9.4乘法公式（解析版）

9.4乘法公式完全平方公式拓展：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（a+b）2-（a-b）2=4ab平方差公式补充公式；；；.题型1：完全平方公式1．若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝1．【分析】先运用公式法因式分解得出x2+2xy+y2＝（x+y）2，再把x+y＝1代入即可【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，故答案为：1．【变式1-1】已知x+y＝6，xy＝10，则x2+y2＝16．【分析】将x2+y2变形为（x+y）2﹣2xy，然后将x+y＝6，xy＝10代入求解即可．【解答】.解：∵x+y＝6，xy＝10，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×10＝16．故答案为：16．【变式1-2】已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝12，x+y＝±7．【分析】首先在x﹣y＝1，两边平方，把（x2+y2）作为整体代入平方后的式子，求出xy；设x+y＝a，两边平方，把（x2+y2）作为整体代入平方后的式子，求出a，也就求出x+y．【解答】解：∵x﹣y＝1，∴x2﹣2xy+y2＝1，∵x2+y2＝25，∴xy＝12，设x+y＝a，∴x2+2xy+y2＝a2，∴49＝a2，∴a＝±7∴x+y＝±7；故答案为：12；±7．【变式1-3】若n满足（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝1，（n﹣2020）（2023﹣n）＝4．【分析】设（n﹣2020）＝a，（n﹣2023）＝b，则：（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝a2+b2＝1，利用完全平方公式进行求解即可．【解答】解：设（n﹣2020）＝a，（n﹣2023）＝b，则：（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝a2+b2＝1，∵a﹣b＝（n﹣2020）﹣（n﹣2023）＝3，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝9，∴1﹣2ab＝9，∴ab＝﹣4，∴（n﹣2020）（2023﹣n）＝﹣ab＝4．故答案为：4．题型2：完全平方公式的几何背景2.1．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【分析】阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，其面积可表示为（a﹣b）2，也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，进而得出结论．【解答】解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2，阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【变式2-1】如图，两个正方形的边长分别为a和b，若a+b＝12，ab＝26，则阴影部分的面积为33．【分析】用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再将所得到的代数式变形为12[（a+b）2﹣3ab]【解答】解：图中阴影部分的面积为12a（a﹣b）+12b2，即12a2-1∵a+b＝12，ab＝26，∴原式=12（a2﹣ab+b=12（a2+2ab+b2﹣3=12[（a+b）2﹣3=12（144﹣3×＝33，故答案为：33．【变式2-2】如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2，可以得到（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）当（x﹣8）（15﹣x）＝6时，求（2x﹣23）2的值．【分析】（1）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；（2）利用（1）中的结论，可设a＝x﹣8，b＝15﹣x，得到ab＝6，a+b＝7，a﹣b＝2x﹣23，利用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可．【解答】解：（1）大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，两个正方形的面积差为（a+b）2﹣（a﹣b）2，就等于4个长为a，宽为b的长方形的面积，即为4ab，故答案为：4ab；（2）设a＝x﹣8，b＝15﹣x，则ab＝（x﹣8）（15﹣x）＝6，a+b＝x﹣8+15﹣x＝7，a﹣b＝2x﹣23，∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×6＝25，即（2x﹣23）2＝25．【变式2-3】（1）用边长分别为a，b的两个正方形和长宽分别为a，b的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和．请你用一个等式表示（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．（2）根据（1）中的数量关系，解决如下问题：①已知m+n＝6，m2+n2＝26，求m﹣n的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，求（x﹣2022）2的值．【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；（2）①先根据完全平方公式求出mn＝5，再根据（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2作答即可；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，先根据题意求出ab的值，再用完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；方法二：阴影部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，由两种方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）①∵m+n＝6，∴（m+n）2＝36＝m2+2mn+n2，∵m2+n2＝26，∴2mn＝10，即mn＝5；∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2＝26﹣10＝16，∴m﹣n＝±4；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，则a﹣b＝2，a2+b2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝74，∴ab=a即（x﹣2021）（x﹣2023）＝35，∴[（x﹣2022）+1][（x﹣2022）﹣1]＝（x﹣2022）2﹣1＝35，∴（x﹣2022）2＝36．【变式2-4】问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．类比探究类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．解决问题（1）计算：（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn+n2；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【分析】类比探究：由图2可得公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解决问题：（1）由另一个完全平方公式计算即可；（2）运用完全平方公式计算即可；（3）运用完全平方公式变形后计算即可．【解答】解：类比探究：由图2中的已知条件可以得出完全平方的另一个公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解决问题：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；故答案为：4m2﹣4mn+n2；（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；（3）因为（x+y）2＝12，xy＝2，所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．【变式2-5】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【分析】（1）根据（x+y）2＝x2+2xy+y2，代入计算即可；（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，可得m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，利用（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn代入计算即可；（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，求出12ab【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值为12；（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴36＝18+2ab，∴ab＝9，∴阴影部分的面积为12ab=答：阴影部分的面积为92题型3：平方差公式3.已知a+b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝10．【分析】根据（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2求解即可．【解答】解：∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，又∵a+b＝5，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝2×5＝10，故答案为：10．【变式3-1】已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝10．【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．【解答】解：∵（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，即（a2+b2）2﹣32＝7，∴（a2+b2）2＝7+9＝16，∴a2+b2＝4，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+2×3＝4+6＝10．故答案为：10．【变式3-2】计算：(1-122【分析】直接利用平方差公式因式分解，再进一步找出规律计算即可．【解答】解：原式＝（1-12=1=1=2023故答案为：20234044【变式3-3】①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝﹣2或0．【分析】（1）由规律可得（x﹣1）•（xn﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝xn﹣1，再根据数值，可得其答案；（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，求出x的值，再代入x2023﹣1得其值．【解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，∴x2023﹣1＝﹣2或0，故答案为﹣2或0．【变式3-4】计算：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）．【分析】先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可．【解答】解：（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）＝（x﹣3+2y）（x﹣3﹣2y）＝（x﹣3）2﹣（2y）2＝x2﹣6x﹣4y2+9．题型4：平方差公式的几何背景4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【变式4-1】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．（1）【探究】①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用字母表示）；（2）【应用】请应用这个公式完成计算：2001×1999．【分析】（1）①图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形面积；②图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子；（2）将2001×1999转化为（2000+1）（2000﹣1），根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）①在图①中：∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，∴阴影部分的面积为：a2﹣b2；在图②中：∵阴影部分为长方形，且长为（a+b），宽为（a﹣b），∴阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）；②∵图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，∴可得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：①a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）原式＝（2000+1）（2000﹣1）＝20002﹣1＝3999999．【变式4-2】如图1，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用a，b表示）；（2）请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：①已知9a2﹣b2＝27，3a+b＝9，则3a﹣b＝3；②计算：(1-【分析】（1）通过整体运算和部分求和的分式对图中阴影部分的面积求解即可；（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行求解即可；②运用（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）将算式进行变形、求解．【解答】解：（1）∵图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图1中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，9a2﹣b2＝（3a+b）（3a﹣b），∴3a﹣b＝（9a2﹣b2）÷（3a+b）＝27÷9＝3，故答案为：3；②由（1）得出的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，(1-＝（1-12）•（1+12）•（1-13）•（1+1=1=1=2023【变式4-2】计算：（1）长方形和正方形按如图的样式摆放，求图中阴影部分的面积；（2）先化简，再求值（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x＝3，y＝﹣2；（3）已知：（x+y）2＝6，（x﹣y）2＝3，求2xy﹣3的值．【分析】（1）根据阴影部分的面积＝长方形的面积+正方形的面积﹣三角形的面积进行求解；（2）根据完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，然后代入求值即可；（3）根据完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝2a•3a+a2-12×2a×（3a＝7a2﹣4a2＝3a2；（2）（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y）＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+9y2＝6xy+18y2，当x＝3，y＝﹣2时，原式＝6×3×（﹣2）+18×（﹣2）2＝﹣36+72＝36；（3）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝6①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3②，∴①﹣②得：4xy＝3，解得xy=3∴2xy﹣3=32-题型5：整式的除法5.计算：2x6÷x2＝2x4．【分析】利用整式的除法的法则进行运算即可．【解答】解：2x6÷x2＝2x4．故答案为：2x4．【变式5-1】计算：（28a3﹣14a2+7a）÷7a＝4a2﹣2a+1．【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．【解答】解：原式＝4a2﹣2a+1．故答案为：4a2﹣2a+1．【变式5-2】已知10b2÷（﹣5b）m＝A，若m＝1，则A＝﹣2b；若m＝3，则A＝-225b【分析】将m的值代入，利用幂的运算性质解得即可．【解答】解：当m＝1时，A＝10b2÷（﹣5b）＝﹣2b；当m＝3时，A＝10b2÷（﹣125b3）=-故答案为：﹣2b；-2【变式5-3】观察下列式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．①（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1；②根据①的结果，则1+2+22+23+24+25+26+27＝28﹣1．【分析】①根据上面的规律直接得出（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1即可；②根据（28﹣1）÷（2﹣1）＝27+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可．【解答】解：（1）由已知得（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1，故答案为x6+x5+x4+x3+x2+1；（2）∵（28﹣1）÷（2﹣1）＝27+26+25+24+23+22+2+1，∴28﹣1＝27+26+25+24+23+22+2+1，故答案为28﹣1．题型6：整式的混合运算6.若m2﹣m＝2，那么（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3的值为4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把m2﹣m＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（m﹣1）2+（m+2）（m﹣2）+3＝m2﹣2m+1+m2﹣4+3＝2m2﹣2m，当m2﹣m＝2时，原式＝2（m2﹣m）＝2×2＝4．故答案为：4．【变式6-1】先化简，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【分析】首先进行整式的混合运算，化为最简整式，再把x＝﹣3，y=-【解答】解：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x）＝[x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3（x2﹣4xy+4y2）+9y2]÷（﹣2x）＝（x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3x2+12xy﹣12y2+9y2）÷（﹣2x）＝（﹣2x2+8xy）÷（﹣2x）＝x﹣4y，当x＝﹣3，y=-原式=-3【变式6-2】先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2），其中实数a，b满足|a﹣2|+b2+2b+1＝0．【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据绝对值和偶次方的非负性得出a＝2，b＝﹣1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（a+b）（a﹣b）+（b﹣1）2﹣a（a﹣2）＝a2﹣b2+b2﹣2b+1﹣a2+2a＝2（a﹣b）+1；∵|a﹣2|+b2+2b+1＝0，∴|a﹣2|+（b+1）2＝0，∴a＝2，b＝﹣1，原式＝2×[2﹣（﹣1）]+1＝7．【变式6-3】整式化简求值：若单项式a3bx与单项式-13π【分析】先去括号合并同类项化简，再利用同类项定义求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：(4=4x＝2x2+xy﹣y2，∵单项式a3bx与单项式-1∴x＝1，y＝3，∴原式＝2×12+1×3﹣32＝﹣4．一．选择题（共7小题）1．下列各运算中，计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．（b2）3＝b6 C．2x•2x2＝2x3 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，单项式乘以单项式法则及完全平方公式分别计算并判断．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故原计算不符合题意；B、（b2）3＝b6，故原计算符合题意；C、2x⋅2x2＝4x3，故原计算不符合题意；D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故原计算不符合题意；故选：B．2．若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，则n的值为（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9【分析】由完全平方式的特点可得﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10，再解方程即可．【解答】解：∵x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，∴﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10．解得：n＝﹣4或n＝6，故B正确．故选：B．3．已知a+b＝10，ab＝20，则a2+b2的值为（）A．80 B．﹣80 C．60 D．140【分析】本题利用完全平方公式，代入计算即可．【解答】解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣40＝60．故选：C．4．若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．【解答】解：（2x﹣m）（x+1）＝2x2+2x﹣mx﹣m＝2x2+（2﹣m）x﹣m，∵结果中不含x的一次项，∴2﹣m＝0，解得：m＝2．故选：A．5．若a2﹣b2＝4，则（a+b）2（a﹣b）2的值是（）A．24 B．16 C．8 D．4【分析】把（a+b）2（a﹣b）2利用平方差公式先运算底数，然后再代入数据计算即可．【解答】解：（a+b）2（a﹣b）2＝[（a+b）（a﹣b）]2＝（a2﹣b2）2，∵a2﹣b2＝4，∴原式＝42＝16．故选：B．6．已知a=-12022x+2021，b=-12022x+2022，c=-12022x+2023，那么，代数式a2+b2+A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．3【分析】先把代数式进行因式分解，再代入求值．【解答】解：∴a=-12022x+2021，b=-12022x+2022∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12×＝3，故选：D．7．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．2023【分析】先把代数式局部分解因式，再整体代入求解．【解答】解：∵a+b＝3，x+y＝1，∴a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015＝（a+b）2﹣（x+y）+2015＝9﹣1+2015＝2023，故选：D．二．填空题（共6小题）8．已知y2﹣8y+m是一个完全平方式，则m的值为16．【分析】根据完全平方式的特点解答即可．【解答】解：∵y2﹣8y+m是一个完全平方式，∴m＝16．故答案为：16．9．若m=25x+3，n=45x+5，k=65x-7，则代数式m2+n2+k2+2【分析】根据完全平方公式得到m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk＝（m+n﹣k）2，再代入计算即可求解．【解答】解：∵m=2∴m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk＝（m+n）2﹣2（m+n）k+k2＝（m+n﹣k）2＝（25x+3+45x+5-6＝152＝225．故答案为：225．10．如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是15．【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到含a2b4项的系数．【解答】解：根据题意得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，所以（a+b）6的展开式中含a2b4项的系数是15．故答案为：15．11．如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，点E，G分别在边AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分图形的面积的和为10.5．【分析】利用图形和x2+y2、2xy还有x﹣y之间的关系，求出x，y，用面积公式计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，∴BE＝x﹣y＝3，∴（x﹣y）2＝9，即x2+y2﹣2xy＝9∵x2+y2＝29，∴2xy＝20，∴x2+y2+2xy＝29+20＝49，∴x+y＝7，∴x+y=7x-y=3解方程组得x=5y=2∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴DQ＝BE＝3，S△BEF+S△DCF=12×2×3+12×5×故答案为：10.5．12．若x2﹣5x+2＝0，则2x3﹣7x2﹣11x+2020的值为2014．【分析】先把代数式进行变形，再整体代入求解．【解答】解：∵x2﹣5x+2＝0，∴2x3﹣7x2﹣11x+2020＝2x（x2﹣5x+2）+3（x2﹣5x+2）+2014＝2014，故答案为：2014．13．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为39．（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为5．（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为5．【分析】（1）利用完全平方公式把代数式变形，整体代入求值；（2）把代数式变形，整体代入求值；（3）设x﹣2023＝a，把等式变成含a的方程，求解a的值，再代入求代数式的值．【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝72﹣2×5＝49﹣10＝39；故答案为：39；（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，∴x2+2xy+y2＝49，即27+2xy＝49，∴xy＝11，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝27﹣2×11＝27﹣22＝5；故答案为：5；（3）设x﹣2023＝a，∵x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，化简整理得：a2＝5，∴（x﹣2023）2的值为5．故答案为：5．三．解答题（共6小题）14．先化简，再求值：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x），其中x＝﹣3，y=-【分析】首先进行整式的混合运算，化为最简整式，再把x＝﹣3，y=-【解答】解：[（x﹣3y）（x﹣y）﹣3（x﹣2y）2+（3y）2]÷（﹣2x）＝[x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3（x2﹣4xy+4y2）+9y2]÷（﹣2x）＝（x2﹣xy﹣3xy+3y2﹣3x2+12xy﹣12y2+9y2）÷（﹣2x）＝（﹣2x2+8xy）÷（﹣2x）＝x﹣4y，当x＝﹣3，y=-原式=-315．阅读下列材料，解答问题：若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”．例如：因为4134÷13＝318，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又是“一世数”，所以4134为“一生一世数”．（1）求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；（2）若一个四位自然数m是“一生一世数”，记F(m)=m13，求F（【分析】（1）设任意一个“一世数”为a1b4，根据任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和列出代数式得a1b4+a+3b＝13（77a+b+8【解答】（1）证明：设任意一个“一世数”为a1b4，∴a1b4+a+3＝1000a+100+10b+4+a+3b＝1001a+104+13b＝13（77a+b+8），∵a，b为整数，∴77a+b+8为整数，∴任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；（2）解：设m=x1y4∴F（m）=x1y413=1000x+100+10y+413=1000x+10y+104∵m是“一生一世数”，∴x+3y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，x，y为整数，∴x+3y＝13或x+3y＝26，∴x=1y=4或x=4y=3或x=7y=2或x=2y=8或∴m＝1144，4134，7124，2184，5174，8164，∴F（m）的最大值为816413F（m）的最小值为114413=∴F（m）的最大值与最小值之差为628﹣88＝540．16．【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38．求a2+b2+c2的值；（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG求解．【解答】（1）解：∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故结论是：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）由（1）可知a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+abc+2ac），∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣2×38＝45，故a2+b2+c2的值为45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴（a+b）2＝100，∴a2+b2+2ab＝100，∴a2+b2＝60，∴S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2-12a2-12b（=12（a2+b2﹣=12×（60＝20．故阴影部分的面积是20．17．布鲁纳的发现学习论认为学习是一个积极主动的过程，学习者不是被动接受知识，而是主动的获取知识．某个班级的数学探究活动课上，主持人给出了下列的探究任务．任务一：自主探究定义：若a+b＝n，则称a与b是关于整数n的