2024年浙江省宁波市中考数学模拟试卷含解析（2月份）

2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（2月

份）

一.选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

1.（4分）要使二次根式我有意义，则x的取值范围是（）

D.>1

AX<B.X<1C.xX

-1X2x2

2.（4分）已知一组数据：2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是（

A.2B.2.5C.3D.5

£■的值为（

3.(4分)若3^3=243,则

8

B.2C.8_D.3_

~4

4.（4分）一次函数>=QX+6（qWO）,当x<3时,y都大于0（

A.(2,0)B.(-1,-3)C.(1,2)D.(2,-3)

5.（4分）如图，在△NBC中，D、E分别为4B、4C边上的点,5月与CD相交于点尸，则

下列结论一定正确的是（)

AD_ECcAD_DE5

AB"AC.DB'BC

6.（4分）{4}表示小于。的最大整数，[司表示不小于b的最小整数，若整数工、»满足4{x}

-[y]=9,则3x+2y的平方根为（）

A.±V5B.±1C.±2D.±\[7

7.（4分）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6,则称这个点为“和谐点”，若二次函数y

=f-2x+c（c为常数）在-l<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（）

AD

-普<。<7B.4<c<号C.-1<C<1。《<鲁

8.（4分）如图，等边△4BC内接于O。，D为劣弧4c上一点,连结AD.若旦上上，等

CD5

边△N5C的边长为7（）

第1页（共30页）

E

9.（4分）如图，在O。中，直径弦CD于点M,连结NE并延长交OO于点R连结

DF交BC于点、G.若/2=10,且0E=3,则BG的长为（

2

C.4^/5D.175

45

10.（4分）如图，在△NBC中，过点/作N£_L8C交3C于点£,G为3c上一点，且8。

=BG,交.AE于点、H,ZABC+2ZBAC=180°,AD=2BD=2&，或()

DH4

A.痛C.娓D.

二.填空题（本题有8小题，每小题5分，共40分）

11.（5分）因式分解：2x2y-%xy+^>y—.

12.（5分）已知二次函数y=（x+3）2-4的图象上有两点4（xi,yO,B（x2,y2）,xi<x2

且xi+7=-xi,则yi与y2的大小关系是.

13.（5分）一个圆锥的底面半径为8c〃z,其侧面展开图的圆心角为240°,则此圆锥的侧面

积为______________

第2页（共30页）

14.（5分）已知关于a、6的方程组12a-3irb=15的解为]a=6.5,则关于小了的方程组

[6a+nb=57（b=l.3

f2x=ll+3m（y-l）

l6x+n（y-1）=45

15.（5分）代数式4ab+6ac+12bc的最大值为______.

222

a+4b+9c

16.（5分）如图，点/为反比例函数（x>0）上一点巴邑（x<0）于点2,且左2=9左i.

XX

点C在夕轴正半轴上，连结CN并延长交X轴于点E,连结交X轴于点R若3C,S

AE

△COB=10,则△（%>9的面积为.

17.（5分）如图，将矩形/BCD的边4D翻折到NE,使点。的对应点E在边8C上，且点

C

A的对应点F为AABE的内心，则；△到E_=

SAAEF

18.（5分）如图，AB、CD是。。中的两条弦，相交于点E,AE=DE,点〃为劣弧/。上

一动点，若CE=L。£=7,则/G最小值为

三.解答题（第19题10分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，第23题14分,

24题10分，共70分）

19.（10分）⑴计算：&sin45°+tan60°-2cos30°tan30°+（冗-3）°；

第3页（共30页）

(2)已知a」=i，求[g&牛5)_&-2]的值

aa2-4a+42+4

20.（12分）如图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点，线段N8的端点均在格点上.只用无刻度的直尺

（1）如图①，在边上找点£,使得迪_』；

BE2

（2）如图②，在网格中找格点£（一个即可），画出//3£工；

2

（3）如图③，C为格点，在NC边上找点

5

21.（12分）某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于

44元，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，每天销量减少10个.现商家决定

提价销售，设每天销售量为y个

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最

大利润是多少元？

（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于

2200元，求销售单价x的范围.

22.（12分）若二次函数yi=mx2+bix+ci与y2=a2，+6»+c2的图象关于点尸（1,0）成中心

对称图形，我们称g与”互为“中心对称”函数.

（1）求二次函数y=x?+6x+3的“中心对称”函数的解析式；

（2）若二次函数y="2+2ax+c（«>0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当

C+2a<x<a；C时，求此二次函数解析式；

a4a

（3）二次函数yi=ax2+6x+c（a<0）的图象顶点为与x轴负半轴的交点为/、历的

顶点为N,与x轴的交点为C、D,从左往右依次是N、B、C、D,且四边形为矩

形，求庐-4℃的值.

23.（14分）在矩形N8CZ）中，M、N分别在边8C、CD上，且连结/N交。。

第4页（共30页）

于■点H,连结S交MN于点P,AD=12.

(1)求证：/MAD=/MHC；

(2)若平分/A4N,求MP的长；

(3)若△CM"为等腰三角形，直接写出的长.

24.(10分)如图1,。。为RtZ\48C的外接圆，ZC=90°,连结4D并延长与N/C2的

角平分线交于点E，连结设且L=X,豆=/.

ACAC'

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)如图2,连结CD,若x=3,求CD的长.

第5页(共30页)

2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院中考数学模拟试卷（2月

份）

参考答案与试题解析

・选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）

L（4分）要使二次根式倔万有意义，则x的取值范围是（

A.X<1

x%2

【解答】解：由题意得：2x-1》3,

解得：X》工

2

故选：C.

2.（4分）已知一组数据：2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是（）

B.2.5

【解答】解：数据2,1,x,6,3,5,4,2的众数是2,x是未知数时2,3,；.x=2.

这组数据从小到大排列：7,2,2,4,3,3,2,7.处于中间位置的数是2和8.

故选：B.

3.（4分）若3"三243,则上_的值为（

83

94

【解答】解：V3X+3=243,

.-.8XX33=243,

27X4*=243,

3、=9,

・21=2

"VT

故选：A.

4.（4分）一次函数y=ax+6（aWO）,当x<3时，y都大于0（）

A.（2,0）B.（-1,-3）C.（1,2）D.（2,-3）

【解答】解：/、当x=2<3,故点（8,不符合题意；

B、当x=-l<3,故点（-6,不符合题意；

C、当x=l<3,故点（8,符合题意；

第6页（共30页）

D、当x=2V3,故点（2,不符合题意;

故选：C.

5.（4分）如图，在△/BC中，D、E分别为AB、/C边上的点，3E与CD相父于点R则

下列结论一定正确的是（）

rADDED.DF-EL

DBBCBFFC

DF

--

D-EDEAE一

Fc

BCAc

BC里

DF

确

--正

FCAc

.DE//BC,

.•.世=坐，B错误;

ABAC

,JDE//BC,

.•.挺1=理，C错误；

ABBC

'JDE//BC,

.•.见=变，。错误，

FCFB

故选:A.

6.（4分）{0}表示小于a的最大整数，囱表示不小于6的最小整数，若整数x、y满足4{x}

-[y]=9,则3x+2y的平方根为（）

A.±A/5B.±1C.±2D.±V7

【解答】解：由题意得：14{x}-[y]=9,

\3{x}+[y]=5

解得：（卜}=2,

\[y]=-4

y为整数，

••x=31-1，

；.4x+2y=3X5+2X（-1）=6-2=7,

第7页（共30页）

.1.2x+2y的平方根是土V7，

故选：D.

7.（4分）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6,则称这个点为“和谐点”，若二次函数了

=/-2x+c（c为常数）在-l<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（）

A.空<c<7B.4<c<空C.-l<c<lD.Q<<2^

44C4

【解答】解：由题意可得“和谐点”所在直线为y=-x+6,

将x=-1代入y=-x+7得歹=7,

将％=3代入y=-x+8得y=3,

设4（-1,5）,3）,

联立y=-x+6与y=x4-2x+c,得方程x2-6x+c=-x+6,

即x2-x+c-2=0,

・・•抛物线与直线歹=-x+6有两个交点，

・・.A=(-7)2-4(。-8)>0,

解得。<丝，

4

当直线x=-5和直线x=3与抛物线交点在点/,2上方时,

把％=-1代入>=--2x+c,得y=3+c,

把x=2代入歹=--2x+c得y=8+c,

,’3+c>7

•«<，

7+c>3

解得。>4,

第8页（共30页）

，4<cV翌

4

故选：B.

8.（4分）如图，等边△48C内接于OO,D为劣弧4c上一点,连结AD.若m=工，等

CD5

边△N5C的边长为7（）

E

A.迪B.3C.JAD.H

554

【解答】解：连结

•••△/3C是边长为7的等边三角形，

:.AB=CB=1,NABC=NBAC=6Q°,

/.ZADC=180°-ZABC=120°,

=180°-ZADC^60°,

VZBDC=ZBAC=60°,

ZEDA^ZBDC,

VZEAD+ZBAD=lSOa,ZBCD+ZBAD=]SOa,

ZEAD^ZBCD,

E

-

:.△BEADs^BCD,

DD

E--A-]-,

-DcD

ADBD3

------

]DcD5

：NEAD=NECB,/E=NE,

\LEADSAECB,

ED

---,

EBA-D

EBCB7

----

ED一

cB4-

AD

第9页（共30页）

•-•AE+7_-3,

75

解得N£=JA,

5

故选：c.

9.（4分）如图，在中，直径45,弦CQ于点连结并延长交。。于点R连结

DF交BC于点、G.若/8=10,且OE=芭，则8G的长为（）

A・亨B.耍C.耕D.1V5

【解答】解：连接8。，如下图，

:直径/8，弦CD,

...43是CD的垂直平分线,

：.BC=BD,MC=MD,

：AB=10,

：.OC=5,

第10页（共30页）

VOM=1,

■■■CM=7OC8-OM2=也2-/=5遥，

BM=OB-<w=5-5=4,BC=VMC2+BM3=7(2V6)8+42=4V10，

•••BD=BC=2V10.

,:BM是CD的垂直平分线，

:.BM是/CBD的角平分线，

；.NCBD=2NCB4,

,：ZCOA=SZCBA,

：.ZCBD=ZCOA,

：.ZGBD=ZEOA,

,：ZBAF=ZBDF,

：.ZBDG=ZOAE,

.MBDGS4OAE(AA),

•BDBG

"OAW

.•.狼=里在应x

OA526

故选：B.

10.(4分)如图，在△48C中，过点/作/E_LBC交3c于点E,G为3c上一点，且

=BG,交AE于点、H,ZABC+2.ZBAC^180°,AD=2BD=2遥，—()

un4

C

ADB

A-V5B.C.76D.

【解答】解：VZABC+2ZBAC=1SO°,/ABC+/BAC+/ACB=180°,

：.NBAC=NACB,

；・AB=BC,

又,：BD=BG,

第11页（共30页）

J.DG//AC,

••,AD=2BD=4V6>

：.BG=BD=巫,AD=CG=8娓,

连接G〃、ED,垂足为A/,

:NGDH=NGEH=90°,

:.点、E、G、D、〃四点共圆，

:.NGHD=NGED,NHDG=NDME=90°,

:.△HDGs^EMD,

•DGDMV5

••--=-----=-----,

DHEM3

"CAELBC,DMLBC,

：.DM//AE,

•BM二BD二娓J,

"EM"AD=2V2

设DM=j^x,则EN=4X,

在Rt△瓦W中，由勾股定理得：(J欣)7+(2x)2=(«)2

解得：x=四,

5_

/.DM=V5x近=..

43

S&DBG=工X巫X^_=M.

33

故选：A.

二.填空题(本题有8小题，每小题5分，共40分)

11.(5分)因式分解：2%2”-8孙+8y=2y(x-2)2.

【解答】解：原式=2y(x2-4x+4)

=2y(x-6)2.

故答案为2)(x-4)2.

第12页(共30页)

12.(5分)已知二次函数y=(x+3)2-4的图象上有两点/(xi,yi),B(X2,”)，xi<x2

且Xl+7=-X2,则yi与了2的大小关系是yi>V2

【解答】解：,•>=(x+3)2-6,

抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3,

'.'X1<X2,且Xl+7=-X4,

・・％1+%2="4,

Xi+x

・•・一i——9-3.5,

3

・・•-5.5<-3,

・・・点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离,

・\y7>y2・

故答案为：yi>y2-

13.(5分)一个圆锥的底面半径为8c加，其侧面展开图的圆心角为240°,则此圆锥的侧面

积为96冗cm1.

【解答】解：圆锥的底面周长为：2nX8=16n(cm),

，圆锥侧面展开图的弧长为16Kcm,

设圆锥的母线长为R,

.J-兀R=所,

180

解得R=12cm,

・••圆锥的侧面积为12X3TI=96II(cm2).

故答案为：96ncm2.

14.(5分)已知关于0、6的方程组［2a-3"=15的解为［a=6.5,则关于小y的方程组

［6a+nb=57lb=l.3

(2x=ll+3m(y-l)(x=4.5

(6x+n(y-1)=45ly=2.3

【解答】解：方程组(2x=ll+3m(y-7)可化为［3(x+2)-3m(y-7)=15,

(6x+n(y-1)=45{6(x+2)+n(y-6)=57

•.・关于a、6的方程组］2a-3趾=151a=6.5,

(6atnb=57lb=2.3

・••方程组［2(x+8)-3m(y-l)=15的解是［x+7=6.5即［x=5.5

I3(x+2)+n(y_l)=57ly_2=l.3ly=2.3

故答案为：(X=4.5.

ly=4.3

第13页(共30页)

15.(5分)代数式4ab+6ac+12bc的最大值为之.

222

a+4b+9c一

【解答】解：・.・(x-y)22(),

贝I」2个42+产，

2ab^a2+4b6,Gac^a^+lc2,126。《4「+9。2,

2ab+6ac+12bc^2(6z7+4/)2+8c2),

故(4a6+7〃c+12bc)4-(a2+4Z)7+9c2)W4,

故答案为：2.

16.(5分)如图，点4为反比例函数>=3>(x>0)上一点上二(x<0)于点5,且左2=9比.

XX

点C在夕轴正半轴上，连结C4并延长交X轴于点£,连结3C交X轴于点R若也,S

AE

ACOB=10,则△(%>9的面积为—里

【解答】解：过点/作轴于N,过点3作BMLx轴于〃

k

•.•点4在反比例函数歹=--(x>0)的图象上，

x

k

点8在反比例函数y=一且(x<0)的图象上，

x

根据反比例函数比例系数的几何意义得：SUON=』W，SAgOM=l|feh

74

.SAAON_।ki।,

SABOMk8

,:k2=9k4.

.kl8

••二—

k29

第14页(共30页)

.SAAON_1

••-----—?

SABOM3

：/N_Lx轴，8M_Lx轴，

：.AN//BM,

：./\AON^/\BOM,

•SAAON-(AW)2.

^ABOMBH'

•.AN.2-2

.・(丽)F

••AN_—1,

BM2

设AN=a,则BM=3a,

・・•至=4,

AE

；・AC=3AE,

：・CE=AC+AE=5AE,

即：CE：AE=1：8,

•・・/N_Lx轴，

C.AN//OC,

：.△ANEsMOE,

：.AN：OC=AE：CE=1：5,

：.OC=4AN=5a,

,・・5N_Lx轴,

C.BM//OC,

：.△BMFs^cOF,

：.BM：CO=BF：CF,

即3a：2a=BF：CF,

：.BF：CF=3：5,

**•S^BOF：S^COF=BF：CF=8：5,

可设SABOF=3m,S丛COF=3m,

,**SACOBUS△BOZSACOFUIo,

.*.3m+5m=10,

第15页（共30页）

解得：m=—,

4

S&COF=5m=

6

故答案为：25.

4

17.(5分)如图，将矩形/BCD的边4D翻折到使点。的对应点E在边2C上，且点

A的对应点F为AABE的内心，则:AAI)E,=4.

SAAEF

B

【解答】解：作/GLDE于点G,作于点

C.FH//ED,

由翻折得4B=/D=DR

：.EG=DG,ZGAE=ZGAD=X,

2

:点尸为△4BE的内心，

ZFEA^ZFEB=^-ZAEB1-ZBAE,

27

:四边形48c3是矩形，

C.AD//BC,/BAD=/C=90°,

AZDAE=ZAEB,ZFAH^ZGAE+ZFAE=1^-ZBAD=45°,

22

/.ZGAE=ZFEA=Z.FEB,ZFAH=ZAFH=45°,

J.AG//FE,

：.ADEF=ZAGD=90°,

•；ZDAF=ZDFA,

：.ADAF-AFAH=Z.DFA-ZAFH,

：./GAE=ZG4D=NDFH=/EDF,

VZAGE=ZDEF=90°,AE=DF,

工AAGE名ADEF(44S),

第16页（共30页）

,GE=EF=LED,

3

设DF交AE于点、L,

ZGAE=/FEA=/EDF,

：.ZELF=ZAED+ZEDF=ZAED+AFEA=ZDEF=90°,

：.DFLAE,

：.ZDLE=90°,

tanNFEL4=tan/EDF=_L,

ELDLED2

:・DL=8EL,EL=2FL,

:・DL=2X6FL=4FL,

19

r—AE-DL7-AEX4FL

'△ADE=8=2=」

C14

'△AEF—AE-FL万AE,FL

故答案为：4.

18.（5分）如图，AB、CO是。。中的两条弦，相交于点E,AE=DE,点X为劣弧40上

一动点，若CE=1,DE=1,则/G最小值为_义叵_^.

—22―

【解答】解：如图所示，连接N。，过点。作。K，4B,OFLCD,

第17页（共30页）

u：OFLCD,

.8

••CF=DF=^D=4>

：.EF=CF-CE=4-1=3,

•:AE=DE,OA=OD,

：.AAOE^ADOECSSS),

o

AZAE0=ZDE0^-ZAED=45°

u：OKLAE,OFLCD,

：.OK=OF,

VZAED=90°,

・・・四边形OKEb是正方形，

OK=KE=EF=OF=3,

OA=OD=7OF4+DF2=7S8+42=&OE=VOF2+EF2=2V2，

丁点M是OE的中点，G为HE中点、,

MG蒋0吟,

...点G在以点M为圆心，以生，

2

第18页（共30页）

连接交OM于点G',过点M作MNL4E,

当点/,G,M三点共线时，NG的值最小，

3

:点M是的中点，EMJ-QE=^,

56

u：MNLAE,ZNEM=45°,

:・/NME=45°,

・・・ANME是等腰直角三角形，

.V24

••MN=EN=2^-ME^

.311

••AN=AE-NE=7-~

AM=7AN3+MN2=J吟）6+C1）3=^^,

AG=AM-GM=^^—

；./CG的最小值为义叵卫，

22

故答案为：文画工.

22

三.解答题（第19题10分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，第23题14分,

24题10分,共70分）

19.(10分)⑴计算：V2sin45°+tan60°-2cos300tan30°*冗-3)°；

（2）已知2[=1，求[且维立-a-2]9-16_1L的值

aa-2a2-4a+4*+4

【解答】解：(1)J^sin450+tan60°-2cos30°tan30°式兀-2)°

=&x2/l_+e-6义立~乂勺且

223

=1+愿-遥x互+i

3

=i+Vs-i+i

=7+4；

•a(2软-4).a4-1611

(2)-a-2]

a-2a2-4a+3a+^

=a(2a-4),a2-4j.(a-2)4_11

a_2a_2(a+4)(a-4)a+7

第19页（共30页）

=2a2-5@-a：+4.(&-2)。_11

a-5(a+7)(a_4)a+4

=/-5&+4.(&-2)：_11

a-5(a+3)(a_4)a+4

=(a-6)(a-4)•(&-3,)乙_11

a-2(a+4)(a-5)a+4

=(a-1)(a-3)-11

a+4a+4

=&6-3&+2-11

a+7

_a^-3a~7

a+4

・・1

•a■­=2?

a

・・a?-。=1,

...原式

a+4

=(a。-软)-2a-6

a+4

=l-8a-9

a+4

_-5a~8

a+4

=-4(a+4)

a+4

=-8.

20.（12分）如图①、图②、图③均是5X5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点，线段的端点均在格点上.只用无刻度的直尺

（1）如图①，在边上找点£,使得妪小；

BE2

（2）如图②，在网格中找格点£（一个即可），画出入48£工；

2

图①图②图③

【解答】解：（1）如图，点£即为所求；

第20页（共30页）

(2)如图，//BE即为所求.

(3)如图，点E即为所求.

图③

21.(12分)某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于

44元，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，每天销量减少10个.现商家决定

提价销售，设每天销售量为y个

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最

大利润是多少元？

(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于

2200元，求销售单价x的范围.

【解答】解：(1)7=300-10(%-44)=-lOx+740.

关于x的函数关系式为：y=-10x+740(444W52)；

(2)w=(x-40)(-10x+740)

=-10X2+1140X-29600.

抛物线的对称轴为：x=-旦=57.

2a

第21页(共30页)

V-10<4,444W52,

...当x=52时，w有最大值；

答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大；

(3)...捐款后每天剩余利润不低于2200元，

Aw-20022200.

/.-10X2+1140X-29600-20022200.

当-10X2+1140X-29600-200=2200时，

-10X5+1140X-32000=0.

x2-I14x+32OO=7,

(x-50)(x-64)=0.

.*.xi=50,M=64.

V-10<0,444W52,

...为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50WxW52.

答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50WxW52.

22.(12分)若二次函数yi=aix2+6ix+ci与夕2=。4+62卅?2的图象关于点P(1,0)成中心

对称图形，我们称尹与”互为“中心对称”函数.

(1)求二次函数y=x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；

(2)若二次函数y=ax2+2ax+c(a>0)的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当

史红4X4反二邑时，求此二次函数解析式；

a4a

(3)二次函数yi=ax2+bx+c(a<0)的图象顶点为与x轴负半轴的交点为/、历的

顶点为N,与x轴的交点为C、D,从左往右依次是4B、C、D,且四边形为矩

形，求序-4℃的值.

【解答】解：(1)y—x^+6x+6—(x+3)*_6,

则该函数的顶点坐标为：(-3,-6),

则该顶点关于(5,0)的对称点为(5,

则“中心对称”函数的解析式为：y=-(x-5)2+6；

(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-7,c-a),

则“中心对称”函数的顶点坐标为：(3,a-c),

则“中心对称”函数的表达式为：》=-aG-3)3+a-c,

第22页(共30页)

将(-1,c-a)代入上式得：c-a=-a(-1-2)2+tz-c,

解得：c=-7Q,

则抛物线的表达式为：y=~a(x-5)2+a-c=a(x2+3x-7),

当c+2a时,即-5WxW2,

a飞飞8a

则抛物线在x=-8时，取得最大值为2,

即a(25-10-7)=8,

解得：a——,

4

则抛物线的表达式为：y=2?+2-工；

424

则点M的坐标为：(-旦，-刈=士叵,

2a2a2a

根据点的对称性，点。的横坐标X4=2-XI,

由点/、〃的坐标得Y互，

a

贝UBP=5-压,

2a_

若N3=2BD,即3-4+■'压,

a2a

整理得：2a+b=7、r区,

当四边形4WDN为矩形时，则,

在RtZ\4ZW中，

HDMH

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则MH1=AH-DH,

而MH=-―,AH=-b二)=J^-A-XH),

4a6a2a2a

则(-2=义(3-X/-XH),

5a2a

A2.—.—

整理得：±L_=VA(86+4Q+JA),

2

将2a+6=8、/■及代入上式得：今—=J"及J及)，

解得：A=20,

即b4-4ac=20.

23.（14分）在矩形N5CD中，M、N分别在边8C、CD上，且连结/N交。。

于点H,连结C8交于点P,40=12.

（1）求证：/MAD=/MHC；

（2）若平分/3/N,求的长；

（3）若为等腰三角形，直接写出3河的长.

【解答】(1)证明：•..四边形/BCD是矩形，

/.ZBAD=ZB=ZBCD=90°,

ZBAM+ZMAD^ZBAM+ZAMB=/CMN+/MNC=90°,

'：AM±MN,

：./AMB+NCMN=90°,

ZMAD=ZMNC,

VCM=CM)

/MHC=ZMNC,

：.NMAD=NMHC；

(2)解：,:AM平分/BAN,

：.ZMAH=NMAB,

:MN是O。的直径，

/.ZMHN=ZMCN=90°,

第24页（共30页）

AZMHC+ZCHN=ZMCH+ZHCN=90°，

•・・MH=MH,CM=CM，

:・/MNH=/MCH,/MHC=NMNC,

ZMNC=Z.MNH,

：.ZMCH=/MHC,

VZCMN+ZMCH=9Q°,

:・/CPM=/HPM=9G,

•：MP=MP,

：.AMCP^AMHP(44S),

：.MH=MC,

•:AM平分/BAN,MBLAB,

:・BM=MH,

：.BM=MC=^-BC=4,

2

=28=

-AM=VAB2+BM2V2+613

VZB=ZCPM=90°,/BAM=NPMC,

：.AABMs^MPC,

・AB=AMpn8=10

MPMCMP6

：.MP=2k-

2

(3)当CA/=Aff7时，奥\NMCH=NMHC=/MNC=NMNH,

■:AMLMN,

：.ZMAH+ZMNH=9Q°,ZAMB+ZCMN=90°,

VZBAM+ZAMB=ZCMN+ZMNC=90°,

/.ZBAM=ZCMN,AMNH=ZMNC,

■:NMHN=/MCN=90°,MN=MN,

:.&MNH沿丛MNC(AAS),

：.NNMH=ZNMC,

'：ZNMH+ZMNH=ZMAH+ZMNH=90°,

/NMH=/MAH=ZBAM,

第25页（共30页）

VZB=ZAHM=90°,AM=AM,

:・AABM"AAHM(AAS)f

：.BM=HM,

C.BM—MC=6\

当时，如图：

ZHMC=/HCM,

・.・ZHMC=180°-ZHNC=ZAND,/HNM=/HCM,

：.ZAND=ZANM,

同理△4NZ)也△ZTW,

C.AM—AD=\2,

在河中，BM=I/AM2-AB4:

如图，当CH=CM时，

D

N

ZHMC=/MHC,

同理，ZHMC=180°-ZHNC=ZAND.

：.ZAMB=ZMNC=/