2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测数学试卷10（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷10数学一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由题意得.故选：C2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗对于A，函数在上递减，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，又函数在单调递增，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；对于D，函数，因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.故选：B.3．随机变量X服从正态分布，若，则（

）A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36〖答案〗A〖解析〗∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：A.4．6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．120种〖答案〗B〖解析〗依题意，第一步，从6名老师中随机抽去1名去甲校，有种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名去乙校，有种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有种方法；总共有种方法；故选：B.5．已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为〖答案〗B〖解析〗因为，所以最小正周期为,最小值为.故选：B.6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.7．已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．〖答案〗A〖解析〗

由题知，双曲线的渐近线为，得，，，，，故选：A.8．设，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设，则，当时，故在上单调递减，所以，即，所以，所以；设，则，当时，，故在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以.故选：B.二、多选题9．已知复数，则下列选项正确的是（

）A．z的虚部为1B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第一象限〖答案〗AC〖解析〗，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确；在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；故选：AC．10．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数〖答案〗ABD〖解析〗对A，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对.故选：ABD.11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（

）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点〖答案〗D〖解析〗因为平面ABCD，平面ABCD，则，取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，则，且，于是四边形是平行四边形，，在正方形中，，则，因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，有，所以，A正确；因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面ABN，B正确；取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.故选：D12．已知，是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段的中点，则（

）．A．C的准线为B．当直线的斜率k存在时，C．当A，B，F三点共线时，D．当直线过点时，〖答案〗BCD〖解析〗抛物线的准线方程为，A错误；因为点，在抛物线上，所以，所以，若直线的斜率k存在，则，B正确；当A，B，F三点共线时，，C正确；若直线过点时且斜率为，则其方程为，直线与抛物线只有一交点，与条件矛盾，所以设直线的方程为，联立，消可得，方程的判别式，所以，设点的坐标为，，，所以，，所以，所以，D正确；故选：BCD.

三、填空题13．若，，则______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以．故〖答案〗为：．14．已知向量，夹角为，且，；则______．〖答案〗〖解析〗∵，∴==10，代入数据可得4×1+4×1××+=10，化简可得+﹣6=0，解得=，或﹣3（负数舍去）故〖答案〗为15．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.〖答案〗.〖解析〗因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，所以直线的斜率为；又因为是圆的一条弦，为的中点，所以，故，即直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故〖答案〗为16．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为______________〖答案〗2019〖解析〗等差数列的公差设为，若，则，，所以公差，，即，，即，可得，即数列递减，且，，，，，，，则，由，要使取最大值，可得取得最小值，显然，而，可得时，取得最小值，故〖答案〗为：．四、解答题17．已知数列的前项和为，满足.（1）求的值，并求数列的通项公式.（2）令，求数列的前项和.解：（1），当时，；当时，，，，，又（2）由（1）得，，，，18．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足，D是AC边上的点且，．（1）求；（2）求的最小值．解：（1）由余弦定理可知，，由于，所以.（2）由于，则，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，故，即19．如图，已知，，，平面⊥平面，，，F为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：取AC中点G，连接FG，BG．因为F为AD的中点，所以∥，．又由题意知，所以，则四边形BEFG平行四边形，所以．因为平面BCDE⊥平面ABC，平面平面ABC＝BC，面BCDE，∠DCB＝90°，所以DC⊥平面ABC．又平面ABC，所以DC⊥BG．又AB＝BC，G为AC的中点，所以AC⊥BG．因为面ACD，面ACD，所以BG⊥平面ACD．前面已证∥，所以EF⊥平面ACD．（2）解：由（1）知BE⊥平面ABC．因为AB⊥BC．BE//CD．所以AB，BC，BE两两垂直．以点B原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则，，，，．设平面ABD法向量为，则，所以，取z＝1，则．设平面ACE的法向量为，则，所以，令，则．所以，即平面ACE与平面ABD所成锐二面角的余弦值为．20．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，则，，，，故X的分布列为X0123P.21．已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．解：（1）由题意可得，∴由题意可得且，解得，，∴椭圆的方程为：．（2）解法1：由（1）可得，当直线没有斜率时，设方程为：，则，此时，化简得：又，解得或（舍去），此时P到直线l的距离为设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，，且，，，整理可得：，整理可得，整理可得，即，或，若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，由于∴点P到直线l距离的最大值．解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，，，，等式两边同时除以，，，，，过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，由于∴点P到直线l距离的最大值．22．设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.（1）解：由①时，由，令，解得，所以时，时，，则在单调递增，在单调递减；②时，由，（i）时，因为，则在单调递增，（ii）时，，解得或，所以时，时，，则在，上单调递增，在单调递减；（iii）时，由，所以时，时，，则在，上单调递增，在单调递减；综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）证明：根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点，由为的零点，则，则，故，若，由（1）可知，则；若，则，故，化简得，即，故当且仅当，即时等号成立，即，故，当且仅当时取等号，综上，恒成立.2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷10数学一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由题意得.故选：C2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗对于A，函数在上递减，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，又函数在单调递增，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；对于D，函数，因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.故选：B.3．随机变量X服从正态分布，若，则（

）A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36〖答案〗A〖解析〗∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：A.4．6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．120种〖答案〗B〖解析〗依题意，第一步，从6名老师中随机抽去1名去甲校，有种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名去乙校，有种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有种方法；总共有种方法；故选：B.5．已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为〖答案〗B〖解析〗因为，所以最小正周期为,最小值为.故选：B.6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.7．已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．〖答案〗A〖解析〗

由题知，双曲线的渐近线为，得，，，，，故选：A.8．设，，，则（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设，则，当时，故在上单调递减，所以，即，所以，所以；设，则，当时，，故在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以.故选：B.二、多选题9．已知复数，则下列选项正确的是（

）A．z的虚部为1B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第一象限〖答案〗AC〖解析〗，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确；在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；故选：AC．10．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（）A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数〖答案〗ABD〖解析〗对A，，故A对；对B，，，故B对；对C，因为甲、乙平均值都为，所以，，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；对D，为整数，故甲的60百分位数，乙的60百分位数为，故D对.故选：ABD.11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（

）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点〖答案〗D〖解析〗因为平面ABCD，平面ABCD，则，取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，则，且，于是四边形是平行四边形，，在正方形中，，则，因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，有，所以，A正确；因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面ABN，B正确；取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.故选：D12．已知，是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段的中点，则（

）．A．C的准线为B．当直线的斜率k存在时，C．当A，B，F三点共线时，D．当直线过点时，〖答案〗BCD〖解析〗抛物线的准线方程为，A错误；因为点，在抛物线上，所以，所以，若直线的斜率k存在，则，B正确；当A，B，F三点共线时，，C正确；若直线过点时且斜率为，则其方程为，直线与抛物线只有一交点，与条件矛盾，所以设直线的方程为，联立，消可得，方程的判别式，所以，设点的坐标为，，，所以，，所以，所以，D正确；故选：BCD.

三、填空题13．若，，则______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以．故〖答案〗为：．14．已知向量，夹角为，且，；则______．〖答案〗〖解析〗∵，∴==10，代入数据可得4×1+4×1××+=10，化简可得+﹣6=0，解得=，或﹣3（负数舍去）故〖答案〗为15．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.〖答案〗.〖解析〗因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，所以直线的斜率为；又因为是圆的一条弦，为的中点，所以，故，即直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故〖答案〗为16．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为______________〖答案〗2019〖解析〗等差数列的公差设为，若，则，，所以公差，，即，，即，可得，即数列递减，且，，，，，，，则，由，要使取最大值，可得取得最小值，显然，而，可得时，取得最小值，故〖答案〗为：．四、解答题17．已知数列的前项和为，满足.（1）求的值，并求数列的通项公式.（2）令，求数列的前项和.解：（1），当时，；当时，，，，，又（2）由（1）得，，，，18．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足，D是AC边上的点且，．（1）求；（2）求的最小值．解：（1）由余弦定理可知，，由于，所以.（2）由于，则，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，故，即19．如图，已知，，，平面⊥平面，，，F为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（1）证明：取AC中点G，连接FG，BG．因为F为AD的中点，所以∥，．又由题意知，所以，则四边形BEFG平行四边形，所以．因为平面BCDE⊥平面ABC，平面平面ABC＝BC，面BCDE，∠DCB＝90°，所以DC⊥平面ABC．又平面ABC，所以DC⊥BG．又AB＝BC，G为AC的中点，所以AC⊥BG．因为面ACD，面ACD，所以BG⊥平面ACD．前面已证∥，所以EF⊥平面ACD．（2）解：由（1）知BE⊥平面ABC．因为AB⊥BC．BE//CD．所以AB，BC，BE两两垂直．以点B原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则，，，，．设平面ABD法向量为，则，所以，取z＝1，则．设平面ACE的法向量为，则，所以，令，则．所以，即平面ACE与平面ABD所成锐二面角的余弦值为．20．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930，所以