重庆市青木关中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

青木关中学高2025级高一（上）期末考试数学试题满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先表示出集合，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合，集合，集合，所以.故选：D2.方程的解所在区间可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由零点存在性定理判断即可.【详解】方程所对应的函数为，在上为增函数.，，所以由零点存在性定理可知：方程的解所在区间为：.故选：C.3.若，则（）A. B.12 C.48 D.144【答案】D【解析】【分析】由对数的运算性质计算得出结果.【详解】由对数的运算性质可知.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再利用诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：B.5.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果.【详解】由得到或，令，则，因为在定义域上是减函数，又的开口向上且对称轴为，易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的单调递增区间为，故选：B.6.（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.【详解】故选：A7.函数的定义域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可.【详解】由题意得恒成立，当时,恒成立，满足题意；当时,,解得,综上.故选:C.8.已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出.【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可.当时，，最小值为，符合题意；当时，对称轴，函数在上单调递减，而适合题意；当时，对称轴，则，所以；综上的取值范围为.故选：A.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中不止一项符合题目要求.全选对得5分，没选全得3分，选错得0分.）9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.“幂函数在上单调递减”的充要条件为“”C.命题的否定为：D.已知一扇形圆心角，且其所在圆的半径，则扇形的弧长为【答案】AD【解析】【分析】由充分必要条件举例可得到A正确；由幂函数的单调性可得到B错误；由全称与特称命题的性质可得到C错误；由弧长公式可得到D正确.【详解】A：，可以是，所以充分性不成立；若，则恒成立，所以必要性成立，故A正确；B：由题意可知，又幂函数在上单调递减，则，故B错误；C：命题的否定为：，故C错误；D：扇形圆心角，所以由弧长公式可知弧长为，故D正确.故选：AD10.下列说法正确的是（）A.若，则的最小值为4B.若，则的最小值为1C.若，则的最大值为6D.若，且，则【答案】ACD【解析】【分析】A由基本不等式和乘法可得；B举反例可得；C由二次函数的性质可得；D由基本不等式和解不等式可得.【详解】A：，当且仅当时取等号，故A正确；B：当时，，故B错误；C：设，开口向下，对称轴为，最大值为，故C正确；D：由已知可得，当且仅当，即或时取等号，由解得或，故D正确.故选：ACD.11.已知函数的部分图象如下，则以下说法正确的是（）A.B.的一个对称中心为，一条对称轴为C.向左平移个单位后为偶函数D.向右平移个单位后为奇函数【答案】BCD【解析】【分析】首先由图像和三角函数的性质得到，得出A错误；由正弦函数的对称轴和对称中心得出B正确；由平移变换和奇偶性得出CD正确.【详解】由图像可得，，由，因为，所以，所以.A：由以上解析可知故A错误；B：对称中心：，当时，对称中心；对称轴，当时，对称轴为，故B正确；C：向左平移个单位后为，为偶函数，故C正确；D：向右平移个单位后为，为奇函数，故D正确；故选：BCD.12.下列关于函数的说法正确的是（）A.当时，是单调函数B.当时，是单调函数C.当时，的值域为D.当时，的值域为【答案】AC【解析】【分析】利用分段函数的单调性和值域求参数即可.【详解】若是单调函数，而的对称轴为，则，解得，显然A正确，B错误，当时，此时函数和上分别单调递减，而,此时满足，由二次函数与反比例函数的性质得的值域为，故C正确，当时，，故的值域不为，则D错误.故选：AC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】由三角函数的诱导公式列方程组解出或，再由诱导公式算出结果即可.【详解】由诱导公式可知，又因为，由以上两式可解得或，所以，代入以上两种结果得到.故答案为：.14.函数且的定点为__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标．【详解】因为且，令，得到，此时，所以函数过定点，故答案为：.15.若，当时，，则__________.【答案】6【解析】【分析】先求出是以为周期的周期函数，再由对数的运算性质求出结果即可.【详解】因为，所以，所以是以为周期的周期函数，又因为余，故，因为当时，，所以，所以.故答案为：6.16.若满足以下条件：①；②的图象关于对称；③对于不相等的两个正实数，有成立，则的解析式可能为__________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由指数函数的性质，图象关于对称，和对于不相等的两个正实数，有成立共同得出即可.【详解】设，因为，故满足①；图象为：故满足②；设，则，由指数函数的性质可知，故，所以满足③；当，则，由指数函数的性质可知，故，也满足③.故答案为：(答案不唯一).四、解答题（本大题共6个小题，共70分.）17.化简或计算下列各式：（1）；（2）【答案】17.1818.【解析】【分析】（1）由指数函数和对数函数的运算性质得到结果.（2）由半角和全角公式化简得到结果.【小问1详解】【小问2详解】18.若函数，（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果；（2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果.【小问1详解】因为的解集为，所以且，解得.【小问2详解】，，所以，即，又，当，即时，的解集为；当，即时，当，解集为，当，解集为；当，即或时，的两根为，，且有，此时，的解集为或，综上所述，当时，解集为；当，解集为，当，解集为；当或时，的解集为或.19.已知函数，求：（1）函数的最小正周期及对称中心；（2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）最小正周期为，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简为，再根据正弦函数的性质求出即可.（2）先经过平移伸缩变换后再由正弦函数的单调性求出值域即可.【小问1详解】,令所以对称中心为【小问2详解】经平移变换后，，因为，则，20.如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米.（1）求关于的函数解析式；（2）求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用三角函数分别表示出，再由矩形的面积公式表示出关于的函数解析式即可.（2）令，由同角的三角函数关系得到，即，再由二次函数的性质求出取值范围即可.【小问1详解】如图，延长交于点，延长交于点.由四边形是正方形，四边形是矩形，可知.由，可得，..【小问2详解】令，由，可得，故，即，，其对称轴为所以当时，取最大值，最大值为16；所以当时，取最小值，最小值为14.即.21.已知函数为奇函数.（1）求实数的值；（2）若，判断并用定义证明函数的单调性；（3）设，且在区间上不存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）在上是单调递增的，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）法一由对数函数的性质和奇函数关于原点对称得出；法二奇函数的定义和对数函数的性质得出；（2）由函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为求令在上有零点，则在上有解，再由单调性列出不等式，求出，再取补集即可.【小问1详解】（法一）因为有意义时，，又因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，即经检验适合题意.（法二）由知，即，则，经检验，时，无意义，故.【小问2详解】在上是单调递增的，证明如下：,设，则，由知，，则且，所以从而，即，则在上单调递增函数.【小问3详解】令在上有零点，则在上有解，令，由在上单调递增，在上单调递减知：，即，那么在区间上不存在零点时，22.已知函数.（1）若对于，使得成立，求实数的取值范围；（2）若与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得到，再由基本不等式得到在上有