性法一思路同指异底=>按幕函数比]

小a<04<

直接算范围

异底异底,（ii）构造新的数：一个函数取底数一个函数取指数

考再根据同底异指，同指异底比较

法

说明：底n底数，指=>指数

二

指

不和心模型

数

式（1）取对数:lna*二alna/na=blub

模

型（2）构造函数：f（x）=xlnx（x>0）

（3）导致法求单调性：（0」）J,d,”）T

ee

（4）判断大小

一

“同a»和b’模型(a4k>0)

构”

(1)取对数：111ab=b1口a==Elna

aa

1nb1=aInb=—Inb=-------

bb

(2)构造函数：f(x)=—(x>0)

(3)导数法求单调性：(0,e)T,(e,小»)J

（4）判断大小

根据函数解析式选择判断单调性的方法

考法三函数三大性质应用型比较大小

--是否考虑奇偶性或对称性结合题意

根据导函数求导运算法则找出原来函数，判断出原函数的单调性，

从而比较大小

(l)f,(x)+g/(x)>0(或<0)构造函数>F(x)=f(x)+g(x)

类(2)f(x)-g(x)>0(或<0)-->F(x)=f(x)-g(x)

比

?(3)f，(x)>k(或<k)(kw0)构造函数>F(x)=f(x)—kx

较

大(1)f，(x)g(x)+f(x)g，(x)>戈或<0)构小号>F(x)=f(x)g(x)

小

(2)xf，(x)+f(x)>0(或<0)构连再.>F(x)=xf(x)

类(3)f'(x)g(x)-f(x)g,(x)>0(或<0)>F(x)=44(g(x)w0)

型

g(x)

考

法

(l)xr(x)+nf(x)>0«0)—^^**^F(x)=xnf(x)

四

导

函(注意对X-T的符号进行讨论)

数

模(2)xf*(x)—nf(x)>0(x=0/<0)一冲连.友>F(X)=8^]

型X

比

较(注意对的符号进行讨论)

大

1fllt

小(3)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0)构连>F(x尸e,f(x)

类f(X)

型(4)对于不等式f'(X)—f(x)>0(或<0)杓…>F(x)=

(l)F'(x尸f'(x)sinx+f(x)cosx'^^>F(x)=f(x)sinx,

(2)F'(x尸f'(x)cosx—f(x)sinx―->F(x)=f(x)cosx

⑶一=小)向乂,电)5a救取尸但

sinxsinx

S(4)F，(x尸f'(x)cosx+f(x)sinx』一验尸出

二COSXCOSX

四

（-考法五图像交点比较大小——基本函数的零点或交点的横坐标比较大小，可以通过图像法

r一考法六导数法同构函数一根据条件构造同一函数，利用导数法求单调性

「直接作差，结果与0比大小

考法七

L作差作商一一直接作商，结构与1比大小

比较法

J作差作商构造函数—作差（或作商）后得到式子中相同部分看作变量，由

常值换元法构造函数，利用函数的单调性比较大小.

①e，>x+l®e1-1>x®ln(x+1)-x@lnx-x-1

考法八指对数切线（放缩法）--眇>x>lnx(x>O);lnx>l-i(x>0)

比(1—x)ex<l(xeR),sinx<x<tanx(0<xVg)

较

大

考法九导数法之异构函数

小

三角函数值比大小，主要是利用周期性，把角化到一个单调区间里

考法十三角函数型

利用正余弦的有界性和正负值，结合函数性质，比较大小。

(De-=l+x+—+-+—

2!n!(n+1)!

②sinx=x-—+----+(-1)*———+o(x^2)

3!5!(2n+l)!

®cosx=l--+-+(-l)"^^+o(x2")

2!4!6!(2n)!

泰勒公式---23N

@ln(l+x)=x-^-+y-+(-ir^+o(x^1)

=1+X+X2+---+y，+o(x")

1-x

⑥(1+x)'=l+m+X；”W+o(x2)

J考法十——题多解型-

帕德逼近:

+12

,(-2<x<2)

X2-6X+12

匚帕德逼近—高枭H

312—3

ln(x)as,(0<x<2)

X2+4X+1

,1+工71+；工一卷/（一得工工&》

典例剖析

考法一与特殊值比较大小

【例1-1］（2023•海南海口•农垦中学校考模拟预测）己知。=3°2,6=0.23,c=log30.2,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】因为y=3'在R上单调递增，且0.2>0,

所以夕=3。2>3。=1;

因为>=0.2,在R上单调递减，且3>0,

所以0<6=0.23<0.2°=1；

因为>=logsx在（。，+°°）上单调递增，且。2<1,

所以c=log30.2<log31=0.

综上所述，a>b>c,

故选：A.

【例1-2］（2023•西藏林芝•校考模拟预测）若。=log?3,&=log32,c=logj,则下列结论正确的是（

A.a<c<bB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】由对数函数y=logzx在上单调递增可知，a=log23>log22=1,可得ae（l,+co）；

由对数函数>在xe（0,4<o）上单调递增可知，0=log31<6=log32<log33=l,可得/?e（0,l）；

由对数函数y=log4%在xe（0,+co）上单调递增可知，c=log41<log41=0,可得ce（Yo,0）；

所以可得va.

故选：B

【变式】

1.（2023•陕西安康）设a=g,Z?=log32,c=，），则（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因为6=log32>log3指=c==a，所以6>a>c•故选：A

0.71

|,C«log-,则（

2.（2022•天津•统考高考真题）已知O=207,b=I2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

iA0,71、

【解析】因为2°，>-I>0=log21>log2->故故答案为：C.

3.（2021•天津•统考高考真题）设。=1暇036=1以0.4,。=0.4°3，则b,c的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析］log20.3<log21=0,a<0,

logi0.4=—log20.4=log1>log2=1,

22:.b>\,

2

0<0.4°3<0.4°=l,.\0<C<1,

:.a<c<b.

故选：D.

3兀

4.（2023•西藏拉萨）设々=3°2,b=log020.3,c=tan—IJJlJ）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】4=3。2>3°=1,所以。>1;

0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,所以0<b<1；

3冗7T3冗

所以，=颉彳<。,则故选：c.

考法二指数式比较大小

【例2・1】（2023•天津•统考高考真题）若〃=1.O"〃=LOIO.6,C=O.6S5,则c的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【解析】由y=1.01、在R上递增，则

由y=%0-5在［0,+s)上递增，则a=1.01°s>°=o,605.所以6>a>c.

故选：D

【例2-2]（2023•山东聊城•统考三模）设a=0.2°-5,b=^~,c=log402则（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

02

【解析】由y=0.2^单调递减可知：0.2。5<O.2.

22

由>=尤。2单调递增可知：0.2°-<0,5°-,所以0.2°$<0.5°2,即。<》，且b<L

由y=logo,5X单调递减可知：c=log050.2>log050.5=1,所以c>6>a.

故选：D

2

【例2-3】（2023•安徽淮南•统考一模）若7。=5,8〃=6,e7=2+e2,则实数a,b,c的大小关系为（）

A.a>obB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】由已知可得，"啕5喏，6=1。&6嘿

2

222Ine

由e=2+e?可得，7=lne+2），所以,;而

r+2Ind+2丫

设小卜工.,则加)=

ln(x+2)(言x(x吗+2)ln(x+2)

因为％>1,故x+2>x>l,ln（x+2）>hix>0,

所以（x+2）ln（x+2）-xlnx>0即用工）>0,

所以f（x）在（1,+8）上为增函数，又a=f（5）,b=f（6）,c=/（e2）,Xe2>6>5,所以c>b>a.故选：B.

【变式】

032

1.（2023秋•湖北荆州•高三沙市中学校考阶段练习）设。=2,b=3°-,c=log32,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

3J_J_2__L1.

【解析】因为。=203=2元=（2'M=8元/=3°，2=3元=（3?”=9而，

而y=x±在(0,+8)上单调递增，所以81<9:，即°<》，

又C=log32<log33=l,而。=2°3>2°=1,则c<a,所以c<a<6.故选：D.

2.（2023・陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）已知a=0.3°2,b=O203,c=-—^—,则（）

5In0.3

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】y=x°2在(0,+s)上单调递增，.•.0.3°2>0.2%

又产。2,在R上单调递减,...0.2°2>0.2°3，.•.0.3°2>0.2叽即°>6；

--—<——二<一_L_=l=0.2<0.203,

51no.351nl5In-5,：c<b'

3e

综上所述：故选：A.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知〃=3.939]=3.935,c=3g9,d=3.838,则必〃,。/的大小关系为

()

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b<d<c<aD.b<c<d<a

【答案】B

【分析】构造函数〃x)=F，利用导数判断函数的单调性，可得〃3.9)</(3.8),从而可得3.9a8<3.839,

再由y=x上8在(0,+e)上单调递增，即可得出选项.

【详解】构造函数〃对=甲，贝4厂(同=匕詈，

当xe(e,M)时，/'(x)<0,故〃制=平在%«6讨)上单调递减，

所以/(3.9)</(3.8),所以嘿<嘿，3.81n3.9<3.91n3.8所以In398<ln3.839,3,918<3.839,

3.93.0

因为y=x±8在似+向上单调递增，所以3.83隈3.9%同理3.8相<3铲，

所以3.8工8<3.9熟<3.8及9<3.93.9,故选：B

考法三函数的性质比较大小

【例3-1］（2022•江西）函数/（x）=e*-eT—2sinx.若4"=20,^=log510,c=logflb,则有（）

A./(a)>/(/?)>/(c)B./(a)>/(c)>/(/?)

C./(/?)>/(«)>/(<?)D./(&)>/(<?)>/(«)

【答案】A

【解析】因为函数〃x)=e'-er—2sinx,所以尸(x)=e'2cosx,

当天>0时，//(x)>2-2cosx>0,所以在(0,+8)上递增，

因为a=log420>log416=2,l</?=log510<log525=2,0<c=logHb<logna=l,所以a>8>c>0,

所以『3)>/3)>/(c),故选：A

(_3>(

【例3-2】(2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测)已知/(xH—V—cosx,若a=fe4,b=f\\n-4

k)13

C=则4，b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】因为/(x)=-/-cosx,xeR,定义域关于原点对称，

了(一尤)=—(-x)2-cos(-x)=-X2—cosx=f(x),

所以/(x)为R上的偶函数，

当xNO时，/'(无)=-2x+sinx,,设g(龙)=-2x+sin无，

贝！Ig'(x)=-2+cos尤，-1<COSX<1,.,.g,(x)<0,

所以g（x）即/'（X）在［0,m）上单调递减，所以f\x）＜广（0）=0,

所以/（X）在［0,+«）上单调递减,又因为/（X）为偶函数，

所以/（%）在（-%0］上单调递增,

311

又因为

1S

所

所以lne14〉lSn?,1即一>5ln—,

444

_2i5

所以e4>—>In—,

44

所以/卜D.

【变式】

1(2022•江苏)已知函数八>)=丁-b,则。=/(0.4叱)。=〃0.6°6),c=/(0.4°&)的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】由0.6°6=(O.63)02=0.216°2,O.404=(O.42)02=0.16°2,即016°2<0,216°2,

所以O.404<O.606,又O.40-6<O.404,

所以0.4°6<O,40-4<O,606,而/(x)=e*--递增,

故a=/(0.4°-6)<C=/(O.40-4)<b=/(O.606)故选：D

2.(2023・全国•统考高考真题)已知函数"x)=e"以.记°=7+,b=f+,c=f+，贝|()

I27\27I27

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g(x)=-(尤-1)2,则g(x)开口向下，对称轴为x=l,

而函+扬2-42=9+6应-16=6应-7>0,

所以日；0,衅一1>1一孝

由二次函数性质知g*)<g(当,

因为^^-1—］一^^='2『-J'W+)2—42=8+4^/3—16=4^/3—8=4(^/3—2)<0,

即日一1<1一日，所以g(1)>g(*),

综上'g(去<g母)<g($，

又>=©”为增函数，故avcvb,即〃>c>a.

故选：A.

3.（2023•河北沧州•统考三模）已知Ax）为奇函数，当0WxW2时，/（x）=2x--,当了>2时，〃无）=卜一斗一1,

则（）

C.-/（-A/26）>/（3°-3）>/（20-3）D./（30-3）>/（2°-3）>-/（-^）

【答案】A

【解析】因为当04xW2时，/（x）=2x-x2,

则在（0,1）上单调递增,在［1,2］上单调递减，

当x>2时,/（x）=|x-3|-l,

则/（x）在（2,3）上单调递减，在［3,+8）上单调递增.

M/（2）=0=|2-3|-l,所以/（力在（0,1）上单调递增,

在［1,3］上单调递减，在（3,+8）上单调递增.

因为一/（一届）=/（后）>/（5）=1=/（I）,1<203V303<3,

则/⑴>/（203）>/（3°3）

所以力-庄）>1203）>/（3°3）.

4.（2023春广西•高三校联考阶段练习）已知函数〃尤）在0,；上单调递减，/（%+1）=-/（-%）,y=〃x-1）

为偶函数，当xe［-2,-l］时，f（x）=-x-l,若。=/［一g］,b=f（ln2）,c=/（log31458）,则。，b,c

的大小关系是（）

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】因为函数y=/(尤-1)为偶函数，得y=/(x)的图象关于直线尸-1对称,

且f(-x-l)=f(x-l),由〃x+i)=-y(-x)得/(x+2)=-/(-x-1),

所以/(%+2)=-/(%-1),即/(%+3)=—/(x),则"x+6)=-"x+3)=/(%),

所以函数y=/(x)的一个周期为6,则c="log31458)=/(6+log32)=/(log32),

当xe［-2,—1］时，/(x)=-x-l,又y=/(尤)的图象关于直线x=—l对称，

所以0=/1一勺］=/：2+勺卜一(一2+g)-1=1-g>0,

由/(^+1)=-/(-%)得了［［=°，>=〃x)的图象关于点(1,0)对称，

又函数在0$上单调递减，所以函数“X)在［0』上单调递减，

又g=log35/3<log32<In2<1,

所以匕=/(ln2)</(log32)=/(log31458)=c<0,所以b〈c〈a.故选:A

考法四导函数模型比较大小

【例4-1](2022•四川遂宁)已知定义在R上的函数y=/(x)满足：函数y=〃x)为奇函数，且当x<0时，

〃力+靖(x)>0成立(-⑺为的导函数)，若4=一〃-1),b=(ln2)〃ln2),c=2flogl-,则

I2

a、b、c的大小关系是()

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】B

【解析】设gGXvDxvO,则g〈x)=〃x)+V，(x),

因为当尤<0时,/(尤)+矿(龙)>0成立，所以g'(x)>0,g(x)为递增函数,

又因为函数y=〃x)为奇函数，可得〃-无)=-"力，

贝1Jg(T)=ff(r)=4(x)=g(x)，所以函数g(x)为偶函数，

所以函数4(无)在(。，+◎为单调递减函数，

由a=—〃T)=g(T)=g(1)，^=(ln2)/(ln2)=g(in2),c=2f(log；；)=2/⑵=g⑵，

因为ln2<l<2,所以g(ln2)>g(l)>g(2),即6>a>c.故选：B

【例4-2](2023•广西柳州•统考模拟预测)设函数y=〃尤),xeR的导数为((无)，且〃尤)为偶函数,

则不等式成立的是()

A./（0）<e-7（l）<e2/（2）B.e7（3）</（0）<e-7（l）

C.e"（l）<〃0）<e2H2）D.e2/（2）<e7（3）</（0）

【答案】B

【解析】设g(x)=驾，贝】g'(x)=ra)：/(x)>0,

ee

可得g(x)在R上递增，又/(X)为偶函数，

贝|g(l)=&=e-"⑴，g(0)=牛=/(0),

ee

g(-2)=^^=e2/(2),g(-3)=^^=e3〃3),

ee

由-3<-2<0<l,可得g(-3)<g(-2)<g(0)<g(l),

即有e3/⑶<e2/(2)</(0)<e-'/Q).

故选：B.

【例4-3】(2022•吉林)(多选)已知函数旷=〃力是偶函数，对于任意的满足

r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中广⑺是函数的导函数)，则下列不等式成立的是()

【答案】ABD

【解析】构造函数g(x)=/H,其中尤则g，(x)J'(x)8sxV(x)sinx,

cosx\ZZJcosx

团对于任意的xG［。，3满足/"(x)cosx+/(x)sinx>0,

团当时，g'a)>。，则函数且")=织在„上单调递增，

又函数y=〃x)是偶函数，/(-x)=/(%),又(-无)==尤),

cos(—XJcosX

回〉=8(”在［-?|'］上为偶函数，

回函数g(x)=£@在J［,。］上单调递减.

cosx\2.J

7T71K

0—>—，则g|"|>g

34

同理可知g

B正确;

C错误;

D正确.故选：ABD.

【变式】

1.(2023・安徽黄山・统考三模)已知定义域为R的函数“X),其导函数为广⑺，且满足广⑺-24丈)<0,

"0)=1，则()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

D."I)*I

【答案】C

【解析】g(x)=誓，贝”'(x)="^e"-2〃x)e2./(x)-2〃x)

2x

因为r(x)-2/(x)<0在R上恒成立,

所以g'(x)<o在R上恒成立，

故g(x)在R上单调递减,

所以g(—l)>g(。)，/?=^八一=故A不正确；

所以g⑴<g(。)，即萼<4，即/(l)<e2/(O)=e2,故B不正确;

ee

gg］<g(O),即，［^〈迪二］,即卜e,故C正确；

e1e°

g⑴，即/(I),即〃1)<^故D不正确；故选：C.

2.(2021・山东・高三开学考试)(多选)已知定义在0谭)上的函数,⑺的导函数为了'(x),且/(0)=0,

/,(x)cosx+/(x)sinx<0,则下列判断中正确的是()

B.

D.

【答案】CD

【解析】令g(加鉴则"—>

因为广(力8亚+/(亦逐<0,所以g，(x)J(x)8s■X：/(x)s1nx<0在［o,上恒成立,因此函数

8@)=/(”在10,小上单调递减，故J!>g

故A错;

COSXL2)\^)

又〃0)=0,所以g(o)=/⑼=0,所以g(x)=/®<0在10,小上恒成立,

cosOcosxLZ)

因为0=lnl<ln4<lne=l<],所以/[lng]<0,故B错；

兀71

7171371

又g>g,所以>—，即/,故D正确.

4371714

cos—cos一

43

故选：CD

3.(2023湖南)设函数/'(%)是定义在(0,句上的函数/(%)的导函数，W/,(x)cosx-/(x)sinx>0,

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】设函数<?(%)=/(%)COS%,则，(％)=/'(%)cos九一/(%)sin%,

因为/'(力85%-/(%)5111%>0,所以g'(%)>0,

所以g(x)在(0,1)上是增函数，

考法五根据图像交点比较大小

【例5】(2023秋•广东江门)已知〃尤)=(£]-x-2,8(》)=1生了一%-2,%(另=丁一>2的零点分别

是a,b,c,则a,b,c的大小顺序是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】函数=-x-2,g(£)=log：-x-2,〃(x)=xLx-2的零点,

即为函数y=X+2分别与函数y=[g]、y=10g(X、y=v的图象交点的横坐标,

如图所示:

【变式】

1.（2023•天津和平•统考三模）已知o,6,c满足2Y=a+2,>+log26=-2,c3-c-2=0,则。,6,c的大小关系

为（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】由题意知：把。的值看成函数3=2一、与%=了+2图像的交点的横坐标，

因为2«）>-1+2,2°<0+2,易知-l<a<0；

把匕的值看成函数%=1/2》与％=r-2图像的交点的横坐标,

log21>—1-2,易知

把C的值看成函数%=d与%=x+2图像的交点的横坐标,

I3<1+2，与23>2+2,易知l<c<2.

所以a<Z?<c.

故选：B.

2.（2023秋・北京）已知七，x、,X3满足]3=log』不，[g]=logiX2,[g]=log,^3，则看，

七的大小关系为（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<C.xl<x3<x2D.x2<x1<x3

【答案】C

【解析】在同一平面直角坐标系内作出

fg广、交出、y=、y=[g：+'的图像

y既x过点事）、（1,。）；），=[g）过点（0」）、（l,g）；

y=过点（0』）、（l,；）；y=过点吟、心，

、x+l

则，=出、尸曰、与y=log：x图像交点横坐标依次增大,

Xx+1

又H与y=log；x图像

交点横坐标分别为占、三、三，贝（I占<三<三.

3.（2023•全国•高三专题练习）设，J=log?a,2"=logJ,QJ=5,则a、b、c的大小关系是（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.b<c<a

【答案】B

【解析】构造函数/（x）=iog2%-6），因为函数y=iog2%、>=在（0,+8）上均为增函数,

1Q

所以，函数“X）为（。,+8）上的增函数，M/（l）=--<0,/（2）=^>0,

因为/（。）=0,由零点存在定理可知1<。<2；

构造函数g（x）=2'-bggX,因为函数>=2，、>=T°g;在（0,+动上均为增函数，

所以，函数g（x）为（。,+巧上的增函数，且8（小=2、2<0,8、]=2、1>0,

因为gS）=0，由零点存在定理可知

因为仕[=5,则c=l°g[5<bgj=°,因此，故选：B.

⑷44

考法六导数法之同构函数

【例6-1]（2023•河南,校联考模拟预测）设。=学，6=七要，c=立，则（

4e22e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

+口而*r/曰In4In2,4-ln42VeIn公

r【A解73析】由题意可得。===丁，b=——=~^,c=—=—

42e22e加

T

设“x)=皿，X>0,则/(x)二1.1n1,

XX

故当xe(O,e)时，户")>0,〃x)单调递增；

当xe(e,E)时,r(x)<0,/(x)单调递减；

因为a=〃4)=〃2),b=f,c=于(而),JL0<^<2<e<—<4,

k272

可得。=/(2)>/(6)=c,a=f(4)<f=b,所以c<a<b.

故选：D.

【例6-2](2023•全国•模拟预测)己知a,b,ce(l,«»),Ma-ln<2-l=e^,Z?-ln&-2=e-2,c—Inc—4=e-4,

其中e是自然对数的底数，则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【解析】由题意可得a-lna=e—+1,b—\nb-e~2+2,c—Inc=e-4+4-

令〃x)=er+x,贝|/(力=Y一,+1,

因为当x>0时外")>0,〃x)单调递增，

所以〃1)<〃2)</(4),即a-\na<b-\nb<c-\nc,

令g(x)=x-lnx,贝Ijg，(尤)=1-：,

因为当了>1时，g'a)>。，所以8⑺在。,+8)上单调递增，

又因为。，瓦ce(l,«»)且g(a)<g(b)<g(c),所以a<6<c,故选：A

【变式】

1.(2022•山西吕梁)已知a=In?%2022,b=e」,c=In?。到2021,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】B

20

【解析】a=in^^2022=In2022^=,b=e'=-=—,

2022ee

c=In20?y2021=In202,令〃x)=叱，贝|/=

2021xx

当0<x<e时，/(x)>0,当X>e时,f'(x)<0,

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+◎上单调递减，

由e<2021<2022,所以/(e)>/(2021)>/(2022),所以6>c>a.故选：B.

2.(2022•内蒙古)已知a=ln2+《，6=ln3+；,c=*,则。、b、c的大小关系为()

34e+1

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】构造函数/(x)=lnx+Tj,其中x>0,

(1丫3

9XH—H—

则/(x)11_X+x+l_2)4

X(x+l)2x(x+l『X(X+1)2

所以，函数/(%)在(0,+8)上单调递增,

因为〃=ln2+^=/(2),b=ln3+；=〃3),c=，十；=l+」y=lne+」y=/(e),

因为3>e>2>0,所以，a<c<b.

故选：B.

3(2023•广西桂林•统考一模)已知。、b、ce(l,+oo),2e"ln3=9tz,3芭ln2=8〃，2ec-2=c,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>a