安徽省黄山市2023-2024学年高二年级上册期末质量检测数学试题（解析版）

黄山市2023-2024学年度第一学期期末质量检测

高二数学试题

(考试时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

x->+1=0

1.直线3'的倾斜角等于()

A.30°B.60°C.120°D,150°

【答案】B

【解析】

【分析】利用倾斜角和斜率的关系处理即可.

【详解】化简得y=+显然斜率为若，故倾斜角为60°.

故选：B

2.在空间直角坐标系。孙z中，点"(3,4,-2)在坐标平面2yz内的射影是点N,则点N的坐标为()

A.(0,-4,2)B.(3,4,0)C.(0,4,-2)D.(-3,0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】点在平面2yz内射影是y,z坐标不变，x坐标为o的点.

【详解】点”(3,4,-2)在坐标平面Oyz内的射影是点N(0,4,-2),故点N的坐标是(0,4,-2)

故选：C

3.圆V:(x—2)2+(y—I)?=1与圆N关于直线x—y=0对称，则圆N的方程为()

A.(x+l>+(,+2)2=1B.(x-2)2+(y+l)2=1

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(I)?+—2)2=1

【答案】D

【解析】

【分析】根据对称性求得圆M的圆心和半径，进而求得圆N的方程.

【详解】圆M：(x—2产+(y—1)2=1的圆心为(2,1),半径为1,

第1页/共

(2,1)关于直线x—y=O的对称点是(1,2),

所以圆N的圆心是(1,2),半径是1,

所以圆N的方程为(x—+(y—2>=L

故选：D

4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一

半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起

脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为()

A.48里B.45里C.43里D.40里

【答案】A

【解析】

【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2%里，依此往前推，第一天走的路程为32%里,

根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】设第六天走的路程为尤里，则第五天走的路程为2x里，

依此往前推，第一天走的路程为32x里，

结合题意可得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378,

解得％=6,

则第三天走的路程为8x=8x6=48里.

故选：A.

5.对于常数以〃，是“方程枢F+ny2=l的曲线是椭圆,，的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】运用椭圆方程的一般形式求得相、”的范围，结合两集合的包含关系判断即可.

m>0

【详解】因为“方程如期2=1的曲线是椭圆”，贝|九〉()，

m丰n

m>0m>0

又因为<n>0=>mn>0,但mn〉04<n>Q,

m^nmKn

所以“Hl”>0”是“方程九犬+冲2=i的曲线是椭圆”的必要不充分条件.

第2页/共

故选：B.

6.如图，在正方体ABC。—中，点、E,尸分别是棱8片,。。的中点，则异面直线GE与CF所

成角的余弦值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为求^~即可.

国•同

【详解】以。为原点，DC,。。]所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则G（O，l，l），E,』,g1,C（O,l,O）,«O,O,g

即异面直线C]E与CF所成角的余弦值为;.

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故选：A.

7.已知向量W=(2,4,T),1=(1,2,2)，则向量@在向量匕上的投影向量为()

<122}门22、(244、(244、

A，IjvJB可/JC.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可.

【详解】因为向量1=(2,4,T),%=(1,2,2)，

所以向量匕在向量匕上的投影向量为

a-bb_a-bj_2+8-8..°44)

故选：D

22

8.如图，已知双曲线E：二一二=1(。〉0］〉0)的左顶点为A，。为坐标原点，以A为圆心，R为半径

ab

uunuinnitonuun

的圆与双曲线E的一条渐近线交于P,Q两点，若AP-4Q=——R\OQ=-3OP,则双曲线C的离心率

2

为()

A£R「V21

A.V5B.C.Dn.2、

23

【答案】C

【解析】

【分析】过点A作AMLPQ于点M,求得［0耳=¥尺，则可求得WM，|0叫的值，进而求得

b

tanNMQ4即为渐近线的斜率一，从而求得离心率.

a

【详解】•/AP-AQ=^AP^|AQ|cosZPAQ=R2cosZPAQ=-，

第4页/共

ZPAQ=120,又|AP|=|A@=R,过点A作AM于点M,

在MZ\AMQ中,ZAQM=3Q,\AM\=-R,：.\QM\=^-，|P<2|=^7?,

22

又。Q=—3OP,••.阿=：间|=47?,|。0=乎7?,

：.\OM\=\OQ\-\QM\=^~,

R

AM72J3

tanZMOA=\——\=丫一=—

\OM\y/3R3

4

•.•渐近线方程为y=?x,=2叵

aa3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且公差不为0,若。2+。8=°，则下列说法正确的是（）

A.。5=°B.国〉同

C,数列｛2乐｝是等比数列D.当〃=5时，S”最大

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,由等差数列性质即可判断；对于B,对公差分类讨论即可判断；对于C,由等差等比数列

定义即可判断；对于D,取公差d>0,即可举出反例判断.

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【详解】对于A,因为。2+。8=2%=0，所以。5=0，故A正确；

对于B,若公差d>0,则有<。3<。5=0，若公差d<0，则有％〉%〉%=0，无论如何都有

同>同，故B正确；

对于C,,=2%口=2",其中"是等差数列｛q｝的公差，即数列｛2%｝是等比数列，故C正确；

对于D,取公差d>0,则有6<4<%<%<%=0，此时当〃=5,S.最小，故D错误.

故选：ABC.

10.下列说法正确的是()

A.点4(%,%),是直线/上不同的两点，则直线/可以表示为三江=三工

B.若直线改+2y+2=0与直线x+(a-l)y+l=0平行，则实数。=一1

C.过点(LD且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=-x+2

D,直线hk的斜率分别是方程X2-3X-1=0的两根，则k14

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,根据两点的横坐标，纵坐标是否相等进行讨论，可得答案；对于B,利用直线与直线平

行的性质直接求解，可得答案；对于C,分截距为0和截距不为0两种情况，进行求解，可得答案；对于

D,利用根与系数的关系人•质可进行判断得到答案.

【详解】对于A,当不彳羽，时，由斜率公式，可得二=匹二"，可整理为上也=三三，

X—X[X2-X1y2-V]

当玉=》2时，直线/的方程为X=%；当％=%时，直线/的方程为了=%，故A错误；

对于B,直线依+2y+2=0与直线x+(a-l)y+l=0平行，则a(a-l)=2xl,

解得：<7=2或a=-1,当。=2时，两直线重合，舍去，故。=-1时，两直线平行，B正确；

对于C,当直线在坐标轴上截距为0时，设丁=依，将(LD代入得左=1,此时直线方程为丁=%,

当直线在坐标轴上截距不为0时，设直线方程为二+上=1,把(1,1)代入得工+工=1,解得。=2.

aaaa

此时直线方程为2+2=1,即x+y—2=0,

22

故过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=x和y=-X+2,故C错误；

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对于D,设两直线的斜率分别为勺，42,因为左次2是方程为2-3x-1=0的两根,

所以利用根与系数的关系得匕？左2-1,所以两直线的位置关系是垂直，故D正确.

故选：BD.

11.如图，正方体ABC。—A4G。的棱长为2,E,F,G,”分别是棱AA，A2,4G，CG的中点，点

UULIUUUU人c一

M满足其中2e[0,l]，则下列结论正确的是（）

A.过M,E,尸三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形

B.三棱锥A-MEF的体积为定值

C.当彳=!时，AC//平面

2

D.当4=1时，三棱锥片-外接球的表面积为6兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】当4=0时，点/与点〃重合时，过M,E,尸三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，A

正确；根据GH//平面AD2A,得到点M到平面的距离为定值，可判定B正确；当彳=；时，

因为AC〃石而四a平面MERC错误；由题意点M与点G重合，4所为等腰直角三角形，

4E歹的外接圆半径为厂=；斯，由于尸G,平面4所，由勾股关系可求外接球半径，从而求解，D

正确.

【详解】当2=0时，点加■与点〃重合时，

过M,E,尸三点的平面截正方体所得截面图形为正六边形，

如图：

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G

故A正确；

uuuuuuu

对于B,因为"0=可得点M是线段GH上的一个动点，

又因为正方体ABC。—A4G2中，平面5。。由〃平面ADDi4，G〃u平面BCC[B],

故GH//平面ADD.A,所以点M到平面ADD.A的距离为定值，

而SE%=]，所以三棱锥V"—EF4是定值，又因为％-EFA=%[-MEF，

故三棱锥A-MEF的体积为定值，B正确；

当彳=工时，点/为GH中点，

2

因为AC//EH,而EH(Z平面MEF,

所以AC与平面ME尸不平行，C错误;

当4=1时，点M与点G重合，4M为等腰直角三角形,

则AEP的外接圆半径为厂=：£/=[,

又因/^，平面4石/，

所以三棱锥A—MEF外接球的半径尺2=/+[空]=1+1=-,

(2J22

则R=迈，所以外接球表面积为4兀火2=6兀，D正确.

2

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Z>1G

4

E

4B

故选：ABD

UUUUUUU-c，

【点睛】思路点睛：由条件点M满足"70=/1归6,其中2e[0,l],先可判断点M是线段GH上的一个

动点，再根据力的不同取值确定点M的位置，从而进行研究问题.

12.过抛物线y2=2px（p〉0）的焦点P作直线/与抛物线交于A3两点，且|AF|〉|BF|,则下列说法正

确的是（）

A.直线。4,03的斜率之积为定值

B.直线/交抛物线的准线于点C,若匿=32尸下，则直线/的斜率为2夜

C.若|AF|=4,NOE4=120。，则抛物线的准线方程为x=—1

D,直线A0交抛物线的准线于点。，则直线3£>〃x轴

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A:设直线/：x=my+~|并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项B:利用

BMCFHC,求出|。司=3p,|HC|=―回歼=2贬p，结合斜率公式即可判断；对于选项C：

结合题意可得A1^+2,2君],利用抛物线的定义即可判断；对于选项D:计算点8的纵坐标与点。的纵

坐标，即可判断.

【详解】对于选项A:结合题意：连接。4,03,

易知直线/的斜率不为0,故可设直线/：x=m_y+y,

且设A3两点的坐标分别为（％,%）,（%，%），

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,、x=my-\——,0°

联uj2，可得y-2mpy-p=0,

y2=2px(p>0)

2

所以A=4^2p2+4p2〉0,3+为=2mp,yry2=-p,

/、(、

所以=W1w2+7=疗％为+(x+%)+

k.k=&.&="=_4

所以°A°B—X]x2~p^~.故选项A正确；

T

对于选项B:过点B作BM垂直准线于M,设准线与X轴的交点为H,

\HF\|FC|4

易得BMC切C,因为C2=32F，所以上U=M=Z，

\BM\\BC\3

3

由|上回=〃，由抛物线的定义可知：怛同=怛闾=［。，

所以|CF|=3p,|“C=JCF|2-|HF|2=2①p，

,\HC\242pr-

直线/的斜率为k=tanZ.HFC=；--：=-----=2y2,

|即P

同理结合抛物线的对称性可知：直线/斜率A=±2及，故选项B错误;

对于选项C:过点A作AK垂直x轴于点K,过点A作AE垂直准线于点E,

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因为IAF|=4,ZOFA=120。，所以ZKFA=60°,|FK\=2,\AK\=2y/3,

所以点

结合抛物线的定义可知|Ab|=|AE|=+2+^=4,解得p=2,

故抛物线的准线方程为x=-"=-1,故选项C正确;

2

对于选项D:设43两点的坐标分别为（玉,乂）,（九2，%），

因为点A在抛物线y=2内5〉0）上，所以玉=三，所以点

2P

k°A==2P

所以西才丹,故直线。4的方程为丁=一匕%,

丁弘

2P

2Pp2

y=——冗y=~—(2A

联立％,解得x,所以点。一£,一2—

vPPI2%J

X=X=--

所以点。的纵坐标为-2,

%

-n2…P2

结合选项A可知％%=-p2，所以%=，-，所以点B的纵坐标为----，

%

因为点B的纵坐标与点。的纵坐标相等，所以直线BD//X轴.故选项D正确.

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故选：ACD.

【点睛】方法点睛：

1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点尸的距离都等于点尸到准线的距

离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条性质设计；

2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物线上的点到

准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定义来解题；

3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点尸的坐标就可以用一个变量

进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知椭圆不+方=1（6〉0）一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则/?=.

【答案】4&

【解析】

【分析】先求出抛物线焦点位置，进而确定椭圆焦点位置，后用椭圆基本量的关系求解即可.

【详解】易知在V=8x中，p=4,焦点为（2,0）,

22_

故椭圆土+与=13〉0）的焦点在X轴上，故4+廿=36，解得b=4形.

36b

故答案为：4A/2

14.如图，在三棱锥A—BCD中，AB1平面BOC,ZBDC=90°,AB=8,BD=6,则点3到平面AC。

的距离等于.

【答案】4.8

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【解析】

【分析】设5到平面AC。的距离为〃，利用匕.B8=%-AS，即可求得点B到平面ACD的距离.

【详解】因为AB工平面BOC,所以ABVCD,

又NBDC=90°,则CDLBD,ABc瓦)=5,ABu平面ABD5Du平面ABD

所以CD,平面AB£),ADu平面至D，所以COLA。，

因为43=8,5£>=6,所以AD=10,

所以S=-x6xCD=3CD,所以S,=-xlOxCD=5CD,

，，"一-QUL2rDry

设B到平面ACD的距离为h,因为匕.BC»=VB^ACD，

所以』x3Sx8=』x5a>></2,解得A=4.8,

33

故答案为：4.8

15.已知直线-〃7+1=。，当直线/被圆(无-3>+丁=9截得的弦长最短时，实数优的值为

【答案】2

【解析】

【分析】分析题意找到直线必过的定点，并判断直线与圆的半径垂直，利用点线距离相等建立方程，求解即

可.

【详解】易知圆心为(3,。)，厂=3,而/可化为y=%(x—1)+1,

故/必过(1,1),易得(LD在圆内，即直线/与圆相交,

若直线/被圆("3)2+丁=9截得的弦长最短,

则"a―y—m+1=0与圆的半径必定垂直，设圆心到/的距离为d，

,--------「\3m-m+1\

则d=J(3-l)2+]=>/5,故।/'=’5,解得加=2.

Vm2+1

故答案为：2.

16.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系。孙z中，己知向量

m=(a,b,c),点尺若平面1经过点玲，且以切为法向量，点尸(x,y,z)是平面内的任意一

点，则平面a的方程为a(x-i)+b(y-yo)+c(z-Zo)=O”.现己知平面1的方程为

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X—y+z+l=O,直线/是平面x-y+2=0与平面2x—z+l=o的交线，且直线/的方向向量为

n=(u,v,w),则平面。的一个法向量可以为加=,直线/与平面a所成角的正弦值为

【答案】®.(1,-1,D②.交#上0

33

【解析】

【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可.

【详解】显然平面a的一个法向量可以为冽=(1,-1,1),

易知平面x—y+2=0的法向量为(1,-1,0),平面2x—z+l=0的法向量为(2,0,—1),

且直线/的方向向量为"=(M,V,W),故〃—v=0,2u—w—0,令M=l,

解得V=l,w=2,故"=(1,1,2),设直线/与平面a所成角为历

lxl+(-l)xl+2

则sin6=也

73x76

故答案为：(1,-1,1)；走

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知双曲线C经过点(1,2),且其渐近线方程为岳±y=0.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线y=Ax+l与双曲线C至少有一个交点，求实数人的取值范围.

2

【答案】(1)---X2=1

2

(2)(^o,-l]u[l,+oo)

【解析】

22

【分析】(1)先判断出焦点在y轴上，并设双曲线方程为与-二=1,利用待定系数法求解即可;

a2b2

y=kx+\

(2)联立《y2,消元，借助判别式分类讨论即可.

^--%2=1

I2

第14页/共

【小问1详解】

结合题意可得：点（1,2）在渐近线J%±y=O的上方,

22

双曲线要经过此点，则焦点在y轴上，设双曲线方程为4一二=1,

a2b2

则渐近线方程为丁=土0%=土缶，所以4=收，

bb

/、41

因为双曲线C经过点（1,2）,所以=

，二桓2

所以《b解得《“一、，所以双曲线C的标准方程为匕―k=1.

412

=1b=l

萨一瓦

【小问2详解】

y=kx+\

结合（1）问：联立《y22,可得（女之+2Ax-1=0,

12

当公—2=0时，即左=±行，此时y=±0x+l与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意;

当左2—2w0时，即左w土夜，要使直线丁=履+1与双曲线。至少有一个交点,

则八=（2左/一4（公一2卜（一1）20,解得上W—1或左21,且左#±0.

综上所述：实数人的取值范围为左u[I,”）.

18.己知数列｛4｝满足:4=1，%=2；”+「

（1）求证：数列为等差数列；

49-,

（2）若,出+。3a4+L+a“a”+]＜二。,求满足条件的最大整数”.

【答案】（1）证明见解析

（2）24

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知的递推式可证得结论；

第15页/共

⑵由⑴可求得4，二.’则可得毋…；〔击一击)’然后利用裂项相消法可求得

+。2。3+。3。4+L+anan+l»进而解不等式可求得结果.

【小问1详解】

证明：因为4+1=詈；，

24+1

1____111

a

所以4+in%an

2an+1

2Q„+11

«„an

；2a“+]1L2

an

因为q=l,所以数列|一:是以2为公差，1为首项的为等差数列;

【小问2详解】

解：由(1)得」-=1+2(〃_1)=2“_1,

an

所以4=不」

2n-l

111(11、

所以44M2_n-l2〃+1=；212〃一1Zn+YJP

所以+。2。3+。3。4+L+anan+l

11,

22〃+1

n

2〃+1

由一n^<士4_9,得〃<4=9=24.5,

2n+l1002

因为〃wN*，所以满足条件的最大整数为24.

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19.如图，已知点P(—2,—5)和圆〃：炉+产―4x—6y—3=0.

(1)求以PM为直径的圆N的标准方程；

(2)设圆〃与圆N相交于A,B两点，试判断直线PA依是否为圆M的切线.若是，请求出直线Q4

和依的方程；若不是，请说明理由.

【答案】⑴x2+(y+l)2=20

(2)直线PAP5是圆M的切线，PA:x=-2,PB:3x-4y-14=0

【解析】

【分析】(1)由中点坐标公式两点间距离公式确定圆N的圆心、半径，由此即可得解.

(2)由左N”="液得为圆N的直径，由此即可判断，进一步分圆N的切线斜率是否存在讨论即可求解.

【小问1详解】

圆M:x?+/-4x-6y-3=0即M:(x—2)2+(,—3y=16,所以圆心4(2,3),半径火=4

又P(—2,—5),所以PM中点为N(0,—1),以PM为直径的圆N的半径

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由N(O,—1)，M(2,3),P(-2,-5),得左NM=^1=2,右p=^^=2,

z—u—z—u

所以左NM=左桥，所以PM为圆N的直径，所以跖I‘AP.MB'BP,

即直线PA,总是否为圆M的切线，

过点P(-2,-5)且斜率不存在的直线为1=—2,

而点"(2,3)到直线x=—2的距离满足d=4=R,满足题意，

故直线的方程为尤=-2；

设网的方程为y+5=Zr(x+2),

点”(2,3)到直线y+5=左(x+2)的距离满足d=塔1-4=7?,

\lk~+1

解得左=：,所以收的方程为y+5=j(x+2),即3x—4y—14=0.

20.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁

想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？"，沈括“用刍童(长方台)法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、

棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上

底有4个，下底有cd个，共”层的堆积物(如图)，可以用公式

rjri

S=—[(2"+d)a+S+2d)c]+—(c-a)求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列仍，

66

(«+1)3+1),(«+2)S+2),L,(a+〃—1)3+/7-1)的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公

式.现已知数列｛4｝为二阶等差数列，其通项4=双"+1),其前"项和为S"，数列｛4｝的前〃和为

T.,且满足24=3〃—1.

(1)求数列｛4｝的前〃项和s“；

s

(2)记cn=—V-,求数列｛%｝的前n项和Hn.

°n"n

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【解析】

【分析】(1)根据公式S=W[(2b+d)a+9+2d)c]+£(c—a),求出数列｛4｝中的。，c代入公

式求解.

(2)根据a,7；的关系求数列｛勿｝的通项公式，由(1)求得｛%｝的通项公式，通过错位相减法求得前〃

项和Hn.

【小问1详解】

数列｛«„｝的通项a“=n(n+1),

因为在数列1x2,2x3,3x4,…，"("+1)中，a=l,b=2,项数为“，c=n,d=n+l,

所以S〃=£[(4+〃+1)*1+(2+2〃+2)/]+々5-1)=?"2+3〃+2).

即S“=?4+3〃+2)

【小问2详解】

因为数列也｝的前〃和为Tn,且满足2T"=3b„-1.

所以当2时，2(1=36,1—1,

两式相减可得2bli=3bn-36,i,即＞=36,i,

令〃=1,则2仇=3仇—1,解得仇=1,

所以数列他“｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以2=3"T.

所以C=S”其.+3"+2)1〃+1)(〃+2)

〃+2

n

an-bn〃(〃+l),3"T〃(〃+l)・3"T"3"

4=吗+咱+50++(〃+i)*t)+(〃+2)x(g)①,

也=3x©+4©+5x©++("■

①一②得：

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沁"III+&+[)++[]-刊+2山

21.如图，在矩形A8C。中，已知A3=2A£>=4,M,E分别为AB,C。的中点，AC,BE交于点F,

DM与AE交于点、N,将VADE沿着AE向上翻折使。到。C（点。C不在平面ABCQ内）.

（1）证明：平面。'MN1_平面ABC。；

（2）若点OC在平面A3CD上的投影//落在椽形ABCE的内部及边界上，当切最大时，求平面DAB与

平面。'BC夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

11

【解析】

【分析】（1）连接可知四边形A£>£M与四边形AffiCE是全等的正方形，可得AELZW,进而

可证得AE，平面D'MN，由线面垂直的判断定理即可证得结果；

（2）首先明确。C在平面ABCD上投影H的轨迹，进而判断也最大值时〃的位置，建立空间直角坐

标系，求得平面。'A3,平面。'8C的法向量，计算得出结果.

【小问1详解】

连接EM,

因为矩形ABCD中，已知A5=2AD=4,M,E分别为AB,C。的中点，

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所以四边形ADEM与四边形"BCE是全等的正方形，

所以AEJ_ZW,

所以AE工MN,AE工D'N,MNcD'N=N,MNu平面DMN,DNu平面D'ACV,

所以AE,平面又因为AEu平面A8CD,所以平面O'MNJ_平面ABC。；

【小问2详解】

由（1）可知，AE,平面D'MN,所以点DC在平面A3CD上的投影H落在线段上.

因为BE//MN,EN1MN,

点OC在平面ABC。上的投影〃落在点N处，

如图建立平面直角坐标系M-xy,则有A（-2,0）,C（2,2）,B（2,0）,E（0,2）,TV（-l,l）,

联立解得:

所以FH、

所以当F?/最大时，以M为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则

4（-2,0,0）,5（2,0,0）,^（-1,1,72）^（2,2,0）,

所以A5=（4,0,0）,3C=（0,2,0）,AD'=（1,1,72）,^=（-3,1,72）,

/、\nYBD'=0f-3x,+y,+42z,=0

设平面。'AB的法向量为%=（%,%,zj,则＜，即＜40'

、%0项

取Z[=l,则另=—0,占=0,所以勺=（0,—行,1）,

/出•BD'=0f—3X+y,+V2Z=0

设平面。'BC的法向量为%=（9，％，Z2），贝巾~，即＜72229

n2-BC=0[2%-0

取22=3,则%=0，入2=夜，所以〃2=（后,0,3）,

%3A/33

所以『『巾=百了=7r.

所以平面O'AB与平面。'BC夹角的余弦值叵.

11

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22.如图，已知曲线C|是以原点。为中心、耳,且为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点。为中心，

耳，工为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线G的交点，且NA鸟耳为钝角，我们把曲线G和曲线

。2合成的曲线C称为“月蚀圆”.设420,、/）,耳（—2,0）,乙（2,0）.

（1）求曲线G和C2所在的椭圆和双曲线的标准方程;

（2）过点工作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆''依次交于8,C,D,E四点，记G为的中点,

忸闾

»为BE的中点.问:13是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

忸同恒用

【答案】（1）椭圆G所在的标准方程为L+乙=1,双曲线C,所在的标准方程为土一工=1

161222

CD\-HF2

(2)是定值，为理由见解析

BE\-GF24

【解析】

22

【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为A+与=l（a〉6〉0）,双曲线所在的标准方程为

a2b-

二—与=1（机〉0,”〉0）,根据A在曲线上、焦点坐标可得答案;

mn

（2）设直线BE1的方程为工=町+2,3（%,%）,£（%2，%），。（&，%），。（%4，%），直线班的方程与椭

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圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出回一%|、I%—%|，由

\BE\-GF2\为

2

I%-%化简可得答案.

I"-%

2

【小问1详解】

22

设椭圆所在的标准方程为^-+4=1（。〉6〉0）,

a2b2

22

双曲线所