四川省南充市2024届高三毕业班诊断性检测（二）数学（理）试题（含答案解析）

四川省南充市2024届高三毕业班诊断性检测（二）数学（理）

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U=R,2或％>2},N={x|l4％<3}.如图所示，则阴影部分所

表示的集合为（）

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<3]

C.{x|xv2或x>3}D.[x\-2<x<2]

2.已知当5£4,复数Z=-a+此Z2=0+4）+（a-2）i在复平面内对应的点重合,则

()

A.〃=—1,Z;=—3B.a=3,b=-lC.a=2,b=—2D.a=—2,b=2

3.下列函数是偶函数，且在(0,+8)上单调递增的是()

f\x)=~xB.=

C./(九)=国D.f(x)=2X

4.“〃=2”是“直线4：2四+4丁+3=0与直线4：1-（〃-1）丁-5=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x-y-2<0

5.设实数％,>满足<x+2y-520,则〃=%+y的最小值是（）

y—2<0

14

A.2B.3C.-D.一

33

Q

6.点P从（0,-l）出发,沿单位圆顺时针方向运动：万弧长到达点。,则点。的坐标（）

7.函数/（工）=33_工+1在（-00,+00）上是减函数的一个充分不必要条件是（）

A.m<0B.m<0C.m£1D.m<1

8.有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2,3的小球，将这5个小球放入3

个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）

A.45B.90C.24D.150

rr1

9.若a,b,c均为单位向量，且。2=-万，。=&+功（无丁£2，则％+》的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.4

10.已知直线丁二丘一1（左＞0）与圆2氐+V—i=o交于人，5两点，若|钿|=2及，

贝！（）

A.2-73B.2+石C•石D.72

11.把函数y=sin（4x+^］图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再

将图象向右平移W个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）

4兀C%「71-万

A.x=—B.x=C.x=—D.x=一

2448

12.定义在（0e）上的函数＞=/（尤）满足：〃x）＞r（x）tanx恒成立，则下列不等式中成立

的是（）

A.73/（^）＞f（y）B./（l）＜^j^/（y）sinl

二、填空题

13.已知函数/（x）=gsin2xcosx,该函数的最大值为.

14.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为:，则这个几何体

的俯视图可能是下列图形中的.（填入所有可能的图形前的编号）

①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④四边形；⑤扇形；⑥圆.

22

15.已知产为椭圆C:'+5=l的左焦点，定点A（-3,-3）,点P为椭圆C上的一个动

点，贝用的最大值为.

16.各项均为正数且公比0＜“＜1的等比数列｛%｝的前”项和为S"，若4%=4,

%+为=5,贝UH的最小值为.

2a,

试卷第2页，共4页

三、解答题

17.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2bcos8=acosC+ccosA

(1)求角2的大小；

(2)若线段BC上存在一点。，使得4。=2,且AC=C，CD=6-1,求S.A2C

18.如图，在多面体ABC。所中，底面ABC。是正方形，梯形ADEFL底面A8C。,

^.AF=EF=DE=-AD.

「一2

(I)证明：平面ARF_L平面CDF；

(II)求直线AF与平面CZJE所成角的大小.

19.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别2是;3和假设两人射击是否击中目

34

标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(1)求甲射击4次，至多1次未击中目标的概率;

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，求乙恰好射击5次后被中止射击的

概率.

20.在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为＜a为参数),以坐标原

点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标

方程为3Pl+/?2sin20=12.

(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若尸(1,0),直线/与曲线C交于M,N两点，求1pMi+|PN|的直

21.已知函数/(x)=21nx-(a+l)元2-2ax+l,aeR.

⑴当a=1时，求函数/(%)在点(LAD)处的切线方程；

(2)若函数有两个零点w,求实数a的取值范围；

22.如图“月亮图”是由曲线Q与C?构成,曲线G是以原点。为中心，耳(一。,0),巴(。,0)

为焦点的椭圆的一部分，曲线C?是以。为顶点，F?为焦点的抛物线的一部分,

75

A5,%)®＞。＞。)是两条曲线的一个交点，|A£|=],|A居|=万.

(1)求曲线G和C?的方程;

(2)过F?作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线G，G依次交于4C,£＞,E四点,

\BE\-\GFA

若G为°的中点、"为免的中点，问：时期是否为定值？若是求出该定值;

若不是说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】由韦恩图可知，阴影部分为毛(MN),根据并集运算求出MuN,再根据补集运

算，即可求出结果.

【详解】由韦恩图可知，阴影部分为2(MN),

由题意，MuN={x［x<-2或％21},

所以即(MuN)={x|-2<x<l}.

故选：A.

2.A

【解析】根据两个点重合得两个复数相等，建立方程组求解.

［详解］依题知］；a=6：4,解得：

\b=a-2=-3

故选：A

【点睛】此题考查复数概念的辨析，根据两个复数相等，利用实部与实部相等，虚部与虚部

相等求解方程组.

3.C

【分析】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项,

满足函数为偶函数且在(。,+◎上单调递增；D选项，函数不满足为偶函数.

【详解】A选项，〃力=-f在(0,+8)上单调递减，A错误；

B选项，/(元)=尤5的定义域为［0,+8),定义域不关于原点对称，不是偶函数，B错误；

C选项，〃x)=|x|的定义域为R,又〃T)=|T=国"⑺,故〃尤)=可为偶函数，

且x>0时，〃*)=国=*在(0,+8)上单调递增，满足要求，C正确；

D选项,〃x)=2*的定义域为R,M/(-%)=2-^2\故

〃x)=2'不是偶函数，D错误.

故选：C

4.C

【分析】根据两直线垂直的性质求出。，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

答案第1页，共15页

【详解】因为直线C2ox+4y+3=0与直线4：x—（a-l）y-5=。垂直,

所以2a—4（a-l）=0,解得4=2,

所以“。=2”是“直线心2办+4y+3=0与直线gx-（a-l）y-5=0垂直”的充要条件.

故选：C

5.B

【分析】首先画出约束条件对应的可行域，由"=x+y,得y=-x+",平移直线，找到可

行域内截距最小的点，即可求解.

平移直线》=一%当过点A时，截距最小，即a最小，

由］x+jy=5解得A（］,2）,

［y=2

所以％n=1+2=3,

故选：B.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题思路如下：

（1）根据约束条件画出其对应的可行域；

（2）分析目标函数的特征，判断其最优解；

（3）解方程组求得最优解；

（4）代入目标函数求得最值，得到结果.

6.C

QO

【分析】单位圆的周长为2万，由题意|乃=2万+：万，可得到NQOx的大小，然后求出点。

答案第2页，共15页

的坐标，得到结果.

【详解】如图设40,-1),

O

尸点从(0,-1)出发，沿单位圆按顺时针方向运动|万弧长到达。点,

由单位圆的周长为2万，所以

95

由单位圆的半径为1,所以乃，即/。缶==万

36

an5右.51

即x=cos—7i=----,y=sm—乃=一，

6262

所以Q点坐标为(-弓，1)

故选：C.

【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注

意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目.

7.A

【分析】问题可转化为只需/(%)=3蛆2_140即可，讨论机=0,m<0,用〉0三种情况,

结合二次函数的性质，从而求出加的范围.

【详解】/(%)=m1_X+1在(-8,+8)上是减函数，只需要/'(%)=3mx2-1<0即可,

若加=0,则尸(%)=—1<0,成立;

若加<0,则/(%)=332_1是二次函数，由二次函数的性质可得，时;(x)<0恒成立.

若加〉0,rw>o,故不成立.

所以，当机<0时，/'(%)<0,而根<0是根V0的充分不必要条件.

故选：A.

8.A

【分析】根据3个相同小球的分布进行分类讨论

答案第3页，共15页

【详解】①若3个相同小球在同一个盒子中，则有团=6中

②若恰有2个相同小球在同一个盒子中，1个在另一个盒子中，此时先将5个小球分为3组

若为“311”分组有2种，若为“221”分组则有3种

故共5x禺=30种

③若3个相同小球在3个不同的盒子中，则剩余两个小球都有3种放法，有3x3=9种

共6+30+9=45种

故选：A

9.B

【分析】先由/=（xa+乃y结合数量积的运算律求得Y+V一孙=1,再令x+y=r,换元

转化成关于x的方程，由方程有解解出r的范围，即可求得》+丁的最大值.

rri

【详解】因为a,6,c均为单位向量，且。为=-不，c=xa+yb（x,yeR）,所以

c2=（xa+yb）2=x2a2+2xya-b+y2b2

=苫2+\2+2移X（_；1=彳2+\2_孙=],设了+'=/,贝|]'=/一%,得_¥2+«_》）2__¥（/_工）_]=0,

所以3d-3fx+产-1=0,因为方程3/-3及+产-1=0有解,所以A=9产一12（产一1）20,

即-3r+1220,解得所以x+y的最大值为2.

故选：B.

10.B

【分析】由圆心C（6o）到直线A3的距离为卜-g|4回1=0和点到直线的距离公式可

得k.

【详解】由犬-2后+丁-1=。，即卜一道了+/=4,半径为2,若|明=2虚，

则圆心C（6,0）到直线48的距离为,4-=74-2=72,

根据点到直线的距离公式可得晚[=应，解得上=々±2,

因为左＞0,故左=2+JJ,

VF+1

答案第4页，共15页

11.A

【分析】利用诱导公式、函数y=4sin（ox+0）的图象变换规律，求得变换后所得函数的解析

式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得图象的一条对称轴方程.

【详解】函数y=sin（4x+71的图象上的各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所

得图象的函数解析式为『《2》+［；

再将图象向右平移2TT个单位，所得图像的函数解析式为：

令2x=k7t,kwZ,可解得函数对称轴方程为x=当左=-1时，可得图象的一条对

称轴方程为

故选：A.

12.A

【分析】根据已知条件构造函数，根据函数单调性建立不等式判断.

【详解】XG(O,^),1.sinx>0,cos%〉0,

f(x)>fr(x)tanx,f(x)-fr(x)tanx>0,

二./(%)cosx>f\x)sinx,即(x)sinx-/(x)cosx<0,

构造函数g（尤）=幺2，贝Ug'（无）=''（x）smx=/（尤）8sx＜（）,

smxsinx

77

函数g（x）在Xe（0,-）上单调递减,

/（-）/（-）

故g（［）＞，即T＞T，即隹〃［）〉/©），故A正确;

6sin工sin三63

63

答案第5页，共15页

/(1)吗)

同理，g(l)>,即sinl,故B错误;

71

sinlsin—

3

同理,，即出心，即⑸(7)＞/(?),故c错误;

I.冗.兀

sin—sin—

64

6)/(-)

同理,〉,即-4>T，即后(£)>⑸(1),故D错误.

sin—sin-43

43

故选：A.

13.当

【分析】化简函数/(x)=sin尤-sir?%，令sinx=，且，则y=g«)=l-r,求得g'«),

得出函数的单调性，结合单调性与极值，即可求解.

［详解】由题意，函数/(%)=sinxcos2x=sin尤(1一sir?x1=sinx-sin3x,

令sinx=，且则y=g(t)=t-t3,

从而g'(f)=l_3/=(l_")(l+"),令g'(f)=0,解得或q=¥，

当-1＜/＜一1时，g'(/)＜。；当-¥々＜¥时，g'⑺＞。；

当¥＜,＜1时，g'⑺＜。，

所以g⑺在(T-当上单调递减；在卜字⑦上单调递增；在［争卜单调递减.

因为g(-l)=。，g串=半,所以〃尤)的最大值为手.

故答案为：手.

14.②

【分析】利用三视图的性质逐一分析即可.

【详解】若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1的正方形，

即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；

若俯视图是扇形或圆，则体积值中含兀，所以俯视图不会是扇形或圆；

若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，

答案第6页，共15页

则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，

所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形；

若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，

则此几何体体积为gxlxlxl=g,且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形.

故这个几何体的俯视图可能是②.

故答案为：②.

15.9

【解析】设椭圆的右焦点为月（1，。）,再利用数形结合分析求解.

设椭圆的右焦点为月（1,0）,

\PA\+\PF\=|PA|+2a-|P4=4+1P4144+14月|=4+7（-3-1）2+32=9.

故答案为：9

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合

法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件，灵活选择方法求解.

441

16.

64

【分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结

合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立.

【详解】解：由题意：4%=。2%=4,又由出+%=5,又各项均为正数且公比。<4<1,

211

.•・。2=4,“4=1,故9=—=：,故㈤=8,q=—•

%42

答案第7页，共15页

a.(l-an]「(iv"])

24-",S“='-------^=16x1--=16-24".

If⑵

令.=2**-"e⑵，2?，2,1,2-、……},

则⑸+|)[.37237=37?37_

2an2t2St2St2

当且仅当/=317>8时取等号，显然不成立，

5

(S+—V9441

所以当”=1时，即t=8时，不等式取最小值：k12.

2q-64

441

故答案为：――•

64

【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前"项和公式，考查用基本

不等式求最值，求最值时要注意等号成立的条件也就是“要取正整数.

17.(1)-；(2)

32

【分析】(1)由2Z?cos5=〃cosC+ccosA,利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin5cos5

=sin(A+C),再根据诱导公式化简可得cos3=；,结合(0,兀)可得角5的大小.

(2)由余弦定理求得cos。的值，可得。的值，利用三角形内角和公式求得A的值，再利

用正弦定理求得AB的值，从而求得482。sinA的值.

【详解】(1),**2/?cosB=dicosC+ccosA,

・••根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,

即2sinBcosB=sin(A+C).

又••・△ABC中，sin(A+C)=sin(180。-3)=sinB>0

/.2sinBcosB=sinB,两边约去sinB得2cos3=1,即cosB=g,

VBe(0,兀)，

(2):在AACD中，AD=2,且AC=#,CD=&1,

答案第8页，共15页

函2+（遥-1）2-43

由余弦定理可得：…2限51）F

5%

-B-C——

12

,ACAB

由----=-----可得

sinBsinC

.\AB=2,

_i—.〃〃i—/.〃儿儿.儿、

：.SABC=-ABACsinA=-2'sin(—F­)=，6*(sin—cos—+COS—sin—)

A22464646

=V6•也+红)=2L

442

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角

化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关

系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想

求最值.

1T

18.（I）见解析（II）

【分析】（I）由已知结合面面垂直的性质可得ABJLD/，在梯形ADEF中，求解三角形得

AF±FD,再由线面垂直的判定可得平面ABF,进一步得到平面AB/F平面CD尸；

（II）以A为坐标原点，分别以4。所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系，求出平

面CDE的一个法向量，再求出AF的坐标，由AF与平面CDE的法向量所成角的余弦值可

得直线与平面CDE所成角的大小.

【详解】（I）证明：•••梯形TIDEF，底面ABCD,且梯形ADEP底面ABCZ）=M）,

又

/平面

:.AB±DF,

在梯形AOEF中，过尸作尸GLAD,垂足为G,

设AD=2,可得AE=EP=OE=：AO=1,

则AG=—,GF=>

22

答案第9页，共15页

2

FD1=FG2+GD2=

则江+如2=4£>2,

即AF_L,

又ABAF=A,且AB,AFu平面A5F,

:.FD±^ABF,

而FDu平面CDF,

，平面ABF±平面CDF；

(ID解：以A为坐标原点，分别以AB,A。所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,D（0,2,0）,C（2,2,0）,E0,1,^,DC=（2,0,0）,

im（Jtur（i

DE=0,--,^-,AF^0,不一，

2222

设平面CDE的一个法向量为"=(尤,y,z),

n-DC=2x=0

n•DE=—y+z=0

22

取z=l,得〃=仅,也,1）.

I/皿i\|AFn

设直线Ab与平面CDE所成角的大小为夕，则sme=kos(AR〃，二

AFAZ1^2~~2

即直线AF与平面CZ)£所成角的大小为三IT.

【点睛】本题考查了面面垂直的问题，证明面面垂直时，一定要根据面面垂直的判定定理进

行逻辑推理；本题还考查了线面所成角的问题，常见方法是借助向量工具进行求解.

答案第10页，共15页

21

【分析】（1）由题意知，甲击中目标的概率为:，未击中目标的概率为:，甲射击4次，相

当于4次独立重复试验，根据独立重复试验的概率公式，即可求出至多1次未击中目标的概

率；

（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个

事件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果；

（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示乙必须在第4、第5次没有射中，第3次射中，

在第1、第2次射击中至少射中一次，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果.

【详解】（1）由题可知，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响，

91

甲击中目标的概率为:，未击中目标的概率为

甲射击4次，相当于4次独立重复试验，

设“至多1次未击中目标”为事件4,

则概率为：尸（4）=停）+以・0仔）=印

31

（2）根据题意，乙击中目标的概率为未击中目标的概率为：，

记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件为,

“乙射击4次，恰好击中目标3次为事件2，

P（A）=C：（|）2（I-|）4-2=^,

3

P（B2）=C：（|）（l-|r=|Z.

由于甲、乙射击相互独立，

Q271

故尸（48）=尸（4）.尸电）=万X热.,

22/04o

即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为1

O

（3）根据题意，可知连续2次未击中目标，则停止射击，

记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件4，

由于乙恰好射击5次后被中止射击，

则乙必须在第4、第5次没有射中，第3次射中，在第1、第2次射击中至少射中一次,

答案第11页，共15页

所以概率为：尸（以）=1-（£|=凝

【点睛】本题考查独立重复事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率，考查计算能力.

20.（1）/?sin0=^3/?cos0-3；4y2+3x2=12（2）1

【解析】（1）直线的直角坐标方程为y=3,根据极坐标公式得到答案.

2412

（2）直线/的参数方程为＜代入椭圆方程得至l"+%2=—W，

y乌

2

|正叫+|尸2=，-修，计算得到答案.

x-V3Z,

【详解】（1）直线/的参数方程为＜a为参数），转换为直角坐标方程为）二底-3

y=3t—

转换为极坐标方程为夕sine=gpcos6-3.

222

曲线。的极坐标方程为3"+psin6=12.转换为直角坐标方程为4/+3x=12.

'1I

X=1H--1

2

（2）把直线/的参数方程转换为标准式为厂a为参数）,

Iy=­2t

4I?

代入4丁+3/=12,得到：5/+今—12=0,所以％+，2=-1，能二一（，

所以|PM|+|PN|=17=Jd+j-4%=].

【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生

的计算能力和应用能力.

21.（l）4x+y-l=0

⑵（TO）

【分析】（1）求导，得到广⑴=T,利用导函数几何意义求出切线方程；

（2）求定义域，求导，分aW-1,a＞-l两种情况，结合函数单调性，得到要满足函数/'（X）

有2个零点，只需21n（。+1）+号＜0,构造函数g（尤）=21n（x+I）+昌，求

c/IJ..A-I1

导，得到其单调性，求出实数。的取值范围.

答案第12页，共15页

【详解】(1)当a=l时，/(x)=21nx-2x2-2x+l,

f(x)=--4x-2,广⑴=2-4-2=T,/(1)=-2-2+1=-3,

x

所以函数/⑺在点(1］⑴)处的切线方程为y+3=T(x—1),即4%+y-1=0；

(2)函数/(%)的定义域为(0,+e),

,、2,、—2「(〃+l)x—+

1(x)=—2(〃+1)x-2〃=——---------------,

当aW-1时，制勾＞0恒成立，”可单调递增，所以"%)不可能有2个零点;

当4＞一1时，当0＜x＜£时，制勾＞0,/(X)单调递增，

当x＞占时，7'(尤)〃尤)单调递减，

当了30时，/(x)-^-oo,当龙f+8时，/(%)-＞-co,

所以要满足函数〃尤)有2个零点，只需

BP21n——-(4+1)［」一］-2分」-+1＞0,

q+1+Q+1

整理得21ng+1)