山西省浑源县2024年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

山西省浑源县2024年高三第五次模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线土-/=1的渐近线方程是（）

4-

A.尸土也，xB.y=±23c.y=±-D.y=±2x

-232

2.函数〃尤）=（尤2—4%+l）e'的大致图象是（）

过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）

A.y/2B.V3c.2D.75

4.数列｛诙｝是等差数列，ai=l,公差dd[l,2],且。4+版10+a16=15,则实数入的最大值为（）

753231

A.-B.——C.-------D.一一

219192

5.已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（l,2）,贝！Icos28=（）

3434

A.--B.一一C.-D.-

5555

6.已知数列[二满足一,，且-：-,则数列[二的通项公式为（）

A.二7B.rZ~l-1C.二,7D.J

7.若样本1+41+/，1+&，』+%的平均数是10,方差为2,贝!!对于样本2+2石,2+2々,2+2&,・，2+2%,下列

结论正确的是（）

A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4

C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为8

8.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离

地面的距离为广，则该卫星远地点离地面的距离为（）

1+e1+ee

A.B.——r+——R

1-e1-e1-e

1-e2e”1-een

C.-----r+RD.——r+——R

1+e1+e1+e1+e

9.若复数z满足z（l-2i）=10,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1,x>0

10.已知符号函数<0,x=0/(x)是定义在K上的减函数，g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),贝(1()

-Lx<0

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn\f(x)]

IT

11.已知非零向量。力满足〃/=（），Ia1=3,且a与a+Z?的夹角为一，贝!l|b|=()

4

A.6B.3亚C.2&D.3

12.如图所示的程序框图，若输入a=4,b=3,则输出的结果是（）

A.6B.7C.5D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设数列｛4｝的前〃项和为S“，且2s"3&+1）,若%o=版8,则左=1

14.动点尸到直线x=-l的距离和他到点/(1,0)距离相等，直线A5过(4,0)且交点P的轨迹于A,3两点，则以

为直径的圆必过.

15.已知直线x—y+a=0与圆心为。的圆—4y—4=0相交于A,3两点，且ACL3C,则实数。的值

为.

16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱

心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件4为“4名同学所报项目各不相同”，事件3为“只有甲

同学一人报走进社区项目”，则P(A|B)的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线/的参数方程

x—1-----1

2

为,L。为参数）,曲线C的极坐标方程为夕=4COS夕；

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)若直线/与曲线C交点分别为4,B,点P(LO),求/0+金的值.

I尸A||rB|

18.(12分)如图，三棱柱ABC—中，侧面5耳为菱形，ACLABl,AB=BC.

(1)求证：5GJ.平面AB。；

(2)若A3，B°,ZCBB,=60°,求二面角与一A4-G的余弦值.

19.(12分)设尸(〃，机)=1(-坟&1，Q(n,m)=C；：+m,其中桃〃eN*.

k=0k

(1)当m=1时，求尸(",1＞。(〃，1)的值;

(2)对VmeN+,证明：P(n,m)-Q(n,如恒为定值.

一121「10一

20.(12分)已知矩阵"=2]，MN=0].

（1）求矩阵N；

（2）求矩阵N的特征值.

21.（12分）已知点尸（1,2）到抛物线C：?=力比（〃>0）准线的距离为1.

（I）求C的方程及焦点F的坐标；

（II）设点尸关于原点0的对称点为点0,过点。作不经过点。的直线与C交于两点A,B,直线”1,PB,分别交

x轴于M,N两点，求|物卜|即1的值.

22.（10分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中履机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用=1”表示任选一位第左类受访者是习惯良好者，“短=0”表示任选一位第

4类受访者不是习惯良好者（左=1,2,3,4,5,6）.写出方差。玄，3，%"5,。短的大小关系.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】

1*2X

由题意可知，双曲线丁=1的渐近线方程是丫=±万.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.

2、A

【解析】

用x<0排除3,C；用x=2排除可得正确答案.

【详解】

解：当了<0时，X2-4x+l>0»ex>0»

所以〃x)>0,故可排除3,C；

当％=2时，/(2)=-3e2<0,故可排除O.

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题.

3、C

【解析】

h-

由E4+EB=0得尸是弦A3的中点.进而得A3垂直于x轴，得幺=。+。，再结合”,仇c关系求解即可

a

【详解】

因为E4+EB=0,所以尸是弦A3的中点.且A3垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以

*c

——=a+c,即-------=〃+c,贝［)c—故e=-=2.

aaQ

故选：c

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

4、D

【解析】

利用等差数列通项公式推导出入=上二照，由2],能求出实数入取最大值.

l+9d

【详解】

,数列｛曲｝是等差数列,ai—1,公差de[l,2],且“4+熊10+。16=15,

/、~13-18d

.\l+3d+Z(l+9d)+l+15d=15,解得入=-------,

l+9d

13-18d=-2+±—是减函数,

2],k=

l+9dl+9d

1O_1O1

••.d=l时，实数入取最大值为九=------.

1+92

故选D.

【点睛】

本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5、A

【解析】

由已知可得sin。，根据二倍角公式即可求解.

【详解】

角。的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合,

终边经过点P（l,2）,贝!||OP|=J?,sine=A，

。3

cos28=1—2sin~0=——.

5

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.

6、D

【解析】

试题分析：因为二+所以二二.『+「=4（二二+/）,即史¥=4,所以数列（）□□+/）是以口i+为首项,

1*

公比为」的等比数列，所以二二+.：=&x/"=4=二-，即21。=产一3所以数列.二二:的通项公式是二二一二：-二,

故选D.

考点：数列的通项公式.

7、D

【解析】

由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案.

【详解】

样本1+尤1』+々』+三,一,1+尤”的平均数是10,方差为2,

所以样本2+2和2+2%,2+2%,.,2+2%的平均数为2x10=20,方差为2?x2=8.

故选:D.

【点睛】

样本国,％2，毛，,，x”的平均数是X，方差为则3+6,3+"3+6,-，%+6的平均数为以+。,方差为八2.

8、A

【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的

距离.

【详解】

c

椭圆的离心率：^-e(0,l),(c为半焦距;a为长半轴)，

a

设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r,如图：

贝!]〃=a+c-R,r-a-c-R

1—e1—e

r+Re(r+R)1+e2e

n=a+c—R=-------1---------------R=----rH-------R

1—e1—e1—e1—e

故选：A

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，属于中档题.

9、A

【解析】

化简复数，求得z=2+4i,得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】

1010(1+2。

由题意，复数z满足z(l-2i)=10,可得2=-^=[J=2+47,

l-2z(l-2z)(l+2z)

所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解

是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

10、A

【解析】

根据符号函数的解析式，结合/(无)的单调性分析即可得解.

【详解】

根据题意，g(x)=/(x)-f(ax),而/(x)是R上的减函数，

当x>0时，x<ax,则有/(x)>/(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)>0,此时sg〃[g(x)]=1,

当x=0时，x—ax,则有/(x)—f(ax),则g(x)—f(x)-f(ax)=0,此时sg”[g(x)]=0,

当x<0时，x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=-1,

综合有：sgn[g(x)]=sgn(x)；

故选：A.

【点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.

11、D

【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.

【详解】

_7T

解：非零向量Q,/?满足⑦Z?=0，可知两个向量垂直，|。1=3,且〃与〃+/?的夹角为

说明以向量〃，匕为邻边，〃为对角线的平行四边形是正方形，所以则|加=3.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题.

12、B

【解析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果.

【详解】

z=4,S=3,不成立，S=3?=9，z=4+1=5；

S>a2b2不成立,5=92=81，Z=5+1=6；

5>，匕2不成立,5=8付=6561，［=6+1=7；

S>a2b2成立,输出i的值为7.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9

【解析】

用〃—1换25“=3（4+1）中的〃，得2s1=3矶+3（心2）,作差可得=3%（“？2）,从而数列｛q｝是等比数

列，再由左=%=/即可得到答案.

【详解】

由2sti=+3,得2s“t=3aJ+3（n>2）,两式相减，得2an=3ali-3a“与，

即4=3a“-i（〃？2）；又2H=3q+3,解得q=—3,所以数列｛4｝为首项为-3、

公比为3的等比数列，所以左=.=d=9.

g

故答案为：9.

【点睛】

本题考查已知4与S”的关系求数列通项的问题，要注意”的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.

14、（0,0）

【解析】

利用动点P到直线x=-1的距离和他到点尸（L0）距离相等，，可知动点P的轨迹是以歹（1,0）为焦点的抛物线,从而可

求曲线的方程，将y=4）,代入y2=4-利用韦达定理,可得二%々+%%=0，从而可知以A3为直径的圆经过

原点O.

【详解】

22

设点P（X,y）,由题意可得%+]=J（X—1）2+/,（》+1）2=（%_]）2+/,%+2%+1=%-2%+1+/,可得

丁=4%，设直线AB的方程为y=4）,代入抛物线可得

及废一4（2左2+1）%+16左2=0,A（x1,yl）,B（x2,y2）二x,x2=16,x,+%2=———-——-）

K

.•.%%=%?（%—4）（々一4）,

%龙2+%%=（k2+1）%々-4k2（%；+/）+16左2

=16（左2+1）_4k2+16k2=0，

:.OAOB=0＞以AB为直径的圆经过原点。.

故答案为：（0,0）

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，

属于中档题.

15、0或6

【解析】

计算得到圆心c（-1,2）,半径r=3,根据AC,3c得到d=半，利用圆心到直线的距离公式解得答案.

【详解】

x2+y2+2x-4y-4^0,即（％+1了+（y—2『=9,圆心。（—1,2）,半径厂=3.

AC1BC,故圆心到直线的距离为4=述，即1=也言=述，故。=6或。=0.

2J22

故答案为：。或6.

【点睛】

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

【解析】

根据条件概率的求法，分别求得P（5）,P（AB）,再代入条件概率公式求解.

【详解】

根据题意得P（5）=/=葛P（叫苧=短

所以「⑷3）=为2=5

故答案为：!

【点睛】

本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）/：x+y—1=0,曲线C:Y+y2_4x=0（II）叵

3

【解析】

试题分析：（1）消去参数f可得直线/的直角坐标系方程，由/+丁=夕2,工=夕cos。可得曲线C的直角坐标方程;

x—1------1

2111_1,1

（2）将〈a为参数）代入曲线c的方程得："—3=0,,利用

V2

韦达定理求解即可.

试题解析:

(1)l:x+y-l=Q,曲线。:/+丁一©=0,

x—1------1

2

（2）将《（/为参数）代入曲线C的方程得：/+"—3=0・

A/2

yF

所以A+芍=，⑷?=—.

18、(1)见解析(2)-

7

【解析】

(1)根据菱形性质可知，与。，结合AC1A8]可得。4=。。=。与，进而可证明ABQ4三ASOC,即

BQ1OA,即可由线面垂直的判定定理证明BC11平面ABXC.

(2)结合(1)可证明。4,05,。用两两互相垂直.即以。为坐标原点，08的方向为x轴正方向，|。犷为单位长度,

建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面片A4和平面G4&的法向量，即可求得二面角4-A&-孰的

余弦值.

【详解】

(1)证明：设5cli=O,连接。L,如下图所示：

•.•侧面54GC为菱形，

ABQLBtC,且。为同。及Bq的中点，

又AC1A8],则ACA瓦为直角三角形，

.•.Q4=0C=0B],

又AB=BC,

.-.ABOA=ABOC,(SSS)

.-.OA±OB,即BCJ。4，

而0A,B,C为平面A4c内的两条相交直线,

BQ，平面ABC一

（2）BCX1BgABcBC】=B

.•.巴。，平面ABO,

QAOu平面ABO,

:.B{CLAO,即。4W4，

从而OA,OB,两两互相垂直.

以。为坐标原点，的方向为x轴正方向,|。8|为单位长度，建立如图的空间直角坐标系O-孙z

/•11__/

//|\//

/工\\Jc

，二5彳

y

NCBB[=60°,

AC3片为等边三角形，

AB=BC,

「•^4(0,0,^(0,~~~,0),C(0,-,0)，

.■.ABX=0岑,—£|,朋=网=-1,-

ABl=og(y-z)=0

设平面31AA的法向量为孔=(x,y,z),贝叫招=十即6'

n

-xH-----V=0

13'

***可取n=(1,\/3,A/3),

•AiC—0

设平面C/A的法向量为加，贝！!?1

m-A^=C*

同理可取m=(1,A/3,-A/3)

n-m11

cos<Ti,m〉=----r—■；~——=—

«|-|mk/7xV77

由图示可知二面角5,-AA-q为锐二面角，

••・二面角与-44-G的余弦值为1.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，

属于中档题.

19、（1）1（2）1

【解析】

分析：⑴当m=1时可得P（",l）=+，2（〃J）=〃+l,可得尸（”,1＞。（八,1）=1.⑵先得到关系式

P（n,m）=~^P（n—l,m）,累乘可得「（〃⑺=谭£^*°川）=小，从而可得。（八，加）©。7，〃）=1，即为

定值.

详解：⑴当机=1时，==Cnti=TTT*

k=0［十K〃十J.左=0〃十工

又。5，i)=C+i="+1，

所以尸1)=1.

⑵个㈤曰一共信

〃一1

=1+Z(-1>(C3+备)仁+(-1)"-

TZim+km+k

n—1n

1

=1+Z(T)**—+1(-1/C.—

Mm+kMm+k

m+k

=P(n—1,m)4——

n

由累乘可得=/〃：”\P（O，W=J,

yn-tmy.%+机

又Q（“n）=C,,

所以P（w,m）-Q（n,m）=1.

即尸（n,吟Q（n,"。恒为定值1.

点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的。（〃,加）和。（〃,加）的定义，并结合组合数公式求解.由

于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误.

12

aa1

2。、（川=；J；（2）4=£,%=-L

_3_3_

【解析】

/、「ab

（1）由题意，可得N=,,利用矩阵的知识求解即可.

ca

|2-1,令/a）=o,求出矩阵N的特征值.

（2）矩阵N的特征多项式为/•（4）=24

【详解】

ab12ba+2cb+2d10

（1）设矩阵N=,则跖V=

d21d2a+c2b+d01

a+2c=l

b+2d=01221

所以解得ci=—，b——,c=—,d=—,

2a+c=03333

2/?+d=1

2

-33

所以矩阵N

2

3-3

（2）矩阵N的特征多项式为〃/）=，+]—B

令/“）=0,解得4=3,4=-1，

即矩阵N的两个特征值为4=g,4=-1.

【点睛】

本题考查矩阵的知识点，属于常考题.

21、(I)C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0)；(II)1

【解析】

(I)根据抛物线定义求出P，即可求C的方程及焦点F的坐标；

(II)设点A(xi,yi),5(xi,yi),由已知得0(-1-1),由题意直线A3斜率存在且不为0,设直线A3的方程为尸任叶1尸1(原0),

与抛物线联立可得外i-4y+4A-8=0,利用韦达定理以及弦长公式，转化求解的值.

【详解】

所以抛物线C的方程为/=4x，焦点F的坐标为(1,0)；

(〃)设点由已知得Q(T,T),

由题意直线AB斜率存在且不为0.

设直线AB的方程为尸依x+l)-l(际0).

y2=4%,

由.,/八"得行J4y+4左-8=0,

y=Z(x+l)—2