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文档简介
四川省南充市2024届高三毕业班诊断性检测(二)数学(理)
试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.设全集U=R,2或%>2},N={x|l4%<3}.如图所示,则阴影部分所
表示的集合为()
A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<3]
C.{x|xv2或x>3}D.[x\-2<x<2]
2.已知当5£4,复数Z=-a+此Z2=0+4)+(a-2)i在复平面内对应的点重合,则
()
A.〃=—1,Z;=—3B.a=3,b=-lC.a=2,b=—2D.a=—2,b=2
3.下列函数是偶函数,且在(0,+8)上单调递增的是()
f\x)=~xB.=
C./(九)=国D.f(x)=2X
4.“〃=2”是“直线4:2四+4丁+3=0与直线4:1-(〃-1)丁-5=0垂直”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
x-y-2<0
5.设实数%,>满足<x+2y-520,则〃=%+y的最小值是()
y—2<0
14
A.2B.3C.-D.一
33
Q
6.点P从(0,-l)出发,沿单位圆顺时针方向运动:万弧长到达点。,则点。的坐标()
7.函数/(工)=33_工+1在(-00,+00)上是减函数的一个充分不必要条件是()
A.m<0B.m<0C.m£1D.m<1
8.有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2,3的小球,将这5个小球放入3
个不同的盒子中,每个盒子至少放一个小球,则不同的放法总数为()
A.45B.90C.24D.150
rr1
9.若a,b,c均为单位向量,且。2=-万,。=&+功(无丁£2,则%+》的最大值为()
A.1B.2
C.3D.4
10.已知直线丁二丘一1(左>0)与圆2氐+V—i=o交于人,5两点,若|钿|=2及,
贝!()
A.2-73B.2+石C•石D.72
11.把函数y=sin(4x+^]图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再
将图象向右平移W个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为()
4兀C%「71-万
A.x=—B.x=C.x=—D.x=一
2448
12.定义在(0e)上的函数>=/(尤)满足:〃x)>r(x)tanx恒成立,则下列不等式中成立
的是()
A.73/(^)>f(y)B./(l)<^j^/(y)sinl
二、填空题
13.已知函数/(x)=gsin2xcosx,该函数的最大值为.
14.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为:,则这个几何体
的俯视图可能是下列图形中的.(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形;④四边形;⑤扇形;⑥圆.
22
15.已知产为椭圆C:'+5=l的左焦点,定点A(-3,-3),点P为椭圆C上的一个动
点,贝用的最大值为.
16.各项均为正数且公比0<“<1的等比数列{%}的前”项和为S",若4%=4,
%+为=5,贝UH的最小值为.
2a,
试卷第2页,共4页
三、解答题
17.在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2bcos8=acosC+ccosA
(1)求角2的大小;
(2)若线段BC上存在一点。,使得4。=2,且AC=C,CD=6-1,求S.A2C
18.如图,在多面体ABC。所中,底面ABC。是正方形,梯形ADEFL底面A8C。,
^.AF=EF=DE=-AD.
「一2
(I)证明:平面ARF_L平面CDF;
(II)求直线AF与平面CZJE所成角的大小.
19.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别2是;3和假设两人射击是否击中目
34
标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
(1)求甲射击4次,至多1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,求乙恰好射击5次后被中止射击的
概率.
20.在平面直角坐标系中,直线/的参数方程为<a为参数),以坐标原
点为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标
方程为3Pl+/?2sin20=12.
(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若尸(1,0),直线/与曲线C交于M,N两点,求1pMi+|PN|的直
21.已知函数/(x)=21nx-(a+l)元2-2ax+l,aeR.
⑴当a=1时,求函数/(%)在点(LAD)处的切线方程;
(2)若函数有两个零点w,求实数a的取值范围;
22.如图“月亮图”是由曲线Q与C?构成,曲线G是以原点。为中心,耳(一。,0),巴(。,0)
为焦点的椭圆的一部分,曲线C?是以。为顶点,F?为焦点的抛物线的一部分,
75
A5,%)®>。>。)是两条曲线的一个交点,|A£|=],|A居|=万.
(1)求曲线G和C?的方程;
(2)过F?作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线G,G依次交于4C,£>,E四点,
\BE\-\GFA
若G为°的中点、"为免的中点,问:时期是否为定值?若是求出该定值;
若不是说明理由.
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.A
【分析】由韦恩图可知,阴影部分为毛(MN),根据并集运算求出MuN,再根据补集运
算,即可求出结果.
【详解】由韦恩图可知,阴影部分为2(MN),
由题意,MuN={x[x<-2或%21},
所以即(MuN)={x|-2<x<l}.
故选:A.
2.A
【解析】根据两个点重合得两个复数相等,建立方程组求解.
[详解]依题知];a=6:4,解得:
\b=a-2=-3
故选:A
【点睛】此题考查复数概念的辨析,根据两个复数相等,利用实部与实部相等,虚部与虚部
相等求解方程组.
3.C
【分析】A选项,函数不满足单调性;B选项,定义域不关于原点对称,B错误;C选项,
满足函数为偶函数且在(。,+◎上单调递增;D选项,函数不满足为偶函数.
【详解】A选项,〃力=-f在(0,+8)上单调递减,A错误;
B选项,/(元)=尤5的定义域为[0,+8),定义域不关于原点对称,不是偶函数,B错误;
C选项,〃x)=|x|的定义域为R,又〃T)=|T=国"⑺,故〃尤)=可为偶函数,
且x>0时,〃*)=国=*在(0,+8)上单调递增,满足要求,C正确;
D选项,〃x)=2*的定义域为R,M/(-%)=2-^2\故
〃x)=2'不是偶函数,D错误.
故选:C
4.C
【分析】根据两直线垂直的性质求出。,再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
答案第1页,共15页
【详解】因为直线C2ox+4y+3=0与直线4:x—(a-l)y-5=。垂直,
所以2a—4(a-l)=0,解得4=2,
所以“。=2”是“直线心2办+4y+3=0与直线gx-(a-l)y-5=0垂直”的充要条件.
故选:C
5.B
【分析】首先画出约束条件对应的可行域,由"=x+y,得y=-x+",平移直线,找到可
行域内截距最小的点,即可求解.
平移直线》=一%当过点A时,截距最小,即a最小,
由]x+jy=5解得A(],2),
[y=2
所以%n=1+2=3,
故选:B.
【点睛】思路点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,解题思路如下:
(1)根据约束条件画出其对应的可行域;
(2)分析目标函数的特征,判断其最优解;
(3)解方程组求得最优解;
(4)代入目标函数求得最值,得到结果.
6.C
QO
【分析】单位圆的周长为2万,由题意|乃=2万+:万,可得到NQOx的大小,然后求出点。
答案第2页,共15页
的坐标,得到结果.
【详解】如图设40,-1),
O
尸点从(0,-1)出发,沿单位圆按顺时针方向运动|万弧长到达。点,
由单位圆的周长为2万,所以
95
由单位圆的半径为1,所以乃,即/。缶==万
36
an5右.51
即x=cos—7i=----,y=sm—乃=一,
6262
所以Q点坐标为(-弓,1)
故选:C.
【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题,涉及到的知识点有弧长公式,注
意转动的方向,明确角的大小之后,点的坐标显而易见,属于基础题目.
7.A
【分析】问题可转化为只需/(%)=3蛆2_140即可,讨论机=0,m<0,用〉0三种情况,
结合二次函数的性质,从而求出加的范围.
【详解】/(%)=m1_X+1在(-8,+8)上是减函数,只需要/'(%)=3mx2-1<0即可,
若加=0,则尸(%)=—1<0,成立;
若加<0,则/(%)=332_1是二次函数,由二次函数的性质可得,时;(x)<0恒成立.
若加〉0,rw>o,故不成立.
所以,当机<0时,/'(%)<0,而根<0是根V0的充分不必要条件.
故选:A.
8.A
【分析】根据3个相同小球的分布进行分类讨论
答案第3页,共15页
【详解】①若3个相同小球在同一个盒子中,则有团=6中
②若恰有2个相同小球在同一个盒子中,1个在另一个盒子中,此时先将5个小球分为3组
若为“311”分组有2种,若为“221”分组则有3种
故共5x禺=30种
③若3个相同小球在3个不同的盒子中,则剩余两个小球都有3种放法,有3x3=9种
共6+30+9=45种
故选:A
9.B
【分析】先由/=(xa+乃y结合数量积的运算律求得Y+V一孙=1,再令x+y=r,换元
转化成关于x的方程,由方程有解解出r的范围,即可求得》+丁的最大值.
rri
【详解】因为a,6,c均为单位向量,且。为=-不,c=xa+yb(x,yeR),所以
c2=(xa+yb)2=x2a2+2xya-b+y2b2
=苫2+\2+2移X(_;1=彳2+\2_孙=],设了+'=/,贝|]'=/一%,得_¥2+«_》)2__¥(/_工)_]=0,
所以3d-3fx+产-1=0,因为方程3/-3及+产-1=0有解,所以A=9产一12(产一1)20,
即-3r+1220,解得所以x+y的最大值为2.
故选:B.
10.B
【分析】由圆心C(6o)到直线A3的距离为卜-g|4回1=0和点到直线的距离公式可
得k.
【详解】由犬-2后+丁-1=。,即卜一道了+/=4,半径为2,若|明=2虚,
则圆心C(6,0)到直线48的距离为,4-=74-2=72,
根据点到直线的距离公式可得晚[=应,解得上=々±2,
因为左>0,故左=2+JJ,
VF+1
答案第4页,共15页
11.A
【分析】利用诱导公式、函数y=4sin(ox+0)的图象变换规律,求得变换后所得函数的解析
式,再利用余弦函数的图象的对称性,求得图象的一条对称轴方程.
【详解】函数y=sin(4x+71的图象上的各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所
得图象的函数解析式为『《2》+[;
再将图象向右平移2TT个单位,所得图像的函数解析式为:
令2x=k7t,kwZ,可解得函数对称轴方程为x=当左=-1时,可得图象的一条对
称轴方程为
故选:A.
12.A
【分析】根据已知条件构造函数,根据函数单调性建立不等式判断.
【详解】XG(O,^),1.sinx>0,cos%〉0,
f(x)>fr(x)tanx,f(x)-fr(x)tanx>0,
二./(%)cosx>f\x)sinx,即(x)sinx-/(x)cosx<0,
构造函数g(尤)=幺2,贝Ug'(无)=''(x)smx=/(尤)8sx<(),
smxsinx
77
函数g(x)在Xe(0,-)上单调递减,
/(-)/(-)
故g([)>,即T>T,即隹〃[)〉/©),故A正确;
6sin工sin三63
63
答案第5页,共15页
/(1)吗)
同理,g(l)>,即sinl,故B错误;
71
sinlsin—
3
同理,,即出心,即⑸(7)>/(?),故c错误;
I.冗.兀
sin—sin—
64
6)/(-)
同理,〉,即-4>T,即后(£)>⑸(1),故D错误.
sin—sin-43
43
故选:A.
13.当
【分析】化简函数/(x)=sin尤-sir?%,令sinx=,且,则y=g«)=l-r,求得g'«),
得出函数的单调性,结合单调性与极值,即可求解.
[详解】由题意,函数/(%)=sinxcos2x=sin尤(1一sir?x1=sinx-sin3x,
令sinx=,且则y=g(t)=t-t3,
从而g'(f)=l_3/=(l_")(l+"),令g'(f)=0,解得或q=¥,
当-1</<一1时,g'(/)<。;当-¥々<¥时,g'⑺>。;
当¥<,<1时,g'⑺<。,
所以g⑺在(T-当上单调递减;在卜字⑦上单调递增;在[争卜单调递减.
因为g(-l)=。,g串=半,所以〃尤)的最大值为手.
故答案为:手.
14.②
【分析】利用三视图的性质逐一分析即可.
【详解】若俯视图是四边形,则此四边形也是边长为1的正方形,
即几何体是棱长为1的正方体,其体积为1,不合题意;
若俯视图是扇形或圆,则体积值中含兀,所以俯视图不会是扇形或圆;
若俯视图是锐角三角形或钝角三角形,
答案第6页,共15页
则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线,
所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形;
若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形,
则此几何体体积为gxlxlxl=g,且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形.
故这个几何体的俯视图可能是②.
故答案为:②.
15.9
【解析】设椭圆的右焦点为月(1,。),再利用数形结合分析求解.
设椭圆的右焦点为月(1,0),
\PA\+\PF\=|PA|+2a-|P4=4+1P4144+14月|=4+7(-3-1)2+32=9.
故答案为:9
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有:(1)函数法;(2)数形结合
法;(3)导数法;(4)基本不等式法.要根据已知条件,灵活选择方法求解.
441
16.
64
【分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比,然后将结论表示出来,最后利用换元法结
合基本不等式求最小值,注意取最小值时等号要成立.
【详解】解:由题意:4%=。2%=4,又由出+%=5,又各项均为正数且公比。<4<1,
211
.•・。2=4,“4=1,故9=—=:,故㈤=8,q=—•
%42
答案第7页,共15页
a.(l-an]「(iv"])
24-",S“='-------^=16x1--=16-24".
If⑵
令.=2**-"e⑵,2?,2,1,2-、……},
则⑸+|)[.37237=37?37_
2an2t2St2St2
当且仅当/=317>8时取等号,显然不成立,
5
(S+—V9441
所以当”=1时,即t=8时,不等式取最小值:k12.
2q-64
441
故答案为:――•
64
【点睛】本题考查等比数列的性质,考查等比数列的通项公式和前"项和公式,考查用基本
不等式求最值,求最值时要注意等号成立的条件也就是“要取正整数.
17.(1)-;(2)
32
【分析】(1)由2Z?cos5=〃cosC+ccosA,利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin5cos5
=sin(A+C),再根据诱导公式化简可得cos3=;,结合(0,兀)可得角5的大小.
(2)由余弦定理求得cos。的值,可得。的值,利用三角形内角和公式求得A的值,再利
用正弦定理求得AB的值,从而求得482。sinA的值.
【详解】(1),**2/?cosB=dicosC+ccosA,
・••根据正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,
即2sinBcosB=sin(A+C).
又••・△ABC中,sin(A+C)=sin(180。-3)=sinB>0
/.2sinBcosB=sinB,两边约去sinB得2cos3=1,即cosB=g,
VBe(0,兀),
(2):在AACD中,AD=2,且AC=#,CD=&1,
答案第8页,共15页
函2+(遥-1)2-43
由余弦定理可得:…2限51)F
5%
-B-C——
12
,ACAB
由----=-----可得
sinBsinC
.\AB=2,
_i—.〃〃i—/.〃儿儿.儿、
:.SABC=-ABACsinA=-2'sin(—F)=,6*(sin—cos—+COS—sin—)
A22464646
=V6•也+红)=2L
442
【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角
化边”;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关
系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想
求最值.
1T
18.(I)见解析(II)
【分析】(I)由已知结合面面垂直的性质可得ABJLD/,在梯形ADEF中,求解三角形得
AF±FD,再由线面垂直的判定可得平面ABF,进一步得到平面AB/F平面CD尸;
(II)以A为坐标原点,分别以4。所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,求出平
面CDE的一个法向量,再求出AF的坐标,由AF与平面CDE的法向量所成角的余弦值可
得直线与平面CDE所成角的大小.
【详解】(I)证明:•••梯形TIDEF,底面ABCD,且梯形ADEP底面ABCZ)=M),
又
/平面
:.AB±DF,
在梯形AOEF中,过尸作尸GLAD,垂足为G,
设AD=2,可得AE=EP=OE=:AO=1,
则AG=—,GF=>
22
答案第9页,共15页
2
FD1=FG2+GD2=
则江+如2=4£>2,
即AF_L,
又ABAF=A,且AB,AFu平面A5F,
:.FD±^ABF,
而FDu平面CDF,
,平面ABF±平面CDF;
(ID解:以A为坐标原点,分别以AB,A。所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,
则4(0,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E0,1,^,DC=(2,0,0),
im(Jtur(i
DE=0,--,^-,AF^0,不一,
2222
设平面CDE的一个法向量为"=(尤,y,z),
n-DC=2x=0
n•DE=—y+z=0
22
取z=l,得〃=仅,也,1).
I/皿i\|AFn
设直线Ab与平面CDE所成角的大小为夕,则sme=kos(AR〃,二
AFAZ1^2~~2
即直线AF与平面CZ)£所成角的大小为三IT.
【点睛】本题考查了面面垂直的问题,证明面面垂直时,一定要根据面面垂直的判定定理进
行逻辑推理;本题还考查了线面所成角的问题,常见方法是借助向量工具进行求解.
答案第10页,共15页
21
【分析】(1)由题意知,甲击中目标的概率为:,未击中目标的概率为:,甲射击4次,相
当于4次独立重复试验,根据独立重复试验的概率公式,即可求出至多1次未击中目标的概
率;
(2)两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次,表示相互独立的两个
事件同时发生,写出两个事件的概率,根据相互独立事件的概率公式得到结果;
(3)乙恰好射击5次后,被中止射击,表示乙必须在第4、第5次没有射中,第3次射中,
在第1、第2次射击中至少射中一次,根据相互独立事件同时发生的概率得到结果.
【详解】(1)由题可知,每次射击是否击中目标,相互之间没有影响,
91
甲击中目标的概率为:,未击中目标的概率为
甲射击4次,相当于4次独立重复试验,
设“至多1次未击中目标”为事件4,
则概率为:尸(4)=停)+以・0仔)=印
31
(2)根据题意,乙击中目标的概率为未击中目标的概率为:,
记“甲射击4次,恰好击中目标2次”为事件为,
“乙射击4次,恰好击中目标3次为事件2,
P(A)=C:(|)2(I-|)4-2=^,
3
P(B2)=C:(|)(l-|r=|Z.
由于甲、乙射击相互独立,
Q271
故尸(48)=尸(4).尸电)=万X热.,
22/04o
即两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为1
O
(3)根据题意,可知连续2次未击中目标,则停止射击,
记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件4,
由于乙恰好射击5次后被中止射击,
则乙必须在第4、第5次没有射中,第3次射中,在第1、第2次射击中至少射中一次,
答案第11页,共15页
所以概率为:尸(以)=1-(£|=凝
【点睛】本题考查独立重复事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率,考查计算能力.
20.(1)/?sin0=^3/?cos0-3;4y2+3x2=12(2)1
【解析】(1)直线的直角坐标方程为y=3,根据极坐标公式得到答案.
2412
(2)直线/的参数方程为<代入椭圆方程得至l"+%2=—W,
y乌
2
|正叫+|尸2=,-修,计算得到答案.
x-V3Z,
【详解】(1)直线/的参数方程为<a为参数),转换为直角坐标方程为)二底-3
y=3t—
转换为极坐标方程为夕sine=gpcos6-3.
222
曲线。的极坐标方程为3"+psin6=12.转换为直角坐标方程为4/+3x=12.
'1I
X=1H--1
2
(2)把直线/的参数方程转换为标准式为厂a为参数),
Iy=2t
4I?
代入4丁+3/=12,得到:5/+今—12=0,所以%+,2=-1,能二一(,
所以|PM|+|PN|=17=Jd+j-4%=].
【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程的转化,直线的参数方程求弦长,意在考查学生
的计算能力和应用能力.
21.(l)4x+y-l=0
⑵(TO)
【分析】(1)求导,得到广⑴=T,利用导函数几何意义求出切线方程;
(2)求定义域,求导,分aW-1,a>-l两种情况,结合函数单调性,得到要满足函数/'(X)
有2个零点,只需21n(。+1)+号<0,构造函数g(尤)=21n(x+I)+昌,求
c/IJ..A-I1
导,得到其单调性,求出实数。的取值范围.
答案第12页,共15页
【详解】(1)当a=l时,/(x)=21nx-2x2-2x+l,
f(x)=--4x-2,广⑴=2-4-2=T,/(1)=-2-2+1=-3,
x
所以函数/⑺在点(1]⑴)处的切线方程为y+3=T(x—1),即4%+y-1=0;
(2)函数/(%)的定义域为(0,+e),
,、2,、—2「(〃+l)x—+
1(x)=—2(〃+1)x-2〃=——---------------,
当aW-1时,制勾>0恒成立,”可单调递增,所以"%)不可能有2个零点;
当4>一1时,当0<x<£时,制勾>0,/(X)单调递增,
当x>占时,7'(尤)〃尤)单调递减,
当了30时,/(x)-^-oo,当龙f+8时,/(%)->-co,
所以要满足函数〃尤)有2个零点,只需
BP21n——-(4+1)[」一]-2分」-+1>0,
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整理得21ng+1)
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