四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试题

泸州市高2021级第二次教学质量诊断性考试

数学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4

页.共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅

笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区

域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知全集°={"“+2>°},集合，={x|x»l},则令/=（）

A.（-2,1）B.（-2,1]C.D.（7,1）

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】因为。={x|x+2>0}={x|x>—2},A={x\x>l],

所以令4=（—2/）.

故选：A

d—\

2.若复数2=幺一为纯虚数，则实数。的值为（）

1+1

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得。的值.

("i)(l-i)(«-1)-(a+l)i

【详解】因为"南

2

所以a—l=O=>a=l.

故选：B.

【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题.

3.中，“4>8"是"sin/>sin8”的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案.

【详解】因为力>B,由大角对大边可得。>b,

由正弦定理得‘一=—^,且456（0,兀），

sinAsinB

所以sin/>0,sinB>0,故sin/>sinB,充分性成立，

同理当sin/>sinB时，A,Be（0,n）,sin/〉O,sinB〉0,

dh

由正弦定理——=——可得a”,

sinAsmB

由大边对大角可得力>B,必要性成立，

“4>6”是“sinN>sin3”的充要条件.

故选：C

4.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一）,

茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）

A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5

C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低

【答案】B

【解析】

【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值

后可判断D的正误.

【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28-9=19,故A错误；

从折线图看，甲的得分中最低分小于10,最高分大于或等于28,且大于或等于20的分数有3个，故其得

分不稳定，故C错误；

乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20

乙得分的中位数为"担工=16.5,故B正确.

2

9+14+15+18+19+17+16+20

乙得分的平均数为=16,

8

从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15,另一个可设为加，

其中10〈加＜15,

9+12+13+15+20+26+28+加旦％〉空〉

故其平均数为16故D错误.

8

故选：B.

5.函数/（X）=（—工—e]cosx的部分图象大致是（）

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性，并判断xe0,]时，函数值的正负，即可判断选项.

【详解】：/(x)=(e-x-ex)cosx,

，定义域为R,关于原点对称，

由f(-x)=(eT-e~x)cos(-x)=-(e^x-ex)cosx=-f(x)，

所以为奇函数，排除BD；

IT

当0＜x＜］时，cosx＞0,因为y=『“为R上减函数，y=e*为R上的增函数,

则^=「—F为R上的减函数，且当x=0,y=0,贝I当0＜尤＜，

片工-炉＜0,故/(x)＜0,排除A.

故选：C.

6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为()

A.250B.240C.200D.190

【答案】C

【解析】

【分析】模拟程序运行，确定变量值的变化，判断循环条件可得结论.

【详解】程序运行时，变量值变化如下：

z=10,5=0,5=100,7=140,不满足S»T；i=8,S=164,T=168,不满足SNT；i=6,S=200,

T=176,满足S»T,输出S=200.

故选：C.

22

7.已知点P在椭圆C:y+^=l±,C的左焦点为后若线段PF的中点在以原点。为圆心，|。耳为半

径的圆上，则|尸盟的值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角形的中位线定理与圆的半径求得|万尸1,再利用椭圆的定义即可得解.

22

【详解】因为椭圆C：土+匕=1

98

所以该椭圆。=3,6=2e，则c=l，

设椭圆的右焦点为厂'，连接尸P,记线段尸尸的中点为。，连接

因为。分别为厂的中点，所以|PF'|=2=2,

又|PF|+\PF'\=2a=6,所以|PF|=6-|PFf|=4.

故选：B.

TT

8.已知函数/(x)=sin2x+/)cos2x的图象关于直线x=一对称，则b的值为()

8

A.--B.-1C.—D.1

22

【答案】D

【解析】

【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】因为f(x)=sin2x+bcos2x=A/1+62sin(2x+0)(其中tane=b),

又函数/(x)的图象关于直线x=&对称，

8

所以51+/—sin—Fbcos-,

44

19

所以i+/=50+b),解得b=i.

故选：D

9.定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=/(x—2),当为4—2,2]时,函数/(x)=4—设函数

g(x)=e*z(_2<x<6),则方程/(x)—g(x)=O的所有实数根之和为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到/(X)是以4为周期的周期函数，g(x)关于x=2对称，在同一平面直角坐标系中画出

>=8(力与了=/(可(》«-2,6])的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得.

【详解】因为定义域为R的函数/(x)满足〃x+2)=/(x—2),即/(x+4)=/(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

_4_x_2x2

又g(x)=e*)(-2<x<6),则g(4-x)=el()l=e-\-\=,

所以g(x)关于x=2对称，又g(—2)=g(6)=e+2-21=4〉0,

e

..\e¥+2,2<x<6

又g(x)=e>'=\,

L，_2<X<2

又当xe[-2,2]时，函数/(x)=4_f,所以/(—2)=/(2)=0,则/(6)=/(2)=0,

令/(x)—g(x)=0,即/(x)=g(x),

在同一平面直角坐标系中画出>=g(x)与y=e[-2,6])的图象如下所示：

由图可得〉=g(x)与V=/3(工式一2,6])有4个交点，交点横坐标分别为西,工2，》3，X4，

且七与Z关于x=2对称，4与退关于》=2对称，

所以X]+14=4,x3+x2=4,

所以方程/(x)-g(x)=0的所有实数根之和为X]+x2+x3+x4=8.

故选：D

22

10.已知双曲线C:二-斗=1（。＞0,6＞0）的左，右两个焦点分别为片，为其左顶点，以线段片鸟为

a~b~

直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为且|山|=三|月乙则。的离心率（）

A.72B.V3C.V5D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得点W的坐标，再由条件得到关于。，“c的齐次方程，从而得解.

【详解】因为双曲线。马一^=1（"0力＞0）的渐近线方程为^=±纥，

a~b~a

而以线段公鸟为直径的圆的方程为-+/=。2,

因为M在第一象限，所以

又/（—a,0）,则\AM^=（a+a）2+b2=4a2+b2,

而出心|=2c,|阪4|=1|用所以|九神=；闺闾2,

22

所以4a之+〃=—x4/,即4a之+，—/=2/,则°?=3/,

2

所以双曲线。的离心率为e=g二百.

a

故选：B.

11.已知三棱锥S—43C的底面是边长为3的等边三角形，且£4=48,ZSAB=120°,平面平

面45C,则其外接球的表面积为（）

A.12兀B.24兀C.36兀D.39兀

【答案】D

【解析】

【分析】分别利用正弦定理求得△ABC,△S48的外接圆的半径，再利用两个面垂直的三棱锥的外接球半

径R满足(2R)2=(24『+(2々『—AB2,从而得解.

【详解】因为三棱锥S-48C的底面是边长为3的等边三角形，

所以AB-3,则SA-AB-3，

设AABC,ASAB的外接圆的半径分别为小々，

AB2父

则在等边“5C中，2q=—^=3x—7==2j3,

sin60°

在△£43中，ZSAB=120°,

所以SB?=&42+282_2”.幺8©0S/&48=32+32-2X3X3X^-1^=27,

则SB=3l52c々=而SB而=3cAn耳2=,6，

设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R，因为平面SAB1平面ABC,

则(2R『=(24+(2力_2炉=(26『+62—32=39，

所以其外接球的表面积为4位2=3971.

故选：D.

12.已知/(X),g(x)都是定义在R上的函数，对任意无，V满足/(x-y)=〃x)g(y)-g(x)/(y),且

/(-2)=/(1六0,则下列说法正确的是()

2024

A.g(O)=-lB.若/(1)=2024,则Z/(〃)=2024

n-1

C.函数/(2x—1)的图像关于直线X=1■对称D.g(l)+g(-l)=-l

【答案】D

【解析】

27r27r

【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D,取/(月=5也？-%这3=(：05?-1可判断(2,对

于B,通过观察选项可以推断/(x)很可能是周期函数，结合/(x)g(y),g(x"(y)的特殊性及一些已经证

明的结论，想到令y=—1和歹=1时可构建出两个式子，两式相加即可得出/(x+l)+/(x—1)=-/卜)，

2024

进一步得出/(X)是周期函数，从而可求Z/(〃)的值.

n=\

【详解】对于A,令x=y=0,可得/⑼=/(O)g(O)—g(O"(O)=O,得/(0)=0,

令y=0,x=l,代入已知等式得/(l)=/(l)g(O)—g(l)/(O),

可得/⑴[i_g(o)]=_g(i)/(o)=o,结合/(1户0得l—g(0)=0,

所以g(O)=l,故A错误；

对于D,因为g(o)=i,令x=o,代入已知等式得/(一力=/(0)g(力—g(o)/(y),

将/⑼=o，g(o)=i代入上式,得/(-力=-/(同,所以函数/(x)为奇函数.

令x=l,J=-1,代入已知等式，得/(2)=/(l)g(—l)—g(l)/(—l),

因为=—/⑴，所以/(2)=/(l)[g(—l)+g⑴],

又因为”2)=—/(—2)=—/⑴，所以⑴=/(l)[g(f+g⑴],

因为/(1)N0,所以g(l)+g(—1)=—1,故D正确；

对于B,分别令y=-1和y=l,代入已知等式，得以下两个等式：

/(x+l)=/(x)g(-1)-g(x)/(-1),/(X-l)=/(x)g⑴-g(x)/⑴，

两式相加易得/(x+1)+/(x—1)=~f(x),所以有/(x+2)+/(x)=—f(x+1),

即/(x)=-/(x+l)-/(x+2),

有-/(x)+/(x)=/(x+l)+/(x—l)—/(x+l)—/(x+2)=0,

即/(x—l)=/(x+2),所以/(x)为周期函数，且周期为3,

因为/⑴=2024,所以/(—2)=2024,所以/(2)=—/(—2)=—2024,/(3)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)=0,

2024

所以£/（〃）=/⑴+/（2）+/（3）+…+/（2024）

«=1

=/（2023）+/（2024）=/（1）+/（2）=0,故B错误;

27r217r

对于C,lx/（x）=sin—X,g（x）=COS—X,满足/'（xr）=/（x）g（y）-g（x）/（y）及〃-2）=N0,

所以f（2x-l）=sin—（2x-l）,又/（0）=sin0=0,

所以函数/（2x-1）的图像不关于直线x=1•对称，故C错误；

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于含有X，〉的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及

利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需

要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这

就需要观察题设条件以及选项来决定.

第II卷（非选择题共90分）

注意事项：

（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出,

确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.

（2）本部分共10个小题，共90分.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）.

13.已知向量£范满足|£|=1,向=百,|£-2否1=3,贝.

【答案】1

【解析】

【分析】对|Z-|=3两边平方化简可得结果

【详解】因为|£|=1,向=道,|£一21|=3,

所以--4a-b+4b=32»

所以1—424+12=9,解得屋5=1，

故答案为：1

x>0

14.已知实数x,y满足约束条件<x+y<2,则z=4x+y的最大值等于.

x+3y>3

13

【答案】—

2

【解析】

【分析】根据题意，画出可行域和目标函数，直接判断最大值点即可.

31

可得z=4x+y在点P(-,-)处取得最大值，

此时zmax=­.

13

故答案为：—.

2

15.若函数/(x)=lnx-有零点，则实数。的取值范围是.

e

【答案】［0,+8)

【解析】

【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需/(x).之0,即可求出参数的

取值范围.

【详解】函数/(x)=lnx—1x+a的定义域为(0,+“)，

e

116—V

又/'(》)=——=上三，所以当o<x<e时/'(x)>o,当％>e时/'(x)<0,

xeex

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以/(x)1mx=/(e)=a,又x30时/(x)--oo,x-+<»时/(x)♦-oo,

又函数/(x)=Inx—L+a有零点，所以/(x)max»。，即a20,

e

所以实数。的取值范围是［o,+").

故答案为：［0,+")

16.AZ8C的内角C的对边分别为a,6,c,已知c?=3/—3/,则tan(/-8)的最大值为.

【答案】@

4

【解析】

【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到tan/=2tanB,再利用基本不等式即可得解.

【详解】由余弦定理得=/+。2-26ccos/,z)2=/+。2-2accosB，

两式相减得2—Z?2)—2c(acosB—bcos/),

因为/=3a1-3b2,所以。=3(QCOS5—Z?COS/),

由正弦定理得sinC=3(sinAcos5-sin5cosA),

即sin(/+5)=3(sinAcosS-sin5cosA),

所以sin/cosg+sinBcos/=3(sinAcosB-sinBcosA),

贝!JsinAcosB-2cos/sin5,

因为在Az43c中，cos4cos5不同时为0,sin/>O,sinB>0,故cosZw0,cos_5w0,

所以tan/=2tanB，

71

又。2=3"—3〃>0,所以。>6,则/>B,故0<B<—,则tan3〉0,

2

/,c、tanA-tanBtan51

tan(A-B\-------------二-------z—二一-----------

所以1+tan/tanB1+2tan251.口

--------------F2tanB

tan5

/1亚

\---.,-----

-O4，

2J------x2tanB

Vtan5

i万

当且仅当——二2tanB,即tanB二注时，等号成立，

tan52

则tan(Z—8)的最大值为字.

故答案为：巫.

4

【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一各项均为

正；二定一积或和为定值;三相等一等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，=|(«„-1)(/7eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

V

(2)在与%+i之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为一的等差数列，求〃.

50

【答案】⑴an=3"

(2)«=99

【解析】

【分析】(1)利用。”与S”的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；

(2)利用等差数列的通项公式即可得解.

【小问1详解】

因为S,=T(%—D(〃eN*),

3

当〃=1时，S[=5(q-1)=%,所以q=3,

3

当〃22时,S“T=5(%_I-1),

33

所以%=Si=—1)，整理得%=3a，i，

所以数列｛4｝是以3为首项，公比为3的等比数列，

所以数列｛an｝的通项公式为an=3"；

【小问2详解】

因为%=3",%+]=3计1,

3"1

由题意得：3H+1=3,,+(«+1)~,即3=1+(〃+1＞公，

所以〃=99.

18.如图，45CD为圆柱底面的内接四边形，ZC为底面圆的直径，PC为圆柱的母线，且42=/。.

(1)求证：AP工BD；

PF1

(2)若「。=/。=25。=4,点少在线段尸4上，且力=：，求四面体尸的体积.

FA3

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【解析】

【分析】(1)由平面几何的知识可得再由线面垂直的性质得到尸C,8。，即可证明1平

面上4C,从而得证；

(2)设ZC口AD=E,连接E尸，即可证明EF//PC,从而得到PC//平面BDF、EE1平面ABCD,

、

再证明ZC_L平面BDF,最后根据VPBDF=VC_BDF=；SBDFCE计算可得.

【小问1详解】

JT

因为/C为底面圆的直径，且=即N/8C=NNDC=—,

2

又AC=4C,所以RtAC4B0RtAC4。，所以CB=CD,

所以4CJ.BD,

又PC为圆柱的母线，即PC,平面/BCD,3£>u平面48CD,所以0

又PCc4c=C,PC,ZCu平面上4。，所以8。人平面R4C,

又R4u平面上4C,所以4PLAD.

【小问2详解】

在RtZk/BC中ZC=4、BC=2,

所以AB=J/。?—BC?=2百，又sinZ8/C=箓=（，则

AC2o

设/cnm二5,

CE]

所以在RtZXZBE中，AE=ABcosZBAC=3,BE=ABsinNBAC=5所以C£=l,则——=-,

EA3

PF]

又不7=:，连接E尸，所以£尸〃PC,因为平面,EEu平面BDE,

FA3

所以PC〃平面,

3

又PC=4,所以防=—PC=3,

4

又PC，平面/BCD,所以EE1平面/BCD,

又/Cu平面48cO,ADu平面/BCD,所以£/工/。，EF1BD,

又AC，BD,且EF(~]BD=E,EF,BDu平面BDF,

所以/C,平面ADE,

所以%OF=Z-BOF=；S-BDF-CE=；xgx2百x3xl=G.

19.某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分.工作人

员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.

(1)估计此次满意度调查所得的平均分值嚏(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在(1)中的最以上为满意，低于嚏为不满意，据

统计有32位男生满意.据此判断是否有95%的把握认为“学生满意度与性别有关”？

(3)在(2)的条件下，学校从满意度分值低于嚏分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选

出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率.

附：烂=——皿心式——，其中“=a+"c+".

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（片淮）0.100.050.0100.0050.001

K。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）x=70

（2）有95%的把握认为“学生满意度与性别有关”

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可;

（2）利用（1）的结论及给定信息得到2x2列联表，再计算42的观测值，与临界值表比对作答即可得解;

（3）求出8位业主中男女人数，利用列举法及古典概率公式即可得解.

【小问1详解】

根据频率分布直方图知，

x=（45x0.012+55x0.016+65x0.020+75x0.024+85x0.018+95x0.010）x10=70,

所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为70分.

【小问2详解】

由（1）及已知得2x2列联表如下：

不满意满意总计

男183250

女302050

总计4852100

则K2的观测值为：片=100x（30x32—18x20）-=755.769〉3.841,

50x50x48x5213

所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.

【小问3详解】

由（2）知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位，女士30位,

用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位，女士5位，

记男士为a,b,c,记女士为1,2,3,4,5,

从中随机抽取两位为监督员事件为：

ab,ac,al,a2,a3,a4,a5,be,bl,b2,63,64,b5,cl,c2,c39c4,c5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,

共计28个基本事件，

其中抽到男女各一人有4M5/l/2,/?3,64,Z)5,cl,c2,c3,c4,c5,共15个基本事件，

所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为p=—.

28

20.已知函数-0^+2(4>0).

(1)求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

⑵若求实数0的取值范围.

【答案】(1)了=2

(2)(0,l]u[3,+co)

【解析】

【分析】(1)对/(x)求导，利用导数的几何意义即可得解；

(2)先利用导数分析/(x)的单调性，再构造g(x)=将问题转化为g(x)max>3,利用/(x)的

单调性，分析得|/(X)lmax，从而得解.

【小问1详解】

因为/(x)=2/一分+2(a>0),则f'(x)=6x2-lax,

所以/(0)=2,/'(0)=0,

所以曲线了=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程y=2；

【小问2详解】

x2

因为f\)-6x-2ax=6xfx--j,且。＞0,

所以当0<x<三时，f'(x)<0,/(x)单调递减,

当x<0或X〉]时，/'(x)>0,/(x)单调递增;

当"121,即。》3时，/(x)在[—1,0]单调递增，在[0』单调递减，

且/(_1)=_。4_3,/(0)=2,/(1)=4_。<1,

所以g(x)max=l/(x)lmax=max{a,2,|4—a|}»3,此时符合题意；

当0<]<1,即0<°<3时，/(x)在[―1,0]和—,1单调递增，在0,—单调递减，

显然/(X)在X=三处取得极小值，此时极小值为/[1]=2—盘>0，

而/(-1)=-ae(-3,0),/(0)=2,/(1)=4-«>0,

所以g(x)max=1/(X)lmax=^x{a,2,4-研,

要使g(x)max23,则必有4—。之3,解得。41，故

综上a的取值范围是(0,1]33,+8).

【点睛】结论点睛：

⑴/卜)>0有解/⑺111ax>0;/(X)<O有解

(2)/(x)>a有解o/(x)max>a；/(x)<a有解。/(工心<a.

(3)/(x)>g(x)有解o[/(x)-g(X)Lax〉°；/(x)<g(x)有解o[/(x)-g(x)Ln<0・

(4)Bx^M,3X2GN,/(^)>g(x2)^/(x1)max>g(x2)min.

21.设厂为抛物线8:y=21(p>0)的焦点，点p在〃上，点^\PF\=\PM\=5.

(1)求H的方程；

(2)过点厂作直线/交X于/、3两点，过点2作x轴的平行线与X的准线交于点C,过点/作直线CF

\GB\

的垂线与〃的另一交点为。，直线C2与ND交于点G,求三U的取值范围.

【答案】(1)y2=4x

【解析】

【分析】⑴先由归尸|=|尸M得点尸的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解;

（2）联立直线/与抛物线X的方程，得到必+外/1%，再%2,再根据题意依次求得点。与点G的坐标，从

\GB\

而将;转化为关于玉的表达式，从而得解.

【小问1详解】

依题意，点尸的坐标为［1刀），

又用作,°］，附H?M=5,所以点尸的横坐标为3（+用=2）,

由抛物线的定义得小=20+言=5,所以0=2,

所以抛物线H的方程为y2=4x.

【小问2详解】

由（1）知点少的坐标为（1,0）,设直线/的方程为》=冲+1,

x-my+\

联立＜2，消去了,得/—4my—4=0,易知A〉0,

y=4x

设/（国,乃）,5（%2，%），则%+%=4加,％为=一4,故石马=组々=1，

因为〃的准线为x=-1,因为直线平行于X轴，

所以点。的坐标为。（-1,外），则直线CR的斜率为上尸=-修，

22

所以直线4D的斜率为一，其方程为y-%=—（x-xj,

%必

因为点G的纵坐标为巴，

2

所以点G的横坐标为%=X1+^-^=X1+2X2+2,

|GB|x+2X+2-Xx+x+2+xx+2x%,2+2%,+1

所以--------------2-------2=-------2----=--------2-------=----------

2

|GC|xx+2X2+2+1%1+2X2+3x1+2x1x2+3x1x^+3%^2

1

=A±l=i.

玉+2石+2

111i1i

因为%>。，则A0</<5,所以5<1—,<1，

|651

BPJ——L的取值范围是

|GC|

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（国,%）,（马,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或了）的一元二次方程，注意A的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为西+工2、xix2（或%+%、为%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分.

选修44：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标