第03讲 一次函数的图像与性质（知识解读+题型精讲+随堂检测）（原卷版）

第03讲一次函数的图像与性质1.理解一次函数的定义2.学会观察一次函数图像并分析，判断函数值随自变量的变化而变化3.掌握求一次函数解析式方法并解决简单的几何面积问题；4.掌握一次函数与方程组及不等式的关联。知识点1：一次函数的定义如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。知识点2：一次函数图像和性质一次函数图象与性质用表格概括下：增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：若两直线平行，则；若两直线垂直，则知识点3：一次函数的平移一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）知识点4：求一次函数解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤：基本步骤：设、列、解、写⑴设：设一般式y=kx+b⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）⑶解：解出k、b；⑷写：写出一次函数式知识点5：一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解．求直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点时,（1）可令y=0，得到方程kx+b=0（k≠0），解方程得______________，（2）直线y=kx+b交x轴于点_（0，）_______,就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．知识点6：一次函数与一元一次不等式（1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.（2）如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．知识点7：一次函数与二元一次方程组1.一次函数与二元一次方程组的关系2.一次函数与二元一次方程的数形结合【题型1：一次函数的定义】【典例1-1】（2023春•安化县期末）下列关于x的函数是一次函数的是（）A． B． C．y＝x2﹣1 D．y＝3x【典例1-2】（2023春•博兴县期末）一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（）A．m≠2且n＝2 B．m＝2且n＝2 C．m≠2且n＝1 D．m＝2且n＝1【变式1-1】（2023春•兴城市期末）若函数y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是一次函数，则a的值为（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．0【变式1-2】（2023春•易县期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y＝1 B． C．y＝2x﹣3 D．y＝x2【变式1-3】（2023•南关区校级开学）函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（）A．m≠5且n＝﹣2B．n＝﹣2 C．m≠且n＝﹣2 D．m≠【题型2：判断一次函数图像所在象限】【典例2】（2023春•岳阳县期末）一次函数y＝x﹣1的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-1】（2023春•长沙期末）一次函数y＝3x﹣5的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【变式2-2】（2023春•郧西县期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x﹣1的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【变式2-3】（2023春•黔东南州期末）一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【题型3：一次函数图像的性质】【典例3】（2023春•西城区校级期中）关于一次函数y＝2x﹣4的图象和性质，下列叙述正确的是（）A．与y轴交于点（0，2） B．函数图象不经过第二象限 C．y随x的增大而减小 D．当时，y＜0【变式3-1】（2023春•启东市期末）下列关于一次函数y＝﹣2x+2的图象的说法中，错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象与x轴的交点坐标为（2，0） C．当x＞0时，y＜2 D．y的值随着x值的增大而减小【变式3-2】（2022秋•罗湖区期末）关于函数y＝﹣2x﹣5，下列说法不正确的是（）A．图象是一条直线 B．y的值随着x值的增大而减小 C．图象不经过第一象限 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）【变式3-3】（2023春•邓州市期末）下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（）A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3）【变式3-4】（2023春•建华区期末）关于函数y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（）A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】【典例4】（2023秋•射阳县校级月考）若一次函数y＝﹣3mx﹣4（m≠0），当x的值增大时，y的值也增大，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＜0 C．0＜m＜3 D．无法确定【变式4-1】（2023春•铜仁市期末）已知一次函数y＝（m+1）x﹣2，y的值随x的增大而减小，则点P（﹣m，m）所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式4-2】（2023•雁塔区校级四模）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x增大而增大，则（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞2【变式4-3】（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（）A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】【典例5】（2023春•港北区期末）两个一次函数y1＝ax+b与y2＝bx+a，它们在一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【变式5-1】（2023春•富锦市期末）同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象可能是（）A． B． C． D．【变式5-2】（2023春•易县期末）已知kb＞0，且b＜0，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（）A．B． C．D．【变式5-3】（2023春•商城县期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A． B． C． D．【题型6：比较一次函数值的大小】【典例6】（2023春•丹江口市期末）一次函数y＝4x+m的图象上有三个点A（﹣2，a），B（3，b），C（﹣0.5，c），据此可以判断a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【变式6-1】（2023春•甘井子区期末）已知点A（﹣2，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定【变式6-2】（2023春•庐江县期末）若点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，则下列大小关系成立的是（）A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2【变式6-3】（2022秋•太仓市期末）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【题型7：一次函数的变换问题】【典例7】（2023春•东兰县期末）在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+b沿y轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【变式7-1】（2023春•通河县期末）直线y＝﹣5x向上平移2个单位长度，得到的直线的解析式为（）A．y＝5x+2 B．y＝﹣5x+2 C．y＝5x﹣2 D．y＝﹣5x﹣2【变式7-2】（2023春•卫滨区校级期末）一次函数y＝﹣2x+b的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点A（2，﹣3），则b的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【变式7-3】（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3【变式7-4】（2023•临潼区一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6【题型8：求一次函数解析式】【典例8】（2023春•西华县期末）已知直线l1：y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）将直线l1向右平移8个单位后得到直线l2，求直线l2的解析式；（3）设直线l2与x轴的交点为P，求△PAB的面积．【变式8-1】（2023春•庐江县期末）已知某一次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣4），当x＝2时，y＝﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象沿x轴向右平移3个单位，求平移后的图象与坐标轴围成三角形面积．【变式8-2】（2023春•商南县校级期末）如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．（2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标．【变式8-3】（2023春•鼓楼区校级期末）已知一次函数y＝kx+4的图象过点B（2，3）．（1）求k的值；（2）直线y＝kx+b与x轴的交点为C点，点P在该函数图象上，且点P在x轴上方，△POC的面积为4，求P点的坐标．【题型9：一次函数与一元一次方程】【典例9】（2022春•围场县期末）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则方程ax+b＝0的解为（）A．x＝﹣2 B．y＝﹣2 C．x＝1 D．y＝1【变式9-1】（2022秋•固镇县校级月考）如图，直线y＝ax+b过点（0，﹣2）和点（﹣3，0），则方程ax+b+1＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1.5 D．x＝﹣1【变式9-2】（2022春•冠县期末）如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定【变式9-3】（2022秋•广饶县校级期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．【典例10】（2022秋•城关区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4【变式10-1】（2022秋•余姚市校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是．【变式10-2】（2022秋•高陵区期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则方程kx＝﹣x+b的解为．【题型10：一次函数与一元一次不等式】【典例11】（2023春•阿克苏地区期末）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为（）A．x＜3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＞3【变式11-1】（2023春•两江新区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的交点分别为（﹣2，0）、（0，1），求关于x的不等式kx+b＜1的解集．【变式11-2】（2023春•松江区期末）如图：点（﹣2，3）在直线y＝kx+b（k≠0）上，则不等式kx+b≥3关于x的解集是．【变式11-3】（2021秋•建邺区期末）表1、表2分别是函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2中自变量x与函数y的对应值．则不等式y1＞y2的解集是．表1x﹣4﹣3﹣2﹣1y﹣1﹣2﹣3﹣4表2x﹣4﹣3﹣2﹣1y﹣9﹣6﹣301．（2023•乐山）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（）A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）2．（2023•兰州）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣14．（2023•沈阳）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜05．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜06．（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣37．（2023•台湾）坐标平面上，一次函数y＝﹣2x﹣6的图象通过下列哪一个点（）A．（﹣4，1） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，﹣2）8．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（）A．B． C．D．9．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）10．（2022•陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（）A． B． C． D．11．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜312．（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为13．（2023•盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是．14．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．15．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．（1）求m的值和直线AB的函数表达式；（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．1．（2023秋•白银期中）下列函数中是一次函数的是（）A．y＝ B．y＝x2 C．y＝1 D．y＝x+12．（2023秋•济南期中）若函数y＝（m﹣1）x+3是一次函数，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣1或13．（2023•船营区一模）一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定5．（2023•雁江区校级模拟）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（）A．B． C．D．6．（2023秋•叶县期中）已知一次函数y＝kx+k过点（1，﹣4），则下列结论正确的是（）A．y随x增大而增大 B．k＝2 C．直线过点（﹣1，0） D．与坐标轴围成的三角形面积为27．（2023秋•青羊区校级期中）一次函数y＝5x﹣2的图象经过的（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限8．（2023秋•福田区校级期中）下列关于函数y＝3x+2的结论中，错误的是（）A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，