2024年中考数学高频考点复习：二次函数的最值问题(含答案)

2024年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值问题

1.如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3,前方有六个台

阶4~北（各拐点均为90。），每个台阶的高为2,宽为2,楼梯平台到x轴距离。4=14,从y轴上的点C处向

右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线L：y=-：d+2无+16,当点尸落到台阶后立即弹

起，其飞行路线是与乙形状相同的抛物线.

⑴通过计算判断小球尸第一次会落在哪个台阶上；

（2）若小球尸第二次的落点在台阶4中点M上，求小球尸第二次飞行路线的解析式；

⑶若小球尸再次从点M处弹起后落入尤轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装

置最大截面为矩形瓦GH,点E横坐标为16,EF=1,EH=1,求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离

最小值.

2.如图在4ABe中，ZC=90°,AC=6cm,3c=8cm,点P是边BC上由2向C运动（不与点8,C重合）

的一动点，尸点的速度是2cm/s,设点尸的运动时间为3过P点作AC的平行线交45于点N,连接AP.

⑴请用含有t的代数式表示线段PN的长；

（2）当f为何值时，APN的面积等于△ACP面积的四分之一；

⑶在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的f的值，使得.APN的面积有最大值，若存在请求出f的值，并

计算最大面积；若不存在，请说明理由.

1

3.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物

线.现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为米.

⑴以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平

面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

⑵请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标.

⑶湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度根=米.

⑷现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过.游

船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度

为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5

米.请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由.

4.如图，一小球M从斜坡04上的。点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线

的一部分，斜坡可以看作直线右：y=：x的一部分.若小球经过点（6,6）,解答下列问题：

（1）求抛物线4的表达式，并直接写出抛物线人的对称轴；

⑵小球在斜坡上的落点为A,求A点的坐标；

⑶在斜坡。4上的8点有一棵树，B点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由;

⑷直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡04的最大高度.

2

5.草莓是深受大家喜爱的一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克20元的草莓，以不低于成本价且不

超过每千克30元的价格销售，每天销售草莓的数量y（千克）与每千克的售价x（元）之间的函数关系如图所

示：

“夕（千克）

120--------K

80--------4

II

II

2030

⑴请直接写出y与x的函数关系式；

（2）该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到500元；

⑶当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？

6.祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成

本，但不高于90元.经调查发现：其日销售量y（千克）与售价双元/千克）之间的函数关系如图所示：

⑴求了与X之间的函数表达式；

⑵设日利润为卬（元），求w与X之间的函数表达式，并说明日利润w随售价X的变化而变化的情况以及最大

日利润；

⑶若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围.

7.某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单

^+16（l<Z<40）

价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为:尸=4日销售量了（千克）与时间

-l/+46（41<r<80）

第/（天）之间的函数关系如图所示:

3

⑴求日销售量y与时间，的函数关系式？

⑵哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

⑶在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠加（根＜7）元给村里的特困户，在这前

40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间/的增大而增大，求m的取值范围.

8.容智公司计划共投入资金50万元研发生产甲，乙两种新型智能产品，该公司市场部根据调查后得出：①

甲种新型智能产品所获年利润%（单位：万元）与投入资金相（单位：万元）的函数关系式是②乙

种新型智能产品所获年利间%（单位:万元）与投入资金〃（单位，万元）的函数关系式是%=看］.

注：记该公司所获全年总利润w（单位：万元）为月与石之和.

⑴设其中投入乙种新型智能产品资金为X（单位：万元）（0VXW50）,用含x的代数式表示下列各量：

①投入甲种新型智能产品的资金为万元；

②投入甲种新型智能产品所获年利润为万元；

③该计划该公司所获全年总利润为万元.

⑵求公司市场部预判该公司全年总利润W（单位：万元）的范围；

⑶若该公司从全年总利润W（单位：万元）中扣除投入乙种新型智能产品资金的左倍（0〈左＜3）用于其他产品

的生产后，得到剩余利润吗（单位：万元），若吗随x的增大而减小，请直接写出发的取值范围.

9.某商店出售一款商品，经市场调查，该商品的日销量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，

关于该商品的销售单价，日销量，日销售利润的部分对应数据如下表.［注：日销售利润=日销量x（销售单价

一进价）］

销售单价X（元）757882

日销量y（件）15012080

日销售利润w（元）5250a3360

⑴根据表信息填空：该商品的进价是元/件，表中。的值是，＞与x之间的函数关系式是

⑵求该商品日销售利润的最大值；

4

⑶由于某种原因，该商品进价降低了加元/件（加>0）,商店规定，在今后的销售中，该商品的销售单价不能低

于68元，日销量与销售单价之间仍满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润为6600元，求机的值.

10.某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查发现，售价在40元至70元范

围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的

售价应定为多少？最大利润为多少元？

11.某商户在线上投资销售A,8两种商品.已知销售A种商品可获得的月利润为（万元）是该商品投资金额

的40%,销售B种商品可获得的月利润为（万元）与该商品投资金额尤（万元）满足函数关系%=-木/+x

（其图象如图所示）.

⑴求销售A种商品的月利润%（万元）与该商品的投资金额尤（万元）的函数关系式，并在图中画出其图象.

⑵若只选择其中一种商品投资销售，根据函数图象求销售哪种商品获得的月利润更高？

⑶若该商户共投资10万元同时销售A，8两种商品，要获得月总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最

大月总利润.

12.甲、乙两个种植户销售同一种苹果.甲种植户，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/依.乙种植户,

一次购买数量不超过50依时，价格为7元/必；一次购买数量超过50依时，其中有50依的价格仍为7/依，

超过50依部分的价格为5元/依.设小王只在同一个种植户处一次购买苹果的数量为狄g（x>0）.

（1）根据题意填表：

一次购买数量

3050150

/kg

甲种植户花费/元300

乙种植户花费/元350

（2）设在甲批发店花费％元，在乙批发店花费为元，分别求％,为关于x的函数解析式;

5

x

（3）若这种苹果市场统一售价为P元/依，且。=一式+8,请你给小王建议如何进货可获最大利润？最大利

润是多少？

13.如图，四边形A5CD为正方形，直线/经过点D,分别过点A、C作AE_L/于点E、CF，/于点F.

（2）若EF=8,求正方形A3CD面积的最小值.

3

14.如图，△ABC是。。的内接三角形，AB为。0直径，tanNBAC=：,BC=3,点D为线段AC上一动点，过

4

点D作AB的垂线交。。于点E,交AB于点F,连结BD,CF,并延长BD交。。于点H.

（1）求。0的半径;

（2）当DE经过圆心。时，求AD的长;

CFBD

⑶求证:

AF-AD

⑷求CF・DH的最大值.

8（点A在点8的左边），与〉轴交于点C,点。是该抛

物线的顶点.

（1）如图1,连接C。，求线段CD的长;

（2）如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点，轴于点R尸厂与线段AC交于点£；将线段02沿x

轴左右平移，线段08的对应线段是05,当P£+gEC的值最大时，求四边形尸O/B/C周长的最小值，并求

出对应的点。/的坐标；

（3）如图3,点X是线段A3的中点，连接CH,将△08C沿直线C8翻折至△02&C的位置，再将△

6

绕点&旋转一周在旋转过程中，点。2,C的对应点分别是点C1,直线分别与直线AC,X轴交于点

M,N.那么，在△02&C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AAMN是以为腰的等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的线段02M的长；若不存在，请说明理由.

16.已知二次函数y=-_2依-3的图象经过点4-1,0）.

（1）求。的值;

（2）-3<x<2,求y的最大值与最小值的差；

闭若一次函数'=（左+1卜+左+1的图象与二次函数》=以2-2依-3的图象的交点坐标是（%,%）,（々,力）且

玉<。<%时，求函数卬=“+%的最小值.

17.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+for+c的图象经过点A（0,6）和3（-2,-2）.

（1）求。的值，并用含。的代数式表示心

3

（2）当。=7时，

①求此函数的表达式，并写出当TVXV2时，y的最大值和最小值.

②如图：抛物线y=a/+6x+c与x轴的左侧交点为C,作直线AC,。为直线AC下方抛物线上一动点，过

点。作DELOC于点E,与AC交于点尸，作DM1AC于点V.是否存在点。使的周长最大？若存在,

请求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

7

(3)若线段8的端点C、。的坐标分别为(-5,10)、(1,10),此二次函数的图象与线段CO只有一个公共点，

求出。的取值范围.

18.已知抛物线C：y=x2-(m+l)x+l的顶点在坐标轴上.

(1)求m的值；

(2)m>0时，抛物线C向下平移n(n>0)个单位后与抛物线Ci：y=ax2+bx+c关于y轴对称，且Ci过点(n,3),求

Ci的函数关系式；

(3)-3<m<0时，抛物线C的顶点为M,且过点P(l,yo).问在直线x=-l上是否存在一点Q使得AQPM的周

长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由.

参考答案:

L⑴心台阶上.

17

(2)y=尤2+8X—20

,153

(3)

32

3

2.(l)PN=-t

⑵当，为2s时，APN的面积等于△ACP面积的四分之一

⑶存在；t=2时，APN的面积最大，最大值为3

3.(1)11

(2)(2,2.5)

(3)1.6

⑷水枪高度至少向上平移0.5米

1,

4.(1)y=——x+4.x；x=4

⑶小球M能飞过这棵

,、49

4—

8

8

5.(l)y=-4%+200

(2)25

⑶30；800

6.(l)y=-2x+240

(2)w与尤之间的函数表达式为.=-2/+340元-12000,售价为85元时获得最大利润，最大利润是2450元

⑶售价x(元/千克)的范围为75WXV100

7.(l)y=-27+200(lW/W80)

⑵第30天利润最大，最大利润为2450元

(3)5<m<7

8.⑴①(50-力

(2)该公司市场部预判该公司全年总利润的范围是22.5WWV62.5

(3)2<k<3

9.(1)40,4560,v=-10^+900

(2)该商品日销售利润的最大值为6250

(3)m=2

10.这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元.

11.(l)y=0.4x

(2)当0