广东省深圳市龙岗区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案及解析）

2022-2023学年第一学期期末质量监测试题

九年级数学

注意事项：

1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准

考证号、考室和座位号；

2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6、本学科试卷共22题，考试时量90分钟，满分100分.

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一

个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）

1.下列四个几何体中，左视图为圆的是（）

2.如图，在矩形A3CD中，已知人£，应）于E,ZBDC=60°,BE=1＞则A3的长为（）

A.3B.2C.2A/3D.拒

3.如图，在Rt/VLBC中，己知NC=90°,AC=1,BC=2,则sinB的值是（）

4.如图，已知直线人〃/2〃/3,直线AC分别与直线人，h,b,交于A、B、C三点，直线DE分别与直线

h,h,/3交于。、E、F三点,AC与。尸交于点。，若BC=2AO=2OB,OD=1.则OP的长是（）

A.1B.2C.3D.4

5.一元二次方程_?-5x+5=0的根的情况为（）

A.无实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.不能判定

6.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合

这一结果的实验最有可能的是（）

实验次数10020030050080010002000

频率03650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5

C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

D.抛一枚硬币，出现反面的概率

7.如图，在平面直角坐标系中，已知4（150）,0（450）,ABC与一QEF位似,原点。是位似中心.若

C（l,3）,则点F坐标是（）

A.（2,6）B.（2.5,4.5）C.（3,9）D,（4,8）

8.如图，把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿

虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为GOOCH?,设剪去小正方形的

边长为xcm,则所列方程正确的为（）

A(30—2x)(40—2x)=600B.(30+2x)(40+2x)=600

C.30x40-2x30%-2x40%=600D.30x40+2x30x+2x40%=600

9.已知二次函数丁=。必+2工—3,则该函数的图象可能为（）

10.如图，在菱形A3CD中，过点C分别作AB边上的高CE,CF,连接B尸交CE于点G,若点

FG

E是A5的中点，则一史=（）

CG

111

A.-B.-C.1

453

二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）

H.已知色=2,则一口的值为

23〃+b

12.计算：tan45°+cos45°=.

13.若加、〃是方程％2_4%+3=o的两根，则相〃的值为.

14.如图，A是反比例函数乂=——(x<0)图象上一点，8是反比例函数%=人(%>。)图象上一点，连接

XX

15.如图，在正方形A3CD中，A3=6,E是的中点，尸是CD边上一点，将/XCEF沿ER折叠得

到△GEF,连接CG并延长分别交所，AB于。，H两点，若G是。”的中点，则.

三、解答题(本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题6分，19题8分，20题9

分，21题10分，22题10分，共55分)

16.解方程：2x(x+l)=%+1.

17.某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团

员，其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.

(1)随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是;

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的

概率.

18.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下,

分别测得该建筑物06的影长OC为16米，的影长0。为20米，小明的影长FG为2.4米，其中0、

C、。、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且EF工FG.已知小明的身

高EF为L8米.

（1）求建筑物。2的高度；

（2）求旗杆的高AB.

19.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,AD//BC,AC平分/DW,连接3D交AC于点。，

过点C作CE1交A3延长线于点E.

（1）求证：四边形A3CD为菱形；

（2）若。4=4,08=3,求C石的长.

20.某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售

500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天

销量可增加50千克.

（1）直接写出工厂每天利润y元与每千克降价无元之间的函数关系式（要求化为一般式）；

（2）若工厂每天利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？

（3）当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？

21.杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力x阻力臂=动力x动力臂，如图1,即

F[XL、=5x4），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）.制作方法如下:

第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）,确定支点。，并用细麻绳固定，在支点

。左侧10cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤坨.（备

注：秤钩与称坨绳长的重量忽略不计）

（1）图2中，把重物挂在秤钩上，秤蛇挂在支点。右侧的8处，秤杆平衡，就能称得重物的质量.当重

物的质量变化时，的长度随之变化.设重物的质量为xkg,的长为ycm.则y关于龙的函数解析

式是:若。<y<50,则x的取值范围是.

(2)调换秤坨与重物的位置，把秤蛇挂在秤钩上，重物挂在支点。右侧的8处，使秤杆平衡，如图3.设

重物的质量为xkg,。3的长为ycm.完成下列问题：

①V关于》的函数解析式是；

②完成下表：

x/kg0.250.5124

V/cm—————

③在直角坐标系中画出该函数的图象.

22.【探究发现】如图1,正方形A3CD的对角线交于点。，E是边上一点，作交A3于

点、F.学习小队发现，不论点E在A。边上运动过程中，"OE与恒全等，请你证明这个结论；

【类比迁移】如图2,矩形A3CD的对角线交于点。，ZABD=30°,E是54延长线上一点，将OE绕

点。逆时针旋转60°得到CE,点斤恰好落在DA的延长线上，求一的值；

AF

【拓展提升】如图3,等腰二A3C中，AB=AC,44C=120。，BC=i2,点E是边上一点，

以BE为边在的上方作等边△5EE,连接。尸，取C尸的中点M,连接40,当AM=近时，直

接写出班;的长.

图3

2022-2023学年第一学期期末质量监测试题

九年级数学

注意事项：

1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码

上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6、本学科试卷共22题，考试时量90分钟，满分100分.

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选

项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）

1.下列四个几何体中，左视图为圆的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图的法则可得出答案.

【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图，

A.球的左视图是圆，

B.圆柱的左视图是长方形，

C.圆锥的左视图是等腰三角形，

D.圆台的左视图是等腰梯形，

故符合题意的选项是A.

【点睛】错因分析较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.

2.如图，在矩形A3CD中，己知人石_1_皮＞于E，ZBDC=60°,BE=1,则A3的长

为（）

AD

B

A.3B.2C.2石D.£

【答案】B

【解析】

【分析】根据矩形的性质可得/ABQ=60°，因为AELBD，所以NS4E=30。，再根据

直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案.

【详解】解：四边形ABCD为矩形，ZBDC=60°,

ZABD=6Q°,

AELBD,

:.ZBAE=30°,

.-.AB=2,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的

关键.

3.如图，在Rt/XABC中，已知NC=90°,AC=1,BC=2,贝UsinB的值是（）

「A/52A/5

D.

5r

【答案】c

【解析】

【分析】根据勾股定理可得AB=际，再根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，即可

得到答案.

【详解】解：AB=y1AC2+BC2=>/5-

2=工4=互

AB加5

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜

边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边.

4.如图，已知直线/1〃/2〃/3,直线AC分别与直线/1,12,h,交于A、B、C三点，直线

。尸分别与直线/i,b,/3交于。、E、F三点,AC与。尸交于点。，BC=2AO=2OB,

00=1.则。尸的长是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.

【详解】:BC=2AO=2OB,

：.OC=3AO,

:直线li//h//k,

.AOOP

"'OC~'OF'

•AO_OD_1

"OC~OF~3）

：.0F^3,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是分清楚对应线段.

5.一元二次方程炉-5*+5=0的根的情况为（）

A.无实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.不能判定

【答案】B

【解析】

【分析】利用判别式A=^-4ac，判断其结果的符号即可得出结论.

【详解】解：A=/?2-4«c=（-5）2-4xlx5=5>0,

二.炉—5x+5=0有两个不相等的实数根，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式A〉。

时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键.

6.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下

的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

实验次数10020030050080010002000

频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B,抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5

C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

D.抛一枚硬币，出现反面的概率

【答案】C

【解析】

【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的

概率，然后进行判断.

【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的

概率为上，不符合题意；

4

B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为,，不符合题意；

C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是工，符合题意；

3

D、抛一枚硬币，出现反面的概率为不符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位

置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋

势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知4（150）,0（450）,_ABC与①EF位似,原点

。是位似中心.若C（l，3）,则点F坐标是（）

A.（2,6）B.（2.54.5）C.（3,9）D.（4,8）

【答案】C

【解析】

【分析】根据位似图形的性质得出求出生=*=」，根据位似变换的性质计算，得到答

OFOD3

案.

【详解】解：•••A（L5,0）,D（4.5,0）,

••・04=1.5,8=4.5,

：_ABC与位似，

,PCOA1

"OFOD~3,

/.A3C与」无反的位似比为1：3,

...点C（l，3）,

点的坐标为（lx3,3x3）,

即歹点的坐标为（3,9）,

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出

ABC与JJEF的位似比是解题的关键.

8.如图，把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后

把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积

为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则所列方程正确的为（）

A.(30—2X)(40—2%)=600B.(30+2%)(40+2%)=600

C.30x40-2x30%-2x40%=600D.30x40+2x30x+2x40x=600

【答案】A

【解析】

【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为（40—2x）cm,宽为（30—2x）cm,然后问题可

求解.

【详解】解：设剪去小正方形的边长为xcm,

则由题意可列方程为（30-2x）（40-2x）=600,

故选A.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

9.已知二次函数y=。必+2苫—3,则该函数的图象可能为（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据c=—3<0,可排除A、C两项，再分别讨论。<0和a>0时，对称轴的位置

即可判断出答案.

【详解】解：c=-3<0,

所以可排除A、C两个选项，

b

当a>0时，对称轴％=---<0,故B选项不符合题意，

2a

b

当时，对称轴x=----->0,故D选项符合题意，

2a

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关

键.

10.如图，在菱形A3CZ）中，过点C分别作A3,边上的高CE,CF,连接互交

EG

CE于点G,若点E是AB的中点，则——=（）

CG

111

A.-B.-C.一

453

【答案】A

【解析】

【分析】作EH，CE交CE于H,可证得"FCdBEC(AAS),又通过平行和角度关

「力FHTIC1

系可得.DFCs.CHF,即——=——和..EBGsBEG,即——=——，设

CFFHBEEG

BE=x,则=5E=x,CD=AB=BC=2x,CF=CE=6x,根据比例关系即

可求出一EG£的值.

CG

【详解】解：如图所示：作FHLCE交CE于H,

ND=NEBC,ZDFC=ZBEC=90°,CD=BC,

DFCgBEC(AAS),

:.BE=DF,CF=CE,NDCF=NBCE,

AD//BC,CFLAD,

:.ZFCB^90°,

同理：ZDCE=90°

ZFCE+ZDCF=90°,ZD+ZDCF=90°,

:.ZD=ZFCE,

FHLCE,

DFCs：CHF,

CD_CF

一市一丽’

设BE=x,则DF=BE=x，CD=AB—BC=2x,CF=CE=yf3x，

2xA/3X

——------，

瓜FH

:.FH=-x,

2

:.CH=~x，

2

FHLCE,CELAB,

FHG^BEG,

3

.FH_HG_2X，

"BE~EG~x

HE=CE-CH=—x，

2

-,HG=^-X,GE=—X，

105

昱

.EG_1

''CG_8A/3-4）

-----x

10

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质及应用，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，找出边

之间的比例关系是解题的关键.

二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答

题卡上）

11.已知：=则一二的值为_____.

23a+b

2

【答案】j##0.4

【解析】

【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可.

详解】解：设2=2=左，

23

：.a=2k,b=3k,

.a_2k2k2

a+b2k+3k5k5

故答案为：—■

【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键.

12.计算：tan45°+Ccos45°=.

【答案】2.

【解析】

【分析】要想解得此题要熟知三角函数的正切，与余弦函数的特殊角的函数值，

【详解】解：：tan45°=l,cos45°=YZ,

2

:.原式=1+立~义6=2.

2

【点睛】本题考查了三角函数特殊角的值.本题不难，属于基础题，只要熟知各特殊角的

三角函数值就可求之.

13.若相、”是方程％2_4彳+3=0的两根，则相〃的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案.

【详解】解：加、“是方程V—4工+3=0的两根，

mn=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关

系是解题的关键.

14.如图，A是反比例函数%=——(％<0)图象上一点，3是反比例函数%=人(%>。)图

XX

象上一点，连接交y轴于点C,若AC=3C,SAAOB=3,则左=.

【解析】

【分析】作AD，y轴于点。，BELy于点E,可证得.ADC^BEC(AAS),从而将

SAOB转化为SAOD+SBOE,设A〔a,j,则a,—-),再根据面积公式列出等式

:.ADC^_BEC(AAS),

AD=BE,S^OB—SAOD+Sboe,

设—j,则5(—a,——

Ia)Ia

解得：％=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，作出辅助线，根据面积公式列出等式是

解题的关键.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=6,£是的中点，尸是CD边上一点，将

△CEF沿斯折叠得到△GEF,连接CG并延长分别交上F，AB于。，》两点，若G是

O”的中点，则CE=.

【答案】3亚

【解析】

【分析】先求出？390?,。石=3e=工43=3由折叠的性质知所垂直平分。3,得到

2

OG=OC,ZCOE=90°,得到OG=G"=OC=L",设OC=X,则CH=3X,证

3

明"OEsACBH,求得CO=庭,进一步得到生=也，即可得到答案.

CF3

【详解】解：；四边形ABCD是正方形，

:B90?,

VAB=6,E是的中点，

/.CE=BE=-AB=3,

2

,/ACEF沿EF折叠得到AGEF,

：.E/垂直平分CG,

：.OG=OC,ZCOE=90°

；G是O”的中点，

OG=GH,

：.OG=GH=OC=-CH,

3

设OC=x,则CW=3x,

■:/COE=ZB=90。，ZOCE=ZBCH,

ACOEsACBH,

.CO_CE

x_3

•t•一,

63x

X=\/6，

•••co=&,

OE=yjCE1-CO1=A/3，

../s_OE_布

••sinNOC£==—,

CE3

•••ZCFO+ZOCF=ZOCE+ZOCF=90°,

ZCFO=ZOCE,

•••sinZCFO=sinZOCE-

CF3

，CF=s/3OC=百义遍=3近，

故答案为：3行

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识,

熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键.

三、解答题(本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题6分，19题8

分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分)

16.解方程：2x(x+l)=x+l.

【答案】x=-l或x=05

【解析】

【分析】移项后提取公因式x+1后求解可得

【详解】•••2x(x+l)=x+l.

2x(x+1)-(x+1)=0,

(x+1)(2x-l)=0,

则x+l=0或2x-l=0,

解得：x=-l或x=0.5.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的

关键.

17.某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，

其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.

(1)随机抽取1人，甲恰好被抽中的概率是;

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士

都是共产党员的概率.

3

【答案】(1)-

4

⑵I

【解析】

【分析】(1)根据随机事件的定义即可解决问题；

(2)从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是

共产党员用G表示.从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后

利用树状图即可解决问题.

小问1详解】

解：若从四个人中随机抽取一人，共有四种可能：团员、党员、党员、党员，抽到党员的

3

概率心员

3

故答案为：—.

4

【小问2详解】

解：如图，

第一次团党党党

/N/N/N/N

第一次党党党团党党团党党团党党

共有：团党、团党、团党、党团、党党、党党、党团、党党、党党、党团、党党、党党十二种可能,

共有：团党、团党、团党、党团、党党、党党、党团、党党、党党、党团、党党、党党十

二种可能，所以两名护士都是党员的概率为：—

122

答：随机抽取2人，被抽到的两名护士恰好都是党员的概率为

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件.解决本题的关键是掌握

列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事

件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，

他们在阳光下，分别测得该建筑物08的影长0c为16米，Q4的影长0。为20米，小明

的影长FG为2.4米，其中。、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、。三点在同一直线

上，且49，。。，EFVFG.已知小明的身高EF为1.8米.

GD

（1）求建筑物的高度；

（2）求旗杆的高A3.

【答案】（1）12米（2）3米

【解析】

【分析】（1）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出ABOC^AEFG,—=—,

EFFG

然后代入求解即可；

（2）根据题意利用相似三角形的判定和性质得出,得出

EFFG

AO=15,再结合（1）中结论求解即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：BC〃EG,

：.ZBCO=/EGF,

ZAOD=/EFG=90。,

：.ABOCSAEFG,

.BOOCBO16

••----=-----f即nn----=---f

EFFG1.82.4

50=12米；

【小问2详解】

根据题意得：ADEG,

：.ZADO=ZEGF,

ZAOD=NEFG=90。,

：.AAOD^AEFG,

AOODAO20

..---=----,即m----=----,

EFFG1.82.4

,AO=15米，

由（1）得50=12米，

AAB=AO-BO=15-12=3（米），

...旗杆的高AB是3米.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定.

19.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,AD//BC,AC平分N7MB，连接3D

交AC于点。，过点。作QSIAB交A3延长线于点E.

D

A

（1）求证：四边形A3CD为菱形；

（2）若04=4,06=3,求CE的长.

24

【答案】（1）见详解（2）y

【解析】

【分析】（1）由题意可得，四边形A3CD为平行四边形，因为AC平分所以

ZBAC=ZBCA,从而可得A5=5C,即可证明出四边形A3CD为菱形；

（2）菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得A3=5,在根据△AOBS/VIEC,即可

求得上的长.

【小问1详解】

证明：AB//CD,AD//BC,

.1四边形ABCD是平行四边形，ZDAC=ZBCA,

AC平分//MB,

:.ZDAC=ZCAB,

:.ZACB=ZCAB,

AB=CB,

，四边形A3CD是菱形.

【小问2详解】

解：由（1）得，AOLOB,AC=2OA=S,

:.AB=y/o^+OB2=A/42+32=5，

CELAB,ZOAB=ZEAC,

OABsEAC,

OBCE3CE

：.——=——，即an一=——，

ABAC58

故CE的长为：y.

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定定理、三角形相似、勾股定理的应用，熟练的运用

这些定理是解题的关键.

20.某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克

时，每天可销售500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措

施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.

（1）直接写出工厂每天的利润》元与每千克降价x元之间的函数关系式（要求化为一般

式）；

（2）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？

（3）当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？

【答案】⑴y=-50x2+400%+9000

（2）5（3）4,9800

【解析】

【分析】（1）根据利润=销售量义（单价一成本），列出函数关系式即可；

（2）根据（1）求得的函数关系式，当y=9750时，可求出x的值，再根据题意选取x的

值即可；

（3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可.

【小问1详解】

解：由题意得：

y=（48—30—x）（500+50x）

=（18-x）（500+50x）

=—50%2+400x+9000>

丁与x之间的函数关系式为：y=-50x2+400x+9000；

【小问2详解】

解：根据题意可得：y=9750,gp-50x2+400%+9000=9750-

解得：％=3,x2-5,

「让利于民，

，%=3不合题意，舍去，

..尤=5,

故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元；

【小问3详解】

解：由（1）得，丁=—50小+400尤+9000=—50（无一4）2+9800,

-50<0,

二%=4时，y最大,为9800,

所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元.

【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数

的性质解决问题.

21.杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力x阻力臂=动力x动力臂，如图1,即

F[XL、=gx4）,小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图

2）.制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）,确定

支点。，并用细麻绳固定，在支点。左侧10cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第

二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤坨.（备注：秤钩与称坨绳长的重量忽略不计）

«A)n

（1）图2中，把重物挂在秤钩上，秤蛇挂在支点。右侧的8处，秤杆平衡，就能称得重物

的质量.当重物的质量变化时，的长度随之变化.设重物的质量为尤kg,05的长为》

cm.则丫关于x的函数解析式是；若0<><50,则无的取值范围是.

（2）调换秤坨与重物的位置，把秤坨挂在秤钩上，重物挂在支点。右侧的8处，使秤杆

平衡，如图3.设重物的质量为xkg,。3的长为ycm.完成下列问题：

①V关于x的函数解析式是;

②完成下表：

【答案】（1）y=10x,0<x<5

（2）=—；②40,20,10,5,2.5；③画出图如图所示.

X

【解析】

【分析】（I）根据阻力X阻力臂=动力X动力臂即可求出关系式，再根据）的范围即可求得

x的范围；

（2）①根据阻力X阻力臂=动力X动力臂即可求得关系式；②根据①中求得y关于X

的解析式为：y=10x,将尤的值分别取0.25,0.5,1,2,4代入解析式求出y的值即可；③

在图中根据②算出来的坐标值，进行描点连线即可.

【小问1详解】

解：阻力X阻力臂=动力X动力臂，

重物质量XOA=秤石它质量x05,

即x-10=lxy,

>关于x的解析式为：y=10x,

0<y<50,

.,.0<10%<50,

,-.0<x<5,

；•尤的取值范围为：0<x<5.

【小问2详解】

解：①阻力x阻力臂=动力x动力臂，

秤石它质量X重物质量义OB,

即1x10=%•y,

10

V=—，

X

y关于X的函数解析式是：y=—；

X

②当x=0.25时，y=40,

当x=0.5时，y=20,

当x=l时，y=10,

当彳=2时，y=5,

当x=4时