河南省洛阳市2023-2024学年高一年级下册3月月考数学试卷(含答案)

河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.下列说法中不正确的是()

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等

2.复数(6+i)(l-7i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知的内角A,3,C的对边分别为公瓦0,且6=近,3=型,c=括则。=()

6

A.2B.A/3C.V2D.l

4.已知向量。=(2,-1),。=(1,2)则「+人在人上的投影向量的坐标为()

A.(2,l)B.(l,l)C.(l,2)D.(-2,l)

5.下列区间为函数y=2sin、+；]的增区间的是()

71371

B

“-盟-[-y^]5一兀,0]45T

6.已知复数z满足z(l-i)=i,则下列结论正确的是()

A.z=；+；iB.z的虚部与实部相等

C.|z|=lD.存在复数4，使zZ]<0

7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a力,c,且bcosC+csinB==6,则

a+2b,、

-------:——()

sinA+2sinB

A.6后B.6C.4A/2D.4

二、多项选择题

8.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.

已知至=6。=0)=2,回，8。,4。_10),若。3=248+〃4。,则；1+〃=()

6+1D亚7

22

9.下列各组向量中，能作为基底的是（）

A.约=(0,0),e2=(1,1)B.ei=(1,2),e2=(-2,1)

C.ei=(-3,4),e2=］：一D.ei=(2,6),e2=(-1,3)

10.设z是非零复数，则下列说法正确的是()

A.若ZGR,则zeRB.若zz=|z|,则目=1

(1若2=2,则z=HD.若z+z=0,则广=i

同T

11.在△ABC中，角A,3,C的对边分别为a,0,c,已知△ABC的周长为3,3=60。,则（）

A.若26=a+c,则△ABC是等边三角形

B.存在非等边△ABC满足/=如

C.△ABC内部可以放入的最大圆的半径为且

D.可以完全覆盖△ABC的最小圆的半径为（

三、填空题

12.已知复数z满足l+zi=z—i,则目=..

13.若尸为△ABC的外心，且PA+PB=PC,则△ABC的内角C等于.

四、双空题

14.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线

与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m,在C处测得塔底A（即小

山的最高处）的俯角为45。,塔顶3的俯角为30。,向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达

。处时，测得塔底A的俯角为75。,则该座小山的海拔为m;古塔的塔高为

___________m.

五、解答题

15.已知a为第四象限角，且tan[a+：]=-

(1)求tana,sini的值；

(2)求sin[g+a]—2sin]cos[]+a]的值.

16.已知向量Z=(2,3),」=(T,2).

(1)当左为何值时，左a+匕与3a-2b垂直？

(2)当上为何值时，左a+匕与3a-2。平行？

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=0\c=2,cosC.

3

(1)求sinB和a的值;

(2)求△ASC的面积.

18.如图，在中C是4?的中点Q是线段QB上靠近点。的四等分点，设

0A=a,OB=b.

(1)若。4长为2,06长为8,4。8=工,求0。的长;

3

(2)若E是OC上一点，且OC=2OE,试判断A,D,E三点是否共线？并说明你的理由.

sinB

19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且

sinA+sinCb+c

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且5=4,求△ABC周长的取值范围.

参考答案

1.答案：B

解析：根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；

方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；

单位向量是模为1的向量，C正确；

根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，

所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；

故选：B.

2.答案：D

解析：因为（6+i）（l—7i）=6—42i+i+7=13—41i,

所以复数（6+双1-%）在复平面内对应的点为（13,-41）,位于第四象限.

故选：D.

3.答案：D

解析：由余弦定理得（近）=a2+（^）-2-a-V3cos^-=a2+3+3a,

整理得/+3a-4=0,解得a=l（负值舍去）.

故选：D.

4.答案：C

解析：由a=（2,-l）,b=（l,2）得a+〃=（3,l）,

।।卜\a+b]-b

所以a+b在匕上的投影向量为a+6cos夕*—•6=。,2）.

故选：C.

5.答案：B

解析：2kn--<%+—<2kit+—,A;eZ,

242

解得:2bi--<x<2kn+三，kGZ,

44

当左=0时，—%Kx〈巴，

44

当』时一3X-

^k=l^，—<X<—,

44

故四个选项中，只有B选项满足要求，

故选:B

6.答案：D

/、ii（l+i）i+i2111

解析：由^Z=—=———=--+-1,z的实部为一彳，虚部

'/1-1（1一1）（1+1）2222

为:，忖=、［二^^,当Zi=1+3i时，zzj=D.

211V2222442

7.答案：A

解析：由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA,

即sinBcosC+sinCsinB=sin（5+C）=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinCsinB=cosBsinC,*sinCw0,sinB=cosB,

.tanS=1,1BG（0,Ji）,.'.B=—，.二---=----=——=6A/2,

'/4sinAsinBJ2

F

a=60sinA,O=60sin3，所以一""一=6®smA+2sm3）=

sinA+2sinBsinA+2sinB

故选：A.

8.答案：B

解析：以C为坐标原点,CD,C4所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，

由题意得AC=2企，则A（0,2A/2）,B（A/2,A/2）,C（0,0）,D（-2,0）,AB=（0,—0）,

AC=（0,—2后）,D3=（应+2,0）.因为D8=/IAB+〃AC,

所以+2=产，解得厂®1所以.

应=-仞-2®〃=_1上，2

L2

故选：B.

y

9.答案：BCD

解析：A中向量q与e2共线，不能作为基底,B,C,D中4*2不共线,

所以都可作为一组基底.

故选：BCD.

10.答案：AB

解析：对于A,zeR,故zeR,正确；

对于B,.z.z=|z「,.1z「=忖,故臼=1或忖=0（舍），正确;

对于C,若z=z,则zeR,故z=忖或z=-田不正确;

对于D,z+1=0,即z为纯虚数，故£=占=±i，不正确.

lzl同

故选：AB.

11.答案：ACD

解析：因为△ABC的周长为3,且笈=60。,可得a+3+c=3,

由余弦定理得。2=a2+c2-2accosB=cr+c2-ac.

对于A,因为2Z?=a+c,所以（"：）=片+0?—ac,即（a一=0,则a=Z?=c,所以ZkABC

为等边三角形，故A正确；

对于B,假设。2=ac,则ac=a?+/—ac,即（a-cf=0,则a=Z?=c,止匕时ZVlBC为等边三

角形，故B错误；

对于C,由/=〃+02—ac=（3—,可得ac=2（a+c）—324A/^-3,当且仅当a=c时

等号成立，解得ac41或敬29（舍去），所以△ABC的面积S='acsinB4且，△ABC的

24

内切圆半径为二^W走，所以△ABC内部可以放入的最大圆的半径为立，故C正

a+b+c66

确；

对于D,设△ABC外接圆的半径为R,因为2（a+c）-3=改〈（审］，当且仅当。=c时等

号成立，所以（〃+c）2—8+c）+1220,解得a+c<2或a+c26（舍去），由

廿=（3-a-c）2»l，可得心1,因为2R=一所以R2电，所以可以完全覆盖△ABC

sin6003

的最小圆的半径为，，故D正确.

故选：ACD.

12.答案：1

解析：由1+zi=z—i,得（l-i）z=l+i,所以z=,|z|=^-14==^~=1.

13.答案：120°

解析：因为求角C,故选。为起点整理，得C4-CP+CB-CP=-CP,

于是CP=C4+CB.由向量加法的平行四边形法则知，

四边形CBB4为平行四边形.又因为p为外心，故

从而四边形CBPA为菱形，且ZACB=120°.

14.答案：475—25百;秒8

解析：由题意知CD=50,NACD=45。，NHCD=30。NADE=75。,

CDAD

在△ACD中,ACAD=75°-45°=30°,由正弦定理得-------

sinZCADsinZACD

.30x___

即AD=Sin/ACD==50拒延长AB与cE交于点H，则AH±CE,

sinZCAD1

2

在RIYADH

中，Af/=ADsin750=50匹sin(45°+30°)=5072(sin45°cos30°+cos45°sin30°)

=50底义"夜=25(6+l)m,

所以该座小山的海拔为500-25(百+1)=(475-256)m.在Rt^AHC中，易知AH=S,

在RtABHC中，=CHtan30°=25(6+1)xg=7"jG,

所以AB=AH—=25(G+1)—,

故古塔的的塔高为乎m.

/.、(兀'1+tana1.4

斛析：(1)tana+—=----------y,W^ftaii6Z=--,

I4)l—tana

”4=-上又sin2a+cos2a=1,且a为第四象限角,

cosa3

,4

：,解得sino=一1.

(2)JM^=sin|—+—+a-2sin—cos—+a

=sm.兀—cos「兀-+a)+cos兀—s.m(兀—+a1-2sm兀—cos(兀—+a

5(5J5<5J5(5

兀.，兀、.兀(711.4

=cos—sm-+o-sm—cos—+a-sma=——.

5(5J5(5J5

16.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：（1）因为左〃+人=左（2,3）+（7,2）=（2左一4,3左+2）,

3〃-25=3（2,3）-2（-4,2）=（14,5）,

（左Q+b）-（3〃-2b）=43左一46,

若（左a+b）_L（3a-2b）可得［ka+b）•（3〃-2b）=0,

,46

BP43左一46=0,得k=—,

43

46

即k=3时，左a+Z?与3〃一2Z?垂直.

（2）当（左a+〃）〃（3a—2b）时，有（2左一4）x5—（3k+2）xl4=0,

解得人二二3

2

3--

即k=——时，左4+方与3〃一2/?平行.

2

17.答案：（1）—

3

⑵—

3

解析：（1）在AABC中，由cosC=-孝，可得sinC=J1-cos?C=?

又由上=上及6=夜,c=2,可得sinB=3.

sinCsiaB3

由余弦定理得《2=6+〃一2〃Z?cosC,得3/+2"〃一6=0,

因为。＞0,故解得。=乎.

所以sinB=-,a=.

33

（2）由（1）知,a=乎,sinC=当，

所以4相。的面积S^ABC=—absinC=—x—xV2x—=—.

22333

18.答案：（1）后

(2)见解析

解析：(1)OA=a,OB=0,C是AB的中点，

.♦.OC=g(OA+O3)=；(a+b),

22

+"=J}"+ga必+»2=2+^-x2x8xcos-1+^-x8=\/21.

(2)A,D,E三点不共线，

理由如下：

由(1)知,AD=—a+!仇

4

OC=2OE,:.OE=-OC,

2

[[Q1

AE=OE-OA=-x—x(a+b]-a=——a+—b.

22I)44

易知4E与A。不平行，

」.A,D,E三点不共线.

19.答案：(1)C=-

3

(2)(6+2612+4⑹

解析：(1)由正弦定理得上=1--—,

a+cb+c

2.»22-i

整理得a2+b2-c2=ab，所以cosC=°一。=-,

lab2

又Ce（O,兀），所以C=1.

9JT27r

(2)法一：由(1)知4+3=臼，即A=—

33

0<--B<-,

32

因为△ABC为锐角三角形，所以解得巴<8<4.

cn兀62

2

由正弦定理—=—也c/日a+b+cb

——-----；-----；—

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsiaB

+si

则〃+b+c=-----cosB+-sirtB+

sinB2sinB(22

点+巫