指数函数图象及性质

指数函数

引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

(a>0且a1，kZ)；

有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如因为它可以化为探究2:判断下列函数,那些是指数函数？(2)y=x4

(3)y=-4x(4)y=(-3)x(6)y=3×4x(5)y=xx(1)y=4x(7)y=3x+1点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量x

;②底数是非1正常数;③系数为1.函数y=(a2-3a+3)ax

是指数函数,求a的值.随堂练习：指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：

列表如下：x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…x…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…()2024/5/290112024/5/292.1.2指数函数及其性质01101101012024/5/292.1.2指数函数及其性质0101●图象共同特征：◆图象可向左、右两方无限伸展向上无限伸展，向下与x轴无限接近◆都经过坐标为（0，1）的点◆图象都在x轴上方◆a＞1时，图象

自左至右逐渐上升◆0＜a＜1时，图象

自左至右逐渐下降的图象和性质：

a>10<a<1图象性质1.定义域：2.值域：3.过定点，即x=时，y=4.在R上是函数在R上是函数y=a1xy=a2xy=a3xy=a4x①，；

②，

③，比较下列各题中两个值的大小：例3：挑战自我：例1

比较下列各题中两个值的大小：①，解①

：利用函数单调性与的底数是1.7，它们可以看成函数y=因为1.7>1，所以函数y=在R上是增函数，而2.5<3，所以，<；当x=2.5和3时的函数值；

②，

解②：利用函数单调性与的底数是0.8，它们可以看成函数y=

当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，

而-0.1>-0.2，所以，<

③，解③

：根据指数函数的性质，得且>从而有2024/5/292.函数上的最大值与最小值的和为在[0,1](a>1)______3,则1.函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数，

则a的范围______的图像恒过定点P，则P的坐标为＿＿＿3.例2

（1）已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；（2）已知0.2x＜25，求实数x的取值范围。解（1）利用函数单调性，与的底数是3，因为3>1，所以函数y=在R上是增函数，；由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，+∞）。例2：解下列不等式高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；单调区间为（－∞，＋∞）函数在该区间上是减函数复合函数单调性：分别考察内外函数单调性；“同增异减”解析：例3:a>10<a<1图象性质1.定义域：R2.值域：（0，+∞）3.过点（0，1），即x=0时，y=14.在R上是增函数在R上是减函数小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性；对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较.练习：⑴比较大小：

,

解：因为利用函数单调性练习：⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：⑶比较下列各数的大小：

x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.512481632例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，与与⑴⑵解：⑴列出函数数据表,作出图像比较函数y=、y=与y=的关系：的图象向左平行移动1个单位长度，的图象，的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象。将指数函数y=就得到函数y=将指数函数y=x-3-2-101230.1250.250.512480.6250.1250.250.51240.31250.6250.1250.250.512解：⑵列出函数数据表,作出图像与⑵比较函数y=、y=与y=的关系：的图象向右平行移动1个单位长度，的图象，的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象。将指数函数y=就得到函数y=将指数函数y=小结：与的关系：当h>0时，将指数函数的图象向左平行移动|h|个单位长度，就得到函数的图象；当h<0时，将指数函数的图象向右平行移动|h|个单位长度，就得到函数的图象。例4

已知函数作出函数图像，求定义域、与图像的关系。值域，并探讨

解：

定义域：R

值域：

作出图象如下:关系：该部分翻折到保留在y轴右侧的图像,y轴的左侧,这个关于y轴对称的图形就是的图像函数y=f(x)y=f(x+a)y=f(x)+ay=f(-x)y=-f(x)y=-f(-x)y=f(|x|)y=|f(x)|对于有些函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位.a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位.y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.保留y=f(x)在y轴右边的图象，然后作关于y轴对称的图象即得到y=f(|x|)的图象。将y=f(x)在x轴下边的图象沿x轴翻转到x轴的上边即得到y=|f(x)|的图象。例5某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。经过1年，剩留量经过2年，剩留量……一般地，经过x年，剩留量根据这个函数可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画